PT-BPT MŨ LÔGARIT *** 1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 log ( ) 1 log ( ) 3 81 x y xy x y xy + − + = + = HD: HPT tương đương 2 2 2 2 0 2 4 xy x y xy x y xy > + = + − = 2 2 0 4 xy x y x y xy > ⇔ = + − = 2 2 2 2 x x y y = = − ⇔ ∨ = = − 2. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT: 2 2 ln ln ln lna b b a a b− > − HD: Đưa BĐT về dạng tương đương 2 2 (1 )ln ln (1 )a b a b+ > + 2 2 ln ln 1 1 a b a b ⇔ < + + Xét hàm số 2 ln ( ) 1 x f x x = + với 0<x<1 ( ) 2 2 2 1 (1 2ln ) ( ) 0 1 x x f x x x + − ′ = > + vì lnx<0 và 0<x<1 Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b). Bài toán được chứng minh. 3. ĐH-A-2008. Giải phương trình: 2 2 2 1 1 log (2 1) log (2 1) 4 x x x x x − + + − + − = HD: Với điều kiện 1 2 x > , PT tương đương: 2 1 1 log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4 x x x x x − + − + + − = 2 1 1 log ( 1) 2log (2 1) 3 x x x x − + ⇔ + + − = Đặt 2 1 log ( 1) x t x − = + ta được: 2 3t t + = 1 2 t t = ⇔ = Với t=1 ta có: 2 1 log ( 1) 1 1 2 1 2 x x x x x − + = ⇔ + = − ⇔ = thỏa ĐK 1 2 x > Với t=2 ta có: 2 2 1 log ( 1) 2 1 (2 1) x x x x − + = ⇔ + = − 2 4 5 0x x ⇔ − = 0 5 4 x x = ⇔ = Do ĐK ta chỉ nhận 5 4 x = . ĐS: x=2, 5 4 x = 4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: 2 0,7 6 log log 0 4 x x x + < ÷ + HD: 2 2 6 0,7 6 2 6 log 0 4 log log 0 4 log 1 4 x x x x x x x x x + > + + < ⇔ ÷ + + > + 2 2 6 2 0 4 log 1 4 6 4 x x x x x x x x x + > + + ⇔ > ⇔ + + > + 2 6 4 x x x + ⇔ > + 4 3 8x x ⇔ − < < − ∨ > 5. ĐH-B-08 Giải bất phương trình: 2 1 2 3 2 0 x x x − + ≥log HD: 2 1 2 3 2 0 x x x − + ≥log 2 2 3 2 0 3 2 1 x x x x x x − + > ⇔ − + ≤ 2 0 1 2 4 2 0 x x x x x < < ∨ > ⇔ − + ≤ 2 0 1 2 4 2 0 x x x x x < < ∨ > ⇔ − + ≤ ( ) ( ) 0 1 2 0 2 2 2 2 x x x x < < ∨ > ⇔ < ∨ − ≤ ≤ + ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ + 6. ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 3 1 3 2log (4 3) log (2 3) 2x x − + + ≤ HD: BPT tương đương 2 3 3 3 4 log (4 3) log (2 3) 2 x x x > − − + ≤ 2 3 3 4 (4 3) log 2 2 3 x x x > ⇔ − ≤ + 2 3 4 (4 3) 9 2 3 x x x > ⇔ − ≤ + 2 3 4 8 21 9 0 x x x > ⇔ − − ≤ 3 4 3 3 8 x x > ⇔ − ≤ ≤ 3 3 4 x ⇔ < ≤ 7. *ĐH-B-07 Giải phương trình: ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 0 x x − + + − = HD: Đặt ( ) 2 1 x t = + ta được PT: 1 2 2t t + = 2 2 2 1 0t t⇔ − + = 2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = + 1 1x x ⇔ = − ∨ = 