Rèn luyện khả năng tư duy nhanh cho học sinh qua bài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KHẢ NĂNG TƯ DUY NHANH CHO HỌC SINH QUA BÀI TOÁN ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Trần Thị Lan Anh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC THANH HỐ, NĂM 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Cách giải vấn đề 2.3.1 Một số dạng tốn thường gặp 2.3.1.1 Bài tập khơng chứa tham số 2.3.1.2 Bài tập chứa tham số 10 2.3.2 Bài tập hình thức tự luận 11 2.3.3 Hướng dẫn giải nhanh tập trắc nghiệm có liên quan đến tiệm cận 13 2.3.4 Hệ thống tập tự luyện 17 2.4 Kết thử nghiệm 19 2.4.1 Kết chung 19 2.4.2 Kết kiểm tra 19 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học lĩnh vực đóng vai trị quan trọng sống Nó khơng làm cho sống có trật tự ngăn nắp mà cịn có nhiệm vụ ni dưỡng số phẩm chất định người khả suy luận, sáng tạo, tư linh hoạt khả giải vấn đề chí kĩ giao tiếp hiệu Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng u cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Trong chương trình mơn Tốn trường phổ thơng Đường tiệm cận đưa vào chương sách Giải tích lớp 12 Đây thật phần phù hợp để dạng câu hỏi trắc nghiệm kì thi THPT quốc gia thi học sinh giỏi Hơn tập đường tiệm cận sử dụng mức độ đánh giá: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao, từ nội dung mang tính phân loại học sinh tốt Để giải tốn khơng địi hỏi nhiều kiến thức, yêu cầu quan sát tinh tế, tư sáng tạo Dạy Toán dạy kiến thức, tư duy, tính cách [Nguyễn Cảnh Tồn] Do dạy đường tiệm cận, việc đưa kiến thức phương pháp giải học sinh giáo viên phải tìm cách giải nhanh, tổng qt hóa tốn để giúp học sinh phát triển khả tư nhanh để vận dụng cách linh hoạt việc học toán, sống Mặt khác rèn luyện khả tư nhanh cho học sinh qua toán đường tiệm cận đồ hàm số góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm" Theo thầy đóng vai trị người hướng dẫn để học sinh tự tìm tịi phát kết quả, phát mâu thuẫn sai lầm q trình giải tốn Cùng với việc nghiên cứu đề thi Bộ giáo dục đào tạo, kết hợp với trình giảng dạy nghiên cứu, tơi nhận thấy tốn đường tiệm cận đồ thị hàm số có liên quan tới giới hạn hàm số lớp 11, khiến nhiều học sinh gặp khó khăn Chính vậy, với mong muốn cung cấp thêm cho em số kiến thức, giúp em vượt qua khó khăn, hướng dẫn để em giải nhanh tốn đường tiệm cận nhằm mục đích phát triển khả tư nhanh giải toán đường tiện cận nói riêng q trình làm tốn trắc nghiệm nói chung Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài “Rèn luyện khả tư nhanh cho học sinh qua toán đường tiệm cận đồ thị hàm số” Trong sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi đề cập đến hai loại tiệm cận là: Tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số Hi vọng có ủng hộ góp ý nhiệt thành quý đồng nghiệp, nhằm biến thành cơng cụ đích thực cho việc dạy học đường tiệm cận 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đối với giáo viên: Trên sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài đưa phương pháp giải nhanh cho số toán đường tiệm cận đồ thị hàm số qua rèn luyện cho học sinh khả tư nhanh giải toán - Đối với học sinh: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận làm quen với cách học, cách làm nhanh toán trắc nghiệm, tránh sai lầm từ phát huy tối đa hiệu làm bài, nhằm đạt kết cao -Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn định hướng để học sinh giải gianh, giải xác tốn có liên quan đến đường tiệm cận đồ thị hàm số toán có chương trình phổ thơng 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đường tiệm cận nói riêng để làm rõ nội hàm khái niệm - Kiến thức đường tiệm cận đồ thị hàm số - Kiến thức cách tính giới hạn hàm số - Học sinh lớp 12B2 năm học 2019 – 2020; 12C2, 12C8 năm