Hàm đa thức và các ứng dụng trong chương trình toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THỊ NGỌC HẠNH HÀM ĐA THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THỊ NGỌC HẠNH HÀM ĐA THỨC VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đạo Dõng ĐÀ NẴNG - NĂM 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết nghiên cứu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép chưa công bố cơng trình Tác giả luận văn ĐINH THỊ NGỌC HẠNH MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 L chọn đ tài ục ti u nghi n cứu ối tượng phạm vi nghi n cứu hương pháp nghi n cứu Ý ngh a khoa học th c tiễn đ tài Cấu tr c luận văn CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ HÀM ĐA THỨC 1.1 HÀ A THỨC ỘT BIẾN 1.1.1 Các định ngh a 1.1.2 Các phép tính tr n đa thức 1.1.3 Các tính chất ản đa thức iến 1.2 HÀ A THỨC NHIỀU BIẾN 15 1.2.1 Các định ngh a 15 1.2.2 Các phép tính tr n đa thức nhi u iến 17 1.2.3 Các tính chất ản 17 1.3 A THỨC ỐI XỨN 18 1.3.1 ịnh ngh a 18 1.3.2 ột số tính chất ản 18 CHƯƠNG ỨNG DỤNG HÀM ĐA THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 22 2.1 A THỨC KHẢ QUY, BẤT KHẢ QUY HÂN TÍCH A THỨC THÀNH NHÂN TỬ 22 2.1.1 Xác định đa thức khả quy, ất khả quy 22 2.1.2 Bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử 27 2.2 TÌ N HIỆ N UYÊN CỦA A THỨC 34 2.2.1 ột số phương pháp tìm nghiệm nguy n đa thức 35 2.2.2 ột số ài toán khác li n quan đến nghiệm nguy n đa thức 39 2.3 CÁC BÀI TOÁN XÁC ỊNH A THỨC 42 2.3.1 Xác định thương, dư phép chia đa thức 42 2.3.2 Tìm ước chung lớn hai đa thức 45 2.3.3 Bài toán ác định đa thức sử dụng phương pháp nội suy 47 2.4 IẢI HƯƠN TRÌNH ẠI Ố BẬC CAO 50 2.4.1 iải phương trình ậc a 50 2.4.2 iải phương trình ậc ốn 54 2.4.3 iải phương trình ậc cao 57 2.5 IẢI HỆ HƯƠN TRÌNH 60 2.5.1 Hệ phương trình đối ứng 61 2.5.2 2.6 ột số hệ phương trình khác 64 ỘT Ố ẠN TOÁN KHÁC Á ỤN A THỨC Ể IẢI 69 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, nói hàm đa thức chiếm vị trí quan trọng việc ứng dụng để giải toán Hàm đa thức khái niệm trung tâm toán học, lớp hàm số quan trọng đại số sơ cấp ột cấu tr c đại số ản có nhi u ứng dụng l nh v c li n quan vành đa thức iến nhi u iến, đ c iệt vành đa thức đối ứng ới mong muốn tìm hiểu th m v cấu tr c, ứng dụng vành đa thức s gợi T Tr n ạo ng, đ chọn đ tài Hàm đa thức ứng dụng chương trình tốn phổ thông làm đ tài nghi n cứu cho luận văn Luận văn giới thiệu sở l thuyết vành đa thức, hàm đa thức, tính chất hàm đa thức iến, nhi u iến, đa thức đối ứng, từ ứng dụng để giải dạng toán đại số sơ cấp thường g p chương trình phổ thơng Những dạng tốn phức tạp phân tích đa thức ậc cao nhi u iến thành tích đa thức ất khả quy, ác định đa thức, giải phương trình ậc cao,… đ u giải nhờ vận dụng l thuyết hàm đa thức Các ài toán minh họa đa dạng v thể loại nội dung, trình ày từ đơn giản đến phức tạp, đa số ài tốn khó trích từ chuy n đ ồi dưỡng học sinh giỏi, toán Olympic Mục tiêu nghiên cứu ục ti u đ tài nh m nghi n cứu cấu tr c tính chất hàm đa thức iến nhi u iến, đa thức đối ứng Từ ứng dụng để hệ thống phân loại số dạng tốn chương trình tốn phổ thơng d a vào kiến thức v đa