Đang tải... (xem toàn văn)
d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và OO’. Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn trên tại I, K. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính[r]
(1)
Năm học : 2011-2012
PHẦN I: ĐẠI SỐ
CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa.
(2)3 x 1 6x 14) x 2x 1 ) 7 x 5 3x 3 x 1 13) x 7 3 x 6) 6 5x x 1 12) 2 7x x 3 5) 3 5x 2x 11) 1 2x 4) 7 3x x 10) 14 7x 1 3) 2 x 9) 2x 5 2) 3 x 8) 1 3x 1) 2 2 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức. Bài 1: Đưa thừa số vào dấu
2 x x e) ; x 25 x 5) (x d) ; x c) 0); x (víi x x b) ; 5 a) Bài 2: Thực phép tính
3 3; 3 3 15 26 15 26 h) ; 14 20 14 20 g) 7 f) ; 10 : ) 450 200 50 (15 c) 11 11 e) ; 0,4) )( 10 ( b) ; 6 d) ; 7 ) 14 28 ( a)
Bài 3: Thực phép tính
10 15 c) : ) 15 14 b) ) 216 ( a)
Bài 4: Thực phép tính
6 12 6,5 12 6,5 e) 7 d) 5 c) 5) (3 5) (3 b) 15 6) 10 )( 15 (4 ) a
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
5 5 d) 6 6 c) 1 3 1 3 b) 24 1 24 a)
(3)100 99 3 2 1 c) 10 48 5 b) 48 13 a)
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
4 3y 6xy 3x y x e) ) 4a 4a (1 5a 2a d) ; a a 2a a a c) a vµ a víi , a a a 1 a a a b) b a vµ b 0, a víi , b a : ab a b b a a) 2 2
Bài 8: Tính giá trị biểu thức
a ) y )(1 x (1 xy biÕt , x y y x E e) x 2x x 2x 16 biÕt , x 2x x 2x 16 D d) 3; y y x x biÕt , y x C c) ; 1) 4( 1) 4( x víi 12x x B b) y ; x 2y, y 3x x A a) 2 2 2 2 2 3
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn. Bài 1: Cho biểu thức x
3 x P a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P x = 4(2 - 3) c) Tính giá trị nhỏ P
Bài 2: Xét biểu thức a a 2a a a a a A a) Rút gọn A
b) Biết a > 1, so sánh A với A c) Tìm a để A =
d) Tìm giá trị nhỏ A
Bài 3: Cho biểu thức x
(4)b) Tính giá trị C với x
c) Tính giá trị x để 3. 1 C
Bài 4: Cho biểu thức 2 2 a a2 b2 b : b a a b a a M a) Rút gọn M
b) Tính giá trị M b a
c) Tìm điều kiện a, b để M < Bài 5: Xét biểu thức
x) (1 x x x x x
P
a) Rút gọn P
b) Chứng minh < x < P > c) Tìm giá trị lơn P
Bài 6: Xét biểu thức x
1 x 2 x x x x x Q
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị x để Q <
c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q số nguyên
Bài 7: Xét biểu thức
y x xy y x : y x y x y x y x H 3 a) Rút gọn H
b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với H Bài 8: Xét biểu thức
a a a a a a : a a
A
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị a cho A >
c) Tính giá trị A a 2007 2 2006
Bài 9: Xét biểu thức x
2 x x x x x 9x 3x M a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M số nguyên
Bài 10: Xét biểu thức x
3 x x x 3 x x 11 x 15 P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x cho P c) So sánh P với
(5)Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai.
Bài 1: Giải phương trình
1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;
7) x2 + 2 2x + = 3(x + 2) ; 8) 2 3x2 + x + = 3(x + 1) ; 9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bài 2: Giải phương trình sau cách nhẩm nghiệm:
1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 + 3)x + 3 = ; 4) (1 - 2)x2 – 2(1 + 2)x + + 3 2 = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;
7) ( + 1)x2 + 2 3x + 3 - = ;8) x2 – 11x + 30 = ;
9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2:
a) Chứng minh với a, b , c số thực phương trình sau ln có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt phương trình sau có hai nghiệm phân biết: x)
(Èn c x
1 b x
1 a x
1
c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
d) Chứng minh phương trình bậc hai:
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = ln có hai nghiệm phân biệt. Bài 3:
a) Chứng minh phương trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4)
(6)(3) c b x b a b a 2a cx (2) b a x a c a c 2c bx (1) a c x c b c b 2b ax 2
với a, b, c số dương cho trước
Chứng minh phương trình có phương trình có nghiệm Bài 4:
a) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình cho có hai nghiệm
b) Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c =
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước.
Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: x2 – 3x – = 0. Tính: 4 3 1 2 2 2 x x F ; x x E ; x 3x x 3x D ; x 1 x C ; x x B ; x x A
Lập phương trình bậc hai có nghiệm x 1 vµ x
1
Bài 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:
x 4x x 4x 3x x 5x 3x C ; x x 1 x x x x x x x x B ; x 3x 2x x 3x 2x A 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 Bài 3:
a) Gọi p q nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p
q vµ q p .
b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm 10 vµ 72 10 .
Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = 0.
(7)b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn 2 1 x x y vµ x x
y
Bài 5: Không giải phương trình 3x2 + 5x – = Hãy tính giá trị biểu thức sau:
2 1 1 2 1 2 x 2 x x 2 x D ; x x C ; 1 x x 1 x x B ; 2x 3x 2x 3x A
Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Khơng giải phương trình thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1
Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
2 2 1 2 1 x x y x x y b) x y x y a)
Bài 8: Cho phương trình x2 + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
5x 5x y y x x y y b) ; 3x 3x y y y y x x x x y y a) 2 2 2 2 1 2 1 2
Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn:
2 2
1 x x
y y vµ x x y
y
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vơ nghiệm. Bài 1:
a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phương trình có nghiệm
a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – =
Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2:
a) Cho phương trình:
m m 6 0
1 x x 2m 2x x 4x 2 2
(8)b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phương trình có hai nghiệm dương (cùng âm) 5) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm 6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ
Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = 0. Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = 1 b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 0 d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = 6. Bài 4:
a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm
b) Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức x x 2(1 xx )
3 x 2x R
2
2
2
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau
mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0. Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) :
kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số. Bài 1:
a) Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn < x1 < x2 <
b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - < x1 < x2 <
Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
(9)b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có hai nghiệm lớn
Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị tham số a, phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn –
Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ
Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - ≤ x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số. Bài 1:
a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số –
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phương trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m
Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = 0.