học 2018 – 2019 trường THPT Vĩnh Lộc 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Về lí thuyết: Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, chủ yếu là: + Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận sâu vào vấn đề lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đường tiệm cận nói riêng nhằm lí giải rõ khái niệm, toán đề cập đến đề tài + Phương pháp phân tích để tìm nét trội vận dụng cách giải nhanh nhằm giúp học sinh phát triển tư giải toán đường tiệm cận - Về thực tiễn: + Dự đồng nghiệp dạy khối 12 chương trình ban nâng cao + Thực nghiệm sư phạm: thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phần Đường tiệm cận thân trực tiếp đứng lớp trường Trung học phổ thông Vĩnh Lộc + Sử dụng phương pháp thống kê toán học sở so sánh giá trị thu lớp thực nghiệm lớp đối chứng để đánh giá hiệu biện pháp dạy học mà đề tài đưa + Trong trình giảng dạy giáo viên dự đốn, tổng hợp, phân theo dạng, phân tích rõ cách làm nhanh từ lựa chọn phương án giải phù hợp Cuối trình bày lại thơng qua ví dụ cụ thể NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a) Định nghĩa: +) x  a đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim y  � lim y  � lim y  � lim y  � x �a  , x�a , x�a , x�a y  f ( x) xác định khoảng có dạng  �;b  ,  a; � ,  �; � số +) Hàm y  b đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim y  b lim y  b x �� , x�� 0 b) Cách tính giới hạn dạng: f  x lim f x  lim g x  lim     x �x0 x �x0 x � x0 g x   Nếu  x��� ;  x���  x��� gọi có dạng vơ định Để tính dạng giới hạn ta phải khử dạng vơ định, có số loại thường gặp cách khử dạng vô định chúng sau: P  x �Nếu biểu thức dấu giới hạn có dạng: Q  x  P  x  , Q  x  hai da thức x  x  x0  P1  x   n Q  x   x  x0  Q1  x  Để khử dạng vô định ta biến đổi: k x  x , k  max  m, n    số có dạng P x m giản ước thừa �Nếu biểu thức dấu giới hạn có chứa dấu căn: ta nhân chia biểu thức liên hợp biểu thức chứa tiến 0, làm tương tự dạng ta khử dạng vô định � c) Cách tính dạng: � f  x lim f x  � � lim g x  � � lim     x � x0 x �x0 x � x0 g x   x ��� x��� x ���    Nếu ; gọi có dạng vơ � định � k k Chia tử mẫu cho x với x lũy thừa có số mũ lớn tử mẫu (hoặc k rút x làm nhân tử), sau áp dụng định lý giới hạn hữu hạn quy tắc giới hạn vô cực Trong dạng ta gặp khả năng: - Bậc f  x  nhỏ bậc g  x  kết giới hạn - Bậc f  x  lớn bậc g  x  kết giới hạn �� - Bậc f  x  b ằng bậc g  x  kết giới hạn tỉ số hệ số lũy thừa cao tử mẫu n n � � x  x,khi x  �n n � x   x,khi x  Chú ý biểu thức chứa bậc n bậc chẵn thì: � 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Việc rèn luyện khả tư nhanh cho học sinh qua toán đường tiệm cận đồ thị hàm số cần thiết lí sau: Thứ nhất, mơn tốn có thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ địi hỏi học sinh phải giải tốn cách nhanh có thể, để tiết kiệm thời gian Thứ hai, đề thi tự luận trước toán đường tiệm cận đồ thị ax  b y cx  d hàm số xuất thoáng qua chủ yếu khai thác hàm số dạng xu hướng năm tới toán tiệm cận khai thác sâu nhiều loại hàm số phức tạp Ngồi tốn đường tiệm cận có liên quan tới phần giới hạn hàm số lớp 11, khiến nhiều học sinh lúng túng Trong viết này, thông qua cách nhận biết để giải nhanh dạng toán đường tiệm cận đồ thị hàm số để rèn luyện khả tư nhanh cho học sinh học tập, thấy kết đạt tốt phù hợp với đối tượng học sinh trường THPT Vĩnh Lộc 2.3 Cách giải vấn đề: Cách giải nhanh toán đường tiệm cận đồ thị hàm số Giáo viên đưa cách giải nhanh cho số dạng tốn thường gặp dựa sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm thơng qua phân tích cách làm nhanh minh họa ví dụ cụ thể Tiếp hệ thống tập tự luận cuối thông qua tập trắc nghiệm để em thực hành giải đề thi qua giúp học sinh nhận vượt qua “bẫy’’ dạng toán trắc