8. *ĐH-D-07 Giải phương trình: 2 2 1 log (4 15.2 27) log 0 4.2 3 x x x + + + = − HD: Đặt t=2 x , t>0 ta được: 2 2 2 1 log ( 15 27) log 0 4 3 t t t + + + = − 2 4 3 15 27 4 3 t t t t > ⇔ + + = − 2 4 3 11 30 0 t t t > ⇔ + + = Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x 9. *Tham khảo 2007. Giải BPT: ( ) 2 4 2 log 8 log log 2 0 x x x+ ≥ HD: ĐK: x>0, x≠1 Đưa về 2 2 1 1 3log 2 log log 2 2 x x x+ = + 2 6 2 1 ( log )t t t x t ⇔ + = + = 2 6 0t t⇔ − + = 3 2t t ⇔ = ∨ = − 1 8 4 x t⇔ = ∨ = 10. *Tham khảo 2007. Giải PT: 4 2 2 1 1 1 log ( 1) log 2 log 4 2 x x x + − + = + + . HD: ĐK: x>1 Đưa về 2 2 2 1 1 1 1 1 log ( 1) log ( 2) 2 2log 2 2 2 x x x + − + = + + 2 2 2 log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + + 2 2 log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = + 2 2 3 5 0x x⇔ − − = 5 1 2 x x⇔ = − ∨ = Do ĐK, chỉ nhận nghiệm 5 2 x = 11. Tham khảo 2007. Giải PT: 2 3 3 log ( 1) log (2 1) 2x x − + − = HD: ĐK x>1 Đưa về 3 3 2log ( 1) 2log (2 1) 2x x − + − = 3 log ( 1)(2 1) 1x x ⇔ − − = ( 1)(2 1) 3x x⇔ − − = 2 2 3 2 0x x ⇔ − − = 1 2 2 x x ⇔ = ∨ = − Do ĐK chỉ nhận x=2 12. *Tham khảo 2007. Giải PT: 3 9 3 4 (2 log )log 3 1 1 log x x x − − = − HD: ĐK x>0, x≠ 1 9 Đưa về 3 3 3 1 4 (2 log ) 1 log 9 1 log x x x − − = − 3 3 3 2 log 4 1 2 log 1 log x x x − ⇔ − = + − 3 2 4 1 ( log ) 2 1 t t x t t − ⇔ − = = + − (2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )t t t t t⇔ − − − − = + − 2 4 0t t ⇔ + − = 1 17 1 17 2 2 t t − − − + ⇔ = ∨ = Do ĐK chỉ nhận 1 17 2 t − + = 13. Tham khảo 2007. Giải BPT: ( ) 2 1 1log 2 1 132log 2 2 2 2 1 ≥−++− xxx HD: ĐK 1 1 2 x x< ∨ > Đưa về ( ) 2 2 2 1 1 1 log ( 1)(2 1) log 1 2 2 2 x x x− − − + − ≥ ( ) 2 2 1 log 1 ( 1)(2 1) x x x − ⇔ ≥ − − ( ) 2 1 2 ( 1)(2 1) x x x − ⇔ ≥ − − 2 3 4 1 0 ( 1)(2 1) x x x x − + − ⇔ ≥ − − ( 1)( 3 1) 0 ( 1)(2 1) x x x x − − + ⇔ ≥ − − 3 1 0 2 1 x x − + ⇔ ≥ − 1 1 3 2 x⇔ ≤ < Kết hợp ĐK: 1 1 2 1 1 3 2 x x x < ∨ > ≤ < 1 1 3 2 x⇔ ≤ < 14. Tham khảo 2007. Giải BPT: 3x 1 2x x 2 7.2 7.2 2 0 + − + − = HD: 3 2 2 7 7 2 0 ( 2 , 0) x t t t t t− + − = = > 2 ( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + = 1 1 2 2 t t t⇔ = ∨ = ∨ = 0 1 1x x x ⇔ = ∨ = ∨ = − 15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8 4.12 18 2.27 0 x x x x + − − = HD: 3 2 2 3 3.2 4.3 2 3 2 2.3 0 x x x x x x + − − = Chia 2 vế của PT cho 3 3x ta đươc: 3 2 2 2 2 3. 