Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giải bài toán về tiệm cận của đồ thị hàm số nhằm rèn luyện và phát triển tư duy

MỤC LỤC MỞ ĐẦU….….………………………………………………… …… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… …….2 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….……….3 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ………………… …3 2.1 Cơ sở luận lí 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….………………… ……….…………… 19 3.1 Kết luận……………………………………………………………… 19 3.2 Kiến nghị………………………………………………………………19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nền giáo dục Việt Nam tập trung đổi mới, hướng tới giáo dục tiến bộ, đại ngang tầm với nước khu vực giới Một nội dung đổi thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia Đối với mơn Tốn, từ năm 2017 thay hình thức thi tự luận tiến hành lâu hình thức thi trắc nghiệm Hình thức thầy trị, nước phát triển giới áp dụng lâu Cùng với thay đổi hình thức thi đề thi có thay đổi hình thức nội dung Trong đề thi khơng cịn nhiều câu hỏi hóc búa, địi hỏi phải suy luận tính tốn dài dịng, bên cạnh lại xuất cách hỏi khơng q khó yêu cầu học sinh học phải hiểu đầy đủ cặn kẽ vấn đề Các toán tiệm cận đồ thị hàm số chủ đề quan trọng chương trình tốn giải tích lớp 12, đồng thời nội dung kì thi tốt nghiệp THPTQG Ngồi tốn mức độ nhận biết thông hiểu ta thường gặp toán kết hợp nhiều kiến thức kỹ phức tạp Thực tế lâu học sinh thường gặp toán hỏi tiệm cận đồ thị hàm số chứa tham số phức tạp nên gặp toán dạng học sinh thường có tâm lí e ngại, bối rối khơng biết dùng phương pháp để giải Xuất phát từ thực tế đó, tơi lựa chọn đề tài : “ Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giải toán tiệm cận đồ thị hàm số nhằm rèn luyện phát triển tư duy” Để giúp học sinh khơng cịn bị lúng túng gặp câu hỏi vậy, dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải toán Đồng thời tạo hứng thú, phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn tốn mơn học khác 1.2 Mục đích nghiên cứu Đưa số dạng tập phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ giải toán, phát triển tư sáng tạo Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 - Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp giải toán số nghiệm phương trình liên quan đến hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng trường trung học phổ thông, mạng internet, - Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt học học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán qua kiểm tra, tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp 1.5 Những điểm sáng kiến - Phân loại dạng tập tiệm cận đồ thị hàm số - Đưa số tập để học sinh tự luyện NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận - Định nghĩa ý nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Các tính chất hàm số, kiến thức đồ thị, bảng biến thiên, phương trình lượng giác [1] 2.2 Thực trạng vấn đề Học sinh vốn quen thuộc với tập cho hàm số tường minh, tương ứng với dạng tập có phương pháp giải rõ ràng, số em cịn sử dụng hỗ trợ máy tính Casio Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi xuất dạng tập hỏi tiệm cận có chứa tham số, cho bảng biến thiên đồ thị Khi gặp tập đa số học sinh thường lúng túng trình tìm lời giải, em khơng biết phải xử lý hay phải sử dụng phương pháp giải cho phù hợp, học sinh giỏi gặp phải vấn đề 2.3 Các giải pháp thực Để khắc phục khó khăn mà học sinh thường gặp phải, thực số giải pháp sau: - Bổ sung, hệ thống kiến thức - Đưa hệ thống ví dụ tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng Giúp cho em làm quen dần với dạng tập Dần hình thành kỹ giải tốn tính xác linh hoạt q trình giải tốn - Đổi việc kiểm tra, đánh giá Ra đề kiểm tra với mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra lực học sinh có kế hoạch điều chỉnh 2.3.1 Các toán thường gặp Dạng Cho biết biểu thức hàm số 3x − − x + x2 + 2x − C x = −1 x = D x = Ví dụ 1: [3] Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = x = −3 B x = −3 Hướng dẫn: Để tìm tiệm cận đứng ta xét mẫu ta x = 1, x = −3 Sau tính giới hạn ta thấy x = không tiệm cận đứng Sai lầm: Học sinh thường lấy x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số Lời giải Hàm số có tập xác định D = (−3; +∞) \{1}  x =1  x = −3 Ta có x + x − = ⇔  Xét lim y = lim x −2 − x + = +∞ nên x = −3 tiệm cận đứng x →−3+ x →−3+ x + 2x − ( 3x − 1) − ( x + 3) 3x − − x + y = lim = lim Xét lim x →1 x →1 x →1 x + 2x − ( x − 1) ( x + 3) 3x − + x + ( ( x − 1) ( x + ) x →1 ( x − 1) ( x + 3) ( 3x − + = lim x +3 ) = lim x →1 ( 9x + 2) ( x + 3) ( 3x − + x+3 ) ) = 11 Nên x = không tiệm cận đứng Đáp án B Ví dụ 2: [3] Đồ thị hàm số y = A x +1 có tiệm cận? x- B C D Lời giải Xét hàm số: y = x +1 có đồ thị (C), TXĐ: D = R \ { 1} x −1 y = lim y = ⇒ tiệm cận ngang y = Ta có: xlim →+∞ x →−∞ lim y = +∞ ⇒ tiệm cận đứng x = x →1+ Vì hàm số y = x +1 hàm số chẵn nên đồ thị hàm số suy từ đồ thị x −1 ( C ) cách giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung, lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nằm bên phải trục tung Do đó, hàm số y = x +1 có đường tiệm cận x −1 x = 1, x = −1; y = Đáp án A Ví dụ [3] Tập hợp giá trị thực m để đồ thị hàm số y= x −1 ( mx − x + 1) ( x2 + 4mx + 1) có đường tiệm cận A { 0} B ( −∞; −1) ∪ { 0} ∪ ( 1; +∞ ) C ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) D ∅ Hướng dẫn: Bài toán hỏi tiệm cận chung bao gồm đứng ngang Vì ta xét số tiệm cận ngang trước Do mẫu hệ số x m nên ta cần xét m = trước Sau xét số tiệm cận ngang, nhận thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cận ngang Nên để đồ thị hàm số có tiệm cận khơng có tiệm cận đứng.Tử có nghiệm, mẫu biểu thức bậc 4, đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng mẫu vô nghiệm Lời giải + Với m = , hàm số có dạng: y = −1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 4x2 + y = + Với m ≠ − x −1 x2 x4 lim y = lim = lim = x →±∞ x →±∞ mx − x + x + 4mx + 4m  ( )( ) x→±∞  m − +  + ÷ ÷ + x x  x x2   Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 − m < m > ⇔ ( Không tồn m)  m − <  −1 < m < Để thị hàm số có tiệm cận  Vậy m = đồ thị hàm số có tiệm cận x2 + x − m y = Ví dụ [3] Tìm đề đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x2 − x + m A m < m ≠ −8 B m > m ≠ −8 C m ≠ m ≠ −8 D m > Hướng dẫn: Mẫu tam thức bậc hai, để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng điều kiện mẫu phải có hai nghiệm phân biệt Tuy nhiên tử có hai nghiệm x = 1, x = −2 Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng mẫu có hai nghiệm phân biệt khác 1; − Lời giải Yêu cầu toán ⇔ x − x + m = có nghiệm phân biệt khác nghiệm x2 + x − = 1 − m > m <  ⇔ 1 − + m ≠ ⇔   m ≠ −8 4 + + m ≠  x2 + a Ví dụ [3] Tìm tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y = có x + ax đường tiệm cận A a > B a ≠ 0, a ≠ ±1 C a < 0, a ≠ −1 D a ≠ 0, a ≠ −1 Hướng dẫn: Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = , để đồ thị hàm số có ba tiệm cận đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng Dễ thấy mẫu có hai nghiệm x = ( nghiệm bội 2) x = −a