nghiệm đường tiệm cận Từ rèn luyện cho học sinh khả tư nhanh giải toán vấn đề gặp phải thực tế Cụ thể sau 2.3.1 Một số dạng toán thường gặp 2.3.1.1 Bài tập không chứa tham số a Phương pháp: -Tiệm cận đứng: +)Tìm nghiệm mẫu số +) Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng +) Kết luận -Tiệm cận ngang: +) Tìm tập xác định +) Sử dụng định nghĩa tiệm cận ngang +) Kết luận + Sử dụng cách tìm nhanh tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số trình bày Trong khn khổ sáng kiến kinh nghiệm, chương trình sách giáo khoa giải tích 12 bản, đề thi năm qua chia thành dạng sau: b Các dạng toán: Dạng 1: Hàm đa thức y  f ( x) khơng có tiệm cận Ví dụ:[9] Hàm đa thức y  3x  x  tiệm cận y P x Q x Dạng 2: Tiệm cận đứng: P  x  , Q  x  hai đa thức x Trong trường hợp Q( x0 )  P( x0 ) �0 x  x0 tiệm cận đứng  x  x0  u ( x) y  Q  x   x  x0  l v(x) P  x Trong trường hợp Q( x0 )  P( x0 )  hay k k  l x  x0 tiệm cận đứng x  3x  y 1 x [1] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: Ví dụ 1: Có thể kết luận nhanh x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số ( x  1 nghiệm mẫu, không nghiệm tử) 3x  x  y x 1 Ví dụ 2:[2] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: Mẫu số  x  � x  1 đồng thời x  1 nghiệm tử 3x  x   tốn x  1 khơng phải tiệm cận đứng  x  1 (3x  1) 3x  x  y � y � y  3x  1  x  x Giáo viên rõ: 3x  x  y x    Ví dụ 3:[9] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: Trong ví dụ x  1 nghiệm tử số nghiệm mẫu số x  1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Trong trình dạy giáo viên  x  1  3x  1 � y  3x  3x  x  y � y 2 x 1 x  x      rõ: Tiệm cận ngang: Hàm số có dạng am x m  am1 x m1   a1 x  a0 y  am �0,bn �0  bn x n  bn 1 x n1   b1 x  b0 Nếu m  n hàm số khơng có tiệm cận ngang (vì hàm số � �� x � ��) a y m bn Nếu m  n hàm số có tiệm cận ngang y  Nếu m  n hàm số có tiệm cận ngang 2 x  x  y x2  x Ví dụ 1:[8] Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: Do bậc x tử số lớn bậc x mẫu số nên đồ thị hàm số tiệm cận ngang y Ví dụ 2:[9] Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: 3x  x   x  1 Có thể kết luận đồ thị hàm sơ có tiệm cận ngang y  (bậc x tử số bậc x mẫu số) 2 x  y x x Ví dụ 3:[8] Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: Do bậc x tử số nhỏ bậc x mẫu số nên đồ thị hàm số có tiệm y0 cận ngang ax  b y cx  d : Trong chương trình SGK có đề cập đến hàm số: Chú ý ln có đường tiệm cận tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang có d a a b x y � c c c d ) phương trình , (trong U  x y V  x Dạng 3: Đối với hàm số U ( x) , V( x) hai biểu thức chứa bậc Ta thực tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: Đối với tiệm cận đứng: Khả 1: - Nếu x0 nghiệm V  x  x  x0 tiệm cận đứng đồ thị - Nếu x0 nghiệm V( x) U ( x) không xác định x  x0 khơng phải tiệm cận đứng đồ thị x  1 y x 1 Ví dụ 1:[9] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Kết luận x  1 y x  x  2 Ví dụ 2:[8]Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số sau: Dựa vào lí thuyết ta có kết luận: x = tiệm cận đứng, x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số (Trong q trình giảng dạy giáo viên giải thích tường tận: x = nghiệm mẫu số, thuộc tập xác định tử số; x = nghiệm mẫu số x = tử số không xác định) Khả 2: Nếu x0 vừa nghiệm V( x) vừa nghiệm U ( x) có cách xử lí sau: U  x x�x V  x  lim U  x x � x0 V  x  lim U  x x � x0 V  x  lim Một là: Tính nhanh giới hạn , kết là số x  x0 tiệm cận đồ thị hàm số; kết vơ cực ( ��) x  x0 lại tiệm cận đồ thị hàm số  x  x0  h( x) y  (1) V  x   x  x0  n k( x) U  x Hai là: Phân tích m Nếu m �n x  x0 khơng phải tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nếu m  n x  x0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1  2x 1 y