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x
x x x
1 2
1 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phương trình theo m
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 – x2| ≥
Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phương trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị tham số để phương trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phương trình kia:
Xét hai phương trình:
ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phương trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phương trình (1), ta làm sau:
i) Giả sử x0 nghiệm phương trình (1) kx0 nghiệm phương trình (2), suy hệ phương trình:
(*) c' kx b' x k a'
0 c bx ax
0
0
0
(10)Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm vào hai phương trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với
Xét hai phương trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phương trình (3) (4) tương đương với hai phương trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với ta xét hai trường hợp sau:
i) Trường hợp hai phương trinhg cúng vơ nghiệm, tức là:
0 ) (
) ( Giải hệ ta tịm giá trị tham số
ii) Trường hợp hai phương trình có nghiệm, ta giải hệ sau:
(4) (3)
(4) (3)
(4) (3)
P P
S S
0 Δ
0 Δ
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) đưa hệ phương trình bậc ẩn sau:
c' y a' x b'
c ay bx Để giải tiếp toán, ta làm sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2
- Kiểm tra lại kết
-Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0. Bài 3: Xét phương trình sau:
ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phương trình có nghiệm chung
Bài 4: Cho hai phương trình:
x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2)
Tìm giá trị tham số m để phương trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phương trình (1)
Bài 5: Cho hai phương trình:
(11)a) Tìm giá trị a hai phương trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phương trình tương đương
Bài 6: Cho hai phương trình:
x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phương trình có nghiệm chung b) Định m để hai phương trình tương đương
c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho phương trình:
x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phương trình (2) lớn gấp lần nghiệm phương trình (1)
Chủ đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Hệ hai phương trình bậc hai ẩn:
Dạng 1: Giải hệ phương trình đưa dạng bản Bài 1: Giải hệ phương trình
18 15y 10x 9 6y 4x 6) ; 14 2y 3x 3 5y 2x 5) ; 14 2y 5x 0 2 4y 3x 4) 10 6y 4x 5 3y 2x 3) ; 5 3y 6x 3 2y 4x 2) ; 5 y 2x 4 2y 3x 1)
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
5 6y 5x 10 3y -6x 8 3y x 2 -5y 7x 4) ; 7 5x 6y y 3 1 x 2x 4 27 y 5 3 5x -2y 3) ; 12 1 x 3y 3 3y 1 x 54 3 y 4x 4 2y 3 -2x 2) ; 4xy 5 y 5 4x 6xy 3 2y 2 3x 1)
Dạng 2: Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phương trình sau
13 4y y 8x 4x y x 5) ; y 2x x y 2x x 4) ; y x y 3y x x 3) ; y x 2x 4 y x 3x 2) ; 2x y 2y x 2x y 2y x 1) 2 2
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1:
(12)
3 2m 3ny x m
n m y n 2mx
b) Định a b biết phương trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiệm x = x = -2. Bài 2: Định m để đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –
b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2. Bài 3: Cho hệ phương trình
sè) tham lµ (m
my x
m 10 4y mx
a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ theo m
c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dương
e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tương tự với S = xy)
f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) ln nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bài 4: Cho hệ phương trình:
5 m y 2x
1 3m my x m a) Giải biện luận hệ theo m
b) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) nằm parabol y = - 0,5x2).
e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) ln nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bài 5: Cho hệ phương trình:
1 2y mx
2 my x
a) Giải hệ phương trình m =
b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn
B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phương trình
28 y x y x
11 xy y x
2 Bài tập tương tự:
(13) 35 y y x x 30 x y y x 10) 5xy y x y x y x 9) y x y xy x y x 19 y xy x 8) y x y xy x 7) xy y x 10 y x 6) 17 xy y y x x y x 5) 13 3y xy 3x y 3xy x 4) 84 xy y x 19 y x xy 3) y xy x y xy x 2) xy y x y x y x 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
Ví dụ: Giải hệ phương trình x y 2y x 3 Bài tập tương tự:
Giải hệ phương trình sau:
8x 3y y 8y 3x x 8) y x 2y x y 2x 7) y x 3x y x y 3y x 6) x 2y 2x y y 2x 2y x 5) y xy x y xy x 4) x 2y y y 2x x 3) x xy y y x 2) 3x y 3y x 1) 3 2 2 2 3 2 2 2 3x 7y y 3y 7x x 10) x 3y y y 3x x 9) 3 2
(14) 14 y 5y x 2x y 3y x x 15) 4y 4x y x 4y 4x y x 14) y 3x xy y x xy 13) 2y 3x xy y 2x xy 12) 18 y x 36 2y 3x 11) 40 y x 3y 2x 10) 2 2 9) 8) 2 7) 12 6) 5 5) 11 2 4) 4 3) 12 2) 1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y xy y x xy y x y x y x x y y x y x y x y x y x y x y x x y xy xy y x x y xy x x x xy y x xy y xy x xy x y x
Chủ đề 4: HÀM SỐ ĐỒ THỊ.