Như điều kiện −a ≠ , nhiên cần tìm điều kiện để 0, − a khơng nghiệm tử Lời giải Hàm số có tập xác định D = ¡ \ { 0, − a} x2 + a = nên y = tiệm cận ngang Ta có lim y = lim x → ±∞ x → ±∞ x + ax a ≠ x2 + a − a + a ≠ ⇒ ( ) a ≠ có hai tiệm cận đứng  x + ax  a ≠ −1 Để hàm số y = Ví dụ 6: [3] Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y= ( m − 1) x + có đường tiệm cận ngang x2 − x + A ∀m ∈ ¡ C m = B m = D Khơng có giá trị m thỏa mãn Hướng dẫn: Bài toán hỏi tiệm cận ngang, nên ta tính giới hạn x → +∞ , x → −∞ Ta có đồ thị hàm số có hai tiệm cận y = m − 1, y = −(m − 1) Nên để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng m − = −(m − 1) Lời giải m − = ⇔ m = Ta có y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho m − >  m − < ⇒ y = ± (m − 1) tiệm cận ngang đồ thị hàm số  Vậy m = mx + 3mx +1 Ví dụ 7: [3] Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số y = có ba x +2 tiệm cận A m ³ B m £ C < m £ D < m < Hướng dẫn: Nhận thấy đồ thị hàm số cho có tối đa tiệm cận ngang, tiệm cận đứng Như để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang tiệm cận đứng Nếu m < mx + 3mx + ≥ ⇔ x ∈ [a; b] nên đồ thị hàm số tiệm cận ngang Nếu m = y = , đồ thị hàm số có tiệm cận x+2 Nếu m > đồ thị hàm số chắn có tiệm cận ngang, ta biện luận để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Lời giải Ta có lim y = lim x →+∞ x →+∞ mx + 3mx + = lim x →+∞ x+2 3m + x x2 = m 1+ x m+ 3m + mx + 3mx + x x =− m lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ x+2 1+ x Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang m > − m+ Khi x = −2 ⇒ mx + 3mx + = − 2m 1 Với m = ⇒ − 2m = 0, ta phải thử với trường hợp m = 2 Với m < ⇒ − 2m > đồ thị hàm số có tiệm đứng x = −2 m= ⇒ y= 1 x + x +1 2 = x+2 ( x + 1) ( x + ) x+2 Lúc ta xét giới hạn x → −2− ⇒ lim− y = lim− x →−2 x →−2  ( x + 1)( x + 2) x +1  = lim−  − ÷ = −∞ x+2 x+2 ÷ x→−2   Từ với m = đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −2 Do đồ thị hàm số có ba tiện cận ⇔ < m ≤ x − x2 + Ví dụ 8: [3] Tìm tất giá trị tham số a để đồ thị hàm số y = có ax + tiệm cận ngang A a > B a = a = C a ≤ D a ≥ Hướng dẫn: Điều kiện biểu thức ax + > Tương tự tham số trước ta xét trường hợp a Lời giải Điều kiện: ax + > + TH1: a = Ta có: y = lim y = lim x →+∞ x →+∞ ( ( ) x − x2 + ) 1 −1 x − x + = lim = nên có TCN: y = x →+∞ 2 x + x2 + + TH2: a > Suy ra: ax + > với x ∈ ¡ Do đó: TXĐ: D = ¡ Ta có: y = x − x2 + ax + y = const nên có TCN có bậc tử ≤ bậc mẫu nên lim x →∞ + TH3: a < Suy ra: − − 2 0, ab = 4) thay vào hàm số thõa mãn nên a =1 bc Th2: x + bx + = ax + x − = có nghiệm chung Thay a ; 2; bc ta thấy không thõa mãn Ví dụ 11: [3] Tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x + mx − x + + có tiệm cận ngang A m = B m = C m = D m = −4 Hướng dẫn: Xét biểu thức dấu f ( x) = mx − x + ≥ Nếu m < , tập xác định hàm số [a; b] nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Loại phương án D Nếu m = , tập xác định hàm số D = ( −∞;1)  1 1 lim y = lim x + − x + = lim x  − − + ÷ = −∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x x÷   ( ) Nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Loại phương án C y = lim y = +∞ , Nếu m > ta thử với hai giá trị m = 4, m = Ta thấy m = xlim →−∞ x →+∞ nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Chỉ có m = thoả mãn Lời giải ĐKXĐ: mx − x + ≥ Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang điều kiện cần m ≥ , Loại phương án B +) Xét phương án C: với m = tập xác định hàm số D = ( −∞;1) (  ) y = lim x + − x + = lim x  − Mà xlim →−∞ x →−∞ x →−∞  1 1 − + ÷ = −∞ nên đồ thị hàm số khơng x2 x x ÷  có tiệm cận ngang trường hợp +) Ta xét phương án A (xét hàm số m = ) ( )  1 1 lim y = lim x + x − x + + = lim x  + − + + ÷ ÷ = +∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x x     1 −  ÷   x −1 x lim y = lim x + x − x + + = lim  + ÷= lim  +1÷= x →−∞ x →−∞ x →−∞ ÷  x − x − x +  x→−∞  + − +  ÷ x x   ( ) Trường hợp này, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Vậy m = thoả mãn YCBT Ví dụ 12: [3] Với giá trị m , đồ thị hàm số y = x + − x2 + 3x có hai x + ( m + 1) x − m − đường tiệm cận?  m ≥  B   m ≤ −2  m ≠ −3  A m ∈ ¡  m ≤ −2  m ≠ −3 m ≥ C  D   m ≤ −2 Hướng dẫn: Trước hết ta tìm điều kiện biểu thức Mẫu chứa m thấy mẫu có hai nghiệm x = 1, x = − m − Đồng thời tử có nghiệm x = , nên trước hết ta tiến hành nhân liên hợp, sau rút gọn nhân tử x − Đưa hàm số dạng y= −1 ( x + m + 2) ( x + + x + 3x ) Nhận thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = Lời giải   x ≤ −3   x ≥ x + − x + 3x  y= Hàm số xác định khi:  x ≠ x + ( m + 1) x − m −  x ≠ −m −   Ta có y= x + − x + 3x −x +1 −1 = = x + ( m + 1) x − m − ( x − 1) ( x + m + ) x + + x + 3x ( x + m + ) x + + x + 3x ) ( ( ) lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang x →±∞  − m − ≤ −3  m ≥ ⇔  −m − ≥  m ≤ −2 Hàm số có hai tiệm cận có tiệm cận đứng ⇔  Dạng Cho biết đồ thị hàm số biết bảng biến thiên Ví dụ 13: [3] Cho hàm bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số (x y= + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  A có đường tiệm cận đứng? B C D Hướng dẫn: Ta thấy hàm số chứa căn, nên trước hết ta tìm điều kiện biểu thức căn, sau ta giải lấy nghiệm mẫu, so sánh với nghiệm tử Nếu nghiệm x0 10 mẫu khơng làm cho có nghĩa loại ln, nghiệm x0 làm cho có nghĩa, khác nghiệm tử x = x0 tiệm cận đứng, x0 trùng với nghiệm tử cần tính giới hạn để kiểm tra x = x0 tiệm cận đứng hay tiệm cận đứng Lờigiải (x y= + x + 3) x + x x  f ( x ) − f ( x )  = ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) Điều kiện tồn x f ( x )  f ( x ) − 2 x ≥ x + x :  x ≤ −1  x =  Xét phương trình x  f ( x ) − f ( x )  = ⇔  f ( x ) = f x =2  ( ) Với x = ta có lim x →0 + ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x f ( x )  f ( x ) − 2 = lim+ x →0 ( x + 1) ( x + 3) x + = +∞ Suy x f ( x )  f ( x ) −  x=0 tiệm cận đứng Với f ( x ) = ⇒ x = −3 (nghiệm bội 2) x = a (loại −1 < a < ) Ta có: lim x →−3+ ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x f ( x )  f ( x ) −  = −∞ nên x = −3 tiệm cận đứng  x = −1  Với f ( x ) = ⇒  x = b ( −3 < b < −1) (nghiệm bội 1) Ta có:  x = c c < −3 ( )   ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1)  lim+ =0  x→−1 x f ( x )  f ( x ) −  ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) nên x = −1 không tiệm lim =0  x → b+ x f ( x )  f ( x ) −   ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) =0  xlim →−1− x f x  f x −  ( ) ( )    cận đứng ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) x →b x f ( x )  f ( x ) −  ( x + 1) ( x + 3) x ( x + 1) lim x →c x f ( x )  f ( x ) −  lim+ + + = +∞ (do x → b + f ( x ) → ) nên x = b tiệm cận đứng − = +∞ (do x → c + f ( x ) → ) nên x = c tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 11 Ví dụ 14: [3] Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ bên ( x − 3x + ) x + g ( x) = ( x − 5x + 4) f ( x ) Hỏi đồ thị hàm số A có đường tiệm cận đứng? B C D Hướng dẫn: Bước 1: Ta tìm điều kiện biểu thức Bước 2: Ta nhận thấy mẫu có nghiệm giống với nghiệm