x2  x :[9] Đối với hàm số Ví dụ x0 � x2  x  � � x 1 � Mẫu số : +) x  nghiệm mẫu số nghiệm tử số tử số xác định x  nên trường hợp kết luận x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số ) x  nghiệm tử số nghiệm mẫu số nên trường hợp + ta tính nhanh giới hạn dạng lim y  lim Ta tính x �0 y Hoặc tính x �0 x   2x  x  lim   x �0 x ( x  1)( x   x2  x x  1) x x( x  1)( x   x  1) Kết luận x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x42 y x2 :[9] Đối với hàm số Ví dụ 2 Mẫu số : x  � x  , x  vừa nghiệm tử vừa nghiệm mẫu số x y  x ( x   2) x( x   2) nên dựa vào (1) tính giới hạn hàm số lim y  lim x �0 x�0 x  lim  � x ( x   2) x�0 x( x   2) (có thể tính giới  hạn x � ) Kết luận x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số tiệm cận đứng đồ thị (vì x  nghiệm mẫu x  không nghiệm tử) x   2x  y x3 Ví dụ 2:[9] Đối với hàm số ta kết luận nhanh x  không tiệm cận đứng đồ thị (vì x  nghiệm mẫu tử số không xác định x  ) Khả 2: Nếu x0 vừa nghiệm V( x) vừa nghiệm U ( x) có cách xử lí sau: U  x U  x U  x lim lim lim x � x V  x  x �x0 V  x  x � x0 V  x  Tính nhanh giới hạn , kết số x  x0 tiệm cận đồ thị hàm số; kết vơ cực ( ��) x  x0 lại tiệm cận đồ thị hàm số y 3x   x x2 Ví dụ 1:[9] Đối với hàm số Ta thấy x  vừa nghiệm mẫu số vừa nghiệm tử số Dựa vào cách 3x   x lim  x2 , suy đồ thị hàm số khơng có tính nhanh giới hạn x�2 tiệm cận đứng 3x   x y  x  1 Ví dụ 2:[9] Đối với hàm số ta thấy x  vừa nghiệm 3x   x lim  � x �1  x  1 mẫu số vừa nghiệm tử Do tính nhanh giới hạn , kết đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 Đối với tiệm cận ngang: Chúng ta sử dụng phương pháp giống với dạng mu x  n v x   Chú ý 2: Đối với dạng   - Trước tiên ta xác định xem cần tính giới hạn hàm số x � � hay x � � - Sau nhân liên hợp để đưa dạng Ví dụ:[9] Đối với hàm số: y  x   x ta làm sau: Tìm TXĐ: D   �; 1 � 1; �   � � x  x  x  lim x �    1� � x �� x�� x �� x � � Tính x lim y  lim x  x  x  lim  x �� x �� x �� x2  x  x lim y  lim   10 Vậy hàm số có tiệm cận ngang y x x Dạng 5: Các hàm số y  e , y  a , y  ln x , y  log a x Đối với hàm số học sinh cần lưu ý: +) Đồ thị hàm số mũ có tiệm cận ngang trục Ox khơng có tiệm cận đứng +) Đồ thị hàm số logarit có tiệm cận đứng trục Oy khơng có tiệm cận ngang 2.3.1.2 Bài tập chứa tham số a Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng, tiệm cận ngang - Sử dụng cách nhận biết tính nhanh tiệm cận đứng tiệm cận ngang trình bày mục 2.3.1.1 Sau tơi xin trình bày số ví dụ thường gặp b Dạng Tốn Ví dụ 1:[6] Cho hàm số y  f  x  liên tục � có bảng biến thiên hình vẽ Tìm tất số thực m để đồ thị hàm số đứng? g  x  f  x  m có đường tiệm cận Đối với này: Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng mẫu số f  x   m  có nghiệm từ dựa vào BBT suy f  x   m có nghiệm m �4 Chú ý tốn cịn hỏi cụ thể: Tìm tất số thực m để đồ thị hàm số có 1, 2, 3, tiệm cận đứng Ví dụ 2:[3] Tìm tất giá trị thực tham số m đồ thị hàm số x2 y x  x  m có tiệm cận đứng Đối với này: Có thể xảy trường hợp sau TH1: Mẫu số có nghiệm khác 2, xảy V �  4m  � � � � m  � �2 � 2  3.2  m �0 � m2 �2 � TH2: Mẫu số có nghiệm phân biệt nghiệm 2, xảy 11 V �  4m  � � ��2 �m�2 �2 2  3.2  m  m  � � Kết luận: Có giá trị m Phân tích: Học sinh thường dừng lại việc tìm m để hàm mẫu số có nghiệm mà qn phải tìm cho mẫu số có nghiệm khác nghiệm tử mẫu số có nghiệm phân biệt nghiệm nghiệm tử thỏa mãn u cầu Ví dụ 3:[3] Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số mx  mx  y x 1 có tiệm cận ngang Phân tích được: +) Nếu m  tập xác định hàm số không chứa  �;b   a;� nên khơng có tiệm cận ngang +) Nếu m  hàm số không xác định +) Nếu m  theo cách làm trình bày (Dạng - khả 4) suy hàm số có tiệm cận Nếu tốn cần rõ tiệm cận ta dễ dàng tính mx  mx  mx  mx  lim