4 2 0 3 3 3 x x x + − − = ÷ ÷ ÷ Đặt 2 3 x t = ÷ , t>0 ta có: 3 2 3 4 2 0t t t+ − − = 2 1 3 t t⇔ = − ∨ = Do ĐK ta chỉ nhận 2 3 t = ⇔ x=1 16. Tham khảo 2006 Giải PT 2 2 log 2 2log 4 log 8 x x x + = HD: ĐK x>0, x≠1, x≠ 1 2 . PT tương đương với: 2 4 8 1 2 1 log log 2 log 2 x x x + = 2 2 2 1 4 6 log 1 log 1 logx x x ⇔ + = + + 2 2 1 2 log 1 logx x ⇔ = + 2 2 1 log 2logx x ⇔ + = 2 2x x ⇔ = 2x ⇔ = 17. ĐH-B-2006 Giải BPT ( ) ( ) x x 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 − + − < + + HD: Biến đổi BPT ( ) x x 2 5 5 4 144 log log 5.2 5 16 − + < + ÷ x x 2 4 144 5.2 5 16 − + ⇔ < + x x 4 -20.2 64 0⇔ + < 2 t -20.t 64 0(t=2 0) x ⇔ + < > ( 4)( 16) 0t t⇔ − − < 4 16t ⇔ < < 2 4x ⇔ < < 18. Tham khảo 2006 3 1 8 2 2 log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − = HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT 2 2 2 log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0x x x+ + − − − = 2 ( 1)(3 ) log 0 1 x x x + − ⇔ = − ( 1)(3 ) 1 1 x x x + − ⇔ = − 2 4 0x x⇔ − − = 1 17 1 17 2 2 x x − + ⇔ = ∨ = Do ĐK chỉ nhận 1 17 2 x + = 19. *Tham khảo 2006 1 2 2 2 9 10.3 1 0 x x x x+ − + − − + = HD: 2 2 1 10 9 .3 1 0 9 9 x x x x+ + − + = . Đặt 2 3 , 0 x x t t + = > Ta được 2 10 9 0t t− + = 1 9t t ⇔ = ∨ = 2 2 0 2 0x x x x⇔ + = ∨ + − = 2 1 0 1x x x x⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ = 20. ***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất ln(1 ) ln(1 ) x y e e x y y x a − = + − + − = HD: Biến đổi ln(1 ) ln(1 ) 0 x a x e e x a x y x a + − − + + + + = = + Xét hàm số ( ) ln(1 ) ln(1 ), 1 x a x f x e e x a x x + = − − + + + + > − ( ) ( 1) 0 (1 )(1 ) x a a f x e e x x a ′ = − + > + + + (vì a>0 và x>−1) 1 lim ( ) , lim ( ) x t f x f x →+∞ →− + = +∞ = −∞ , f(x) liên tục trên ( 1; )− +∞ . Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm x 0 trên ( 1; )− +∞ Do ( ) 0, 1f x x ′ > ∀ > − nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x 0 và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x 0 ;y=x 0 +a) 21. ĐH-D-2006 Giải PT 2 2 2 2 4.2 2 4 0 x x x x x + − − − + = HD: Đặt 2 2 2 2 x x x x u v + − = = Suy ra 2 . 