tử Để tránh sai sót ta tiến hành phân tích rút gọn ln g ( x) = 2x +1 (x + 1)(x + 2) f ( x ) Khi giải nghiệm mẫu ta nghiệm −2; − 1; x0 ; ( < x0 < 1) , ta cần lưu ý hai nghiệm −2; − khơng làm cho có nghĩa Lời giải Quan sát đồ thị hàm số f ( x ) ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x0 ∈ ( 0;1) , có hệ số a > tiếp xúc với trục hồnh điểm có hồnh độ Từ suy f ( x ) = a ( x − x0 ) ( x − ) ( x − 3x + ) x + = (x g ( x) = ( x − 5x + 4) f ( x ) ( x − 5x Suy 4 2 − 3x + ) x + + ) a ( x − x0 ) ( x − ) xác định 2x +1   D =  − ; +∞ ÷\ { x0 ,1, 2} g ( x ) = a ( x + 1) ( x + ) ( x − ) ( x − x0 )   g ( x ) = ±∞, lim g ( x ) = ±∞ lim g ( x ) hữu hạn nên hàm số có tiệm cận Ta có x →lim x →1 x x →2 +/− +/ − đứng x = x0 x = 12 Ví dụ 15: [3] Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a , b , c , d ∈ ¡ ) có đồ thị hình vẽ sau đây: Đồ thị hàm số g ( x ) = x ( x − 2) f ( x) − f ( x) A có đường tiệm cận đứng? B C.3 D Hướng dẫn: Bước 1: Ta tìm điều kiện biểu thức Bước 2: Ta giải mẫu, toán mẫu có nghiệm x = trùng với nghiệm tử, nhiên tử nghiệm x = nghiệm đơn mẫu x = nghiệm bội hai nên đồ thị hàm số nhận x = tiệm cận đứng Lời giải  x ≥  f ( x ) − f ( x ) ≠ Điều kiện:   f ( x) = Xét phương trình: f ( x ) − f ( x ) = ⇔   f ( x ) =  x = −1 x = +) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x ) = ⇔  x = −1 không tiệm cận đứng đk x ≥ x = nghiệm kép tử số có nghiệm x = ⇒ x = đường tiệm cận đứng x = a <  +) Từ đồ thị ⇒ phương trình f ( x ) = ⇔  x =  x = b (b > 2) x = a không tiệm cận đứng (vì x ≥ ) 13 x = 1, x = b hai đường tiệm cận đứng Vậy tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) Ví dụ 16: [3] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: Tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cân ngang đồ thị hàm số y= 2019 2020 f ( x ) + 2021 A B C D Hướng dẫn: Hàm số hàm phân thức có tử số, nên số tiệm cận đứng số nghiệm mẫu Dựa vào bảng biến thiên ta có mẫu có nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Để tìm tiệm cận ngang, ta tính theo định nghĩa kết hợp với bảng biến thiên Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 2020 f ( x ) + 2021 = ⇔ f ( x ) = − 2021 có 2020 nghiệm x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1 ∈ ( −∞ ; − ) , x2 ∈ ( −2;0 ) , x3 ∈ ( 0;1) Suy đồ thị hàm 2019 số y = 2020 f x + 2021 có đường tiệm cận đứng x = x1 ; x = x2 ; x = x3 ( ) 2019 2019 2019 y = lim = y= Vì xlim nên tiệm cận ngang đồ thị →+∞ x →+∞ 2020 f ( x ) + 2021 2021 2021 2019 hàm số y = 2020 f x + 2021 ( ) 2019 y = lim = nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số Vì xlim →−∞ x →−∞ 2020 f ( x ) + 2021 y= 2019 2020 f ( x ) + 2021 2019 2019 Do đồ thị hàm số y = 2020 f x + 2021 có đường tiệm cận ngang y = ( ) 2021 y = 14 Vậy tổng số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y= 2019 2020 f ( x ) + 2021 Ví dụ 17: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức bậc bốn có bảng biến thiên sau: Tổng số đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = − f ( x)  f ( x )  − A.6 B C D Hướng dẫn: Hàm số hàm phân thức, có chứa nên trước hết ta xét điều kiện biểu thức f ( x) ≤ ⇔ x ∈ [a; b] Do x không tiến tới −∞; +∞ nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Khi xét mẫu ta có  f ( x) = <  2  f ( x )  − = ⇔   f ( x) = − <  Nên nghiệm mẫu thoả mãn điều kiện biểu thức Số tiệm cận đứng số nghiệm mẫu Lời giải Đặt g ( x ) = − f ( x)  f ( x )  − + Xét tử số − f ( x ) Điều kiện xác định − f ( x ) ≥ ⇔ f ( x ) ≤ Dựa vào bảng biến thiên tập nghiệm