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x + Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi:
a) a = ; b) a = -
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)
b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5
c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dương trục Ox góc 300.
e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đường thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đường thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số
a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đường thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đường thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
(15)Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng parabol Bài 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A B hai điểm (P) có hồnh độ - Tìm toạ độ A B từ suy phương trình đường thẳng AB
Bài 2: Cho hàm số
2 x y
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) Bài 3:
Trong hệ trục vng góc, cho parabol (P):
2 x y
đường thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P)
b) Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số
2 x y
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N có hồnh độ - 2; Viết phương trình đường thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đường thẳng MN cắt (P) điểm
Bài 5:
Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a
0) đường thẳng (D): y = kx + b
1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đường thẳng qua điểm
1 ; C
có hệ số góc m a) Viết phương trình (d)
b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với
Chủ đề 5:
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình:
Bước 1 : Lập hệ phương trình(phương trình)
1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thơng thường ẩn đại lượng mà tốn u cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết
3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ lượng Bước 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình)
Bước 3 : Kết luận toán Dạng 1: Chuyển động
(trên đường bộ, đường sông có tính đến dịng nước chảy) Bài 1:
Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu
(16)Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người tăng vận tốc thêm 10 km/h qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút
Bài 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược
Bài 4:
Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xi dịng sơng nhiều thời gian ngược dòng vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngược dịng
Dạng 2: Tốn làm chung – làm riêng (tốn vịi nước)
Bài tập 1:
Hai vịi nước chảy đầy bể khơng có nước 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , vòi phải chảy đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trước h
Giải
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy đầy bể x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vịiớau chảy chảy đầy bể y ( y > , y tính ) vòi đầu chảy x
1
( bể ) vòi sau chảy y
1
( bể ) hai vòi chảy x
1 + y
1
( bể ) (1) Hai vòi chảy đầy bể 3h 45ph =
15 h Vậy hai vòi chảy 1:
15 = 15
4
( bể ) ( 2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình x
1 + y
1 = 15
4
Mất khác ta biết chảy vịi sau chảy lâu vịi trước tức y – x = Vậy ta có hệ phương trình
x
1 + y
1 = 15
4
y – x =
) ( ,
5 ,
) ( 10
4 ,
0 30
0 60 14 4
5 4
1 2
b y
x
a y x
x y
x x x
y
x x x
y
x x x
y x x
Hệ (a) thoả mãn đk ẩn
Hệ (b) bị loại x <
(17)Bài tập 2:
Hai người thợ làm công việc Nếu làm riêng rẽ , người nửa việc tổng số làm việc 12h 30ph Nếu hai người làm hai người làm việc Như , làm việc riêng rẽ công việc người thời gian ?
Giải
Gọi thời gian người thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc x ( x > ) Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc y ( y > ) Ta có pt : x + y = 122
1
( )
thời gian người thứ làm riêng rẽ để xong công việc 2x => người thứ làm 2x
công việc
Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc 2y => người thứ hai làm 2y công việc
1 hai người làm
cơng việc nên ta có pt : 2x
+ 2y
=
(2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt :
5 15
2 15
6
1
1
2 12
y x y
x y
x y x
Vậy làm việc riêng rẽ công việc người làm 10 người làm
Bài tập 3:
Hai tổ niên tình nguyện sửa đường vào xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ?
Giải
Gọi thời gian tổ 1sửa xong đường x( ) ( x ≥ ) Thời gian tổ sửa xong đường x + ( )
Trong tổ sửa x
1
( đường ) Trong tổ sửa
1
x (con đường )
Trong hai tổ sửa
(con đường ) Vậy ta có pt: x
1
+
x = 4
4(x 6) 4x x(x 6) x2 2x 24 x1= 6; x2 = -4
X2 = - < , không thoả mãn điều kiện ẩn Vậy tổ sửa xong đường hết ngày tổ sửa xong đường hết 12 ngày
Bài tập 4:
Hai đội công nhân làm đoạn đường Đội làm xong nửa đoạn đường đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội đã làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đường Hỏi đội làm ngày đoạn đường ?
(18)Gọi thời gian đội làm x ngày ( x > ) thời gian đội làm việc x + 30 ( ngày ) Mỗi ngày đội làm 2x
1
( đoạn đường ) Mỗi ngày đội làm 2( 30)
1
x ( đoạn đường )
Mỗi ngày hai đội làm 72
( đoạn đường ) Vậy ta có pt : 2x
1
+ 2( 30)
x = 72
1
Hay x2 -42x – 1080 =
/ = 212 + 1080 = 1521 => / = =39
x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mãn đk ẩn Vậy đội làm 60 ngày , đội làm 90 ngày
Bài 5:
Hai đội cơng nhân trồng rừng phải hồn thành kế hoạch thời gian Đội phải trồng 40 , đội phải trồng 90 Đội hồn thành cơng việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời gian thời gian đội làm đội làm trông thời gian đội làm diện tích trồng hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian đội phải làm theo kế hoạch x ( ngày ) , x > Thời gian đội làm x – ( ngày )
Thời gian đội làm x + ( ngày ) Mỗi ngày đội trồng
40
x (ha)
Mỗi ngày đội trồng 90
x (ha)
Nếu đội làm x + ngày trồng 40
x (x + 2) (ha)
Nếu đội làm x - ngày trồng 90
x (x - 2) (ha)
Theo đầu diện tích rừng trồng dược hai đội trường nên ta có pt:
40
x (x + 2) = 90
x (x - 2)
Hay 5x2 – 52x + 20 = 0
/ = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 x1 =
24 26
= 10 ; x2 = 5
24 26
x2 < , không thoả mãn đk ẩn Vậy theo kế hoạch đội phải làm việc 10 ngày
Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm 25% công việc Hỏi người làm cơng việc xong
(19)Gọi x , y số người thứ người thứ hai làm xong cơng việc ( x > , y > )
Ta có hệ pt
28 24
4
16 1
y x y
x y x
Bài : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai vòi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy , vòi thứ chảy
2
bể Hỏi vịi chảy đầy bể ?