2 x u v = (u>0,v>0) Phương trình thành: u 4v uv 4 0 − − + = u(1-v)+4(1-v)=0⇔ (u+4)(1-v)=0⇔ v=1 ⇔ 2 x 0x⇔ − = x 0 1x ⇔ = ∨ = 22. Tham khảo 2006 Giải PT ( ) ( ) x x 1 3 3 log 3 1 log 3 3 6 + − − = HD: Đưa về: ( ) ( ) x x 3 3 log 3 1 log 3(3 1) 6− − = ( ) ( ) x x 3 3 log 3 1 1+log 3 1 6 ⇔ − − = ( ) ( ) x 3 (1 ) 6 log 3 1t t t⇔ + = = − 2 6 0t t⇔ + − = 2 3t t ⇔ = ∨ = − ( ) ( ) 3 3 log 3 1 2 log 3 1 3 x x ⇔ − = ∨ − = − 1 3 1 9 3 1 27 x x ⇔ − = ∨ − = 28 3 10 3 27 x x ⇔ = ∨ = 3 3 28 log 10 log 27 x x⇔ = ∨ = 23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT 2 2 ln(1 ) ln(1 ) 12 20 0. x y x y x xy y + − + = − − + = HD: Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1) 1 ( ) 1 1 1 t f t t t − ′ = − = + + Nếu −1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0 PT thành f(x)=f(y) Xét x 2 −12xy+20y 2 =0 ⇔ x=10y V x=2y Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0 Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0 Vậy y>−1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu của hàm số trên các khoảng ( ) 1;0 ,(0; )− +∞ làm cho PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y Hệ đã cho thành 1, 0 10 2 y y x y x y x y > − ≠ = ∨ = = vô nghiệm Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0) 24. Tham khảo 2006 Giải ( ) 2 4 2 1 2 log x 1 log x log 0 4 + + = HD: Đưa về ( ) 2 2 log x 1 log x 2 0+ − = . Đặt t=log 2 x 2 t +t 2 0− = t=1 t= 2⇔ ∨ − 1 x=2 x= 4 ⇔ ∨ 25. *ĐH-B-2005 Giải hệ x y log ( x ) log y . 2 3 9 3 1 2 1 3 9 3 − + − = − = HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương x y log ( x) log y − + − = − = 3 3 1 2 1 3 1 x y x log y − + − = ⇔ = ÷ 3 1 2 1 3 1 x y x y − + − = ⇔ = 1 2 1 y x x x = ⇔ − + − = 1 2 1 Xét x x− + − =1 2 1 (1≤1≤2) ta có x x x x− + − + − − =1 2 2 1 2 1 x x⇔ − − =1 2 0 x x⇔ = ∨ =1 2 Nghiệm của hệ là 1 2 1 2 x x y y = = ∨ = = 26. ***ĐH-D-2005 CMR 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x + + ≥ + + ÷ ÷ ÷ HD: Dùng BĐT Côsi ta có: 12 15 12 15 2 2.3 5 4 5 4 x x x x x + ≥ = ÷ ÷ ÷ ÷ 12 20 12 20 2 2.4 5 3 5 3 x x x x x + ≥ = ÷ ÷ ÷ ÷ 15 20 15 20 2 2.5 4 3 4 3 x x x x x + ≥ = ÷ ÷ ÷ ÷ Suy ra 12 15 20 3 4 5 5 4 3 x x x x x x + + ≥ + + ÷ ÷ ÷ 27. Tham khảo-2005 Giải x x x x − − − ≤ ÷ 2 2 2 2 1 9 2 3 3 HD: Đặt 2 2 3 , 0 x x t t − = > ta có t 2 −2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3 BPT thành 2 2 2 3 3 2 0 x x x x − ≤ ⇔ − ≤ 0 2x ⇔ ≤ ≤ 28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR x y z .2 4 2 4 2 4 3 3 + + + + + ≥ HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4 x =1. 