Rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Do đó khi dạy đường tiệm cận, ngoài việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh giáo viên còn phải tìm được cách giải nhanh, tổng quát hóa bài toán để giúp học sinh phát triển khả

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY NHANH

CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN ĐƯỜNG TIỆM CẬN

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3.3 Hướng dẫn giải nhanh các bài tập trắc nghiệm có liên quan

Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông Đường tiệm cận đượcđưa vào chương 1 sách Giải tích lớp 12 Đây thật sự là phần rất phù hợp để radưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia cũng như thi họcsinh giỏi hiện nay Hơn nữa bài tập về đường tiệm cận có thể sử dụng ở cả 4mức độ đánh giá: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, từ đó nội dungnày mang tính phân loại học sinh rất tốt Để giải toán không đòi hỏi nhiều kiếnthức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo Dạy Toán là dạy kiến

thức, tư duy, tính cách [Nguyễn Cảnh Toàn] Do đó khi dạy đường tiệm cận,

ngoài việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh giáo viên còn phải tìm

được cách giải nhanh, tổng quát hóa bài toán để giúp học sinh phát triển khảnăng tư duy nhanh để vận dụng một cách linh hoạt nhất trong việc học toán,cũng như trong cuộc sống

Mặt khác rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán vềđường tiệm cận của đồ hàm số góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học

theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm" Theo đó thầy chỉ đóng vai trò là

người hướng dẫn để học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâuthuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán

Cùng với việc nghiên cứu các đề thi của Bộ giáo dục và đào tạo, kết hợpvới quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi nhận thấy bài toán về đường tiệm cậncủa đồ thị hàm số có liên quan tới giới hạn hàm số lớp 11, khiến nhiều học sinhgặp khó khăn Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các emmột số kiến thức, giúp các em vượt qua khó khăn, hướng dẫn để các em có thểgiải nhanh bài toán về đường tiệm cận nhằm mục đích phát triển khả năng tư duynhanh trong khi giải toán về đường tiện cận nói riêng và trong quá trình làm toán

trắc nghiệm nói chung Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện khả năng tư

duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số”.

Trong sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi chỉ đề cập đến hai loại tiệm cận đólà: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Hi vọng có được sự ủng

hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một công cụđích thực cho việc dạy và học đường tiệm cận

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Đối với giáo viên:

Trên cơ sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài đưa ra phương pháp giảinhanh cho một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số qua đó rènluyện cho học sinh khả năng tư duy nhanh khi giải toán

- Đối với học sinh:

- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bàitoán trắc nghiệm, tránh được sai lầm từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làmbài, nhằm đạt được kết quả cao nhất

-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng đểhọc sinh có thể giải gianh, giải chính xác đối với những bài toán có liên quanđến đường tiệm cận của đồ thị hàm số cũng như và các bài toán có trongchương trình phổ thông

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đường tiệm cận nói riêng đểlàm rõ nội hàm các khái niệm

- Kiến thức về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

- Kiến thức về cách tính giới hạn của hàm số

- Học sinh lớp 12B2 năm học 2019 – 2020; 12C2, 12C8 năm học 2018 – 2019trường THPT Vĩnh Lộc

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Về lí thuyết: Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó chủ yếulà:

+ Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận và đi sâu vào các vấn đề

về lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đường tiệm cận nói riêng nhằm lí giải rõkhái niệm, từng bài toán được đề cập đến trong đề tài

+ Phương pháp phân tích để tìm ra những nét nổi trội khi vận dụng cáchgiải nhanh nhằm giúp học sinh phát triển tư duy khi giải toán về đường tiệm cận

- Về thực tiễn:

+ Dự giờ đồng nghiệp dạy cùng khối 12 chương trình ban nâng cao

+ Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phầnĐường tiệm cận do bản thân trực tiếp đứng lớp ở trường Trung học phổ thôngVĩnh Lộc

+ Sử dụng phương pháp thống kê toán học trên cơ sở so sánh các giá trịthu được giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá hiệu quả của nhữngbiện pháp dạy học mà đề tài đưa ra

+ Trong quá trình giảng dạy giáo viên dự đoán, tổng hợp, phân theo từngdạng, phân tích chỉ rõ cách làm nhanh từ đó lựa chọn phương án giải phù hợpnhất Cuối cùng trình bày lại thông qua các ví dụ cụ thể

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

a) Định nghĩa:

+) x a là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y f x ( )

