Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên để giải bài toán về nghiệm của phương trình chứa hàm số hợp

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm 2017 đến nay, có năm mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo tổ chức thi THPT Quốc gia thi Tốt nghiệp THPT hình thức trắc nghiệm Trong năm qua, thầy trò nước dần làm quen thích nghi với đề thi trắc nghiệm mơn Tốn Trong q trình học tập giảng dạy, thầy cô em học sinh gặp nhiều khó khăn gặp phải nhiều toán trắc nghiệm hay, lạ khó, đa dạng hình thức, phong phú nội dung Một tốn khó tốn hàm số hợp như: Tìm khoảng đơn điệu hàm số hợp, tìm số điểm cực trị hàm số hợp, tìm số nghiệm phương trình chứa hàm số hợp, toán tương giao đồ thị hàm số hợp v.v… Hôm xin trao đổi đồng nghiệp toán qua đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị bảng biến thiên để giải tốn nghiệm phương trình chứa hàm số hợp” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài tìm tịi đúc rút kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng đồ thị bảng biến thiên hàm số, để giải số toán hàm số hợp thường xuất đề thi THPT Quốc gia đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông năm gần 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung vào nghiên cứu dạng toán lời giải số tốn nghiệm phương trình có chứa hàm số hợp đề thi THPT Quốc gia Tốt nghiệp trung học phổ thơng mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài, chủ yếu sử dụng phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thông tin phương pháp thống kê, xử lý số liệu Cụ thể bước nghiên cứu tiến hành sau: Bước 1: Tìm hiểu, thu thập thơng tin tốn hàm số hợp có đề thi Bộ Giáo dục Đào tạo đề thi thử trường THPT toàn quốc Bước 2: Xây dựng nguồn đề cho học sinh lớp 12 làm thử nghiệm Bước 3: Hướng dẫn cho học sinh phương pháp giải Bước 4: Tổ chức thực nghiệm kết luận tính hiệu đề tài NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Khái niệm “Hàm số hợp” học chương trình Đại số Giải tích lớp 11 học sinh biết khái niệm đạo hàm hàm số hợp; em tính đạo hàm hàm số hợp xét tính đơn điệu hàm số hợp Về đồ thị hàm số, em học sinh học khái niệm, cách vẽ, phép biến đổi đồ thị chương trình Đại số lớp 10 bước khảo sát vẽ đồ thị số hàm chương trình Đại số Giải tích lớp 12 Vì sở lý thuyết, em học sinh lớp 12 có đủ kiến thức để giải toán đồ thị nghiệm phương trình có chứa hàm số hợp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau khảo sát học sinh lớp 12 kiến thức hàm số hợp; làm khảo sát đồ thị hàm số hợp kết thu đáng báo động Đa số em không nhớ khái niệm hàm số hợp, nhầm lẫn tính đạo hàm hàm số hợp, khơng phác họa đồ thị số hàm số hợp đơn giản hầu hết gặp khó khăn giải toán mức độ vận dụng vận dụng cao tương giao đồ thị hàm số hợp với trục hoành với đồ thị hàm số khác Kết khảo sát 43 học sinh lớp 12A2 40 học sinh lớp 12 A3 trường THPT Triệu Sơn sau: Số lượng Nội dung câu hỏi học sinh trả lời Câu Nhắc lại khái niệm hàm số hợp 12 Câu Nhắc lại cơng thức tính đạo hàm hàm số hợp 25 Câu Nhắc lại phép biến đổi đồ thị 08 Câu 4.