3 2 4 1 1 4 3 4 x x x + = + + ≥ 3 2 4 32 x x ⇒ + ≥ Tương tự với y,z ta có: x y z x y z + + + + + ≥ + + ÷ ÷ 3 3 3 2 4 2 4 2 4 3 2 2 2 x y z + + ≥ = 3 3 3 3 2 3 3 (vì x+y+z=0) 29. ĐH-A-2004 Giải HPT: log (y x) log y x y 1 4 4 2 2 1 1 25 − − = + = HD: log (y x) log y x y 1 4 4 2 2 1 1 25 − − = + = log (y x) log y x y − − + = ⇔ + = 4 4 2 2 1 25 y , y x y log y x x y > > ⇔ = − + = 4 2 2 0 1 25 y , y x y y x x y > > ⇔ = − + = 2 2 0 4 25 y , y x x y x y > > ⇔ = + = 2 2 0 4 3 25 y , y x x y x > > ⇔ = = 2 0 4 3 9 y , y x y ,y x y y x x > > > > ⇔ = ∨ = − = = − 0 0 4 4 3 3 x y = ⇔ = 3 4 30. Tham khảo-2004 Giải BPT ( ) log log x x x . 2 2 4 2 0 π + − < HD: ( ) log log x x x . 2 2 4 2 0 π + − < ( ) ( ) log x x x log x x x + − > ⇔ + − > 2 2 2 2 2 0 2 1 ( ) log x x x⇔ + − > 2 2 2 1 x x x x x x + − > ⇔ + − > 2 2 2 0 2 2 x x x⇔ + − > 2 2 2 x x x⇔ − > − 2 2 2 x x x x x x x x − < − ≥ ⇔ ∨ − ≥ − > − + 2 2 2 2 0 2 0 2 0 2 4 4 x x x x x x ≤ > ⇔ ∨ ≤ ∨ ≥ + − > 2 2 2 0 2 3 4 0 x x x x ≤ ⇔ > ∨ < − ∨ > 2 2 4 1 ( ) ( ) x x⇔ < − ∨ <4 1 31. Tham khảo-2004 Giải BPT 2 2 1 3 log log 2 2 2. 2 x x x ≥ HD: 2 2 1 3 log log 2 2 2. 2 x x x ≥ 2 2 1 3 log log 2 2 2 2 log 2. log 2 x x x ⇔ ≥ ÷ 2 2 1 3 1 log log 2 2 x x ⇔ + ≥ 2 1 log x ⇔ ≥ 0 2x ⇔ < ≤ 32. ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất ( ) 1 1 ( 0) x x x x x + = + > HD: ( ) 1 1 x x x x + = + ( ) 1 ln ln 1 x x x x + ⇔ = + ( ) ( 1)ln ln 1x x x x⇔ + = + ( 1)ln ln( 1) 0x x x x⇔ + − + = Đặt ( ) ( 1) ln ln( 1)f x x x x x= + − + 1 1 ( ) ln ln( 1) 1 f x x x x x ′ = − + + + + 2 2 2 1 ( ) 0 ( 1) x x f x x x − − − ′′ = < + Suy ra f’(x) nghịch biến trên R + Mà: 1 1 lim ( ) lim ln 0 1 1 x x x f x x x x →+∞ →+∞ ′ = + + = ÷ + + ⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R + 0 lim ( ) x f x + → = −∞ f(e)=e+1−eln(e+1)>0 Vậy có x 0 thuộc (0;e) để f(x 0 )=0 và x 0 là nghiệm duy nhất. 33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số ln x y x = ∈ 2 3 x 1;e HD: ln x y f (x) x = = ∈ 2 3 x 1;e ln x( ln x) f (x) x − ′ = 2 2 f (x) x x e ′ = ⇔ = ∨ = 2 0 1 f(1)=0; 2 2 4 ( )f e e = ; 3 3 9 ( )f e e = GTNN là f(1)=0; GTLN là 2 2 4 ( )f e e = 34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: 4 2 1162 1 > − −+ − x x x HD: 1 2 2 3 0 2 x x x − + − > − x<1 thì 1 2 2 3 0 2 0 x x x − + − < − < suy ra x<1 thỏa BPT x=1 không thỏa BPT 1<x<2 thì 1 2 2 3 0 2 0 x x x − + − > − < suy ra 1<x<2 không thỏa BPT x>2 thì 1 2 2 3 0 2 0 x x x − + − > − > suy ra x>2 thỏa BPT Kết luận: nghiệm là x<1, x>2 35. ***Tham khảo 2004 Cho hàm số 2 sin 2 x x y e x= − + Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm. HD: 