HINH 11 ON TAP CHUONG III

Laáy ñieåm S naèm ngoaøi maët phaúng (ABC). Cho hình laêng truï ABC.DEF.. Caùc ñöôøng thaúng veõ töø M vaø N song song vôùi CF laàn löôït caét DF vaø EF taïi P vaø Q. Goïi M vaø N laàn l[r]

CHƯƠNG III:

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa phép tốn

 Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng

 Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta coù: AB AD AC    

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta coù: AB AD AA  'AC'    

+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý Ta có: IA IB 0

                         

  

; OA OB 2OI   

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có:

0;

GA GB GC   OA OB OC   OG

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

       

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có:

0;

GA GB GC GD    OA OB OC OD    OG         

+ Điều kiện hai vectơ phương: a b phương a  (0)   !k R b ka:  + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có:

;

1 OA kOB

MA kMB OM

k 

 

  

  

2 Sự đồng phẳng ba vectơ

 Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , , a b  khơng phương Khi đó: a b c, , đồng phẳng  ! m, n  R: c ma nb  

 Cho ba vectơ a b c, ,  không đồng phẳng, x tuỳ ý Khi đó: ! m, n, p  R: x ma nb pc    3 Tích vơ hướng hai vectơ

 Góc hai vectơ khơng gian:

 

, ( , ) (0 180 )

AB u AC v   u v BAC BAC

 

   

 Tích vơ hướng hai vectơ không gian: + Cho u v , 0 Khi đó: u v u v    .cos( , )u v  + Với u0hoặc v0 Qui ước: u v  0

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ.

1.Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm EF. a) Chứng minh: IA IB IC ID   0

    

b) Chứng minh: MA MB MC MD   4MI     

, với M tuỳ ý

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) cho: MA MB MC MD      

nhỏ 2. Chứng minh tứ diện bất kì, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh

đối đồng qui trung điểm chúng (Điểm đồng qui gọi trọng tâm tứ diện)

3. Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C, D điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k  1) Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có trọng tâm

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng. Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng.

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n  R: c ma nb   a b c, ,

  

đồng phẳng

 Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a b c, ,  khơng đồng phẳng, ta tìm số m, n, p sao cho: x ma nb pc   

1.Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M cho MS2MA

 

đoạn BC lấy điểm N cho

1 NB NC

 

Chứng minh ba vectơ AB MN SC, ,

  

đồng phẳng HD: Chứng minh

2

3

MN  AB SC

  

2.Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P Q trung điểm NG JH

a) Chứng minh ba vectơ MN FH PQ, ,   

đồng phẳng b) Chứng minh ba vectơ IL JK AH, ,

  

đồng phẳng HD: a) MN FH PQ, ,

  

có giá song song với (ABCD). b) IL JK AH, ,

  

có giá song song với (BDG)

3 Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE

a) Chứng minh ba vectơ AJ GI HK, ,   

b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho

1 FM CN

FA CE  Các đường thẳng vẽ từ M N song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ MN PQ CF, ,

  

đồng phẳng

4.Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm CD DD; G và G trọng tâm tứ diện ADMN BCCD Chứng minh đường thẳng GG mặt phẳng (ABBA) song song với

HD: Chứng minh  

1

' '

8

GG  AB AA

  

 AB AA GG, ', '   

đồng phẳng. 5.Cho ba vectơ a b c, ,  không đồng phẳng vectơ d

a) Cho d ma nb   với m n  Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) b c d, ,  ii) a c d , ,

b) Cho d ma nb pc    với m, n p  Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: i) a b d, ,  ii) b c d, ,  iii) a c d , ,

HD: Sử dụng phương pháp phản chứng.

6.Cho ba vectơ a b c, ,  khác 0 ba số thực m, n, p  Chứng minh ba vectơ

, ,

x ma nb y pb mc z nc pa         đồng phẳng. HD: Chứng minh px ny mz  0.

7.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC coù AA'a AB b AC c,  , 

   

 

Haõy phân tích vectơ B C BC' , '

 

theo vectơ a b c, ,  HD: a) B C c a b'   

 

 

b) BC'  a c b

 

  . 8.Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC.

a) Phân tích vectơ OG 

theo caùc ba OA OB OC, ,   

b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD 

theo ba vectô , ,

OA OB OC  

HD: a)  

1

OG OA OB OC 

                                                       

b)  

1

OD OA OB OC 

                                                        . 9.Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp.

a) Phân tích hai vectơ OI vaø AG                            

theo ba vectô OA OC OD, ,   

b) Phân tích vectơ BI theo ba vectô FE FG FI, ,

  

HD: a)  

1

OI  OA OC OD     

, AGOA OC OD     

. b) BI FE FG FI      

. 10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH

a) Phân tích vectơ AE 

theo ba vectô AC AF AH, ,   

b) Phân tích vectơ AG



theo ba vectô AC AF AH, ,   

HD: a)  

1

AE AF AH AC     

b)  

1

AG AF AH AC     

VẤN ĐỀ 3: Tích vơ hướng hai vectơ khơng gian 1.Cho hình lập phương ABCD.ABCD.

a) Xác định góc cặp vectơ: AB A C' '

 

, AB vaø A D' '

 

, AC vaø BD'

 

b) Tính tích vơ hướng cặp vectơ: AB A C' '

 

, AB vaø A D' '

 

, AC BD'

 

2.Cho hình tứ diện ABCD, AB  BD Gọi P Q điểm thuộc các

đường thẳng AB CD cho PA kPB QC kQD , 

   

(k  1) Chứng minh AB PQ

 

II HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

1 Vectơ phương đường thẳng: a0 VTCP d giá a song song hoặc trùng với d

2 Góc hai đường thẳng:  a//a, b//b  a b,  a b', '

 Giả sử u VTCP a, v VTCP b, ( , )u v  

Khi đó:



 ,  0 000 18000

180 90 180

neáu a b

neáu 

  



  

 

 

 

 Nếu a//b a  b a b,  00 Chú ý: 00a b, 900

3 Hai đường thẳng vng góc:  a  b  a b,  900

 Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b  u v  0

 Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau:

1 Chứng minh góc hai đường thẳng 900.

2 Chứng minh vectơ phương đường thẳng vng góc với nhau. 3 Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).

1.Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB BSC CSA  Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB

HD: Chứng minh               SA BC = 0

2.Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. a) Chứng minh AO vng góc với CD

b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM

HD: b)



cos( , ) AC BM 

.

a) CMR đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối diện vng góc với cạnh b) Tính góc hợp cạnh đối tứ diện

HD: b)

2 2 2

2 2

arccos a c ; arccos b c ; arccos a b

b a c

  

.

4.Cho hình chóp SABCD, có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạnh AD (M  A D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q

a) Chứng minh MNPQ hình thang vng

b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a x

5.Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cạnh Chứng minh AC  BD, AB  CD, AD  CB

III ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 1 Định nghĩa

d  (P)  d  a, a  (P)

2 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng

, ( ), ( )

,

a b P a b O d P

d a d b

   

  

 

 3 Tính chất

 Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm

Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

 ( ) ( )

a b P b

P a

 

 

 

  ( ), ( )

a b a b

a P b P

 

  

 

 

( ) ( ) ( ) ( )

P Q a Q

a P

 

  



 

( ) ( ) ( ) ) ( )PP a QQ,( ) a P Q  

  

 

 

( ) ( )

a P b a

b P

    



 

( ) )

,( )

a P a P

a b P b

 

  

 

 4 Định lí ba đường vng góc

Cho a ( ),P b( )P , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a 5 Góc đường thẳng mặt phẳng

 Nếu d  (P) d P,( ) = 900.

 Nếu d ( )P d P,( ) = d d, ' với d hình chiếu d (P). Chú ý: 00  d P,( )  900.

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vng góc

* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

 Chứng minh d // a a  (P)

* Chứng minh hai đường thẳng vng góc

Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a

 Sử dụng định lí ba đường vng góc

 Sử dụng cách chứng minh biết phần trước

1.Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K là hình chiếu vng góc A SB, SC, SD

a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC)

b) CMR: AH, AK vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng

c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI

2.Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vng B; SA  (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH  SC

3.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD)

b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) 4.Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC.

a) Chứng minh: BC  (AID)

b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD)

5.Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng:

a) BC  (OAH)

b) H trực tâm tam giác ABC

c) 2 2

1 1

OH OA OB OC .

d) Các góc tam giác ABC nhọn

6.Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD

a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H hình chiếu vng góc S IJ CMR: SH  AC

c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a HD: a) a,

3 , 2 a a

c) a

7.Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD

a) CMR: SH  (ABCD)

b) Chứng minh: AC  SK CK  SD

8.Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vng D có SD = a

b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

HD: a) a 2. c)

2

15 a

.

9.Gọi I điểm đường trịn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường trịn (O) Chứng minh rằng:

a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE

c) Tam giác SCD vuông

10. Cho MAB vng M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC

a) Chứng minh: CC  (MBD)

b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD 11. Cho hình tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2.

b) Từ suy tứ diện có cặp cạnh đối vng góc với cặp cạnh đối cịn lại vng góc với

VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vng góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vng góc với đường thẳng cho, đó

mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng ấy.

1.Cho hình chóp SABCD, có đáy hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M vng góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a)

a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x

HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x).

2.Cho tứ diện SABC, có đáy tam giác cạnh a; SA  (ABC) SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B vng góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết diện

HD: S =

2 15 20 a

.

3.Cho tứ diện SABC với ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) SA = a 3 M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) mặt phẳng qua M vng góc với AB

a) Tìm thiết diện tứ diện với (P)

HD: b) S = 3x(a – x); S lớn x = 2 a .

4.Cho hình tứ diện SABC với ABC tam giác cạnh a, SA  (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (P) qua S vng góc với BC

b) (P) qua A vng góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC vng góc với AB

HD: a)

2 3 a

. b)

2 21

49 a

. c)

2

32 a

.

5.Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB

a) CMR:

2 SH

SB  .

b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện HD: b) S =

2

18 a VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P)

 Tìm giao điểm O a với (P)

 Chon điểm A  a dựng AH  (P) Khi AOH( ,( ))a P

1.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O; SO  (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết (MN ABCD,( )) 60 0.

a) Tính MN SO

b) Tính góc MN (SBD)

HD: a) MN =

10 a

; SO = 30 a

b) sin



( ,( )) MN SBD 

.

2.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA  (ABCD) SA = a Tính góc giữa:

a) SC (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC)

HD: a) 600 b) arctan

1

7 c) arcsin

1

14 d) arcsin

21 .

3.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật; SA  (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc  hợp với mặt bên SAB góc 

a) Tính SA

b) CMR: AB = a cos( ).cos( ). HD: a) a.sin

4.Cho hình chóp SABC, có ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC  Biết SA, SB, SC hợp với mặt phẳng (ABC) góc 

HD: b) sin

2 cos

a 

 .

5.Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA  (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300.

a) Tính AA

b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC)

c) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN (BAC)

HD: a) a 2. b)

66 11 a

. c) arcsin 54 55 .

6.Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vng cân A; AA  (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc  mặt bên BCCB góc 

a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a  b) Chứng minh rằng: cos = 2sin

HD: a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a 2cos; AA = a.sin.

IV HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 1 Góc hai mặt phẳng





   

( ) ( ),( ) , ( )

a P P Q a b

b Q

 

 

  

 Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng

( ), ( ),

a P a c

b Q b c

  



 

  ( ),( )P Q  a b,  Chú ý: 00( ),( )P Q 900

2 Diện tích hình chiếu đa giác

Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = ( ),( )P Q  Khi đó: S = S.cos

3 Hai mặt phẳng vuông góc  (P)  (Q)  ( ),( )P Q  900

 Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau:

( ) ( ) ( ) ( )

P a P Q

a Q

 

 

   4 Tính chất



( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ),

P Q P Q c a Q

a P a c

   

  

 

 

( ) ( )

( ) ( )

, ( )

P Q

A P a P

a A a Q

  

  



   



( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

P Q a

P R a R

Q R

  



  

VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng

Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng các cách sau:

 Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q) Khi đó: ( ),( )P Q  a b, .  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng

( ), ( ),

a P a c

b Q b c

  



 

  ( ),( )P Q  a b, 

1.Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC

a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) HD: a) (SAC SBC),( )= 600 b) cos



(( ),( )) 10 SEF SBC 

.

2.Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O; SA  (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600.

HD: SA = a.

3.Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) SA = a

a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) HD: a) tan((SAD SBC),( )) b) cos

 10

(( ),( ))

SBC SCD 

.

4.Cho hình vng ABCD cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau:

a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD)

HD: a) 600 b) arctan c) 300.

5.Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = 3 a

; SA  (ABCD) vaø SO = a

a) Chứng minh ASC vuông

b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

HD: c) 600.

6.Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) SA = a 2, đáy ABCD hình thang vng A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng:

a) (SBC) vaø (ABC) b) (SAB) vaø (SBC) c) (SBC) vaø (SCD)

HD: a) 450 b) 600 c) arccos

6 .

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc. Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng.

Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q)

 Chứng minh ( ),( )P Q  900

* Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:

 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P)

 Sử dụng cách chứng minh biết phần trước

1.Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với

2.Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vng góc với đáy DBC Vẽ các đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD

a) Chứng minh: AB  (BCD)

b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vng góc với mp(ADC)

c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH  (ADC)

3.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD)

b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD)

c) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC)

HD: b) 900.

4.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM =

a

, DN =

4 a

Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với

5.Cho tam giác ABC vng A Vẽ BB CC vng góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC)

b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng

(BCCB) (ABC) vng góc với mặt phẳng (AHK)

6.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác và vng góc với đáy Gọi I trung điểm AB

a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB)

b) Tính góc BD mp(SAD) c) Tính góc SD mp(SCI) HD: b) arcsin

6

4 c) arcsin

10

7.Cho tam giác ABC vng A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo  

 

Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB, AC

a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.

HD: b) SHmax =

1 ; arctan

c bc

b 



8.Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để:

a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) HD: a) x2 – y2 +

2 b

= b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0

9.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y

a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y

b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + 3xy = a2 3.

HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = 0

10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600,

caïnh SC = a

SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh BKD 900 từ suy (SAB)  (SAD).

HD: b)

a IK 

.

VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác

Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) của (H) (Q),  = ( ),( )P Q  Khi đó: S = S.cos

1.Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta hình vng ABCD

a) Tính diện tích ABCD ABCD Suy góc (ABCD) (P)

b) Gọi E F giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB EFDB

HD: a) 450 b) SEFDB =

2

3

4 a

; SEFDB=

4 a

2.Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3, đáy BC = 3a; BC  (P) Gọi A hình chiếu A (P) Khi ABC vng A, tính góc (P) (ABC)

HD: 300

3.Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc với (P) vẽ từ B C lấy đoạn BD =

2 a

a) Chứng minh tam giác ADE vng Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (P)

HD: a)

4 a

b) arccos 3

4.Cho hình chóp SABC có mặt bên hợp với đáy góc 

a) Chứng minh hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA = cos

ABC

S 

5.Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc Gọi H trực tâm ABC Chứng minh rằng:

a) SH  (ABC)

b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2

6.Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên tia vng góc với (P) vẽ từ A B bên (P), lấy AA = a, BB = x

a) Định x để tam giác OAB vng O

b) Tính AB, OA, OB theo a x Chứng tỏ tam giác OAB vuông B Định x để tam giác vuông A

c) Cho x = 4a Vẽ đường cao OC OAB Chứng minh CA  AB Tính góc hai mặt phẳng (OAB) (P)

HD: a) x = 0 b) x = 4a c) arccos

39 26

IV KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng ( , )

( ,( )) d M a MH

d M PMH trong H hình chiếu M a (P)

2 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a

d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) 3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

 Đường thẳng  cắt a, b vng góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b

 Nếu  cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vng góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b

 Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với

 Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng

Cách 1: Giả sử a  b:

 Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a A.  Dựng AB  b B

 AB đoạn vng góc chung a b.

Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.

 Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a.  Chọn M  a, dựng MH  (P) H.

 Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B.

 Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A.

 AB đoạn vng góc chung a b.

Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)). Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vng góc.

 Dựng mặt phẳng (P)  a O.  Dựng hình chiếu b b (P).  Dựng OH  b H.

 Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B.  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A.

 AB đoạn vng góc chung a b.

Chú ý: d(a,b) = AB = OH.

1.Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:

a) OA vaø BC b) AI vaø OC HD: a)

2 a

b) 5 a

2.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng:

a) SC vaø BD b) AC vaø SD HD: a)

6 a

b) 3 a

3.Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC và SBC

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC)

c) Xác định đường vng góc chung BC SA

HD: c) Gọi E = AH  BC Đường vng góc chung BC SA AE.

4.a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vng góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD

b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vng góc chung AB CD AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b

5.Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS  (ABCD) IS =

2 a

HD: a) a

b) 2 a

VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song.

Khoảng cách hai mặt phẳng song song

Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng).

1.Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a 6, đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a

a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng

3 a

HD: a) d(A,(SCD)) = a 2; d(B,(SCD)) =

2 a

b) a

c) 6

2 a

2.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vng A có BC = 2a, AB = a

a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC)

c) Chứng minh AB  (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) HD: a)

3 a

b) 21 a

c) 2 a

3.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD)

b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD)

c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng

2 a

, tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE

HD: a) a 2; 2 a

b) a

c) 6

2 a

4.Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn vng góc

chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD)

b) Tính khoảng cách AC BD HD: a) AD = 2

a

; d(C,(ABD)) = a

5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 600 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO  (ABCD) SO =

3

a

Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE

a) Chứng minh (SOF)  (SBC)

b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) HD: b) d(O,(SBC)) =

3

a

, d(A,(SBC)) =

4 a