(Câu 35 Mã 101 đề thi THPT Quốc gia năm học 20182019) 56 f ( x) f '( x) Cho hàm số , bảng xét dấu sau: Hàm số y = f ( − 2x) ( 4; + ∞ ) A B nghịch biến khoảng đây? ( −2;1) C ( 2;4 ) D ( 1;2 ) Câu 5.(Câu 49 Mã 104 đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho hàm số Đặt y = f ( x) Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) y = f ′( x) hình bên Mệnh đề đúng? 02 A g ( 1) < g ( 3) < g ( −3 ) B g ( 3) = g ( −3) < g ( 1) D C g ( 1) < g ( −3) < g ( 3) g ( 3) = g ( −3) > g ( 1) Qua cho thấy việc hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập lại lý thuyết luyện tập kỹ giải toán hàm số hợp cần thiết cấp bách Chính tơi đề xuất với tổ chuyên môn thân người tiên phong việc biên soạn sưu tầm số dạng toán hàm số hợp để giảng dạy cho học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp trung học phổ thơng; có tốn nghiệm phương trình có chứa hàm số hợp 2.3 Các sáng kiến áp dụng để giải vấn đề A Kiến thức Khái niệm hàm số hợp Cho hai hàm số biểu thức u ( x) g ( x) = f ( u ( x ) ) y = f ( u) u = u ( x) , ta biểu thức Thay biến f ( u ( x) ) Cho hàm số u = u ( x) biểu thức x với biến Khi đó, hàm số với gọi hàm số hợp hai hàm số hàm số trung gian Cách tính đạo hàm hàm số hợp y = f ( u) u Đạo hàm hàm số hợp f u ; hàm g ( x) = f ( u ( x ) ) g '( x) = f ' ( u ( x) ) u '( x) y = g ( x) u Cho hàm số hàm số sau: + y= f ( x) phần qua trục y = f ( x) + + có đồ thị đường (C) Từ đồ thị (C) ta suy đồ thị y= f ( x) , sau lấy đối xứng Ox qua trục Ox Ox , sau lấy đối xứng : Thực liên tiếp bước hai đồ thị y = f ( x + a) theo trục Oy : Giữ nguyên đồ thị (C) phía bên trục phần phía trục + [2] : Giữ nguyên đồ thị (C) phía bên phải trục Oy gọi [1] tính theo công thức: Một số phép biến đổi đồ thị y = f ( x) f ( u) : Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái (khi Ox a a>0 ) sang phải (khi a ⇔  f ( x) = a (do x ≠ 0) x3  x f ( x) = b >    f ( x) = b (do x ≠ 0)  x3 f ( x) = có nghiệm dương f ( x) = - Xét phương trình - Với B x>c ⇒ g ( x) = Mặt khác k x3 với , nhìn hình ta thấy x=c x ≠ 0, k > f ′( x) > g ( x) = f ( x ) − Đặt ⇒ g ′( x) = f ′( x) + k 3k g ′( x) = f '( x) + x x , 3k >0 x4 có tối đa nghiệm  g (c ) <  lim g ( x) = +∞  x→+∞ g ( x) liên tục ( c; +∞ ) ⇒ g ( x) = - Với -Với có nghiệm 0< x0 x4 có tối đa nghiệm  lim− g ( x ) > x→0  g ( x) = −∞  xlim →−∞ g ( x) liên tục có nghiệm g ( x) = ( −∞;0 ) có hai nghiệm f ( x) = Suy hai phương trình c ( c; +∞ ) a x3 f ( x) = , f ( x f ( x) ) + = ( −∞;0 ) ¡ \ { 0} b x3 có nghiệm phân biệt khác khác Vậy phương trình Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) Số nghiệm thuộc khoảng ( 0; π ) có nghiệm có đồ thị hình vẽ phương trình f ( sin x ) = −4 A Lời giải: - Đặt B sin x = t , C t = t1 ∈ ( −1; ) ⇔ f ( t ) = −4 t = t2 ∈ ( 0;1) So sánh với điều kiện ta lấy nghiệm t = t2 ∈ (0;1) nghiệm x ∈ ( 0; π ) x ∈ ( 0; π ) ⇒ t ∈ (0;1] - Xét phương trình: - Với D t = t2 ∈ (0;1) ta có phương trình sin x = t2 ; dễ thấy phương trình có Vậy chọn đáp án C y = f ( x) m ¡ liên tục có đồ thị hình vẽ Gọi f ( f ( x) ) = số nghiệm phương trình Khẳng định sau đúng? Ví dụ Cho hàm số A m=6 B m=7 C m=5 D m=9 Lời