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

g x



 

thì 

Để tính được các dạng giới hạn này ta phải khử dạng vô định, có một số loạithường gặp và cách khử dạng vô định của chúng như sau:

 Nếu biểu thức dưới dấu giới hạn có dạng:

Chia tử và mẫu cho x với k k

x là lũy thừa có số mũ lớn nhất của tử và mẫu (hoặc

rút x làm nhân tử), sau đó áp dụng các định lý về giới hạn hữu hạn hoặc các k

quy tắc về giới hạn vô cực

Trong dạng này ta gặp 3 khả năng:

- Bậc f x  nhỏ hơn bậc g x  thì kết quả giới hạn bằng 0

- Bậc f x  lớn hơn bậc g x  thì kết quả giới hạn bằng 

- Bậc f x b ằng bậc g x thì kết quả giới hạn bằng tỉ số các hệ số của lũy thừa

cao nhất của tử và mẫu

Chú ý rằng nếu biểu thức chứa căn bậc n là căn bậc chẵn thì:

n n

n n

Việc rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán về đườngtiệm cận của đồ thị hàm số là rất cần thiết vì các lí do sau:

Thứ nhất, môn toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc

nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một toán bằng cách nhanh nhất có thể,

để tiết kiệm thời gian

Thứ hai, trong các đề thi tự luận trước đây bài toán về đường tiệm cận của đồ thị

hàm số chỉ xuất hiện thoáng qua và chủ yếu khai thác ở hàm số dạng

ax b y

cx d





nhưng hiện nay và xu hướng trong những năm tới bài toán tiệm cận đã đang đượckhai thác sâu hơn và ở nhiều loại hàm số phức tạp hơn Ngoài ra bài toán vềđường tiệm cận có liên quan tới một phần của giới hạn hàm số lớp 11, khiếnnhiều học sinh lúng túng

Trong bài viết này, thông qua cách nhận biết để giải nhanh các dạng toán

về đường tiệm cận của đồ thị hàm số để rèn luyện khả năng tư duy nhanh chohọc sinh trong học tập, tôi thấy kết quả đạt được tốt và phù hợp với các đốitượng là học sinh trường THPT Vĩnh Lộc

2.3 Cách giải quyết vấn đề: Cách giải nhanh bài toán đường tiệm cận của

đồ thị hàm số.

Giáo viên đưa ra cách giải nhanh cho một số dạng toán thường gặp dựatrên cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm thông qua phân tích chỉ ra cách làmnhanh và được minh họa bằng các ví dụ cụ thể Tiếp đó là hệ thống bài tập tựluận và cuối cùng thông qua bài tập trắc nghiệm để các em thực hành giải đề thiqua đó giúp học sinh nhận ra và vượt qua những “bẫy’’ của dạng toán trắcnghiệm về đường tiệm cận Từ đó rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy nhanhtrong giải toán cũng như các vấn đề gặp phải trong thực tế

+) Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang +) Kết luận

+ Sử dụng cách tìm nhanh tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm sốđược trình bày dưới đây

Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chương trình sách giáo khoagiải tích 12 cơ bản, các đề thi những năm qua tôi chia thành các dạng sau:

b Các dạng toán:

Dạng 1: Hàm đa thức y f x( ) không có tiệm cận

Ví dụ:[9] Hàm đa thức y3x3 2x 1 không có tiệm cận

Dạng 2:

 

 

P x y

( )(x)

k

l

P x y

x



Mẫu số 1 x 0 x đồng thời 1 x  là nghiệm của tử 1 3x2 2x 1 0 trong bài toán này x  không phải là tiệm cận đứng.1

a y b

Nếu m n hàm số có 1 tiệm cận ngang y 0.

2 2

Ví dụ 2:[9] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:  

cx d





luôn có 2 đường tiệm cận một tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang có

phương trình

d x c



,

a y c

(trong đó

V x



trong đó ( )U x ,V( ) x là hai biểu thức chứa

căn cùng bậc Ta có thể thực hiện tìm tiệm cận của đồ thị hàm số như sau:

Đối với tiệm cận đứng:

Khả năng 1:

- Nếu x0 chỉ là nghiệm của V x  thì x x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị

- Nếu x0 là nghiệm của V( )x và ( ) U x không xác định thì x x 0 không phải làtiệm cận đứng của đồ thị

1 11

x y

x

 