Giải :
Gọi x , y số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể ( x > , y > )
Ta có hệ pt
15 10
5
2 3
5
6 1
y x y
x y x y
x y x
x = 10 , y = 15 thoả mãn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy 10 , vịi thứ hai chảy 15
Bài tập 8 ( 199/24 - 500 BT chọn lọc )
Hai người dự định làm công việc 12 xong Họ làm với người thứ nghỉ , cịn người thứ hai tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi , nên người thứ hai làm xong cơng việc cịn lại 3giờ 20phút Hỏi người thợ làm với suất dự định ban đầu xong cơng việc nói ?
( Đề thi chun tốn vịng tỉnh Khánh hồ năm 2000 – 2001 )
Giải:
Gọi x , y thời gian người thợ thứ người thợ thứ hai làm xong công việc với suất dự định ban đầu
Một người thứ làm x
1
(công việc ) Một người thứ hai làm y
1
(công việc ) Một hai người làm 12
1
(công việc ) Nên ta có pt : x
1 + y
1 = 12
1 (1) hai người làm 12
1 =
2
(cơng việc ) Cơng việc cịn lại -
2 =
1
( công việc )
Năng suất người thứ hai làm y
= y
(Công việc ) Mà thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc lại
10
(20)
: y
= 10
hay
y
= 10
(2) Từ (1) (2) ta có hệ pt :
x
1 + y
1 = 12
1
ó
20 30
y x
y
= 10
Vậy theo dự định người thứ làm xong công việc hết 30giờ người thứ hai hết 20
Bài tập 9: ( 400 bai tập toán )
Hai người A B làm xong công việc trông 72 , cịn người A C làm xong cơng việc trong 63 ngươ B C làm xong công việc 56 Hỏi người làm trong làm xong cơng việc >Nếu ba người làm hồn thành cơng việc ?
Giải :
Gọi người A làm xong cơng việc x (giờ ), x > làm x
1
( cơng việc).Người B làm xong cơng việc y (giờ ), y > làm y
1
( công việc)Người C làm xong cơng việc z (giờ ), z > làm z
1
( cơng việc)
Ta có hpt :
4 100
504 126
504 168
504
56 1
63 1
72 1
z y x
z y
z x
y x
Nếu ba người làm yhì làm x
1 + y
1 + z
1
= 504 12
( cơng việc ) Vậy ba ngưịi làm hoàn thành cong việc 12 42
504
(giờ )
Bài tập 10: ( 258 /96 – nâng cao chuyên đề )
Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong cơng việc thời gian để đội II làm xong cơng việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong cơng việc Hỏi đội làm phải xong
Giải :
Gọi thời gian đội I làm xong cơng việc x ( x > ) Suy thời gian đội II làm xong cơng việc x + Trong hai đội làm chung : ( 4)
4 1
x x
x x
x ( công việc )
Thời gian để hai đội làm chung xong công việc ) (
x x x
(21)Vậy ta có pt : 2x + = 4,5 ) (
x x x
hay x2 + 4x – 32 = ó x1 = - ( loại ) x2 = ( thoả mãn điều kiện ẩn )
Vậy Đội I làm xong cơng việc hết , đội hai hết
Bài 1:
Hai người thợ làm chung cơng việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm
3
công việc Hỏi người làm cơng việc xong?
Bài 2:
Nếu vịi A chảy vịi B chảy
hồ Nếu vòi A chảy vòi B chảy 30 phút
1
hồ Hỏi chảy mỗI vịi chảy đầy hồ
Bài 3:
Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể?
Dạng 3: Tốn liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy?
Bài 2:
Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngối năm nay?
Dạng 4: Tốn có nội dung hình học. Bài 1:
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m2.
Bài 2:
Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu
Bài 3:
Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vng. Dạng 5: Tốn tìm số.
Bài 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
(22)Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư
Bài 3:
Nếu tử số phân số tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số
Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số 24
5
Tìm phân số Bài 4:
Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng
3
Tìm phân số
Chủ đề 6: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Dạng 1: Phương trình có ẩn số mẫu. Giải phương trình sau:
1 t 5t 2t t 1 t t c) 1 2x 3 x 3 x 1 2x b) 6 1 x 3 x 2 x x a) 2
Dạng 2: Phương trình chứa thức.
2 B A 0 B B A Lo¹i B A 0) (hayB 0 A B A Lo¹i
Giải phương trình sau:
x 1 x 3x
e) x 2x x d) x 3x 2x c) 14 5x 3x x b) x 11 3x 2x a) 2 2 2
Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giải phương trình sau:
3x 4x x x d) 4x x x x 2x x c) 2x x 2x x b) x x x a) 2 2 2
Dạng 4: Phương trình trùng phương. Giải phương trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0. Dạng 5: Phương trình bậc cao.
(23)Bài 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bài 2:
a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0
3x x 3x x k) x 2x 13x 5x 2x 2x i) x x 10 x 48 x h) 24 3x 2x 3x 2x g) 4x x 10 4x x 21 f) x x 3x x x x e) 23 x x 16 x x d) x x x x c) 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 3:
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 =
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bài tập nhà:
Giải phương trình sau:
3x x 2x x 2x x d) x x x 2x c) x x x 4x b) 1 x x a) 2 2
a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0
c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)
3
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0
e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0
a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0 c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – = 0
6
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 c) x2 – 4x – 10 - 3 x2x 6 = 0 d) x
(24)e) x 5 x x5 x 5
a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5
c) x 26
1 x 16 x
1 x 2
d) x
1 x x
1 x 2 2
1 x x x x f) x x 4x 4x e)
2 x 3x x d) x 6x 2x c)
1 x x 2x b) 14
x 4x x a)
3
3
2
3
2
9 Định a để phương trình sau có nghiệm
a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0 c) 2t4 – 2at2 + a2 – = 0.