giải: - Đặt f ( x) = t , ta thấy - Xét phương trình: t ∈ R t = t1 ∈ ( −1;0 )  f ( t ) = ⇔ t = t2 ∈ ( 0;1) t = t >  f ( x ) = t1 ∈ ( −1;0 ) y = t1 y = f ( x) y = t2 y = f ( x) +) Xét , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt f ( x ) = t2 ∈ ( 0;1) +) Xét , ta có đường thẳng cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt +) Xét f ( x ) = t3 > , ta có đường thẳng nên phương trình có nghiệm y = t3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x) Do nghiệm không trùng nên tổng số nghiệm là: Ví dụ Cho hàm số y = f ( x) Phương trình A tại 3 điểm m = + +1 = có bảng biến thiên hình vẽ f ( − 3x ) = có nghiệm âm? B C D Lời giải:  x= 1 − x = −1  ⇔ ⇔ 1 − x = x = − g ( x ) = f ( − x ) ⇒ g ′ ( x ) = −3 f ( − x ) =  Xét Bảng biến thiên f ( − 3x ) = Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm âm Vậy chọn A Nhận xét: Dạng dạng toán phổ biến thú vị; khơng phải dạng tốn khó, cần học sinh chịu khó rèn luyện chút em hồn tồn giải toán Sau số tập tương tự Bài Cho hàm số f ( x) có bảng biến thiên sau: Có giá trị nguyên tham số nghiệm phân biệt thuộc khoảng A 24 Bài Cho hàm số B y = f ( x) 21 A ( 0; +∞ ) C liên tục B để phương trình Số nghiệm phân biệt phương trình m ¡ [5] 25 f ( x2 − 4x ) = m D 20 có có đồ thị hình bên f ( f ( x) ) = C D f ( x) Bài Cho hàm số liên tục ( f 2+ f (e nghiệm thực phương trình A ¡ x y = f ( x) liên tục A ( 0;ln 2) B y = f ( x) giá trị nguyên m D có đồ thị hình vẽ Tập để phương trình f ( ex ) = m có nghiệm ( −3;3) Bài Cho hàm số ¡ hình vẽ bên Số C hợp tất giá trị thực tham số ( −3;0 ) )) =1 B Bài Cho hàm số thuộc khoảng có đồ thị y = f ( x) C ( 0;3) liên tục m D ¡ [ −3;0] có đồ thị hình vẽ Có để phương trình f ( 2log x ) = m có nghiệm 1   ; ÷ 10 Tìm tất giá trị thực tham số phân biệt A m ∈ ( 1; 2] m ∈ [ 1; ) B C m để phương trình m ∈ ( 1; ) D f ( x) − m = m ∈ [ 1; 2] Dạng 2: Cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số tốn liên quan đến phương trình Cách giải: f ( u ( x) ) = m y = f ( x) - Bước 2: Từ bảng biến thiên hàm số xác định nghiệm t phương trình - Bước 3: Với nghiệm t ( m y = f '( x) y = f ( x) y = f '( x) y = f ( x) Giải , ta suy bảng biến , ta tìm số nghiệm miền f ( t ) = m vừa xác định ta suy số nghiệm Ví dụ Cho đồ thị hàm số y = f ′( x) - Bước 1: Từ đồ thị bảng biến thiên hàm số thiên hàm số có nghiệm x tương ứng ¡ xác định có đạo hàm có đồ thị hình vẽ Số nghiệm nhiều phương trình Hàm số f ( x2 ) = m tham số thực) là? A Lời giải Bước Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) B y = f ′( x) C D ta có bảng biến thiên đồ thị hàm số sau: 12 f ( x) = m Bước Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình dương ( ) f x2 = m Bước Từ suy phương trình Ví dụ Cho hàm số y = f ′( x) A ( 3;0 ) có tối đa y = f ( x ) = ax + bx3 + cx + dx + e f ( −x + 2x + m) = e nghiệm ( a, b, c, d , e ∈ ¡ ) với có đồ thị hình vẽ, đạt cực trị điểm Có giá trị nguyên m có tối đa hai nghiệm O ( 0;0 ) Biết hàm số cắt trục hoành [ −5;5] để phương trình có bốn nghiệm phân biệt y O A Lời giải: Quan sát đồ thị đổi dấu qua B f '( x ) x=3 x C D hình vẽ Ta thấy