Kết luận ngay x  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số1

2 12

x y

x x



Dựa vào lí thuyết trên ta có kết luận: x = 2 là tiệm cận đứng, x = 0 không phải làtiệm cận đứng của đồ thị hàm số (Trong quá trình giảng dạy giáo viên có thểgiải thích tường tận: x = 2 chỉ là nghiệm của mẫu số, và thuộc tập xác định của

tử số; x = 0 là nghiệm của mẫu số nhưng tại x = 0 tử số không xác định)

Khả năng 2: Nếu x0 vừa là nghiệm của V( )x vừa là nghiệm của ( ) U x thì

chúng ta có 2 cách xử lí như sau:

( )(1)k( )

m

n

U x y





Nếu m n thì x x 0 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Nếu m n thì x x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+

) x  là nghiệm của tử số cũng là nghiệm của mẫu số nên trong trường hợp0

này ta tính nhanh giới hạn dạng

00

Tuy nhiên qua 2 ví dụ trên giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh dùng tính chất

(1) cho nhanh Ở đây chúng ta chỉ trình bày để qua đó học sinh thấy được cách

làm nhanh và sử dụng khi gặp dạng toán này.

Đối với tiệm cận ngang:

Khả năng1: Nếu hàm số không có tập xác định (TXĐ) chứa ví dụ TXĐdạng  ;b,b ; ,  ;  , hoặc bậc của tử số ( )U x lớn hơn bậc mẫu số

V( )x thì đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

x



 có TXĐ: D = 2;2 \  1 nên không cótiệm cận ngang

Ví dụ 2:[9] Hàm số

2

x x y

x



 có TXĐ: D = R\2 nhưng bậc của tử lớnhơn mẫu số nên cũng không có tiệm cận ngang

Khả năng 2: Nếu bậc của tử số U x( ) nhỏ hơn bậc mẫu số V( )x và hàm số có

tập xác định (TXĐ) dạng  ;b ,b ; ,  ; , thì đồ thị hàm số có tiệmcận ngang y 0

của x trên tử nhỏ hơn dưới mẫu, ta kết luận y 0là tiệm cận ngang

Khả năng 3: Nếu bậc của tử số ( ) U x bằng bậc mẫu số V( ) x và hàm số có tập

xác định (TXĐ) dạng  ;b hoặc a;thì đồ thị hàm số có 1 tiệm cận

ngang Cụ thể ta xem xét các ví dụ sau:

x x y

Chú ý 2: Khi TXĐ có dạng  ;b cần phải nhớ n x n  x,khix0

Ví dụ 6: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2

1

x x y

x



 ;1

D    , bậc của x trên tử bằng dưới mẫu (và bằng 1), ta kết luận đồ thị số

hàm số có 1 tiệm cận ngang y 1 Khi giảng dạy giáo viên cần giải thích rõ chohọc sinh và rèn luyện thêm cho các em ở bài tập trắc nghiệm

xác định (TXĐ) dạng   ;  hoặc TXĐ chứa  ;b và a; thì đồ thị

có 2 tiệm cận ngang nếu

x y b x y b

Như vậy trong trường hợp này

cần phải tính nhanh 2 giới hạn dạng

V x



trong đó ( )U x ,V( ) x là hai biểu thức chứa

căn không cùng bậc Ta có thể thực hiện tìm tiệm cận của đồ thị hàm số như sau:

Đối với tiệm cận đứng:

tiệm cận đứng của đồ thị (vì x 1 là nghiệm của mẫu và x  không là nghiệm1

 ta thấy x 1 vừa là nghiệm của

2 3

2 1

- Sau đó nhân liên hợp để đưa về dạng 3

Vậy hàm số có 1 tiệm cận ngang

12

y 

Dạng 5: Các hàm số y e x,y a x,ylnx,y loga x

Đối với các hàm số này học sinh cần lưu ý:

+) Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox và không có tiệm cận

- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

- Sử dụng cách nhận biết và tính nhanh tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

Đối với bài này: Có thể xảy ra các trường hợp sau

TH1: Mẫu số có 1 nghiệm khác 2, xảy ra khi

Phân tích: Học sinh thường dừng lại ở việc tìm m để hàm ở mẫu số có 1 nghiệm

mà quên đi phải tìm cho mẫu số có 1 nghiệm khác nghiệm trên tử và nếu mẫu số

có 2 nghiệm phân biệt và 1 nghiệm là nghiệm của tử vẫn thỏa mãn yêu cầu

Ví dụ 3:[3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

+) Nếu m  tập xác định của hàm số không chứa 0  ;b và a;nên

không có tiệm cận ngang

+) Nếu m 0 hàm số không xác định

+) Nếu m 0 theo cách làm đã trình bày (Dạng 3 - khả năng 4) suy ra hàm số có

2 tiệm cận Nếu trong bài toán cần chỉ rõ tiệm cận thì ta dễ dàng tính được

Phân tích chỉ ra được: Tập xác định có dạng m; và bậc của x trên tử nhỏ

hơn dưới mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang y 0

Do vậy ta phải tìm m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng hay mẫu số bằng 0 có