bất phương trình đoạn [ a; b ] với a < m1 , b > m2 15 Do tập xác định g ( x ) tập [ a; b ] nên ĐTHS y = g ( x ) tiệm cận ngang  f ( x) =  2 + Xét phương trình  f ( x )  − = ⇔   f ( x) = −  ( 1) ( 2) Dựa vào bảng biến thiên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 phương trình (2) ln có nghiệm phân biệt x5 , x6 Các nghiệm thu đôi khác nhau, thuộc khoảng [ a; b ] , đồng thời nghiệm tử nên giới hạn g ( x ) x → xi , i = 1, vơ cực Do đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) có tất đường tiệm cận Ví dụ 18 Cho hàm số y = f ( x) xác định ¡ , có bảng biến thiên hình vẽ Với giá trị m đồ thị hàm số y = có tổng số đường tiệm cận ngang f ( x) − m tiệm cận đứng Chọn đáp án A < m < B m = C < m ≤ D ≤ m ≤ Hướng dẫn: Dựa vào biểu thức hàm số ta thấy cần xét hai trường hợp m = m ≠ Lời giải Với m = ⇒ y = Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị khơng có tiệm cận ngang f ( x) đứng y=− Ta có với m ≠ xlim →+∞ cận ngang y = − 1 ; lim y = − Suy đồ thị hàm số có đường tiệm m x →−∞ m m Vậy để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng 16 Khi phương trình f ( x) − m = có hai nghiệm phân biệt m >   m > Xét phương trình f ( x) − m = ⇔   f ( x) = m ⇔   f ( x) = m    f ( x) = − m (Vì từ BBT suy f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ nên phương trình f ( x ) = − m vô nghiệm) Từ BBT để phương trình f ( x) = m có hai nghiệm phân biệt < m < ⇔ < m < 2.3.2 Bài tập áp dụng Câu Có giá trị nguyên m thuộc đoạn [ −100;100] để đồ thị hàm số y= ( x − m) 2x − x2 có hai đường tiệm cận? A 200 Câu B C 199 D Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có hai điểm cực trị x = −1 ; x = Biết f ( −1) f ( ) < , hỏi đồ thị hàm số y = x +1 f ( x) có nhiều đường tiệm cận? A.1 Câu B.3 C.4 D.2 Cho hàm số y = f ( x ) với f ( x ) hàm đa thức, có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = x có hai f ( x) đường tiệm cận đứng A Câu B.vơ số C Tìm tập hợp tất giá trị m để đồ thị hàm số y = D − 2x − 3mx có hai tiệm cận ngang A R \ { 0} B ( 0; +∞ ) C ( −∞;0 ) D ∅ 17 Câu Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y= x −1 có hai đường tiệm cận Tổng tất phần tử x + 2mx − m + 2 tập S bằng: A − Câu B − Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y= x+2 x − x + 2m có hai đường tiệm cận đứng Số phần tử tập S A Vô số Câu D −1 C −5 B 12 C 14 D 13 Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số y = x +1 mx + có hai tiệm cận ngang A m ∈ φ Câu B m < D m > Có giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y= 1+ − x x − mx + m − có hai đường tiệm cận đứng? A Câu C m = B Cho hàm số y = f ( x ) = C D x−m −3 có đồ thị ( C ) Gọi S tập chứa tất x − 4x + giá trị nguyên m ∈ [ −30;30] để đồ thị ( C ) có tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang Số phần tử tập S A Câu 10 Cho hàm số y = C B 20 + x − x x − x + 2m D Tìm tất giá trị m cho đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng A m ∈ [ 6;8 ) B m ∈ ( 6;8 ) C m ∈ [ 12;16 ) mx − Câu 11 Có giá trị m để đồ thị hàm số y = x − 3x + D m ∈ ( 0;16 ) có hai đường tiệm cận? A B C D 18 x−3 Câu 12 Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2m + x − m Có giá trị nguyên ( ) tham số m thuộc đoạn [ −2020; 2020] để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A 4039 B 4040 C 4038 Câu 13 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = D.4037 x ( x − m) − x có ba đường tiệm cận A m ∈ ¡ m≠0  −2 < m <  B −2 ≤ m ≤ C −2 < m < D  Câu 14 Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) có đồ thị hình