Phần II: HÌNH HỌC
PHẦN HÌNH HỌC
HỆ THỐNG LÝ THUYẾT – HỆ THỐNG BÀI TẬP
1.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
ABC
vuông A AB2 AC2 BC2
2.Hệ thức lượng tam giác vuông
B
H C
A
1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC
2) AB.AC = AH.BC
3) AH2 = BH.HC
4) 2
1 1 1
AH AB AC Kết quả:
-Với tam giác cạnh a, ta c:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
3.Tỉ số lượng giác góc nhọn
(25)AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cot g
BC AC BC AC AC HC AB AH
b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC
Kết suy ra:
1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cot g tg
sin cos
2) sin 1; 0 cos <1; tg ; cot g
cos sin
2
2
1 1
3) sin cos 1; tg cot g 1; 1 cot g ; 1 tg
sin cos
4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó:
2 2
ABC
1
a b c 2bc.cosA; S bcsin A 2
3.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác đồng dạng
-Khái niệm:
A A'; B B'; C C' ABC A'B'C' khi AB AC BC
A'B' A'C' B'C'
-Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g
-Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vng: góc nhọn; hai cạnh góc vng; cạnh huyền - cạnh góc vng…
*Tính chất: Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tich bình phương tỉ số đồng dạng
2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông, …
Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD
-Chứng minh hai tam giác MAC MDB đồng dạng hai tam giác MAD MCB
-Trong trường hợp điểm nằm trịn đường thẳng cần chứng minh tích tích thứ ba
Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB chứng minh hai tam giác MTA MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba
Ngồi cần ý đến việc sử dụng hệ thức tam giác vuông; phương tích điểm với đường trịn
4.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp chứng minh
(26)-Chứng minh tứ giác cóhai góc đối diện bù
-Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc -Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù
-Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nội tiếp (Trong M AB CD; N AD BC)
-Nếu PA.PC = PB.PD tứ giỏc ABCD nội tiếp (Trong P AC BD) -Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; …
Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc đường trịn ta chứng minh điểm lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn”
B BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau
H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 900 ( Vì BE đường cao) CDH = 900 ( Vì AD đường cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE đường cao => BE ^ AC => BEC = 900
CF đường cao => CF ^ AB => BFC = 900
Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường trịn đường kính BC
Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn
3. Xét hai tam giác AEH ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â góc chung
=> AEH ~ADC => AC
AH AD AE
=> AE.AC = AH.AD
* Xét hai tam giác BEC ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C góc chung
=> BEC ~ADC => AC
BC AD BE
(27)4 Ta có C1 = A1 ( phụ với góc ABC)
C2 = A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM)
=> C1 = C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB ^ HM => CHM cân C
=> CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC
5 Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường trịn => C1 = E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp
C1 = E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) E1 = E2 => EB tia phân giác góc FED
Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường
tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2. Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn
3. Chứng minh ED =
BC
4. Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn (O)
5. Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 900 ( Vì BE đường cao)
CDH = 900 ( Vì AD đường cao)
=> CEH + CDH = 1800
Mà CEH CDH hai góc đối tứ giác
CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp
2 Theo giả thiết: BE đường cao => BE ^ AC => BEA = 900
AD đường cao => AD ^ BC => BDA = 900
Như E D nhìn AB góc 900 => E D nằm đường trịn đường kính AB
Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn
Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến
=> D trung điểm BC Theo ta có BEC = 900
Vậy tam giác BEC vng E có ED trung tuyến => DE =
1 BC
Vì O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1)
Theo DE =
BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2)
Mà B1 = A1 ( phụ với góc
ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3
Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2
+ E3 = 900 = OED => DE ^ OE
E
Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E
Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vng E ta có ED2 = OD2 – OE2 ó ED2
2 – 32 ó ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đường tròn đường kính
(28)By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N
1.Chứng minh AC + BD = CD
1.
2.Chứng minh COD = 900
3.Chứng minh AC BD =
AB
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD
5.Chứng minh MN ^ AB
6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
Lời giải:
1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân
giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900
2.Theo COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM ^ CD ( OM tiếp tuyến )
Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có OM2 = CM DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = 4
2
AB
2. Theo COD = 900 nên OC ^ OD (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM ^ OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vng góc với OD)
3.Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình
thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB
IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB O => AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD
6 Theo AC // BD => BD AC BN CN
, mà CA = CM; DB = DM nên suy DM CM BN CN
=> MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB
7 ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp
góc
A , O trung điểm IK
1. Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn
2. Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O)
3. Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Lời giải: (HD)
(29)Do BI ^ BK hayIBK = 900
Tương tự ta có ICK = 900 B C nằm đường trịn đường kính IK
đó B, C, I, K nằm đường trịn
2. Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác góc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( IHC = 900 )
I1 = ICO (3) ( tam giác OIC cân O)
Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC ^ OC Vậy AC tiếp tuyến đường tròn (O)
3. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 122 = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH = 16 122
AH CH
= (cm) OC = OH2 HC2 92 122 225 = 15 (cm)
Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy
điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM
AB
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn
3. Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4. Chứng minh OAHB hình thoi
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6. Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d
Lời giải:
1. (HS tự làm)
2. Vì K trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường
kính
Và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900
K, A, B nhìn OM góc 900 nên nằm đường trịn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn
3 Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM trung trực AB => OM ^ AB I
Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI đường cao
Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4 Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH
(30)=> Tứ giác OAHB hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi
5 Theo OAHB hình thoi => OH ^ AB; theo OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì
qua O có đường thẳng vng góc với AB)
6 (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi HD
đường kính đường trịn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E 1.Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH 3.Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH)
4.Chứng minh BE = BH + DE
Lời giải: (HD)
1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2)
Vì AB ^CE (gt), AB vừa đường cao vừa đường trung tuyến BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2
2 Hai tam giác vuông ABI ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI =
AH
3 AI = AH BE ^ AI I => BE tiếp tuyến (A; AH) I
4 DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P
sao
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M
1 Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn
2 Chứng minh BM // OP
3 Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành
4 Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Lời giải:
1. (HS tự làm)
2.Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM góc tâm
chắn cung AM => ABM =
AOM
(1) OP tia phân giác
AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) => AOP =
AOM
(2)
Từ (1) (2) => ABM =
AOP (3)
Mà ABM AOP hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4)
3.Xét hai tam giác AOP OBN ta có : PAO=900 (vì PA tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NO^AB)
=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)
Từ (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai cạnh đối song song nhau)
4 Tứ giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ^ AB => ON ^ PJ
Ta có PM ^ OJ ( PM tiếp tuyến ), mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ
(6)
Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật có PAO = AON = ONP = 900 => K trung điểm
PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6)
AONP hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7)
(31)Từ (7) (8) => IPO cân I có IK trung tuyến đơng thời đường cao => IK ^ PO (9)
Từ (6) (9) => I, J, K thẳng hàng
Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác
A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3) Chứng minh BAF tam giác cân
4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn
Lời giải:
1 Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> KMF = 900 (vì hai góc kề bù)
AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn )
=> KEF = 900 (vì hai góc kề bù)
=> KMF + KEF = 1800 Mà KMF KEF hai góc đối
của tứ giác EFMK EFMK tứ giác nội tiếp
1. Ta có IAB = 900 ( AI tiếp tuyến ) => AIB vng A
có AM ^ IB ( theo trên)
Áp dụng hệ thức cạnh đường cao => AI2 = IM . IB.