thức đa thức khả quy, tính chất nghiệm đa thức, phép chia đa thức, thuật toán, định lí iới thiệu số ài tốn li n quan đến đa thức toán Olympic, chuy n đ ồi dưỡng học sinh giỏi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Chương trình tốn trung học phổ thơng Nghi n cứu dạng tốn, phương pháp từ tài tiệu, chuy n đ li n quan đến đa thức nh m hệ thống dạng toán v đa thức Các ài toán v đa thức ph n chương trình tốn phổ thơng, dạng toán chuy n đ ồi dưỡng học sinh giỏi, toán Olympic Phương pháp nghiên cứu Nghi n cứu l thuyết tài liệu v đa thức đại số đại cương, đại số sơ cấp, đại số số học, đa thức nhân tử hóa, chuy n đ ỗi dưỡng học sinh giỏi toán, tuyển tập ài thi vơ địch tốn, Olympic Nghi n cứu vấn đ v đa thức chương trình phổ thông, trang we li n quan Nghi n cứu th c tiễn thông qua việc giảng dạy, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp th y cô, tổng hợp kiến thức để hệ thống đưa dạng toán, phương pháp vận dụng l thuyết đa thức Tổng quan tài liệu thể tường minh kết đạt luận văn Hệ thống ếp dạng ài tập từ dễ đến khó H u hết dạng tốn giải đ u sử dụng kiến thức thuộc l nh v c đại số Trao đổi, thảo luận kết nghi n cứu với giáo vi n hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Hệ thống kiến thức cách cô đọng, đ y đủ khoa học Ứng dụng l thuyết đa thức để giải ài toán li n quan Luận văn sử dụng tài liệu tham khảo để giáo vi n, học sinh phổ thông nghi n cứu, ồi dưỡng chuy n môn, nâng cao kiến thức Luận văn góp ph n thiết th c cho việc dạy học vấn đ li n quan đến đa thức, đem lại ni m đam m , sáng tạo từ ài toán ản Cấu trúc luận văn Cấu tr c luận văn ao gồm:  ởđ u  Chương iới thiệu v hàm đa thức Chương trình ày khái niệm, kiến thức ản v đa thức iến, đa thức nhi u iến, đa thức đối ứng định lí Bezout hệ quan trọng nó, định lí iète đa thức ậc n, định lí v nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguy n hệ nó, sơ đồ Horner, ti u chuẩn ất khả quy ất khả quy đa thức tr n trường ác định,… Chương cung cấp kiến thức sở để d a vào tiếp tục th c chương luận văn  Chương Ứng dụng hàm đa thức chương trình tốn phổ thơng ây nội dung luận văn, phân loại hệ thống dạng tốn thường g p lí thuyết đa thức phương pháp giải Các ài tốn v tính khả quy, ất khả quy đa thức, ài toán tìm nghiệm, tính chia hết đa thức, ài tốn giải phương trình hệ phương trình ậc cao, hệ phương trình đối ứng Ngồi ra, ph n cuối chương cịn tổng hợp số ài tốn chuy n đ ồi dưỡng học sinh giỏi, ài toán Olympic li n quan đến đa thức  Kết luận  anh mục tài liệu tham khảo  Quyết định v việc giao đ tài luận văn thạc s ( ản sao) CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ HÀM ĐA THỨC Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức hàm đa thức biến, nhiều biến, đa thức đối xứng Các kiến thức tham khảo số tài liệu [5], [6], [8], [9], [10], [14], [16], [18] 1.1 HÀM ĐA THỨC MỘT BIẾN 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 (Vành đa thức biến) iả sử  vành giao hốn, có đơn vị kí hiệu Xét tập P tập hợp d y vô hạn (a0 , a1, , an , )  A (i  )  tất trừ số hữu hạn ọi (a0 , a1, , an , ) (b0 , b1, , bn , ) hai ph n tử P Hai ph n tử (a0 , a1, , an , ) (b0 , b1, , bn , ) P em ng  bi , i  Trong P ta ác định hai phép toán sau hép cộng (a0 , a1, , an , )  (b0 , b1, , bn , )  (a0  b0 , a1  b1 , , an  bn , ) hép nhân (a0 , a1, , an , )(b0 , b1, , bn , )  (c0 , c1, , cn , ), ck   ab , k i  j k i j Tập P với hai phép toán tr n làm thành vành giao hốn có đơn vị (xem [16]) Xét ánh f : A  P a f (a)   a,0,0, ,0,  Ánh đơn cấu vành Do vậy, đồng hóa ph n tử a  A với f (a)  P ta em A vành P t x   0, 1, 0, ,0,  Ta   có x   0,0, 1, ,0,  ,…, x n   0, ,0, 1,0,  Quy ước x  1,0, ,0,     n  ỗi ph n tử P viết dạng (a0 , a1, , an ,0, ), ak  0, k  n Lấy ph n tử ất kì thuộc P, ta có (a0 , , an ,0, )  (a0 ,0, )  (a1,0, )(0,1,0, )   (an ,0, )(0, ,0,1,0, ) n  a0  a1x   an x n ành P ác định tr n gọi vành đa thức ẩn x tr n A Kí hiệu A x tử A ỗi ph n tử vành A x  gọi đa thức ẩn x lấy hệ ỗi đa thức kí hiệu ởi f ( x), g ( x), Một đa thức f ( x)  A x có dạng f ( x)  ao  a1x   an1x n1  an x n n hay f ( x)   xi ,  , i  0,1, , n gọi hệ số f ( x), i 0 xi gọi hạng tử hay số hạng, a0 gọi hạng tử t f ( x), x kí hiệu gọi ẩn ( iến) Nếu an  an gọi hệ số cao đa thức f ( x), an x n gọi hạng tử cao đa thức f ( x), n  n   gọi ậc đa thức f ( x) kí hiệu deg f ( x) Nếu A  K trường K  x vành giao hốn, có đơn vị Tập đa thức ẩn x với hệ số thuộc trường số hữu tỉ ho c trường số phức đ u vành giao hốn có đơn vị Thơng thường ét  vành số nguy n trường số th c , trường số th c ho c trường số phức , trường số hữu tỷ , ta có vành đa thức tương ứng  x ,  x ,  x ,  x  Định nghĩa 1.1.2 (Hàm đa thức) (Xem [5]) iả sử đa thức f ( x)  A x , f ( x)  ao  a1x   an1xn1  an x n ,  Cho ánh f ác định 68 Bài toán 2.5.7 Giải 2 x3  x  x   y  iải hệ phương trình 2 y  y  y   z với x, y, z  2 z  z  z   x   t f (t )  2t  7t  8t  iả sử ( x0 , y0 , z0 ) nghiệm hệ, ta có f ( x0 )  y0 , f ( y0 )  z0 , f ( z0 )  x0 Suy  f ( y0 )  f ( z0 ) ( y0  z0 )  f ( x0 )  f ( y0 )  f ( z0 )  f ( x0 ) ( x0  y0 ) , ( z0  x0 ) o ( y0  z0 ) ( x0  y0 ) , ( z0  x0 ) ( y0  z0 ) ( x0  y0 ) ( z0  x0 ) Suy x0  y0  z0 Ta có x03  x02  8x0   x0  x03  x02  x0    ( x0  1)( x0  2)(2 x0  1)  , giải tìm nghiệm x0  1, x0  2, x0  ậy nghiệm nguy n dương ( x, y, z ) (1, 1, 1) , (2, 2, 2) Bài toán 2.5.8 Cho n  số a0 , a1 , , an khác a0n xn  a0n1 xn1   a0 x1  x0   n n 1 a1 xn  a1 xn1   a1 x1  x0  iải hệ phương trình   a n x  a n1 x   a x  x  n n 1 n  n n Giải Xét đa thức f (t )  xnt n  xn1t n1   x1t  x0 a vào hệ ta có f  a0   f  a1    f  an   n n a0 , a1 , , an n  nghiệm phân iệt đa thức f (t ) deg f ( x)  n N n f (t )  Suy x0  x1   xn  Thử lại, thỏa hệ ậy hệ có nghiệm  0,0, ,0  69  x  ay  a z  a  Bài toán 2.5.9 Cho a số a, b, c phân iệt iải hệ  x  by  b z  b  x  cy  c z  c  a  za  ya  x   Giải Hệ phương trình tương đương b  zb  yb  x  c3  zc  yc  x   Xét đa thức f (t )  t  zt  yt  x a vào hệ ta có f  a   f  b   f  c   Suy a , b , c ba nghiệm phân iệt f (t ) ì đa thức f (t ) có ậc a n n đa thức có a nghiệm a , b , c Ta có f (t )  (t  a)(t  b)(t  c)  t  (a  b  c)t  (ab  ac  bc)t  abc Hay t  zt  yt  x  t  (a  b  c)t  (ab  ac  bc)t  abc z  a  b  c  ồng hai vế, ta  y    ab  ac  bc  Thử lại thỏa hệ  x  abc  ậy hệ có nghiệm  x , y , z    