2 ( ) sin 2 x x y f x e x= = − + ( ) cos x f x e x x ′ = − + ( ) sin 1 0 x f x e x ′′ = + + > Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0 Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0 Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0 GTNN là f(0)=1 2 2 ( ) 1 1 sin 1 2 2 x x x x y f x e x e= = − + − + ≥ − + Mà 2 lim 1 2 x x x e →+∞ − + = +∞ ÷ ⇒ ( ) lim x f x →+∞ = +∞ Và 2 lim 1 2 x x x e →−∞ − + = +∞ ÷ ⇒ ( ) lim x f x →−∞ = +∞ Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt. 36. *Tham khảo 2004 Giải BPT 3 x log x log 3> HD: Đưa về 3 0, 1 log 1 x x t x t t > ≠ = > 3 2 0, 1 log 1 0 x x t x t t > ≠ ⇔ = − > 3 0, 1 log 1 0 1 x x t x t t > ≠ ⇔ = − < < ∨ > 3 3 0, 1 1 log 0 log 1 x x x x > ≠ ⇔ − < < ∨ > 1 1 3 3 x x⇔ < < ∨ > 37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT −=− +=+ −+ .yx xyyx xyx 1 22 22 HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0 Thay y=x vào PT thứ hai 2 1 2 2 0 x x− − = 2 1 1x x x ⇔ = − ⇔ = − (y=−1) Thay y=1−x vào PT thứ hai 1 2 2 3 0 x x − + − = Hàm số 1 ( ) 2 2 3 x f x x − = + − đồng biến trên R và f(1)=0 nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0) Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0) 38. Tham khảo 2003 Giải BPT 1 1 15.2 1 2 1 2 x x x + + + ≥ − + HD: Đặt t=2 x ta được 30 1 1 2t t t + ≥ − + t=1 thỏa BPT t>1 ta được 30 1 3 1t t + ≥ − 2 1 30 1 9 6 1 t t t t > ⇔ + ≥ − + 2 1 4 0 t t t > ⇔ − ≤ 1 4t ⇔ < ≤ t<1 ta được 30 1 1t t + ≥ + 2 1 1 1 1 30 1 2 1 30 t t t t t t < − − ≤ < ⇔ ∨ − ≥ + ≥ + + 2 1 1 1 1 30 28 0 t t t t − ≤ < − ⇔ ≤ < − ∨ − ≤ 1 1 1 1 0 28 30 t t t − ≤ < − ⇔ ≤ < − ∨ ≤ ≤ 1 1 0 1 30 t t − ⇔ ≤ < − ∨ ≤ < Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có 0 4t < ≤ 0 2 4 2 x x⇔ < ≤ ⇔ ≤ 39. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) ( ) 04 2 1 2 2 =+− mxx loglog HD: ( ) 04 2 1 2 2 =+− mxx loglog ( ) 2 2 2 log log 0x x m⇔ + + = ( ) 2 2 2 log logm x x⇔ = − − Với 0<x<1 thì 2 0 1 log 0x x< < ⇔ < PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số 2 ( ) ( 0)f t t t t= − − < Khảo sát hàm số cho kết quả 1 4 m ≤ 40. ĐH-D-2003 Giải PT: 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = HD: 2 2 2 2 2 3 x x x x− + − − = 2 2 4 2 3 2 x x x x − − ⇔ − = 2 2 2 3 4 0 x x t t t − = ⇔ − − = 2 2 4 x x− ⇔ = 2 2 0x x⇔ − − = 1 2x x ⇔ = − ∨ = 41. Tham khảo 2003 Giải PT ( ) x 5 log 5 4 1 x− = − HD: ( ) 5 log 5 4 1 x x− = − 1 5 4 5 x x− ⇔ − = 5 5 4 x t t t = ⇔ − = 2 5 4 5 0 x t t t = ⇔ − − = 5 5 x t t = ⇔ = 1x⇔ = 42. ĐH-A-2002 Cho PT 0121 2 3 2 3 =−−++ mxx loglog 1) Giải PT khi m=2 2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ] HD: 1) 2 2 3 3 log log 1 5 0x x + + − = 2 3 2 log 1 6 0 t x t t = + ⇔ + − = 2 3 log 1 2 t x t = + ⇔ = 2 3 log 3x ⇔ = 3 log 3x⇔ = ± 3 3x ± ⇔ = 2) Xét 3 3 1 3 0 log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 0121 2 3 2 3 =−−++ mxx loglog ( ) 2 3 2 log 1 1 ( ) 2 2 t x m f t t t = + ⇔ = = + − PT ban đầu có nghiệm x thỏa 3 1 3x≤ ≤ khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với 1 2t≤ ≤ Khảo sát hàm số ta được 0 2m ≤ ≤ 43. Tham khảo 2002 Giải PT 2 2 3 27 16log 3log 0 x x x x− = HD: Với ĐK 1 1 0, , 3 3 x x x> ≠ ≠ Đưa về dạng 3 3 3 3 8log 3log 3 2log 1 log x x x x = + + Hoặc 3 log 0 1x x= ⇔ = Hoặc 3 3 8 3 3 2log 1 logx x = + + 3 1 log 2 x⇔ = 3x⇔ = Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm: ( ) ≤−+ <−−− 11 3 1 2 1 031 3 2 2 2 3 xx kxx loglog HD: Xét BPT ta có ( ) 3 2 2 2 1 1 log log 1 1 2 3 x x+ − ≤ Giải xong được 1 2x− ≤ ≤ Xét BPT 3 1 3 0x x k− − − < 3 ( ) 1 3k f x x x⇔ > = − − Xét 1 1x− ≤ ≤ , ( ) 3 ( ) 1 3k f x x x> = − − 44. ĐH-B-2002 Giải BPT ( ) ( ) 3 log log 9 72 1 x x − ≤ HD: ( ) ( ) 3 log log 9 72 1 x x − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 0 1 1 log 9 72 0 log 9 72 0 log 9 72 log 9 72 x x x x x x x x < < > ⇔ − > ∨ − > − ≥ − ≤ ( ) 3 1 0 1 9 72 1 log 9 72 9 72 3 x x x x x x x > < < ⇔ ∨ − > − ≥ − ≤ 1 0 1 3 6 2 9 72 3 9 3 72 0 x x x x x x x > < < ⇔ ∨ > − ≥ − − ≤ 1 0 1 3 8 3 9 6 2 3 9 x x x x x > < < ⇔ ∨ ≤ − ∨ ≥ ≤ ≤ ( ) 3 log 6 2 2x⇔ < ≤ 45. Tham khảo 2002 Giải HPT 4 2 4 3 0 log log 0 x y x y − + = − = HD: 4 2 4 3 0 log log 0 x y x y − + = − = 4 2 1, 1 4 3 log log x y x y x y ≥ ≥ ⇔ = − = 2 1, 1 4 3 x y x y x y ≥ ≥ ⇔ = − = 2 1, 1 4 3 4 3 0 x y x y y y ≥ ≥ ⇔ = − − + = 1 9 1 3 x x y y = = ⇔ ∨ = = 46. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm ( ) 2 1 1 1 1 2 9 2 3 2 1 0 x x a a + − + − − + + + = HD: ( ) 2 1 1 1 1 2 9 2 3 2 1 0 x x a a + − + − − + + + = 2 1 2 3 9 3( 2) 2 1 0 x t t a t a − = ⇔ − + + + = Với −1≤x≤1 ta có 1 3 3 t≤ ≤ Ta tìm a để PT 2 9 3( 2) 2 1 0t a t a − + + + = có nghiệm t thỏa 1 3 3 t≤ ≤ Biến đổi PT 2 9 6 1 ( ) 3 2 t t a f t t − + = = − 2 2 9(3 4 1) ( ) (3 2) t t f t t − + ′ = − , 1 ( ) 0 1 3 f t t t ′ = ⇔ = ∨ = x -∞ 1/3 