2. Theo giả thiết AE tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí ……)
=> ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE
là tia phân giác góc ABF (1)
Theo ta có AEB = 900 => BE ^ AF hay BE đường cao
tam giác ABF (2)
Từ (1) (2) => BAF tam giác cân B
3. BAF tam giác cân B có BE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm AF (3)
Từ BE ^ AF => AF ^ HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM
hay AE tia phân giác HAK (5)
Từ (4) (5) => HAK tam giác cân A có AE đường cao nên đồng thời đương trung tuyến => E trung điểm HK (6)
Từ (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường)
4. (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI hình thang
Để tứ giác AKFI nội tiếp đường trịn AKFI phải hình thang cân
AKFI hình thang cân M trung điểm cung AB Thật vậy: M trung điểm cung AB => ABM = MAI
= 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vng A có
ABI = 450 => AIB = 450
(8)
Từ (7) (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI hình
thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau)
Vậy M trung điểm cung AB tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn
Bài 9 Cho nửa đường tròn (O;
R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E)
1. Chứng minh AC AE không đổi
2. Chứng minh ABD = DFB
3. Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Lời giải:
1.C thuộc nửa đường tròn nên
ACB = 900 ( nội tiếp chắn
nửa đường tròn ) => BC ^ AE ABE = 900 ( Bx tiếp
(32)giữa cạnh đường cao ), mà AB đường kính nên AB = 2R khơng đổi AC AE khơng đổi
2. ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> ABD + BAD = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800)
(1)
ABF có ABF = 900 ( BF tiếp tuyến )
=> AFB + BAF = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800)
(2)
Từ (1) (2) => ABD = DFB ( phụ với BAD)
3.Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD + ACD = 1800
ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc kề bù) => ECD = ABD
( bù với ACD)
Theo ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB =
1800 ( Vì hai góc kề bù) nên suy
ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD EFD hai góc đối tứ giác CDFE tứ giác CEFD
tứ giác nội tiếp
Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa
đường tròn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đường
vng góc từ S đến AB
1.Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh ∆ PS’M cân 2.Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn
Lời giải:
1 Ta có SP ^ AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa
đường tròn ) => AMS = 900 Như P M nhìn AS
góc 900 nên nằm đường trịn đường kính AS. Vậy bốn điểm A, M, S, P nằm đường trịn
2 Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm đường tròn nên M’ nằm đường tròn => hai cung AM AM’ có số đo
=> AMM’ = AM’M ( Hai góc
nội tiếp chắn hai cung nhau) (1)
Cũng M’đối xứng M qua AB nên MM’ ^ AB H =>
MM’// SS’ ( vng góc với AB)
=> AMM’ = AS’S; AM’M
= ASS’ (vì so le trong) (2)
=> Từ (1) (2) => AS’S = ASS’
Theo bốn điểm A, M, S, P nằm đ/ tròn =>
ASP=AMP (nội tiếp
chắn AP )
=> AS’P = AMP => tam
giác PMS’ cân P
3 Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS’ vuông M =>
B1 = S’1 (cùng phụ với S)
(3)
Tam giác PMS’ cân P =>
S’1 = M1 (4)
Tam giác OBM cân O ( có OM = OB =R) => B1 = M3
(5)
Từ (3), (4) (5) => M1 = M3
=> M1 + M2 = M3 + M2
mà M3 + M2 = AMB = 900
nên suy M1 + M2 = PMO
= 900 => PM
^ OM M => PM
là tiếp tuyến đường tròn M
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB =
(33)1. Tam giác DEF có ba góc nhọn
2. DF // BC 3 Tứ giác BDFC nội tiếp 4
CF BM CB BD
Lời giải:
1 (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF cân A => ADF = AFD < 900 => sđ cung DF < 1800
=> DEF < 900 ( góc DEF nội tiếp chắn cung DE)
Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Như tam
giác DEF có ba góc nhọn
2 Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) =>
AD AF
AB AC => DF //
BC
3 DF // BC => BDFC hình thang lại có B = C (vì tam giác
ABC cân)
=> BDFC hình thang cân BDFC nội tiếp đường trịn
4 Xét hai tam giác BDM CBF Ta có DBM = BCF (
hai góc đáy tam giác cân)
BDM = BFD (nội tiếp
cùng chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF
=> BDM ~CBF =>
CF BM CB BD
Bài 12 Cho đường trịn (O)
bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến
tại N đường tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp
2 Tứ giác CMPO hình bình hành
3 CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
4 Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định
Lời giải:
1 Ta có OMP = 900 ( PM ^ AB ); ONP = 900 (vì NP tiếp
tuyến )
Như M N nhìn OP góc 900 => M N nằm đường trịn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp
2 Tứ giác OMNP nội tiếp => OPM = ONM (nội tiếp chắn cung
OM) Tam giác ONC cân O có ON = OC = R => ONC =
OCN
=> OPM = OCM
Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP
= 900;
OPM = OCM
=> CMO = POM lại có
MO cạnh chung => OMC
= MOP => OC = MP (1)
Theo giả thiết Ta có CD ^
AB; PM ^ AB => CO//PM
(34)Từ (1) (2) => Tứ giác CMPO hình bình hành
3. Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD ^ AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC =
900 lại có
C góc chung => OMC ~NDC
=>
CM CO
CD CN => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD
= 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 không đổi hay tích CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M
4. ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy
trên đường thẳng cố định vng góc với CD D
Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’ B’ song song AB
Bài 13 Cho tam giác ABC
vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
1 Chứng minh AFHE hình chữ nhật
2 BEFC tứ giác nội tiếp
3 AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp
tuyến chung hai nửa đường tròn
Lời giải:
1 Ta có : BEH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường trịn )
=> AEH = 900 (vì hai góc kề bù) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )
=> AFH = 900 (vì hai góc kề bù).(2)
EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vng A) (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE hình chữ nhật ( có ba góc vng)
2 Tứ giác AFHE hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH ^BC
nên AH tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp chắn cung HE) => B1= F1
=> EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì
là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC EFC hai góc đối tứ giác BEFC BEFC tứ giác nội