abc ,   ab  bc  ac  , a  b  c  2.6 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI Ở ph n này, ta tiếp tục g p dạng tốn vận dụng tối đa tính chất vành đa thức để giải Trong ph n có số ài tốn tham khảo từ đ thi Olympic, chuy n đ ồi dưỡng học sinh giỏi,… Bài toán 2.6.1 Cho a, b, c a số đôi khác Chứng minh r ng với a ( x  b)( x  c) b2 ( x  c)( x  a) c ( x  a)( x  b)    x2 x ta có (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) Giải Cách Xét đa thức iến x sau với a, b, c đôi khác f ( x)  a ( x  b)( x  c) b2 ( x  c)( x  a) c ( x  a)( x  b)    x2 (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) 70 Ta có f ( x) có ậc khơng q 2, mà f (a)  f (b)  f (c)  N n f ( x)  a ( x  b)( x  c) b2 ( x  c)( x  a) c ( x  a)( x  b) ậy x ta có    x2 (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) Cách Nếu không sử dụng kiến thức v đa thức, ta chứng minh đẳng thức ng phép tính v phân thức sau ẳng thức tương đương a2 ( x  b)( x  c)(b  c)  b2 ( x  a)( x  c)(a  c)  c2 ( x  a)( x  b)(a  b)  x (a  b)(a  c)(b  c)   a (b  c)  b2 (a  c)  c (a  b)  (a  b)(a  c)(b  c)  x  a (b  c)(b  c)  b2 (a  c)(a  c)  c (a  b)(a  b)  x  a 2bc(b  c)  b2ac(a  c)  c2ab(a  b)  Ta có a2 (b  c)  b2 (a  c)  c (a  b)  (a  b)(a  c)(b  c)  a 2b  a 2c  ab2  b2c  ac  bc  a 2b  a 2c  abc  ac  ab2  abc  b2c  bc  Tương t a2 (b  c)(b  c)  b2 (a  c)(a  c)  c (a  b)(a  b)  a 2bc(b  c) b2ac(a  c)  c2ab(a  b)  ậy đẳng thức đ ng với x Nhận xét toán 2.6.1 Bài toán đ giải nhi n việc khai triển ng hai cách, ng phép tính ản cách trở n n rắc rối, dễ dẫn đến nh m lẫn q trình tính tốn ì vậy, ứng dụng tính chất đa thức để giải cách cho ta cách giải gọn, nhanh chóng, ác, tránh tính toán khai triển phức tạp Bài toán 2.6.2 Chứng minh r ng, với x, y, z ta có  x  y  z  x3  y  z   x  y  y  z  x  z  Giải Xét đa thức với iến x sau f ( x)   x  y  z   x3  y  z Ta có f ( y )    y  y  z   y  y  z  , suy  y nghiệm f ( x) 71 Theo định lí Bezout f ( x) ( x  y) hay  x  y  z   x3  y  z  ( x  y )   ì x, y, z có vai trị nhau, tương t ta có  x  y  z 3  x3  y  z  ( x  z )  x  y  z 3  x3  y  z  ( y  z )     o  x  y  z   x3  y  z   ( x  y )( y  z )( x  z ) g ( x)   Ta có deg f ( x)  3, n n g ( x ) phải đa thức ậc không x Tương t , g ( x ) đa thức ậc không y z Suy g ( x ) h ng số C Nếu x  y  z  1   1  13  13  13  8C  C  3 Hay  x  y  z   x3  y  z   3( x  y )( y  z )( x  z )   Nhận xét toán 2.6.2 nhi n ta chứng minh ài tốn ng cách khai triển hai vế để đến giá trị Tuy nhi n, ta sử dụng tính chất đa thức để tránh tính tốn cồng k nh Bài toán 2.6.3 Cho đa thức f ( x)  x5  x  có năm nghiệm x1, x2 , x3 , x4 , x5 Tính g ( x1 ) g ( x2 ) g ( x3 ) g ( x4 ) g ( x5 ) iết g ( x)  x2  Giải ì đa thức f ( x) đa thức ậc năm, hệ số cao ng có năm nghiệm phân iệt, theo định lí Bezout ta có f ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )( x  x4 )( x  x5 )           Ta có g ( x1 ) g ( x2 ) g ( x3 ) g ( x4 ) g ( x5 )  x12  x22  x32  x42  x52        x   x   x      x   x   x   x     x    x    x   x1  x2  x3  x4  x5  x1  x2  4  x5   x1   x2   72 f   f    4    4    32  23 Nhận xét toán 2.6.3 Bài tốn tr n đ áp dụng định lí Bezout để tính giá trị