y  lim  m lim y  lim  m x �� x 1 x 1 x �� x�� x�� nên tiệm cận ngang y  m , y   m Ví dụ 4:[3] Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y � x   2m  1 x  2m � � � x  m có tiệm cận Phân tích được: Tập xác định có dạng  m;� bậc x tử nhỏ mẫu nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Do ta phải tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng hay mẫu số có � x   2m  1 x  2m � � x  m  có 3nghiệm phân nghiệm phân biệt suy � biệt phương trình x   2m  1 x  2m  có nghiệm phân biệt 2m �1 �  m 1 � � � 1 m � � � m� � � m  m � � lớn m Điều xảy : 2.3.2 Bài tập vận dụng hình thức tự luận Tiếp theo tơi đưa tập tự luận tương ứng với dạng trình bày để học sinh củng cố lại cách giải nhanh tốn tìm tiệm cận đồ thị hàm số 12 Bài Tìm tiệm cận ngang tiệm cận đứng hàm số sau: x3 x 7 3 y ; y  x  x  2; y ; 9 x a) x  5x  f) m) x  3x  y x  16 ; b) y c) g) y  x  x   x; x2   x  2 ; h)[3] y x �2 � y  � �; �3 � n) x   x2  x  ; x  5x  p ) 3x  x  y ; x  x  d) y e) x2 1 x y i) ; k) y 3x  ; x 1 x7 ; x  3x  y x 1 ; x 1 q ) y  x   x; y r) x 1 x 1 Bài 2.[6] Hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm �\  1;1 , có bảng biến thiên sau: g  x  f  x  m Tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận Bài 3.[6] Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x2  y mx  có đường tiệm cận ngang Bài 4.[2] Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x  3x  m y xm khơng có tiệm cận đứng Đáp án Bài1 13 a) Khơng có tiệm cận b) x  4, y  f) x  g) y  1, y  c) x  2, y  d) x  4, y  e) x  1, x  1 h) x  3, y  i) x  �1, y  �3 k) y  Bài 2: m0 � � m 1 � Bài 3: m  m) x  3, y  n) y  p) x  �1, y  q) y  r) x  1, y  �1 Bài 4: m0 � � m 1 � 2.3.3 Hướng dẫn giải nhanh tập trắc nghiệm có liên quan đến tiệm cận Sau học sinh nhận biết tìm cách giải nhanh tiệm cận đứng tiệm cận ngang dạng hàm số giới thiệu trên, hướng dẫn để học sinh tư nhanh giải tốn trắc nghiệm liên quan đến tiệm cận Sau xin trình bày số ví dụ minh họa 2x  y x 1 Ví dụ 1:[5] Tiệm cận đứng đồ thị hàm số A x  B x  1 C x  D x  2 Đáp án : A Phân tích: Bài đơn giản để học sinh nắm tiệm cận đứng thẳng có dạng x  a Dựa vào cách tính nhanh dễ dàng có x  đáp án ( x  nghiệm mẫu số khơng nghiệm tử) Học sinh nhầm lẫn khái niệm tiệm cận ngang ( y  b ) tiệm cận đứng (chọn C) x2 x  có đường tiệm cận? Ví dụ 2:[7] Đồ thị hàm số A B C D Đáp án : B (gồm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang) Phân tích : x  �2 nghiệm mẫu số thay vào tử x  2 khơng phải nghiệm tử, x  nghiệm tử nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  2 ; bậc tử thấp mẫu nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  Học sinh dễ ngộ nhận đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm y cận ngang nên chọn D Ví dụ 3:[2] Đồ thị hàm số sau có tiệm cận đứng? 3x2  x  y y   x  x  B y  x  x 1 C A D y x2 1 x 14 Đáp án: D Phân tích: Học sinh nhanh chóng loại đáp A, B nhờ sử dụng cách nhận biết nhanh trên, loại đáp án C x =1 vừa nghiệm tử vừa nghiệm mẫu, thêm vào đáp án D nhận thấy x =1, x = -1 nghiệm tử không nghiệm tử tử số xác định lưu ý: học sinh mắc phải chọn C (do nhầm x =1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số khơng bao qt đến đáp án D) Ví dụ 4:[2] Đồ thị hàm số sau có tiệm cận ngang? 2x  2 x x x 2 y  y  y 2 y  x  3x  2021 B 4x x  D x3 C A Đáp án: C Phân tích: Loại A (vì hàm đa thức), loại B (vì hàm số có TXĐ D   2;2  ), Loại D bậc x tử cao mẫu số, từ chọn C (có tiệm cận ngang y  1, y  1 ) lưu ý: học sinh chọn B khơng ý đến tập xác định hàm số, nhận thấy bậc tử bậc mẫu nên kết luận nhanh hàm số có tiệm cận ngang 3x  y x 1 Ví dụ 5:[6] Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A B C D Đáp án: B Phân tích: Mẫu số vô nghiệm nên đồ thị hàm số tiệm cận đứng, TXĐ D  R nên theo cách tính nhanh ta có hàm số có tiệm cận ngang y  1, y  1 Học sinh nhầm mẫu có nghiệm nên suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, bậc tử bậc mẫu nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang suy chọn C; bậc tử bậc mẫu nên đồ thị hàm số tiệm cận ngang, mẫu số vô nghiệm nên chọn A 3x  y  C x  x Ví dụ 6:[9] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số ? x  0, x   A x  B x  1 C D (C) khơng có tiệm cận Đáp án : A Phân tích: Nhận thấy x  0, x  1 nghiệm mẫu, thay x  vào tử kết khác nên khẳng định x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số, 15 từ loại đáp án C, D Vì x  1 nghiệm mẫu số tử số không xác định nên x  1 khơng phải tiệm cận đồ thị (C) Học sinh chọn C (do nhận thấy x  0, x  1 nghiệm mẫu không tiếp tục kiểm tra) 3x   y  C x2  x Ví dụ 7:[3] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số ? A x  0, x  B x  C x  D (C) khơng có tiệm cận Đáp án : B Phân tích : Nhận thấy x  0, x  nghiệm mẫu, thay x  vào tử kết khác nên khẳng định x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số từ loại đáp án C, D Vì x  vừa nghiệm tử vừa nghiệm mẫu số 3x   lim  nên suy x  nên ta phải tính nhanh giới hạn x�1 x  x tiệm cận đứng Học sinh chọn A (vì nhận thấy x  0, x  nghiệm mẫu không kiểm tra đến bước sau) y 3x    C x  x  3 Ví dụ 8:[9] Tìm tiệm cận đứng đồ thị hàm số ? x  0, x   A x  B x  3 C D (C) khơng có tiệm cận Đáp: D Phân tích: Nhận thấy x  0, x  3 nghiệm mẫu, x  3 làm cho tử không xác định, x  nghiệm tử đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x lim y  lim  lim  � x �0 x �0 x �0 x  x  3 x   x  x  3 x   x  (Vì ) x  0, x  3 (chọn C), Học sinh thường dừng lại cho mẫu tìm cho mẫu tìm x  0, x  3 , nhận tử không xác định x  3 lim y  � lim y  �  x � không kiểm tra giới hạn x�0 (chọn D) 3 Ví dụ 9:[3] Tìm tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  x   x   C  ?  A y  Đáp án: A B y  1  C y  x   D (C) tiệm cận Phân tích: TXĐ D   �; � nên ta tính: � 1 � lim y  lim x �     � � x �� x�� x x � � 16 lim y  lim x �� x �� x2   x2 x2   x x3  x3   lim x �� x  1   x x   x 3 nghĩa có y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số 0 nên dựa vào định Lưu ý: Đối với không rèn luyện học sinh chọn D Trong đề thi gặp tốn liên quan đến tiệm cận dễ dàng tìm nhanh số đường tiệm đứng ngang dựa vào việc nắm vững định nghĩa đường tiệm cận chẳng hạn như: Ví dụ 10:[7] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D.4 Đáp án: B lim y  � lim y  Phân tích: Vì x�0 , x�� nên theo định nghĩa đồ thị hàm số có cận đứng x = 0, tiệm cận ngang y = Sai lầm: Thực tế trình dạy học tơi thấy học sinh chọn A (1 tiệm cận ngang), chọn C ( ngang , đứng) chưa hiểu rõ định nghĩa đương tiệm cận Ví dụ 11:[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D Đáp án: C lim y  � lim y  lim y  Phân tích: Dựa vào bảng biến thiên ta có: x�1 , x�� , x�� nên theo định nghĩa đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  , tiệm cận ngang y  0, y  Học sinh chọn B (2 tiệm cận ngang), chọn D (2 tiệm cận đứng, tiệm cận ngang), Ví dụ 12:[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: 17 g  x  f  x  Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số A B C D Đáp án: D Phân tích: Bậc cuả tử thấp mẫu nên hàm số có tiệm cận ngang, mẫu số có nghiệm (dựa vào bảng biến thiên) không nghiệm tử nên hàm số có tiệm cận đứng Như để làm học sinh việc nắm cách xác định nhanh đường tiệm cận cần nắm số nghiệm phương trình f ( x)  m biết bảng biến thiên f ( x) y x 1 mx  với m tham số thực Tập hợp giá Ví dụ 13:[5] Cho hàm số trị m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang A  �;0  B  0 C  0; � D � Đáp án: C Phân tích: Với tư có học sinh nhận thấy nhanh điều kiện TXĐ phải chứa tập hợp  �; b  ,  