tiếp
3 Xét hai tam giác AEF ACB ta có A = 900 góc chung; AFE
= ABC ( theo Chứng minh trên)
=> AEF ~ACB =>
AE AF
ACAB => AE AB = AF AC.
* HD cách 2: Tam giác AHB vng H có HE ^ AB => AH2 =
AE.AB (*)
Tam giác AHC vng H có HF ^ AC => AH2 = AF.AC
(**)
Từ (*) (**) => AE AB = AF AC
4 Tứ giác AFHE hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1
O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => E2 = H2
=> E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1
+ E2 = O1EF = 900
=> O1E ^EF
Chứng minh tương tự ta có O2F ^ EF Vậy EF tiếp tuyến
chung hai nửa đường tròn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng
AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, Đường vng góc với AB C cắt nửa đường trịn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA,
EB với nửa đường tròn (I), (K) 1.Chứng minh EC = MN
2.Ch/minh MN tiếp tuyến chung nửa đ/tròn (I), (K)
3.Tính MN
4.Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn
Lời giải:
1 Ta có: BNC= 900( nội tiếp
chắn nửa đường tròn tâm K)
(35)AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường trịn tâm I) => EMC = 900 (vì hai góc kề bù).(2)
AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật ) 2 Theo giả thiết EC ^AB C nên EC tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) (K)
=> B1 = C1 (hai góc nội tiếp chắn cung CN) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên => C1= N3
=> B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5)
Từ (4) (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN ^
KN N => MN tiếp tuyến (K) N
Chứng minh tương tự ta có MN tiếp tuyến (I) M, Vậy MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K)
3 Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường trịn tâm O) => AEB vng A có EC ^ AB (gt)
=> EC2 = AC BC ó EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo EC = MN => MN = 20 cm.
4 Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta có S(o) = .OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = .52 = 25 ; S(k) = .KB2 = 202 = 400. Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường tròn S =
1
2 ( S(o) - S(I) - S(k)) S =
1
2( 625- 25- 400) =
2.200 = 100 314 (cm2)
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường
kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh CA tia phân giác góc SCB
3 Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
4 Chứng minh DM tia phân giác góc ADE
5 Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Lời giải:
1. Ta có CAB = 900 ( tam giác ABC vng A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn ) => CDB = 900 D A nhìn BC góc 900 nên A D nằm
trên đường tròn đường kính BC => ABCD tứ giác nội tiếp
2. ABCD tứ giác nội tiếp => D1= C3( nội tiếp chắn cung AB)
D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung nhau)
=> CA tia phân giác góc SCB
3 Xét CMB Ta có BA^CM; CD ^ BM; ME ^ BC BA, EM, CD ba đường cao tam
giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy
(36)5. Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900
Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đối nên
tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => A2 = B2
Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp chắn cung CD)
=> A1= A2 => AM tia phân giác góc DAE (2)
Từ (1) (2) Ta có M tâm đường trịn nội tiếp tam giác ADE
TH2(Hình b)
Câu : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bùADC) => CME = CDS
=> CE CS SM EM => SCM = ECM => CA tia phân giác góc SCB
Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt
BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh :
1 Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp
3 AC // FG
4 Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy
Lời giải:
1 Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC
vng A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
=> DEB = BAC = 900 ; lại có ABC góc chung => DEB ~ CAB
2 Theo DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( ABC vng A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà
hai góc đối nên ADEC tứ giác nội tiếp
* BAC = 900 ( tam giác ABC vng A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn )
hay BFC = 900 F A nhìn BC góc 900 nên A F nằm đường
trịn đường kính BC => AFBC tứ giác nội tiếp
3 Theo ADEC tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà hai góc so le
trong nên suy AC // FG
4 (HD) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S
Bài 17. Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B
C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC
1. Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường trịn ngoại tiếp tứ giác
2. Chứng minh MP + MQ = AH
3. Chứng minh OH ^ PQ
Lời giải:
1. Ta có MP ^ AB (gt) => APM = 900; MQ ^ AC (gt)
=> AQM = 900 P Q nhìn BC góc
bằng 900 nên P Q nằm đường trịn đường kính AM => APMQ tứ giác nội tiếp
* Vì AM đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ trung điểm AM
2 Tam giác ABC có AH đường cao => SABC =
2BC.AH. Tam giác ABM có MP đường cao => SABM =
1
2AB.MP
(37)Ta có SABM + SACM = SABC =>
2AB.MP +
2AC.MQ =
2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH
3 Tam giác ABC có AH đường cao nên đường phân giác => HAP = HAQ => HP HQ
( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác góc POQ Mà tam
giác POQ cân O ( OP OQ bán kính) nên suy OH đường cao => OH ^ PQ
Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O,
B) ; đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC
1. Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I
3. Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội
Lời giải:
1 BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trịn ) => BID = 900 (vì hai góc kề bù); DE ^ AB
M => BMD = 900
=> BID + BMD = 1800 mà hai góc đối tứ giác MBID nên MBID tứ giác nội tiếp
2 Theo giả thiết M trung điểm AB; DE ^ AB M nên M trung điểm DE (quan
(38)=> Tứ giác ADBE hình thoi có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường
3 ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD ^ DC; theo BI ^ DC => BI // AD
(1)
4 Theo giả thiết ADBE hình thoi => EB // AD (2)
Từ (1) (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) 5 I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM trung tuyến ( M trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; O’IC cân O’ ( O’C O’I bán
kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3
+ I2 Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI ^ O’I I => MI
tiếp tuyến (O)
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình.