Gọi S tập giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2019; 2020 ) để đồ thị hàm số g ( x ) = ( x + 1) ( f ( x ) − 2) ( x f ( x) − 2mx + m + ) có đường tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Số phần tử tập S A 2016 B 4034 C 4036 D 2017 Câu 15 Cho hàm số bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = (x − 2x ) − x ( x − 3)  f ( x ) + f ( x )  A B có đường tiệm cận đứng? C D 2.4 Hiệu sáng kiến 19 Năm học 2020-2021 giao nhiệm vụ hỗ trợ giảng dạy mơn Tốn lớp: 12B1, 12B2 Đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải toán Tuy nhiên gặp toán hỏi số nghiệm hàm ẩn em lung túng giải Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, tơi thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tịi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Lớp Điểm yếu Điểm TB Điểm Điểm giỏi Số % Số % Số % Số % 12B1 0 19,5 11 26,8 22 53,7 12B2 0 13 25 54 15 33 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khơng cịn tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt 3.2 Kiến nghị Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều cho giáo viên việc tiếp xúc với loại sách tham khảo có chất lượng thị trường, đồng thời cần có tủ sách lưu lại sáng kiến kinh nghiệm giáo viên xếp loại, chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo Các quan quản lý giáo dục tỉnh cần phát triển rộng rãi sáng kiến kinh nghiệm giáo viên, đặc biệt sáng kiến xếp loại để đồng nghiệp tham khảo, học hỏi Qua nâng cao hiệu sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng vào thực tế nhà trường Mặc dù có nhiều cố gắng song tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! 20 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Mai Văn Ngọc TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất giáo dục năm 2008 Đề thi minh họa mơn Tốn năm 2017, 2018, 2019, 2020 Bộ Giáo Dục Đào Tạo Đề thi thử THPTQG mơn tốn Sở Giáo Dục, trường THPT nước 4.Tuyển chọn ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất giáo dục, năm 2001 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Văn Ngọc Chức vụ đơn vị cơng tác: TTCM - Trường THPT Hồng Lệ Kha TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại 22 huyện/tỉnh; Tỉnh ) Tỉnh (A, B, C) C 2012-2013 Tỉnh B 2013-2014 không gian Hướng học sinh giải toán cực trị Tỉnh B 2014-2015 biểu thức nhiều biến số Một số kỹ thuật đặc biệt giải hệ Tỉnh B 2015-2016 phương trình Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải Tỉnh B 2017-2018 số tích phân đặc biệt Rèn luyện số kỹ giải Tỉnh C 2018-2019 Tỉnh B 2019-2020 Hướng dẫn học sinh giải số toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số Hướng dẫn học sinh giải số toán cực trị liên quan đến tọa độ phương trình mũ phương trình logarit chứa tham số ôn thi THPT Quốc Gia Hướng dẫn học sinh giải số toán vận dụng phương trình liên quan đến hàm số nhằm rèn luyện phát triển tư 23 ... phương pháp để giải Xuất phát từ thực tế đó, tơi lựa chọn đề tài : “ Một số giải pháp hướng dẫn học sinh giải toán tiệm cận đồ thị hàm số nhằm rèn luyện phát triển tư duy? ?? Để giúp học sinh khơng... b] nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Nếu m = y = , đồ thị hàm số có tiệm cận x+2 Nếu m > đồ thị hàm số chắn có tiệm cận ngang, ta biện luận để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Lời giải Ta... C < m £ D < m < Hướng dẫn: Nhận thấy đồ thị hàm số cho có tối đa tiệm cận ngang, tiệm cận đứng Như để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang tiệm cận đứng Nếu m < mx