2/3 1 +∞ f’(t) + 0 − − 0 + f(t) 0 +∞ -∞ 4 PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4 47. Tham khảo 2002 Giải PT ( ) ( ) ( ) 8 4 2 2 1 1 log 3 log 1 log 4 2 4 x x x+ + − = HD: ( ) ( ) ( ) 8 4 2 2 1 1 log 3 log 1 log 4 2 4 x x x+ + − = ( ) 2 2 2 0, 1 log 3 log 1 log (4 ) x x x x x > ≠ ⇔ + + − = 2 2 0, 1 4 log 1 log 3 x x x x x > ≠ ⇔ − = + 0, 1 4 1 3 x x x x x > ≠ ⇔ − = + 0 1 1 4 4 1 1 3 3 x x x x x x x x < < > ⇔ ∨ − + = − = + + 2 2 0 1 1 2 3 4 2 3 4 x x x x x x x x < < > ⇔ ∨ − − + = + − = 2 2 0 1 1 6 3 0 2 3 0 x x x x x x < < > ⇔ ∨ + − = − − = 3 2 3 3x x⇔ = − + ∨ = 48. ĐH-D-2002 Giải HPT 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y + = − + = + HD: 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y + = − + = + 3 2 2 5 4 (2 2)2 2 2 x x x x y y y = − ⇔ + = + 3 2 2 5 4 2 x x y y y = − ⇔ = 3 2 2 5 4 0 x y y y y = ⇔ − + = 2 2 5 4 0 x y y y = ⇔ − + = 2 1 4 x y y y = ⇔ = ∨ = 0 2 1 4 x x y y = = ⇔ ∨ = = 49. Tham khảo 2002 Giải PT : ( ) ( ) 3 2 3 2 log 2 3 5 3 log 2 3 5 3 x y x x x y y y y x + − − = + − − = HD: ( ) ( ) 3 2 3 2 log 2 3 5 3 log 2 3 5 3 x y x x x y y y y x + − − = + − − = 3 2 3 3 2 3 0, 1, 0, 1 2 3 5 2 3 5 x x y y x x x y x y y y x y > ≠ > ≠ ⇔ + − − = + − − = 2 2 0, 1, 0, 1 2 3 5 0 2 3 5 0 x x y y x x y y y x > ≠ > ≠ ⇔ − − = − − = 2 2 2 2 0, 1, 0, 1 2( ) 3( ) 5( ) 0 4( ) 3( ) 5( ) 0 x x y y x y x y y x x y x y x y > ≠ > ≠ ⇔ − − − − − = + − + − + = 2 2 0, 1, 0, 1 ( )( 1) 0 4( ) 8( ) 0 x x y y x y x y x y x y > ≠ > ≠ ⇔ − + + = + − + = 2 2 0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1 1 8 16 0 8 8 13 0 x x y y x x y y x y y x x x x x > ≠ > ≠ > ≠ > ≠ ⇔ = ∨ = − − − = + + = 2 2 x y = ⇔ = 50. Tham khảo 2002 Giải BPT ( ) ( ) loglog 212 2 1 2 1 23244 −≥+ +xx HD: ( ) ( ) loglog 212 2 1 2 1 23244 −≥+ +xx 2 1 2 2 1 2 2 3.2 0 4 4 2 3.2 x x x + + − > ⇔ + ≤ − 4 16 x ⇔ ≥ 2x ⇔ ≥ . 2004 Giải HPT −=− +=+ −+ .yx xyyx xyx 1 22 22 HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0 Thay y=x vào PT thứ hai 2 1 2 2 0 x x− − = 2 1 1x x x ⇔ = − ⇔ = − (y=−1) Thay y=1−x vào PT thứ hai. 2004 Giải BPT: 4 2 1162 1 > − −+ − x x x HD: 1 2 2 3 0 2 x x x − + − > − x<1 thì 1 2 2 3 0 2 0 x x x − + − < − < suy ra x<1 thỏa BPT x=1 không thỏa BPT 1<x<2. PT- BPT MŨ LÔGARIT *** 1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 log ( ) 1 log ( ) 3 81 x y xy x y xy + − + = + = HD: HPT tương đương 2 2 2 2 0 2 4 xy x