Bài 1:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L
a) Chứng minh DI = IL = LE
b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật
c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có đường chéo vng góc với I
a) Chứng minh từ I ta hạ đường vng góc xuống cạnh tứ giác đường vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh
b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật
c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác
Bài 3:
Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đường cao Hai đường trịn đường kính AB AC
có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O1) (O2) M N
a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì?
c) Gọi F, E, G trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H
(39)
Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M
a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân
đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm một đường tròn.
Bài 1:
Cho hai đường tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) điểm E, F Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đường tròn
c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2:
Cho tam giác ABC Hai đường cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.Xác định tâm O đường tròn
b) Đường thẳng DH cắt đường trịn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đường tròn
Bài 3:
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đường tròn (O') C, tia O'A cắt đường tròn (O) D Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OO'CD nội tiếp
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đường tròn Bài 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường trịn đường kính AD Hai đường chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp
Bài 5:
Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD ^ AB, CE ^ MA, CF ^ MB
Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp
b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bài 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Vẽ hai đường cao BD CE
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA ^ DE
(40)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N
a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC
c)* Gọi D giao điểm AB CM Chứng minh rằng: MD MB
1 AM
1
Bài 8:
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đường tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đường kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp b) AD AE = AF AN
c) Đường thẳng MF qua điểm cố định Bài 9:
Từ điểm A bên ngồi đường trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D
a) Chứng minh MB2 = MC MN b) Chứng minh AB// CD
c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10:
Cho đường trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C
a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp
b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Chứng minh MAB =
AO'D
d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 11:
Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E AD)
a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đường trịn nói biết AC= 6cm, ACB = 300
Bài 12:
Cho đường trịn tâm O có đường kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đường vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiếp
b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB
c) Chứng minh AM tiếp tuyến đường trịn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đường tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600
Bài 13:
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đường tròn Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D tiếp điểm)
(41)
b) Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R
d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600 Bài 14:
Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia
AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn
b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng
c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao?
d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy.
Bài 1:
Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D'
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp
c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2:
Từ điểm C ngồi đường trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N
a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài 3:
Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O') D
a) Tứ giác BEFC hình gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng
c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’)
Bài 4:
Cho đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O’)) AD cắt BE M
a) Tam giác MAB tam giác gì?
b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O’)
c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng
d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K Chứng minh OI // AK
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bài 1:
Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
(42)
b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định
Bài 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN
c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3:
Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN
d) Chứng minh: IM.IN = IA2. Bài 4:
Cho nửa đường trịn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN
a) So sánh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành
d) Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định Bài 5:
Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD
a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định
d) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh EC = EK
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học.
Bài 1:
Cho đường tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Chứng minh MB.BD = BC.MD
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B
d) Gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động AB
Bài 2:
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B C E
a) Chứng minh CE = AC + BE b) Chứng minh AC.BE = R2.
(43)
d) Xét trường hợp hai đường thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB
+ Chứng minh rằng: FB FA HB HA
+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đường tròn Bài 3:
Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đường thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng: PC
1 PB
1 PQ
1
Bài 4:
Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:
a) 2 a2 AC
1 AB
1
b) AB2 + AC2 = 4R2.
Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích. Bài 1:
Cho hai đường tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B
(O); C (O’))
a) Chứng minh góc O’OB 600. b) Tính độ dài BC
c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đường tròn Bài 2:
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K)
a) Chứng ming EC = MN
b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Bài 3:
Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi
b) Cho biết BAC = 600 bán kính đường trịn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC Bài 4:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp , K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đường tròn (O)
c) Tính bán kính đường trịn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5:
Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R E điểm đường tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB
(44)
b) OM cắt đường tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh
ACM đồng dạng với AEC
c) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC
2
Tính AC, AE, AM, CM theo R
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích. Bài 1:
Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM
a) Chứng minh BPM cân
b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O) Bài 2:
Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ
a) Chứng minh góc QMO góc QPO đường trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d
b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?
c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3:
Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI
a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp
b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào?
c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn
Chủ đề 8: Một số tốn mở đầu hình học khơng gian. Bài 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật
Bài 2:
Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương
Bài 3:
Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600. Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật
Bài 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.
Bài 5:
Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC
a) Chứng minh SA = SB = SC
(45)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao 2
a
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác
b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp
b) Tính thể tích hình chóp Bài 8:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy
b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9:
Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt
Bài 10:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
a) Tính thể tích hình chóp
b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
Bài 11:
Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích
xung quanh Bài 12:
Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích
hình nón Bài 13:
Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12 cm đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài 14: