Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 2021 trường THPT Minh Châu tỉnh Hưng Yên

Một học sinh có năng lực trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu còn lại học sinh đó không biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu còn lại.. Tí[r]

TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN - Lớp 11

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình: sin 3x cos3x2sin 2x

b) Tìm tất nghiệm phương trình cos 2x7cosx sin 2 x7sinx8 đoạn 2 ;2  Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm số hạng chứa x3 khai triển

9

1 x

x   

 

 

b) Đề thi THPT môn Toán gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, câu có phương án trả lời có phương án đúng, câu trả lời cộng 0, 2điểm, điểm tối đa 10 điểm Một học sinh có lực trung bình làm 25 câu( từ câu đến câu 25), câu cịn lại học sinh khơng biết cách giải nên chọn phương án ngẫu nhiên 25 câu lại Tính xác suất để điểm thi mơn Tốn học sinh lớn điểm khơng vượt q điểm( làm trịn đến hàng phần nghìn)

Câu 3:(1 điểm) Tìm tất số thực x để ba số , , 4x  x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Câu 4: (2 điểm) Tính giới hạn sau:

a) I lim 16n14n  16n13n b)

 

2

1

2 lim

2

x

x x x

J

x



   





Câu 5: (1,5 điểm)

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, mặt bên SAB tam giác vuông A,

SA a , SB2a Điểm M nằm đoạn AD cho AM 2MD Gọi  P mặt phẳng qua M song song với SAB

a) Tính góc hai đường thẳng SB CD

b) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P Câu 6: (1,5 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2

4 17

21

x x x y y

x y y y x

        



     



b) Cho dãy số  un xác định sau *

4

, .

9 n n 4 2 n

u

n

u  u u



 

    

 

Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số  un tính limun

- Hết - (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm)

Họ tên thí sinh: Số báo danh:……… Phịng thi số:………

Câu 1:

a) Giải phương trình sau sin 3x cos 3x2sin 2x

Ta có : sin 3 cos 2sin 1sin 3cos sin

2

x x x x x x (0.25)

3 2

3 sin sin

3

3 2

3

x x k

x x

x x k

 



  

    

 

     

      



 

2

2

15

x k

k k x

 

 

    

 

   



(0.5)

Vậy phương trình cho có tập nghiệm ; 2

3 15

k

S    k     k 

  (0.25)

b) Ta có:

cos 2x7 cosx sin 2 x7 sinx 8 cos 2x sin 2x7 cos x sinx 8

cos 2 7 sin 4 0 2sin2 7 sin 3 0

3 6

x  x  x  x 

       

                

        (0.25)

1 sin

6

sin 3( )

6 x

x VN

 

   

 

   



       

(0.25)

Ta có:

2

1 6

sin 2

5

6 2

2 3

6

x k

x k

x

x k

x k

   





   

     



    

    

     

 

(0.25)

Vì  ;  ; ;0;2 ;

3

x      x      

  (0.25) Câu 2:

Câu 030 Tìm số hạng chứa x3 khai triển

9

1 x

x   

 

 

B1.X.T0

Lời giải

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có

9 9

9 9

9

0

1

0.25

2

1

0.25

k

k k

k

k

k k

k

x C x

x x

C x

 

 

     

   

   

 

  

  



Hệ số x3 ứng với 9 2 k  3 k 3 0.25

Vậy số hạng cần tìm 3

1 .

8C x 0.25 b) Gọi x số câu học sinh trả lời 25 câu lại

Số điểm học sinh đạt 0,2 x (0.25) TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020 - 2021

Theo yêu cầu đề 0,2  x   8 x 15,x

Như vậy, để điểm học sinh lớn điểm khơng vượt q điểm học sinh phải trả lời từ đến 15 câu làm sai câu lại

Xác suất trả lời câu 0,25; xác suất trả lời sai câu 0,75

Xác suất trường hợp C25x 0.25 0.75 x 25x với x

 6 x 15 (0.25) Suy xác suất cần tính 15 25   25

6

0.25 0.75x x 0,622 x

x

C 





 (0.25)

0,622 (0.25) Câu 3:

Ta có  2 .4 4 4 0

1 x

x x x x

x

 

     



 (0.25)

Với x0 ta có 0; 0; 4  khơng cấp số nhân (0.25) Với x1 ta có 1; 2; 4  cấp số nhân có cơng bội q2 (0.25)