iểu thức Tương t , áp dụng định lí Bezout tính giá trị iểu thức sau Bài toán 2.6.4 Cho đa thức P( x)  x6  ax5  cx4  dx3  ex2  fx  g Biết P(1)  5, P(2)  10, P(3)  15, P(4)  20, P(5)  25 Tính Giải Xét đa thức Q( x)  P( x)  x P (11)  P (5)  750 240 ì P( x) đa thức ậc sáu, n n Q ( x) đa thức ậc sáu Từ giả thiết ta có Q 1  Q  2  Q  3  Q  4  Q  5  Theo định lí Bezout ta có Q( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) R( x) ì deg Q( x)  hệ số cao x n n R( x)  x  x0 N n Q( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  x  x0  Hay P( x)   x  1 x  2 x  3 x   x  5  x  x0   5x Ta có P 11  10      11  x0   55 P(5)  6  (7)  (8)  (9)  (10)  (5  x0 )  25 L c P(11)  P(5)  10      11  x0   x0   30  483870 Suy P (11)  P(5)  750 483120   2013 240 240 Bài tốn 2.6.5 Tìm đa thức hệ số nguy n nhận Giải   3 làm nghiệm t x   3 Ta có x   3  x   3  x3  x    3x    x6  x  x3  12 x  36 x   L c x   3 nghiệm đa thức x  x  x3  12 x  36 x  Nhận xét toán 2.6.5 a vào đa thức tr n, nhận thấy đa thức x6  x  x3  12 x  36 x  có nghiệm x   3 không nguy n, không ước 1, khơng phải nghiệm hữu tỉ Từ kết tr n ta suy 73 x   3 số vơ tỉ ì vậy, muốn chứng minh số số vô tỉ số khơng nghiệm nguy n đa thức hệ số nguy n có ậc cao ng 1, ta thường áp dụng định lí v nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguy n Bài toán 2.6.6 Cho số a iết a   Hỏi a số hữu tỉ hay vô tỉ Giải ể ác định a số hữu tỉ hay vơ tỉ, ta tìm đa thức nhận giá trị a   làm nghiệm Ta có a    a3   234    63  63    234   a3   6a  a3  6a   Suy a nghiệm f ( x)  x3  x  iả sử đa thức f ( x) có nghiệm hữu tỉ, l c nghiệm hữu tỉ f ( x) phải ước 6, ta có tập hợp ước 1,  2,  3,  6 Thử lại ta nhận thấy 1,  2,  3,  nghiệm đa thức f ( x) a nghiệm đa thức f ( x) , n n a số vô tỉ Bài toán 2.6.7 (Xem [8]) Cho f ( x)  x6  x5  x4  x3  5x2  x  Nghiệm nhỏ đa thức f ( x) số hữu tỉ hay vô tỉ Giải Nhận x  nghiệm f ( x) n n ta iểu diễn f ( x) dạng f ( x)  ( x  1)( x5  3x  x3  x  x  1)  ( x  1) g ( x) , với g ( x)  x  x  x  x  x  n n có nghiệm ì g ( x ) đa thức ậc năm ( ậc lẻ) o hệ số g ( x ) đ u số dương n n nghiệm đa thức g ( x ) đ u số âm Theo định lí 1.1.7, g ( x ) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ phải ước hay thuộc tập hợp nghiệm g ( x ) g (1)  3  1;  1 ậy đa thức g ( x ) khơng có nghiệm hữu tỉ, ngh a đa thức f ( x) có nghiệm hữu tỉ 1, (1  0) ì đa thức g ( x ) tồn nghiệm vơ tỉ âm (nhất định có), mà 74 nghiệm g ( x ) nghiệm f ( x) n n nghiệm nhỏ đa thức f ( x) phải nghiệm vô tỉ Bài toán 2.6.8 Cho đa thức f ( x)  a2k x2k  a2k 1x 2k 1   a1x  a0 hệ số đ u số nguy n lẻ, i  0,1, ,2k Chứng minh r ng đa thức f ( x) nghiệm hữu tỉ Giải iả sử đa thức có hệ số hữu tỉ x0  p với ( p, q)  Ta có q 2k  p  p  p f ( x0 )  f     a2 k    a2 k 1   q q q k 1  p   a1    a0  q a2k p 2k  q  a2k 1 p 2k 1   a1q 2k 1  a0q 2k 1  Suy a2 k p k q ì ( p, q)  n n ( p 2k , q)  o a2k q   Tương t a0q k  q a1q k 1   a2 k p k 1 ta có a0 p Do a0 , a2 k số nguy n lẻ n n p, q số nguy n lẻ  ế trái a2k p 2k  q a2k 1 p 2k 1   a1q 2k 1  a0q k 1 2k  số nguy n lẻ, tổng khơng thể ng  tổng i u phải chứng minh Bài toán 2.6.9 Cho a, b, c a nghiệm phương trình