hàm bậc qua x=0 không đổi dấu lần Nên suy f ' ( x ) = k x ( x − 3) ( k < ) lim f ( x ) = −∞ f ' ( ) = ⇒ −4k = ⇔ k = Do (vì x →+∞ nên −1 → f ' ( x ) = − x3 + x 4 k ⇒ ⇔ m > ∆ = + m − >  m∈¢ ⇒ m ∈ { 4;5}  m ∈ [ −5;5] m Mà Vậy có giá trị ngun thoả mãn tốn Nhận xét: Dạng dạng toán thú vị khó nhiều học sinh; học sinh cần phải có tư hàm tốt rèn luyện nhiều giải toán Sau số tập tương tự Bài Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số Tìm điều kiện m đề phương trình f ( x) = m y = f ′( x) có nghiệm hình vẽ bên x ∈ [ −2;6] ? 14 −2 A f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( ) Bài Cho hàm số Phương trình A B f ( −2 ) ≤ m ≤ f ( ) y = f ( x ) Hàm số f ( x) − cos π x − 2m = 1 f ( ) ≤ m ≤ f ( 3) 2 f ( 5) ≤ m ≤ f ( ) C y = f ′( x) D f ( 0) ≤ m ≤ f ( 2) có bảng biến thiên sau: có nghiệm xo ∈ (2;3) B 1 f ( 3) < m < f ( ) 2 15 C Bài Cho 1 f ( ) < m < f ( 3) 2 f ( x) Biết phương trình a+b D hàm số đa thức bậc 5, có xứng qua đường thẳng Khi x =1 f ( 1) = 1 f ( 3) ≤ m ≤ f ( ) 2 đồ thị hàm số y = f ′( x) đối hình f ( x + 1) = m có nghiệm x ∈[ −1;1] m ∈[ a; b ] − A 5 B C D Dạng 3: Cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số toán liên quan đến phương trình Cách giải: f ( u ( x) ) = m; f ( u ( x ) ) = m - Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số g = u( x) trị hàm số g = u ( x) y = f ( x ) ; y = f ( x) - Bước 3: Từ đồ thị hàm số phương trình y = f ( x ) ; y = f ( x) f ( u ( x ) ) = m; f ( u ( x) ) = m Giải Từ xác định miền giá - Bước 2: Từ đồ thị bảng biến thiên hàm số thị hàm số y = f ( x) y = f ( x) , ta suy đồ , ta suy số nghiệm 16 Ví dụ Cho hàm số m để phương trình y = f ( x) f ( x) =m Ta có đồ thị hàm số B C D y= f ( x) Dựa vào đồ thị, phương trình m = m =  có hai nghiệm dương phân biệt A Lời giải có đồ thị sau Hỏi có giá trị nguyên f ( x) =m có hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ Cho hàm hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ 17 m Có giá trị nguyên tham số để phương trình nghiệm phân biệt A 12 B 198 C Lời giải Đặt Do t = x2 + t ≥1 , điều kiện t ≥1 , từ phương trình trở thành nên ta xét bảng biến thiên hàm y = f ( t) Bảng biến thiên hàm số f ( x + 1) = m y = f ( t) [ 1; +∞ ) D f ( t) = m t ≥1 [ 1; +∞ ) , 190 có sau: 18 Cứ nghiệm có t >1 x cho hai nghiệm , để phương trình f ( t) = m nghiệm phân biệt phương trình y = f ( t) biến thiên hàm nên cần có m ∈ { 4;5;6;7;8;9} Vậy có ta có điều kiện Ví dụ Cho hàm số m < m < 10 t >1 , mặt khác Dựa bảng m nguyên thỏa mãn toán y = f ( x) liên tục Có giá trị nguyên tham số 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn nghiệm giá trị nguyên A f ( x + 1) = m B Lời giải Ta có bảng biến thiên hàm số ¡ m có đồ thị hình vẽ để phương trình [ −π ; 2π ] m f ( sin x ) = f  ÷ 2 có ? y = g ( x ) = sin x C đoạn D [ −π ; 2π ] 19 Phương trình m f ( sin x ) = f  ÷ 2 phương trình Dựa vào đồ thị hàm số phân biệt t ∈ ( 0; ) m f ( t) = f  ÷ 2 y = f ( x) m ∈ { 1; 2} m có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn có nghiệm phân biệt suy phương trình t ∈ ( 0; ) m f ( t) = f  ÷ 2 [ −π ; 2π ] có nghiệm m  0<