a; � từ có m  Suy chọn C Ví dụ 14:[4] Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn x 1 y  2020;2020 để đồ thị hàm số x  x  m có hai tiệm cận đứng A 2020 B 2022 C 2023 D 2024 Đáp án : C Phân tích: Bước 1: Học sinh nhận thấy hàm số có tiệm cận đứng mẫu số có 2 nghiệm phân biệt khác 1.Tức x  x  m  có nghiệm phân biệt khác V'   m  � �m  � �� �  1  4.1  m �0 �m �3 Xảy : � � m4 � m �3 � � m � 2020;2020 Bước 2: Tìm m nguyên thỏa mãn điều kiện � suy có 2023 lưu ý: Học sinh tìm điều kiện cho mẫu có nghiệm phân biệt nên mắc sai lầm chọn D 2.3.4 Hệ thống tập tự luyện �1 � �\ � � �2 có bảng biến thiên Bài 1.[6] Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm sau: 18 Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D.4 Bài 2.[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Bài 3.[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D.4 Bài 4.[6] Đồ thị hàm số hàm số có tiệm cận đứng? x2 x  3x  x y y y y  x  x  x  x  A B C D Bài 5.[8] Cho hàm trùng phương y  f  x  có đồ thị hình vẽ Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ 2020 g  x   2021 f  x thị hàm số A B C D Bài 6.[6] Cho hàm trùng phương y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  A 1 f  x  B C D.4 x  3x  y x  16 có đường tiệm cận đứng? Bài 7.[7] Đồ thị hàm số x3  x y x  x  có đường tiệm cận? Bài 8.[6] Đồ thị hàm số A B C D x 1 y x  x 2 Bài 9.[8] Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? 19 A B C D Bài 10.[7] Đồ thị hàm số hàm số có tiệm cận đứng? 1 1 y y y y x x 1 x 1 x  x 1 A B C D Bài 11.[7] Đồ thị hàm số A B y y x9 3 x  x có đường tiệm cận đứng? C D.4  x2  x  3x  có đường tiệm cận? C D Bài 12.[9] Đồ thị hàm số A B Bài 13.[2] Gọi n, d số đường tiệm cận ngang số đường tiệm cận 1 x x  x   đứng đồ thị hàm số Khẳng định sau đúng? A n  d  B n  0; d  C n  1; d  D n  0; d  y y x 1 2 x   Bài 14.[9] Cho hàm số Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D x2 y x  x  m với m tham số Có giá trị Bài 15.[8] Cho hàm số nguyên m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A B C D Vơ số Câu 16[8] Có giá trị nguyên tham số m thuộc  12;12 để đồ thị x2 y x  x  m có tiệm cận ngang mà khơng có tiệm cận đứng? hàm số A B C 10 D 11 Câu 17[8] Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số x2  y mx  có đường tiệm cận ngang A m  B m  C m  D m �0 1 x 1 y x  mx  3m với m tham số Tập hợp giá Bài 18.[8] Cho hàm số trị tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng � 1� � 1� 0; � 0; � � � 2 A � � B � � C  0; � D  �; 12  � 0; � 2.4 Kết thử nghiệm 20 2.4.1 Kết chung Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc Thực tế cho thấy, với cách làm rèn cho học sinh khả tư nhanh nhẹn, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn trắc nghiệm Đồng thời em có sáng tạo học tập, áp dụng cách tư nhanh cho nhiều nhiều mảng tập khác Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau học chuyên đề học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi thử THPT Quốc gia trường nước thời gian gần Đồng thời biết tự xây dựng tìm cho hệ thống tập phù hợp với nội dung kiến thức học tập tương tự đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục đào tạo Qua đó, hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt 2.4.2 Kết kiểm tra Tôi so sánh kết kết thực nghiệm lớp 12B2 năm học 2019-2020 với kết lớp 12C2 năm học 2018-2019 không áp dụng đề tài với kiểm tra Đây hai lớp có khả tiếp thu tương đương (Sĩ số lớp 40) Kết quả: Các em học sinh lớp 12B2 đạt kết tốt em học sinh lớp 12C2, cụ thể: Điể 0-2 3-4 10 m Lớp S6 12C2 ố lượng Tỉ lệ Lớp 12B2 ố lượng Tỉ lệ 15% S2 5% 17,5 % 20% 20% 5% 22,5 % 7,5% 15% 20% 22,5 % 12,5 % 17,5 % 5% Từ kết thực nghiệm minh chứng việc đưa chuyên đề: "Rèn luyện khả tư nhanh cho học sinh qua toán đường tiệm cận đồ thị hàm số” vào giảng dạy cần thiết hiệu nhằm nâng cao chất lượng học tập chất lượng thi học sinh giỏi thi THPT Quốc gia KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong trình dạy học, phần kiến thức khác nhau, giáo viên biết tìm sở lý thuyết, biết phát huy, sáng tạo hướng dẫn học sinh vận dụng cách hợp lý vào việc giải tập tương ứng 21 tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết rèn luyện cho học sinh khả tư nhanh thơng qua việc thực hành giải tốn Từ em chọn cho cách tư hiệu nhất, tạo hứng thú phát huy tính chủ động lực nhận thức vốn có học tập Mỗi nội dung kiến thức ln chứa đựng cách tiếp cận thú vị Mỗi giáo viên, cần có chủ động việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo Trong q trình giảng dạy, cần ý đến rèn luyện khả tư nhanh xác thơng qua việc giảng dạy đơn vị kiến thức toán có liên quan Lựa chọn phương pháp hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh giúp cho việc học em đạt kết cao 3.2 Kiến nghị Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa: Cung cấp nhiều chuyên đề cấp tỉnh giải pháp nâng cao chất lượng dạy - học mơn tốn cho giáo viên tham khảo Đối với Nhà trường: Đầu tư khuyến khích giáo viên đổi PPDH nhiều hình thức khác Đối với giáo viên: Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm, đổi phương pháp dạy học mơn Tốn Hạn chế tối đa phương pháp dạy học truyền thống lấy giáo viên làm trung tâm Phải ln tìm tịi, sáng tạo để bước cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với tiết học, học đối tượng học sinh khác XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 15 tháng năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Trần Thị Lan Anh 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa giải tích 12 - Cơ - Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2019 [2] Câu hỏi tập trắc nghiệm - Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội, 2018 [3] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT quốc gia năm 2017 mơn Tốn Phạm Đức Tài – Nhà xuất GD Việt Nam [4] Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán - Trần Phương - Nhà xuất Đại học sư phạm, 2015 [5] Đề minh họa Bộ giáo dục đào tạo năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 [6] Đề tham khảo trường năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 [7] Đề thức Bộ giáo dục năm 2017, 2018, 2019, 2020, 2021 [8] Tham khảo số tài liệu mạng internet - https://dethi.violet.vn - https://tin.tuyensinh247.com/de-thi-thu-thpt-quoc-gia-mon-toan-e480.html - https:// www.luyenthithukhoa.vn [9] Tự sáng tác 23 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Thị Lan Anh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Lộc TT Tên đề tài SKKN Phương pháp giải toán véctơ Một số tốn liên quan đến cơng thức khai triển nhị Thức (a+b)n Khắc sâu định nghĩa GTLN GTNN biểu thức Kinh nghiệm khắc phục số sai lầm thường gặp học sinh giải toán đại số tổ hợp Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Sở GD ĐT Thanh Hoá Sở GD ĐT Thanh Hoá Sở GD ĐT Thanh Hoá Sở GD ĐT Thanh Hoá Kết đánh giá Năm học xếp loại đánh giá xếp (A, B, loại C) C 2005- 2006 C 2011- 2012 B 2014 – 2015 2018 – 2019 C 24 ... nhanh cho số toán đường tiệm cận đồ thị hàm số qua rèn luyện cho học sinh khả tư nhanh giải toán - Đối với học sinh: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận làm quen với cách học, cách làm nhanh toán. .. số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D.4 Bài 2.[6] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Bài 3.[6] Cho hàm số. ..  Bài 14.[9] Cho hàm số Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C D x2 y x  x  m với m tham số Có giá trị Bài 15.[8] Cho hàm số nguyên m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận?