Đang tải... (xem toàn văn)
TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn ABCD.. Chøng minh d vµ d’ chÐo nhau.[r]
(1)Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit A BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
1 Cho PT log x32 + log x 2m 0.23 + − − = a) Giải PT m =
b) Tìm m để PT cho có nghiệm 1;3 3
2 Tìm m để PT sau có nghiệm
2
1 x 1 x
9+ − −(m+2).3+ − +2m 1+ =0 Tìm m để PT sau có nghiệm (0; 1)
2
2
2
4 log x−log x+ =m
4 Chứng minh phương trình xx 1+ =(x 1)+ x có nghiệm dương
5 Giải phương trình sau
3 2 2 (3x) (27x )
x x x x x
5
x 2x x
x x x
x x x
1
1) log (x 3) log (x 1) log 4x
2
2) 16 log x 3log x
3) 2 4) log (5 4) x ln x
5) f '(x) f (x) 6) x
12 15 20
7)
5
8) − + − − − + + − = − = − = − = − = = = + + = + + 2 2
x x x x 2x x x x
x 2x 2x
x x x x
2
3
1
2
2 x x x x
4.2 9) 10) log 2 log log
11) 2(2 1) sin(2 y 1)
12) 2(log x 1) log x log
13) log x log (3 x) log (x 1)
14) 10.3 15)
+ − + + − + − − − + = + = + = − + − + − + = + + = + − − − − =
− + =
2
x x
2x x x 2x 4x 2x
x x
2
9
x x 3x x x x
1 1
2 2
2 co
3 16) 2.4 17) 4.3 18) log (9 6) log (4.3 6)
19) log (x 8) log (x 26)
20) 125 50 21) 18 2.27 22) log (x 1) log (x 1) log (7 x)
23) 6.9 + + = − + = − = − + − = − + − + + = + = + = − + + − − = 2
s x cos x cos x cos x
2 cos x cos x 13.6 6.4 − + − + − + − + + =
x x x x
2
2
x 16x 4x
2
2
27 3
x x
2
2 x x 2x
24) 3x 25) 6x
26) ln(2x 3) ln(4 x ) l n(2x 3) ln(4 x ) 27) log x 14.log x 40.log x
1 x
28) log (x 5x 6) log log (x 3)
2
29) log (4 4) x log (2 3)
30)
+ + + = + + = + − + − = − + − − + = − − + = + − + = − − + = 2 27 81 x 25
x x x x
2 2 x x 2 2 x
1 log x log x
31)
1 log x log x 32) log (125x).log x
33) 3.2 16
34) log (x 1) log (x 5) log (3x 1)
35) log (e 2) log (e 3) 36) log (x 1) log x
3 37) log
4 − − + + + = + + = − − = − − + = + − + − = + − + + = − ( ) ( ) 2 27 x x
2 x
x x x x 2x
x x
2
2x x
x x x x
4
2x
3.log x log x
38) log (4 15.2 27) log 4.2 39) 4.2
40) 2 2
41) log (2x x 1) log (2x 1) 42) 3.8 4.12 18 2.27
1
43) log (x 1) log x log
44) + − − + + = + + + = − − − + = − + + − = + − + − = + − − = − + = + + 3 9x
x x
x sin(x )
x 4
2
3x 2x x x
2
2
log (x 1) log (2x 1)
45) (2 log x) log 1 log x 46) e e ln(x x )
2
47) log x 48) e tan x | x |
49) 7.2 7.2
1
50) log (9x )
log x x
51) log 2x log (9x
− π − + − + − = − − = − − = + + − = + − = − + − = + = −
(2)Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit xa.nguyenvan@gmail.com 2
2 2
2x x x x
5 log (3x)
x x x
2
3x 2x
log (2x) log log (4x )
2 7
3
52) 5.3 7.3 6.3
53) 12.3 3.15 20 54) x 36 x 55) log (4x 12x 9) log (6x 23x 21)
56) x 2.3
57) log x 2log x l og x.log x 58) log
− − + + + + − + − + = + − = − = + + + + + = − = + = + 2
a a
2
2 x
2
2 x
2
4
x x
( ) x 3x
2x 4x
59) log x log x log x log x 60) (log 2x log 2x ) log x
x
(log log ) log x
2 x
61) log (x x 1).log (x x 1) + + = + + + + + = + + + + = − − + − = 2 2 20
x x x
2 x
log 2x log x 2x x x x
3
log x log
x x x
log (x x 1) 62) log (9 5.3 ) 63) log (log (9 6)) 64) 65) 3 66) log (9 4.3 2) 3x
67) 6.4 13.6 6.9 68) 27 x 30 68 + − − + = − − + = − = − − + = = + − − = + − + = + = x x 2
x x x x x
x x x x
( 35 ) ( 35 )
) log (2 4) x log (2 12)
69) ( ) ( ) 70) 3.4 2.9 5.6 71) + − 12 72)4 6.2 32
+ − = + −
+ + − = + =
+ = − + =
6 Cho phương trình
2
(x 1).log (x+ + −3) 2m 2x+2.log (x+ + + =3) m a) Giải phương trình m = -1
b) Tìm m để PT có nghiệm [ ]−1;1
7 Tìm đểđể phương trình sau có nghiệm dương nhất: m( 1)+ x+(m+2)( 1)− x =(2m 1).2 + x Cho phương trình 4x −4m.(2x− =1)
a) Giải PT m =
b) Tìm m để PT có nghiệm trái dấu
9 Chứng minh PT (4xx 2+ =1) có nghiệm thực phân biệt
10 Tìm m để PT sau có nghiệm [32;+∞):
2 2
2
2
log x+log x − =3 m(log x −3) 11 Gải biện luận theo m phương trình
2
x 2mx 2x 4mx m 2
a) + + −5 + + + =x +2mx+m
2
x mx m x
x x
b) log m log m log m c) m m m
+ + =
+ + − =
12 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1, x2
thoả mãn 2<x1≤x2 <4 :
1
2
(m 1) log (x− − −2) (m 5) log (x− − + − =2) m 13 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1, x2
thoả mãn x12+x22 >1:
2 2
4
2
2 log (2x − +x 2m 4m ) log (x− + +mx−2m )=0 14 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2
5
log + (x +mx+ + +m 1) log − x=0 15 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
x x
(m 1).4+ +(3m 2).2− + −3m 1+ =0
B BÀI TẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 16 Giải bất phương trình
2
x 2x x
1 x
2
x x x
2
1 x
2
1
log x log x
2
x
1) log (4 4) log (2 3.2 ) 2) log x log
3) 15.2 2 4) log x log (x 1) 5) log x 2.log (x 1) log 6) log ( 2x)
7) f '(x) f (x) x log 8) 2x
+
+ +
+
+ ≥ − >
+ ≥ − + ≤ +
+ − + ≤ − >
≤ = ≥
2
x x
5 5
1 x x x 1 x x
2
0,5 16
2 x x x
1
3
x x
2
4
) log (4 144) log log (2 1)
10) 11) 5 24 12) log x log x 2(4 log x )
13) log x log x 14) 25 15 2.9 15) log (2 1) log (2 2)
16) log log
−
+ + + −
+ π
+ − < + +
+ − + > − >
+ ≤ −
+ > + ≥
− − >
2 2 2 x x 2x x x
x 2x 1 x x
x x x
2
2
x x x x
(x 2x x ) 4x 16
17) 18)
x
1 2
19) (x 2x 1).( ) 20)
3 3 2
log x log (2x 1)
21) 22) 5.4 +2.25 7.10 log (2x 1) log x
23) 3.2 16 24) −
−
−
− − +
+ − <
+ − > −
−
+ −
− − − ≥ >
− −
+
≤ ≤
+
− − ≤ 2x
2
(3)Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit 5 x
x x 1
2
x
x
3
3
3
x 25) log (x 6x 8) 2log (x 4)
x 3x
26) log 27) ( 2) ( 2) x
2x 28) log (log (9 72)) 29) log (log )
x 30) 2.log (4x 3) log (2x 3)
x
31) ln ln(x x 1) 32) log (
−
− +
− + + − <
− + ≥ + ≥ −
+
− ≤ ≥
+
− + + ≤
+ − − + >
2 2 5 2 2
2x 2x x
x
3 2x 4x 2x x
2
x
x x log x log x
x x
x ) x
1
33) log 2x 3x log (x 1)
2
34) 5.6 35) log (3x) log x 11 36) 16.2
37) (log log x ).log 2x 2.3 38) x 10 39)
3 40) + + − − − − + + > + − + + − ≥
− − ≤ + <
− − ≤ + ≥ − + ≤ ≤ − 2
3
2
2
2
1
2
2 x x x x x
log (log ( 2log x 1) 3)
2 x
x 0,7
4 x
logx.(log x log x 3)
41) (x 1)log x (2x 5)log x
42) 6.3 ( )
1
43) ( )
3
x x 44) log (log (3 9)) 45) log log
x 46) x 8.e x(x
− − + − − + − + − + − ≥ + + + + ≥ + > ≥ +
− ≤ <
+ − > 2 x 2 2
x 2 x
2
1 log x 4
x x
x 2x x x 2x x x
2 0,5
.e 8)
47) log ( x x 1) 2log x 48) 3x 5x 2x
2x 3x 5x (2x)
1
49) ( ) 3.( ) 12 50) x 32
3
51) 7.3
31 52) log log (2
16 − + + − − − − − − + − − + ≤
− − + + >
> − − + +
+ > ≤
− ≤
−
x
1 5 5
) 53)log (2x) 54)log (x 5) 3.log (x 5) 6log (x 5)
≤ ≥
− + − + − + ≤
17 Tìm m ñể BPT sau nghiệm ñúng với x:
x x
2 m
a) 2(m 2).2 m 2m b) log (x 2x m 1)
+
− + + + + >
− + + >
18 Cho bất PT m.4x+(m 1).2− x 2+ + − >m a) Giải bất phương trình m
6
=
b) Tìm m để bất PT nghiệm ñúng với x 19 Giải biện luận theo m bất phương trình
2
m m m m m
2
1
a) log (log x) log (log x) log 2
b) log (x mx 1)
+ ≥
+ + <
20 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với
( ] [ )
x ;0 1; :
∀ ∈ −∞ ∪ +∞
2 2
x x x x x x m.4 − +(m 1).10+ − −25+ − >0 21 Cho bất PT m.9x+4(m 1).3− x+ >m a) Giải BPT m =
b) Tìm m để BPT nghiệm với x 22 Tìm tập xác ñịnh hàm số
2
2 (2 x)
a) y log (x 5.x 2) b) y log (x 2).log 2
:
−
= − +
= + −
23 Tìm m để hệ
3
2
2
x 3x m
1
log x log (x 1)
2
− − − <
+ − ≤
có nghiệm 24 Tìm m để bất PT sau nghiệm ñúng với x≤0 :
x x x
m.2 + +(2m 1).(3+ − 5) + +(3 5) <0 25 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
2
x m x m
log − (x − >1) log − (x + −x 2) 26 Tìm x > để BPT
2(x x) m
log + (x m 1) 1+ − < nghiệm ñúng với 0< ≤m
C BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 27 Chứng minh với a > hệ PT sau có nghiệm
x y
e e ln(1 x) ln(1 y) y x a
− = + − +
− =
(4)Bài tập PT, BPT, HPT, BðT mũ – logarit
xa.nguyenvan@gmail.com
4
29 Giải hệ phương trình 3x
2 y
x x
2 x
x
2 5y 4y
x x 2x
1) 4 2 2)
y y y 2y 2 3 1
2 − + − = − + − + = + + = + − + = + + y x x y
x y log xy log y
3) 4)
log x log y 2 2 3 − + = = − = + = x y x x y y
log (x 2x 3x 5y) 2.3
5) 6)
log (y 2y 3y 5x) 12
− = + − − = + − − = = x y 4 2
log (y x) log 2 3.2 2 0 y
7) 8)
y x y x y 25
− − = − + = − = − − + =
x x x y
2
x
5
2 log y log y 1152
9) 10)
log (x y) log y
− + + = = + = + = x
2 y
9
log (6x 4y) x y
11) 12)
log (6y 4x) 3log (9x ) log y
− + − = + = + = − = 2 2
ln(1 x) ln(1 y) y x log (x y ) 5
13) 14)
x 12xy 2y log x log y
+ − + = − + = − + = + = 2 2
x y x
ln(1 x) ln(1 y) x y
15)
x 12xy 2y x y y x
16)
2 + − x y
+ − + = − − + = + = + − = − 17) 2 5
9x y
log (3x y) log (3x y)
− =
+ − − =
18)
2
log x log y log x log y
+ − = − − = − 19) 2x y 2x y 2
2
3.( ) 7.( ) .
3
log(3x y) log(y x) log
− − + − − + + − = 20) x y 2
2 (y x)(xy 2)
x y
− = − + + = 21)
x y y
ln x ln y (y x)(xy 2011) − − (2x y 1)
− = − + − = − − 22) x y 2 2
e e (log y log x)(xy 1) x y
− = − + + = 23) 2 3
2 log (x 16) log (x 16)
2 24
3x cos x − − + = + < −
D BẤT ðẲNG THỨC VÀ GTLN, GTNN LIÊN QUAN TỚI HÀM SỐ MŨ – LOGARIT 30 Cho a + b + c = 1, chứng minh
a b c a b c
1 1 a b c
3( )
3 +3 +3 ≥ +3 +3
31 Cho a, b, c dương thoả mãn a + b = c CMR: a) Nếu x > ax +bx <c x
b) Nếu x < ax+bx >c x 32 So sánh hai số eπ πe
33 Cho a > 0, b > 0, x > y > 0, chứng minh x x y y y x
(a +b ) <(a +b ) 34 Chứng minh
1 sin x cos x 2
3x 2sin x tan x 2
2 x
2 x
a) 2 , x b) 2 , x (0; )
2 x
c) e x , x
x
d) e cos x x , x − + + ≥ ∀ ∈ π + ≥ ∀ ∈
> + + ∀ >
+ ≥ + − ∀ ∈
ℝ
ℝ
35 Tìm GTLN, NN hàm số x
a) y=2 ñoạn [ ]−1;1 b) y=x ln x ñoạn 1;1
e
c) f (x)=x −ln(1 2x)− ñoạn [−2; ] d) f (x)= −x ln x+3 khoảng (0;+∞)
2 ln x e) g(x)
x
= ñoạn 1; e3 36 Cho hàm số
2x 2x a f (x) a − − =
+ với a số
dương Với số nguyên dương n ta ñặt n
1 2n
A f ( ) f ( ) f ( )
2n 2n 2n
= + + +
+ + +
Chứng minh
2 n
n 2n
A ln( ), n *
+ +
> ∀ ∈ℕ
37 Chứng minh
2
a) a ln b−b ln a>ln a−ln b, với < a < b < a a b b b a
b) (2 +2− ) ≤(2 +2− ) , với a≥ >b
a b c a b c
(5)
§1 TTỌỌAAððỘỘððIIỂỂMMVVÀÀVVEECCTTƠƠ
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Tọa ñộñiểm : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz 1). M x ; y ;z( M M M)⇔OM=x iM +yMj z k+ M
2). Cho A x ; y ; z( A A A)và B x ; y ; z( B B B)ta có:
B A B A B A
AB=(x −x ; y −y ;z −z )
2 2
B A B A B A
AB= (x −x ) +(y −y ) +(z −z )
3). Nếu M chia ñoạn AB theo tỉ số k (MA=kMB)
ta có :
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k k k
− − −
= = =
− − − (Với k ≠ -1)
ðặc biệt M trung ñiểm AB (k = – ) ta có :
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ; y ; z
2 2
+ + +
= = =
II/. Tọa ñộ véctơ: Trong không gian với hệ tọa ñộ Oyz 1). a=(a ;a ;a )1 2 3 ⇔ =a a i1 +a j a k2 + 3
2). Cho a =(a ;a ;a )1 2 3
b=(b ;b ; b )1 2 3
ta có :
••••
1 2 3
a b
a b a b
a b
=
= ⇔ =
=
•••• a± =b (a1±b ;a1 2±b ;a2 3±b )3
•••• k.a=(ka ;ka ;ka )1
•••• a.b= a b cos(a; b)=a b1 1+a b2 2+a b3 3
•••• 2
1
a = a +a +a
III/. Tích có hướng hai vectơ ứng dụng: 1). Nếu a =(a ;a ;a )1 2 3
b=(b ;b ; b )1 2 3
3 1 2 3 1 a a a a a a
a, b ; ;
b b b b b b
=
2). Vectơ tích có hướng c=a, b
vng góc vơi hai vectơ a
b
(6)
xa.nguyenvan@gmail.com
2
3). a, b = a b sin(a, b) 4).SABC [AB, AC]
= 5) VHộpABCDA’B’C’D’ =[AB, AC].AA '
6).VTứdiện ABCD =
[AB, AC].AD
IV/. ðiều kiện khác:
1). a
b
phương
1
2
3
a kb a, b k R : a kb a kb
a kb =
⇔ = ⇔ ∃ ∈ = ⇔ =
=
2). a
b
vng góc ⇔a.b= ⇔0 a b1 1+a b2 2 +a b3 3 =0 3). Ba vectơ a, b, c
ñồng phẳng ⇔a, b c =0
(tích hỗn tạp chúng 0) 4). A,B,C,D bốn ñỉnh tứ diện ⇔ AB, AC, AD
khơng đồng phẳng 5). Cho hai vectơ không phương a
b
, ñó vectơ c
ñồng phẳng với a
b
⇔ ∃k,l ∈R cho c=ka+lb
6). G trọng tâm tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x x
3 y y y y
3 z z z z
3 + +
=
+ +
⇔ =
+ +
=
7). G trọng tâm tứ diện ABCD ⇔GA+GB GC+ +GD=0
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) a) Tính F=AB, AC (OA 3CB) +
b) Chứng tỏ OABC hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ S.OABC hình chóp.Tính thể tích hình chóp Bài 2: Cho bốn ñiểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
a) Chứng minh A,B,C,D bốn ñỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
c) Tính góc tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác BCD
e) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao tứ diện hạ từñỉnh A Bài 3: Cho a =(0;1; 2); b=(1; 2;3); c=(1;3;0); d=(2;5;8)
a) Chứng tỏ ba vectơ a, b, c
khơng đồng phẳng b) Chứng minh a, b, d
ñồng phẳng phân tích vectơ d
theo hai vectơ a, b c) Phân tích vectơ u=(2; 4;11)
theo ba vectơ a, b, c
(7)
xa.nguyenvan@gmail.com
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3)
a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp b) Tính thể tích hình hộp
c) Chứng tỏ AC’ ñi qua trọng tâm hai tam giác A’BD B’CD’ d) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc D lên đoạn A’C
Bài 5: Trong khơng gian tọa ñộ Oxyz cho ñiểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 hình chiếu A lên ba trục tọa ñộ Ox;Oy,Oz N1, N2, N3 hình chiếu A lên ba
mặt phẳng tọa ñộ Oxy, Oyz, Ozx
a) Tìm tọa độ điểm M1, M2, M3 N1, N2, N3 b) Chứng minh N1N2⊥ AN3
c) Gọi P,Q ñiểm chia ñoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác ñịnh k ñể PQ//M1N1
§2 MẶT PHẲNG A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt phẳng:
1) Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2≠0 phương trình tổng quát mặt phẳng, ñó n=(A;B;C)
là vectơ pháp tuyến
2) Mặt phẳng (P) qua ñiểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n =(A;B;C)
làm vectơ
pháp tuyến có dạng
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 3) Mặt phẳng (P) ñi qua M0(x0;y0;z0) nhận a =(a ;a ;a )1 2 3
b=(b ;b ; b )1 2 3
làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
2 3 1 2 3 1
a a a a a a
n a, b ; ;
b b b b b b
= =
II/. Vị trí tương đối hai mặt phẳng
1) Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
•••• (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’
•••• (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
•••• (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2) Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= cắt Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = (trong m2 + n2 ≠ 0) III/. Khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) ñến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công
thức:
0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D d(M , )
A B C + + + α =
(8)xa.nguyenvan@gmail.com
4
IV/. Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ góc (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Ta có : P Q P Q 2 2 2 2 2 2
P Q
n n A.A' B.B ' C.C ' cos cos(n , n )
n n A B C A ' B ' C '
+ +
ϕ = = =
+ + + +
(00≤φ≤900)
•
P Q
90 n n
ϕ = ⇔ ⊥ ⇔ hai mặt phẳng vng góc
• Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y song song Oy, khơng có biến z song song Oz
B/ BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực ñoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB song song với CD
d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x – 2y – 2z + = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc
b) Viết phương trình tham sốđường thẳng (∆) giao tuyến hai mặt phẳng c) Chứng minh đường thẳng (∆) cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm
d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa ñộ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC e) Chứng tỏ điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ tính thể tích tứ diện OABC
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – = a) Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa ñộ song song với mp (P)
b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ O vng góc với mặt mp(P)
c) Tính khoảng cách từ gốc tọa ñộ ñến mặt phẳng (P) (TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho (P): x + y – z + = (Q): 2x – z = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc chúng
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) ñi qua A(-1;2;3)
c) Lập phương trình mặt phẳng (β) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Oy
d) Lập phương trình mặt phẳng (χ) qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = ñiểm M(2;1;-1) a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M ñến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình ñường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P)
(9)xa.nguyenvan@gmail.com
Bài 6: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – = 0, (Q): mx – 6y – z + = không gian Oxyz
a) Xác ñịnh giá trị k m ñể hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau,lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng
b) Trong trường hợp k = m = gọi (d) giao tuyến (P) (Q) tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)
§3 ðƯỜNG THẲNG A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tổng quát ñường thẳng: Ax By Cz D A ' x B' y C 'z D '
+ + + =
+ + + =
(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)
2) Phương trình ttham số đường thẳng :
0
0
0
x x a t
y y a t (t R) z z a t
= +
= + ∈
= +
Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a =(a ;a ;a )1
là vectơ
phương ñường thẳng
3) Phương trình tắc đuờng thẳng : 0
1
x x y y z z
a a a
− = − = − Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc ñường thẳng a =(a ;a ;a )1 2 3
vectơ
phương đường thẳng
II/. Vị Trí tương đối ñường thẳng mặt phẳng: 1). Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng (∆) qua M có VTCP a
và (∆’) qua M’ có VTCP a '
•••• (∆) chéo (∆’) ⇔ a,a ' MM ' ≠0
•••• (∆) cắt (∆’) ⇔ a, a ' MM ' =0
với a,a ' ≠0
•••• (∆) // (∆’) ⇔ [a, a ']=0
M '
∉ ∆
•••• (∆) ≡ (∆’) ⇔ [a, a ']=0 M '
∈ ∆
2). Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:
Cho đường thẳng (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP a=(a ;a ;a )1 2 3
và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = có VTPT n =(A;B;C)
(10)
xa.nguyenvan@gmail.com
6
•••• (∆) // (α) ⇔ a.n M ( )
=
∉ α
•••• (∆) nằm mp(α) ⇔ a.n M ( )
=
∈ α
III/. Khoảng cách:
1). Khoảng cách từ M ñến ñuờng thẳng (∆) ñi qua M0 có VTCP a
∆ = = ▱
0
[M M,a] S
d(M, )
c.đáy a
2). Khoảng cách hai ñường chéo : (∆) ñi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a
, (∆’) ñi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '
∆ ∆ = =
hộp đáy
[a,a'].MM' V d( , ')
S [a,a']
IV/. Góc :
1). Góc hai đường thẳng :
(∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP a=(a ;a ;a )1 2 3
(∆’) ñi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a =(a ' ;a ' ;a ' )1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 3
a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos(a, a ')
a a ' a a a a ' a ' a '
+ +
ϕ = = =
+ + + +
2). Góc ñường thẳng mặt phẳng : (∆) ñi qua M0có VTCP a =(a ;a ;a )1 2 3
, mp(α) có VTPT n=(A;B;C)
Gọi φ góc hợp (∆) mp(α)
1
2 2 2
1
Aa +Ba +Ca sin cos(a, n)
A B C a a a
ϕ = =
+ + + +
B/ BÀI TẬP: Bài 1:
a) Viết phương trình tham số tắc tổng qt đường thẳng qua hai ñiểm A(1;3;1) B(4;1;2)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
c) Viết phương trình tham số tắc ñuờng thẳng 2 x y z
x y z
+ − + =
− + + =
(11)xa.nguyenvan@gmail.com
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho ba ñiểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0)
đường thẳng (∆) có phương trình
3
x y z x z
+ − + =
− + =
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) ñi qua ba ñiểm A,B,C
b) Viết phương trình tham số tắc tổng qt đường thẳng BC.Tính d(BC,∆) c) Chứng tỏ điểm M ∈ (∆) ñều thỏa mãn AM ⊥ BC, BM ⊥ AC, CM ⊥ AB Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) D ñỉnh ñối diện với O
a) Xác định tọa độđỉnh D.Viết phương trình tổng qt mặt phẳng (A,B,D) b) Viết phương trình đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (ABD) c) Tính khoảng cách từđiểm C đến mặt phẳng (ABD) (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai ñường thẳng:
x t x 2z
( ) : ( ') : y t y
z 2t = +
+ − =
∆ ∆ = − − =
=
a) Chứng minh (∆), (∆’) khơng cắt vng góc b) Tính khoảng cách hai ñường thẳng (∆)và (∆’)
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua (∆) vng góc với (∆’) d) Viết phương trình đường vng góc chung (∆)và (∆’)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3) a) Lập phương trình tổng qt đường thẳng AB
b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB
c) Lập phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc ñường thẳng CD xuống mặt phẳng (P)
d) Tính khoảng cách hai ñường thẳng AB CD
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6) a) Tính góc tạo cặp cạnh ñối diện tứ diện ABCD
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
e) Tìm tọa độ điểm C’ ñối xứng C qua ñường thẳng AB Bài 7: Cho ñường thẳng ( ) : 2x y z
2x z − + + =
∆
− + =
mp (P) : x + y + z – =
a) Tính góc đường thẳng mặt phẳng b) Tìm tọa độ giao điểm (∆) (P)
c) Viết phương trình hình chiếu vng góc (∆) mp(P)
Bài 8: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng (∆) (∆’) có phương trình: 2x y ; 3x y z
x y z 2x y
+ + = + − + =
− + − = − + =
(12)xa.nguyenvan@gmail.com
8
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) ñi qua hai ñường thẳng (∆) (∆’) c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc cắt hai đường (∆) (∆’)
Bài 9: Cho ba ñiểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) ñường thẳng
x t y 2t z 3t
= +
= − +
= − +
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C Chứng minh (α) (∆) vng góc nhau, tìm tọa ñộ giao ñiểm H chúng
b) Chuyển phương trình (∆) dạng tổng qt Tính khoảng cách từ M(4;-1;1)
đến (∆)
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (∆), biết (d) (∆) cắt
§4 MẶT CẦU A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/. Phương trình mặt cầu:
1) Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2) Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2–D > phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính R = A2+B2 +C2−D
II/. Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D =
• Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung • Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc
• Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến
ñường trịn có phương trình :
( ) (2 ) (2 )2 2
x a x a x a R
Ax By Cz D
− + − + − =
+ + + =
− Bán kính ñường tròn r= R2−d(I,(P))2
− Tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) B/ BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = hai ñiểm M(1;1;1) N(2;-1;5)
a) Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình đường thẳng MN
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = tiếp xúc mặt cầu(S)
d) Tìm tọa độ giao điểm mặt cầu (S) đường thẳng MN Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao ñiểm
(13)xa.nguyenvan@gmail.com
a) Chứng minh A,B,C,D bốn ñỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD
c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C
d) Xác ñịnh tọa ñộ tâm bán kính viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
e) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A,B,C Hãy tìm tâm bán kính
đường trịn
Bài 3: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + =
a) Xác ñịnh tọa ñộ tâm I bán kính R mặt cầu (S)
b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từđó suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo ñường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác ñịnh bán kính R tọa độ
tâm H ñường tròn (C)
Bài 4: Cho (P): x + 2y – z + = 0, ñiểm I(1;2;-2), ñường thẳng (d) : x 2y y z
− + =
− + =
a) Tìm giao điểm (d) (P) Tính góc (d) (P)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) I
d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm (P) cắt (d) vng góc (d) Bài 5: Trong khơng gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) a) Chứng minh A, B, C, D bốn ñiểm ñồng phẳng
b) Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy viết phương trình mặt cầu (S) ñi qua bốn ñiểm A’, B, C, D
c) Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) ñiểm A’
(TN THPT 2003-2004)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) C(1/3; 1/3;1/3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính R = với (P)
b) Viết phương trình tổng qt đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng (P)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – = mp(P) cắt trục tọa
ñộ A, B, C
a) Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với mặt tọa độ Tìm tọa độ giao điểm D (d):
2
x y x y z
+ − =
− + − =
(Oxy) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ACD Xác định tâm bán kính đường trịn
(TN THPT 2001-2002)
Bài 8: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A, B, C, D có tọa độ xác định :
A=(2; 4; 1), OB− = + −i j k, C=(2; 4;3), OD = + −2i j k
(14)
xa.nguyenvan@gmail.com
10
b) Viết phương trình tham số đường (d) vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc (d) mặt phẳng (ABD)
c) Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) (S) song song với mặt phẳng (ABD)
Bài 9: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x + y + z – =
a) Viết pt mặt cầu ñi qua ñiểm A, B, C có tâm thuộc mp (P) b) Tính độ dài ñường cao kẽ từ A xuống BC
c) Cho D(0;3;0).Chứng tỏ DC song song với mp(P) từ tính khoảng cách đường thẳng DC mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4)
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu
b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC)
c) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I vng góc mặt phẳng(ABC) d) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
b) Gọi A, B, C giao ñiểm (khác ñiểm gốc tọa ñộ) mặt cầu (S) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tính tọa ñộ A, B, C viết phương trình mặt phẳng (ABC) c) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
§5 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho A(1;–2;3), B(–1;0;1), (P) x + y + z + = Tìm hình chiếu A (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), có bán kính R AB,
6
= có tâm thuộc ñường thẳng AB
Bài 2: Cho d : x y z, (P) : 2x y 2z
2 1
−
= = − + − =
−
a) Viết PTMP chứa d vng góc với (P) b) Tìm M∈d cho d(M, (P)) = MO Bài 3: Cho (P): x +y + z – = 0, (Q): x – y + z – = Viết PTMP (R) vng góc với (P) (Q), đồng thời d(O, (R)) =
Bài 4: Cho 1: x t, 2 : x y z
y z t 2
= + − −
∆ ∆ = =
= =
Tìm M∈ ∆1 cho
2
d(M,∆ =)
Bài 5: Cho A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; c; 0) (b, c > 0), mặt phẳng (P): y – z + = Tìm b, c để (ABC) (P), d(O,(ABC))
3
⊥ =
Bài 6: Cho : x y z
2
−
(15)xa.nguyenvan@gmail.com
Bài 7: Viết PT mặt cầu tâm A(0;0;–2), cắt : x y z
2
+ − +
∆ = = B, C cho BC =
Bài 8: Cho : x y z 2, (P) : x 2y z 0, (P) C, M , MC
2 1
− +
∆ = = − + = ∆ ∩ = ∈ ∆ =
−
Tính d(M, (P))
Bài 9: Cho ∆1 giao tuyến (P): x – 2y + z – = (Q): x + 2y – 2z + = 0, cho 2
x t : y t
z 2t
= +
∆ = +
= +
Viết PTMP (R) chứa ∆1 song song với ∆2 Tìm điểm
2
H∈ ∆ cho khoảng cách từ H tới M(2; 1; 4) nhỏ
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc toạ ñộ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0; 0;2 2), ñiểm M trung ñiểm SC,
(ABM)∩SD= N Tính khoảng cách hai đường thẳng SA, BM, tính thể tích khối chóp S.ABMN
Bài 11: Cho d : x y z 3, (P) : 2x y 2z
1
− = + = − + − + =
Tìm điểm I∈d cho d(I, (P)) = Viết PT đường thẳng ∆ ⊂(P), ∆ vng góc cắt d
Bài 12: Viết PTMP (P) chứa d : x y z
2
− = = −
cho khoảng cách từ A(2;5;3) tới (P) lớn
Bài 13: Lập phương trình đường thẳng qua A(–1;2–3), song song với mặt phẳng (P): 6x – 2y –3z = 0, cắt ñường thẳng x y z
3
− = + = −
−
Bài 14: Viết PT mặt cầu ñi qua A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), có tâm thuộc mặt phẳng (P): x + y + z – =
Bài 15: Cho d :1 x y z 1,
3
− = + = +
− d2 giao tuyến (P): x + y – z– =
(Q): x + 3y – 12 =
a) Chứng minh d1//d2 viết PTMP (R) chứa d1, d2 b) (Oxz) cắt d1, d2ở A, B Tính diện tích tam giác OAB
Bài 16: Cho (P) : 2x − +y 2z−14 =0, (S) : x2 +y2 +z2 −2x+4y+2z− =3
a) Viết PTMP (Q) chứa Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính b) Tìm điểm M thuộc (S) để khoảng cách từ M tới (P) lớn
Bài 17: Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC tính diện tích ∆ABC biết A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3)
Bài 18: Cho A(–1;–1;1), (P): x + 2y + z – = 0,
x t d : y 2t
z 3t
= +
= +
= +
a) Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d (P) b) Viết PT mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), có tâm thuộc d, bán kính R
3 =
(16)xa.nguyenvan@gmail.com
12
e) Gọi B, C, D hình chiếu vng góc A Ox, Oy, Oz Tìm điểm
đối xứng với ñiểm A qua mặt phẳng (BCD)
Bài 19: Cho d giao tuyến (P) : 2x+ + =y 0, (Q) : x − + − =y z 0, d’ giao tuyến (P ') : 3x+ − + =y z 0, (Q ') : 2x− + =y Chứng minh d, d’ đồng phẳng viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d, d’ Tìm thể tích phần khơng gian giới hạn (R) ba mặt phẳng toạñộ
Bài 20: Cho 1:x y z 2, 2: x y z , (P) : 2x y 5z
2 1
+ − − − +
∆ = = ∆ = = − − + =
−
a) Chứng minh ∆ ∆1, 2 chéo tính khoảng cách hai ñường thẳng b) Viết PT đường thẳng d vng góc với (P), đồng thời cắt ∆ ∆1, 2
Bài 21: Cho A(7;4;3), B(1;1;1), C(2;–1;2), D(–1;3;1) Tính khoảng cách AB CD Viết phương trình đường thẳng ∆ đối xứng với đường thẳng AB qua mặt phẳng (BCD)
Bài 22: Viết PT đường vng góc chung hai đường thẳng x t
x y z d : y 3t , :
3 1 z 2t
= +
+ −
= ∆ = =
− = +
Bài 23: Viết phương trình đường thẳng d nằm (P): y + 2z = cắt hai
ñường thẳng 1 2
x t x t ' d : y t , d : y 2t '
z 4t z
= − = −
= = +
= =
Viết phương trình đường thẳng d’
song song với (P) cắt d1, d2 A, B cho AB = 21 Tìm M∈d1 để
d(M,(P))= Tìm N∈d2 ñểñộ dài ñoạn ON ñạt giá trị lớn Bài 24: Cho A(1;1;3), d : x y z
1
−
= =
− Tính khoảng cách từ A tới d Tìm M∈d ñể MOA
∆ cân O
Bài 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh Gọi O’ tâm hình vng A’B’C’D’ Tính thể tích khối tứ diện A’O’BD
§6 GIẢI TỐN BẰNG HHGT A/. CÁCH GIẢI CHUNG
ðể giải tốn phương pháp tọa độ khơng gian ta chọn cho hệ trục tọa độ phù hợp chuyển hình học giải tích để giải
Các bước chung ñể giải sau:
B1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
B2: Chuyển giả thiết toán HH giải tích B3: Giải HH giải tích
B4 : Kết luận tính chất, định tính, ñịnh lượng toán ñặt
B/. CÁC BÀI TẬP
(17)xa.nguyenvan@gmail.com
b)Gọi M,N,P trung ñiểm BB’, CD, A’D’.Tính góc hai đường thẳng MP C’N
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy a Tính góc hợp cạnh bên mặt bên ñối diện
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC tam giác vng C Cho SA = AC = CB = a
a)Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB b)Tính góc đường thẳng SA mp(SBC)
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông C SA⊥(ABC), AC = a, BC = b, SA = h Gọi M, N trung điểm cạnh AC SB
a)Tính ñộ dài MN
b)Tìm hệ thức liên hệ a, b, h để MN đường vng góc chung ñường thẳng AC SB
Bài 5: Cho lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính sốđo góc nhị diện [B, A’C, D] Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc
60 BAD=
∡ Gọi M trung ñiiểm cạnh AA’ N trung ñiểm của cạnh CC’
Chứng minh bốn ñiểm B’,M,D,N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng
Bài 7*: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a M ñiểm thuộc AD’ N thuộc BD cho AM=DN=k (0< k < a 2)
a)Tìm k ñểñoạn MN ngắn
b)Chứng minh MN//(A’D’BC) k biến thiên
c)Khi ñoạn MN ngắn Chứng minh MN đường vng góc chung AD’ BD MN//A’C
Bài 8*: Tìm m để hệ phương trình
2 2
x y z 2x y 2z m
+ + =
− + =
có nghiệm, tìm
nghiệm
Bài 9*: Cho ba số thực x, y, z thỏa x2+y2+z2 =1, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ
nhất F= 2x+2y z 3− −
Bài 10*: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
6 2
) ; ) 2
2
3 12
+ + − − − = + + − + − + =
+ − − =
+ + + =
+ − − =
x y z x y z x y z x y z
a b x y z
x y z
x y z
Bài 11:
+ − =
+ − =
≤
2
1 2
2
1 2
x
Giả sử (x ; ) ( ; ) hai nghiệm hệ phương trình Chứng minh (x -x ) + (y -y )
y x
y va ø x y
x ay a
Bài 12: Tìm a để hệ có nghiệm + − ≤ + + + ≥
− + =
+ ≤
2 2 2 2 1
) ; )
0
x y x x y xy a
a b
(18)xa.nguyenvan@gmail.com
14
Bài 13: Xác ñịnh m ñể hệ
2
( 1) ( 1)
0
x y
x y m
− + − ≤
− + =
nghiệm ñúng với x∈[0;2]
Bài 14: Tìm a để hệ phương trình
2 0
0
x y x
x ay a
+ − =
+ − =
có hai nghiệm phân biệt
Bài 15: Tìm số dương a để hệ sau ñây có nghiệm:
+
+ ≥
+ = − + =
+ > − + ≤
+ =
2
2 2 2
( )
log ( )
1
) ; ) ; )
4
2
x y x y
x y a x y a
a b c
x y a x y a x y
ðỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
§Ị (líp chän khèi A)
1.Trong khơng gian Oxyz, cho điển A(4; - 1; 2), B(1; 2; 2), C(1; - 1; 5), D(4; 2; 5) a Chứng minh ABC tam giác
b Chứng minh ABCD tứ diện c Tính thể tích khối tứ din ABCD
2.Trong không gian Oxyz, cho hai đờng th¼ng d:
1
2
x t
y t
z t
= − +
= +
= +
, d’:
' ' '
x t
y t
z t
= +
= − +
= −
a Chøng minh d d chéo
b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa d song song với d, phơng trình mặt phẳng (Q) chứa d song song với d
c Tính khoảng cách hai đờng thẳng chéo d d
3.Trong không gian cho trớc ba điểm A, B, C, cho tr−íc c¸c sè thùc a, b, c, k (với a + b + c 0), tìm tập hợp ®iĨm M tho¶ m·n a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = k2
§Ị (líp chän khèi B, D)
1 Trong không gian Oxyz, cho điển A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(- 2; 1; - 1) a Viết phơng trình mặt phẳng (BCD)
b.Chứng minh A, B, C, D bốn nh mt t din
c Viết phơng trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) y + 2z = hai đờng thẳng d:
1
x t
y t
z t
= −
= =
, d’:
' ' =
x t
y t
z
= −
= +
a Tìm toạ độ điểm A= ∩d ( ), P B= ∩d' ( )P
b.ViÕt ph−¬ng trình tham số đờng thẳng nằm (P) cắt d d
3 Trong kh«ng gian Oxyz, cho a=(3; 0;1), b = − −(1; 1; 2), c =(2; ; 1)m −
Tìm m để
.( )
a b+ = + −c a b c
§Ị (líp th−êng)
1.Tìm m để 2
8
x +y + − −z x y+mz+ − =m phơng trình mặt cầu
2.Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’có A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; - 1; 1), C’(4; 5; - 5) a Tìm toạ độ trọng tâm G ∆ ADB
b.Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình hộp