Vậy x1 (0.25)

Câu 4:

a) Ta có T lim 16n14n  16n13n

1

4 lim

16 16

n n

n n n n

  

  

  

  (0.5)

3

4 lim

1

16 16

4 16

n

n n

   

    

   

  

   

    

   

     

 

1

 (0.5)

b) Lời giải Ta có

   

2 3

1

2 2

lim lim

2

x x

x x x x x x

x x

 

          

  (0.25)

   

2

1

2 2

lim lim

2

x x

x x x

I J

x x

 

    

   

 

Tính

    

2

1

2 2

lim lim

2 2 1 2 2

x x

x x x x

I

x x x x

 

     

 

    

  

    

1 2

1 2

lim lim

4

2 2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

  

       (0.25)

và

     

3

2

1 3 3

2

lim lim

2 2 1 7 1 7 1

x x

x x

J

x x x x

 

   

 

 

     

 

 

(0.25)

 2

1 3 3

7

lim

12

2 7

x

x x



 

 

     

 

 

Do

 

2

1

2

lim

12

2

x

x x x

I J x



      

 (0.25)

a) Ta có : AB//CD nên (SB,CD)=(SB,AB) (0.25) Do tam giác SAB vuông A theo gt nên SB CD, SBA (0.25)

Có : sin 3

2

SA a SBA

SB a

   Suy ra: SB CD, 600 (0.25)

b)       //

, P SAB M AD M P 

  



   

   

P ABCD MN

P SCD PQ

 



   

 MN PQ AB// // (1)     

  //

, P SAB M AD M P 

  



       

P SAD MQ

P SBC NP

 



   



// // MQ SA NP SB

  

Mà tam giác SAB vuông A nên SAAB MN MQ (2)

Từ (1) (2) suy thiết diện hình thang vng M Q (0.25) MQ SA// MQ DM DQ

SA DA DS

  

3

MQ SA

 

3 DQ

DS  PQ CD// PQ SQ

CD SD

 

3

PQ AB

  , với AB SB2SA2 a (0.25)

Khi  

2 MNPQ

S  MQ PQ MN

2 3

MNPQ

SA AB

S  AB

    

 

2

5

18 MNPQ

a S

  (0.25)

6 a)  

 

2

4 17 1

21

x x x y y

x y y y x

        



     



Điều kiện: y0, 4y3x0

  1  x y  4 x28x17 y2 1 0    

2

2

4

4

8 17

x y

x y

x x y

 

    

   

 4  2  2 

8 17

x y x y

x y

x x y

   

    

     

 

2

4

4

8 17

x y

x y

x x y

   

 

    

     

  (0.25)

(Vì:      

2

2 2

4

4

1 ,

8 17 17

x x y y

x y

x y

x x y x x y

        

   

        ) (0.25)

Thay y x 4 vào (2) ta được:

 2  x x 4 x25 2  x16

 x 2  x 25 5 x x 16

          

1 12 0

4 25 16

x x

x x x x



 

    

      

 

  ( t/m)

1 12

0

4 25 16

x y

x

x x x x

   



    

       



(0.25)

Do x        4 y x x nên (3) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm    x y;  0; (0.25)

Chú ý: Ta giải (1) sau:  1   x 4 x4  1 y y21

Xét hàm số f t  t t21 có  

2

1

1 0,

1

t t t

f t t

t t

 

      

  

Do f t đồng biến  nên  1  f x 4 f y   x y

6 b) (0.75đ)

Ta có 0, *

n

u   n  9un1un 4 2 un

1

18un 2un 8 2un

    

   2

1

9 2un 1 2un 4

     0,25

1

3 2un 1 2un 4

    

 

3 2un 2 1 2un 2

      0,25

Đặt 1 2 2, *

n n

v   u   n 

Ta có

1

*

1 , 1 3

n n

v

n

v v

 

  

 

 

0,25  dãy số  vn cấp số nhân có cơng bội 1

3

q , số hạng đầu v11.

1

1 3

n

n

v



       

 2

2

2 1 1 1 4

3

2 2 3 3

n

n n n

v

u      

      

 

Kết luận *

2

1 1 4

3 , .

2 3 3

n n n

u         n

   Khi

2

1 1 4 3

lim lim 3 .

2 3 3 2

n n n

u       

 

0,25