x3  3x   Lập phương trình ậc a có nghiệm 1 a 1 b 1 c , , 1 a 1 b 1 c Giải Theo định lí iète hàm đa thức ậc a ta có a  b  c  0, ab  bc  ac  3, abc  1 Ta có 1 a 1 b 1 c   1 a 1 b 1 c  (1  a)(1  b)(1  c)  (1  a)(1  b)(1  c)  (1  a)(1  b)(1  c) (1  a )(1  b)(1  c)   a  b  c  (ab  bc  ac)  3abc   3  a  b  c  ab  bc  ac  abc 3 75 Tương t 1 a 1 b  1 b 1 c  1 c 1 a         1 1 a 1 b  1 b 1 c  1 c 1 a    a   b   c       Áp dụng định lí   a   b   c  iète đảo 1 a 1 b 1 c , , 1 a 1 b 1 c nghiệm phương trình x3  x  x   Bài toán 2.6.10 (Xem [8]) Cho hai đa thức f ( x)  x8  x4  5x2 g ( x)  Xác định h( x) với hệ số nguy n cho giá x  x5  x3  x  x  trị h( x) giá trị g ( x ) nghiệm f ( x)  Giải ng ì giá trị h( x) giá trị g ( x ) nghiệm f ( x)  ng ngh a g ( x0 )  h( x0 ) với x0 nghiệm f ( x) tìm cách iến đổi đa thức g ( x ) theo đa thức f ( x) ì ta n n ng cách chia đa thức f ( x) cho x6  x5  x3  x  x  Ta có f ( x)  x8  x    x6  x5  x3  5x  x  1 x  x  1  5x ì x  x   0, x n n g ( x)  x  x  x  1 f ( x)  x iả sử x0 nghiệm f ( x) , x0  , ta có f ( x0 )  g  x0   x02  x02  x0  1 f ( x0 )  x0  x02  x02  x0  1 5 x0   x03  x02  x0 t h( x)   x3  x  x , ta có g ( x0 )  h( x0 )   x03  x02  x0 ậy đa thức h( x)   x3  x  x đa thức với hệ số nguy n c n tìm 76 Bài tốn 2.6.11 (Xem [13]) ới a   , chứng minh hệ phương trình sau có  x  y 2  a  x  y  không 12 nghiệm hữu tỉ  29 x y  y   Giải ìđ ài chứng minh hệ phương trình có khơng q 12 nghiệm hữu tỉ n n ta iến đổi phương trình hệ v phương trình đa thức ậc 12, d a vào kết luận số nghiệm hệ ới x  y  , từ phương trình đ u hệ, ta có x2  y  Khi x  y  0 Thay vào phương trình thứ hai, ta có 1  (vơ l ) ậy x  y  Chia hai vế phương trình đ u hệ cho ( x  y)2 , ta 2  x2  y   x2  y  x2  y x y    a  a x  y ( x  y ) x  y x  y     tt t2  a x y x2  y x ta có t  a hay t ( x  y)  a( x  y) , suy y  t a x y x y  t2  a   t2  a  x2  y ìt x  tx  x  y  t ( x  y ) hay x    1   t  a t  a x y     at (t  a ) at (t  a ) ì x0 n n x , y Thay x, y vào phương trình thứ t  a2 t  a2 hai hệ ta nhận phương trình đa thức ậc 12 t hương trình nhi u 12 nghiệm t ậy hệ phương trình có khơng q 12 nghiệm hữu tỉ Bài tốn 2.6.12 (Xem [3]) Chứng minh đa thức f ( x)  x3  ax  bx  c có a nghiệm phân iệt đa thức g ( x)  x  ax  ab  c a  b x  có a  nghiệm th c phân iệt Giải ì ài tốn cho hàm ậc a có a nghiệm phân iệt n n ta ngh đến việc áp dụng định lí iète cho hàm ậc a 77 iả sử x1 , x2 , x3 a nghiệm đa thức f ( x)  x3  ax  bx  c Khi đó, theo iète ta có x1  x2  x3  a , x1x2  x2 x3  x3 x1  b , x1x2 x3  c Ta có  x1  x2 x2  x3 x3  x1    x1  x2  x3  a 2 x1  x2 x2  x3 x2  x3 x3  x1 x3  x1 x2  x1   2 2 2 x1  x22  x32  3x1 x2  3x2 x3  3x1 x3   1   x1  x2  x3    x1x2  x2 x3  x3 x1    a  b   4 x1  x2 x2  x3 x3  x1 c  ab   x1  x2  x3  x1 x2  x2 x3  x3 x1   x1 x2 x3   2 8 Theo định lí iète đảo, ta có thức g ( x)  x  ax  phân iệt n n x1  x2 x2  x3 x3  x1 a nghiệm đa ; ; 2 2 c  ab a  b x   ì x1 , x2 , x3 a nghiệm th c x1  x2 x2  x3 x3  x1 đôi khác ậy đa thức ậc a ; ; 2 g ( x)  x  ax  ab  c a  b x  có a nghiệm phân iệt  Bài toán 2.6.13 (Xem [8]) Cho đa thức ậc ốn f ( x)  x  x3  có ốn nghiệm phân iệt x1 , x2 , x3 , x4 Chứng minh r ng x1x2 nghiệm đa thức g ( x)  x  x  x  x  Giải Bài toán cho ta hàm ậc ốn có ốn nghiệm phân iệt n n áp dụng định lí iète hàm ậc ốn sử dụng tính chất nghiệm đa thức để chứng minh iả sử x1x2 nghiệm g ( x ) , ta có  x1x2    x1 x2    x1 x2    x1 x2    78  1  3   x1 x2   x1 x2    x1 x2     0 3 x x   x x     Theo định lí iète hàm ậc ốn ta có x1 x2 x3 x4  1  Từ  x1x2    x1x2      x3 x4 x1 x2 1 3    x1x2   x1x2   x3 x4   x3 x4   x1x2   x1x2  ì x1, x2 nghiệm f ( x) ta có f ( x1 )  x14  x13    x13 1  x1    x13  1  x1 f ( x2 )  x24  x23    x23 1  x2    x23  L c x13 x23  o  x3 x4     x2 1  x1 1  x2   x1x2    1  x1 1  x2  Lập luận tương t , ta có  x1 x2    1  x3  1  x4  ậy  x1x2    x1x2    1 3    x1x2   x1x2   x3 x4   x3 x4   x1x2   x1x2    1  x3  1  x4   x1x2   x3 x4  1  x1 1  x2   1   x1  x2  x3  x4  Theo định lí iète ta có x1  x2  x3  x4  1 Ta có  x1x2    x1x2    1   , thay vào thỏa  x1x2   x1x2 3 ậy x1x2 nghiệm đa thức g ( x)  x6  x4  x3  x2  Bài toán 2.6.14 Cho hai f ( x) g ( x ) khác nhau, f  g ( x)   g  f ( x)  Chứng minh r ng f  f ( x)   g  g ( x)  chia hết cho f ( x)  g ( x) Giải Ta có f  f ( x)   g  g ( x)    f  f ( x)   f  g ( x)    f  g ( x)   g  g ( x)  f  g ( x)   g  f ( x)  n n 79 f  f ( x)   g  g ( x)    f  f ( x)   g  f ( x)    f  g ( x)   g  g ( x)  Xét đa thức P(t )  f (t )  g (t ) , ta có P  f ( x)   f  f ( x)   g  f ( x)  P  g ( x )   f  g ( x )   g  g ( x )  N n P  f ( x)   P  g ( x )   f  f ( x )   g  g ( x )  n iả sử P(t )  ant n  an1t n1   a1t  a0   ak t k , ta có P  f ( x)   P  g ( x)   k 0 n   n     ak  f ( x)  g ( x)   ak  f ( x)  g ( x)   f k 1 ( x)   g k 1 ( x)  k 0 k n  k 0    f ( x)  g ( x)  ak  f k 1 ( x)   g k 1 ( x)  k 0 ậy P  f ( x)   P  g ( x)  chia hết cho f ( x)  g ( x) Hay f  f ( x)   g  g ( x)  chia hết cho f ( x)  g ( x) Nhận xét tốn 2.6.14 Một thí dụ đơn giản để chứng tỏ s tồn hai đa thức khác f ( x) g ( x ) thỏa u kiện f  g ( x)   g  f ( x)  , x ta chọn f ( x)  x5 g ( x)  x , ta có f ( x)  g ( x) f  g ( x)    x   x 20 , g  f ( x)    x   x 20 o f  g ( x)   g  f ( x)  , x Bài toán 2.6.15 (Xem [8]) Cho đa thức ậc a f ( x)  x3  ax  bx  c với a, b, c  iả sử f ( x) có a nghiệm phân iệt x1 , x2 , x3 cho x3  x1x2 Chứng minh f (1) Giải  f (1)  f (0)  f (1)  2 ì f ( x) có a nghiệm phân iệt x1 , x2 , x3  x1x2 Theo định lí iète đối  x1  x2  x1 x2  a  x1  x2  x3  a   với đa thức ậc a ta có  x1 x2  x2 x3  x1 x3  b   x1 x2 1  x1  x2   b  x x x  c  2   x1 x2  c  x  1 Khi a  ta có x1  x2  x1x2     x1  1 x2  1     x2  1 L c nghiệm f ( x) 1 n n f (1)  80 ậy f (1)  f (1)  f (0)  f (1)  2 Khi a  , cộng vế theo vế hai phương trình sau hệ, ta có b  c  x1x2 1  x1  x2  x1x2   x1x2 1  a   x1 x2  bc L c x1x2 số hữu tỉ Ta có x12 x22  c, mà c số 1 a nguy n n n x12 x22 số nguy n, hay x1x2 số nguy n, hay (b  c) (a  1) Ta có f (1)  f (0)  f (1)   1  a  b  c  2c   a  b  c   2a   2(a  1)  , a  f (1)  2(a  b  c  1)  2(a  1)  2(b  c) ì 2(a  1) 2(a  1) 2(b  c) 2(a  1) N n  2(a  1)  2(b  1) 2(a  1) ậy f (1)  f (1)  f (0)  f (1)  2 Nhận xét tốn 2.6.15 Bài tốn đ vận dụng tính chia hết đa thức Tuy nhi n, ta phân tích hai đa thức thành nhân tử sau Ta có f (1)  f (0)  f (1)   2(a  1)  2(1  x1  x2  x1x2 )  2(1  x1)(1  x2 ) f (1)  2(1  x1 )(1  x2 )(1  x1x2 )  2(1  x1)(1  x2 )(1  x1x2 ) L c này, ta kết luận r ng f (1)  f (1)  f (0)  f (1)  2 81 KẾT LUẬN Các kết luận văn Hàm đa thức ứng dụng chương trình tốn phổ thơng thể qua nội dung sau đây: Tìm hiểu, thể kiến thức ản v hàm đa thức qua khái niệm, tính chất, định l cụ thể Nghi n cứu số ứng dụng đa thức giải tốn trung học phổ thơng, ao gồm:  Xác định tính khả quy, ất khả quy đa thức, phân tích đa thức v tích đa thức ất khả quy  Tìm nghiệm nguy n đa thức  Xác định đa thức ng tính chất đa thức, phương pháp nội suy  iải phương trình ậc cao, hệ phương trình  Khảo sát việc iểu diễn đa thức đối ứng n iến theo đa thức đối ứng có ản n iến  iới thiệu số ài toán v đa thức chuy n đ ồi dưỡng học sinh giỏi, tốn Olympic Trong thời gian đến, tơi mong muốn tiếp tục phát triển ứng dụng khác hàm đa thức chương trình tốn phổ thơng, đ c iệt hàm đa thức nhi u iến c dù đ cố gắng nỗ l c, thời gian trình độ cịn hạn chế n n luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóngy góp th y để luận văn hoàn thiện tốt hơn./ kiến 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ậu Thế Cấp (2006), Toán nâng cao THPT, NXB ại học quốc gia HC [2] L Tr n Chính (1998), Tuyển tập 200 thi vơ địch toán (Số học Đại số), NXB iáo ục [3] Tr n Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên – tập 2, NXB iáo ục [4] Nguyễn ễ (2001), Các tốn đại số hay khó, NXB iáo ục [5] L Thanh Hà (2005), Đa thức nhân tử hóa, NXB Nẵng [6] Bùi Huy Hi n (2007), Bài tập đại số đại cương, NXB iáo ục [7] Nguyễn Thế Hùng (1999), Bất đẳng thức bất phương trình đại số, NXB iáo ục [8] han Huy Khải (2006), Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán THCS – Đa thức, NXB iáo ục [9] Hoàng K (2000), Đại số sơ cấp, NXB iáo dục [10] Ngô Th c Lanh (1986), Đại số số học, NXB iáo ục [11] ại [12] Nguyễn au (1996), Toán nâng cao đại số, NXB Trẻ ăn ậu (2006), Các đề thi Olympic tốn sinh viên tồn quốc, NXB iáo ục [13] Nguyễn ăn ậu, Nguyễn Hữu ộ (2012), Các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi, Hà Nội [14] Nguyễn ăn ậu (2006), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT – Đa thức đại số phân thức hữu tỉ, NXB iáo ục [15] hạm Quốc hong (2005), Chuyên đề nâng cao đại số giải tích THPT, NXB ại học sư phạm [16] Hồng Xn ính (2007), Đại số đại cương, NXB iáo ục [17] Nguyễn ức Tấn (2002), Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực, NXB iáo ục [18] Nguyễn uy Thuận (1999), Đại số, NXB iáo ục ... chất hàm đa thức iến nhi u iến, đa thức đối ứng Từ ứng dụng để hệ thống phân loại số dạng toán chương trình tốn phổ thơng d a vào kiến thức v đa thức đa thức khả quy, tính chất nghiệm đa thức, ... thức ứng dụng chương trình tốn phổ thông làm đ tài nghi n cứu cho luận văn Luận văn giới thiệu sở l thuyết vành đa thức, hàm đa thức, tính chất hàm đa thức iến, nhi u iến, đa thức đối ứng, từ ứng. .. u ứng dụng l nh v c li n quan vành đa thức iến nhi u iến, đ c iệt vành đa thức đối ứng ới mong muốn tìm hiểu th m v cấu tr c, ứng dụng vành đa thức s gợi T Tr n ạo ng, đ chọn đ tài Hàm đa thức