3 nghiệm phân biệt suy ra x2  2m1x2m x m 0

có 3nghiệm phânbiệt khi và chỉ khi phương trình x2  2m1x2m0 có 2 nghiệm phân biệt

lớn hơn m Điều này xảy ra khi :

2.3.2 Bài tập vận dụng dưới hình thức tự luận

Tiếp theo tôi đưa ra các bài tập tự luận tương ứng với các dạng bài đã

trình bày ở trên để học sinh củng cố lại cách giải nhanh bài toán tìm tiệm cậncủa đồ thị hàm số

Bài 1 Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các hàm số sau:

x y

x y x

x y x

x y x

 có đường tiệm cận ngang

Bài 4.[2] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

a) Không có tiệm cận f) x 3

m) x3,y 0b) x4,y1 g) y 1,y 1

n) y 0c) x2,y1 h) x3,y 0 p) x 1,y0

m m

Ví dụ 1:[5] Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1

x y x

khái niệm tiệm cận ngang ( y b ) và tiệm cận đứng (chọn C)

Ví dụ 2:[7] Đồ thị hàm số 2

24

x y x





 có bao nhiêu đường tiệm cận?

Đáp án : B (gồm 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang)

Phân tích : x  là nghiệm của mẫu số nhưng thay vào tử thì 2 x 2

khôngphải là nghiệm của tử, x 2 là nghiệm của tử nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cậnđứng x  ; bậc trên tử thấp hơn dưới mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận2

ngang y  Học sinh dễ ngộ nhận đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm0cận ngang nên chọn D

Ví dụ 3:[2] Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng?

x y

x







Đáp án: D

Phân tích: Học sinh nhanh chóng loại đáp A, B nhờ sử dụng cách nhận biết

nhanh ở trên, loại đáp án C do x =1 vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm củamẫu, thêm vào đó đối với đáp án D nhận thấy x =1, x = -1 là nghiệm của tửkhông là nghiệm của tử và tại đó tử số xác định

lưu ý: học sinh mắc phải là chọn C (do nhầm x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số và không bao quát đến đáp án D)

Ví dụ 4:[2] Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?

x y

x x y

lưu ý: học sinh có thể chọn B do không chú ý đến tập xác định của hàm số, nhận

thấy bậc của tử bằng bậc của mẫu nên kết luận nhanh hàm số có tiệm cận ngang

Ví dụ 5:[6] Đồ thị hàm số

1

x y x

Phân tích: Mẫu số vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, TXĐ

D R nên theo cách tính nhanh ta có hàm số có 2 tiệm cận ngang y 1,y 1Học sinh có thể nhầm mẫu có 2 nghiệm nên suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cậnđứng, bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang suy

ra chọn C; hoặc do bậc của tử bằng bậc của mẫu nên đồ thị hàm số 1 tiệm cận ngang, mẫu số vô nghiệm nên chọn A.

Phân tích: Nhận thấy x0,x1 là nghiệm của mẫu, ngoài ra khi thay x 0

vào tử kết quả khác 0 nên khẳng định x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số,

từ đó loại đáp án C, D Vì x 1 là nghiệm của mẫu số nhưng tử số không xácđịnh tại đó nên x 1 không phải là tiệm cận của đồ thị (C)

Học sinh có thể chọn C (do nhận thấy x0,x là nghiệm của mẫu và không1tiếp tục kiểm tra)

Phân tích : Nhận thấy x 0,x1 là nghiệm của mẫu, ngoài ra khi thay x 0

vào tử kết quả khác 0 nên khẳng định x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

từ đó loại đáp án C, D Vì x 1 vừa là nghiệm của tử vừa là nghiệm của mẫu sốnên ta phải tính nhanh giới hạn 1 2

tiệm cận đứng Học sinh có thể chọn A (vì nhận thấy x0,x là nghiệm của1mẫu và không kiểm tra đến bước sau)

Ví dụ 9:[3] Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y x2  1 3 x3  1 C ?