Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Có nhiều phương pháp để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều biến trở lên. Hôm nay Thư viện điện tử giới thiệu Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến. Đây là tài liệu hữu ích, gồm 16 trang tổng hợp lý thuyết và bài tập của 7 phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến trở lên. Hy vọng với tài liệu này các bạn lớp 12 có thêm nhiều tài liệu tham khảo, củng cố kiến thức để đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi THPT Quốc gia sắp tới. Mời các bạn cùng theo dõi và tải tài liệu tại đây.

Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bài tốn chung: Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số f ( x ) Bước 1: Dự đốn chứng minh f ( x ) ≥ c; f ( x ) ≤ c Bước 2: Chỉ ñiều kiện ñủ ñể f ( x ) = c Các phương pháp thường sử dụng Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng bình phương Phương pháp 2: Tam thức bậc hai Phương pháp 3: Sử dụng bất ñẳng thức cổ ñiển: Côsi; Bunhiacôpski Phương pháp 4: Sử dụng ñạo hàm Phương pháp 5: Sử dụng ñổi biến lượng giác Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ hệ tọa ñộ Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học hệ tọa độ II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: Bài Tìm giá trị nhỏ P(x, y) = x + 11y − 6xy + 8x − 28y + 21 Giải Biến ñổi biểu thức dạng P(x, y) = (x − 3y + 4)2 + 2(y − 1)2 + ≥ y −1= y =1 Từ suy MinP(x, y) = ⇔  ⇔  x − y + =  x = −1 Bài Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ của: S = x4 y + y4 x − x2 y − y2 x + x y + y x 2  y2  y2 x y  x2  Giải S =  − 1 +  − 1 − + x + + + y x y x x  y  2 2  y2   x y x y   x2  S =  − 1 +  − 1 +  −  +  + −  + x   y x y x  y   y2  ( x − y)  x y  x2  S =  − 1 +  − 1 +  −  + +2≥2 xy x   y x y  Với x = y > MinS = Chương I Hàm số – Trần Phương Bài Tìm giá trị lớn hàm số S = sin x + sin y + sin ( x + y ) − cos x − cos y + + − cos ( x + y ) 2 S = − cos( x + y) cos( x − y) − cos ( x + y) = −  + cos( x + y) cos( x − y) + cos ( x + y)    Giải S = sin x + sin y + sin ( x + y ) = S = −  cos( x − y ) + cos( x + y )  − sin ( x − y ) ≤   4 Với x = y = π + k π , (k∈Z) Max S = Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x12 + x 22 + x32 + + x82 − ( x1 x2 + x2 x3 + + x6 x7 + x7 x8 + x8 ) 2 2  3  4  5   Giải S =  x1 − x2  +  x2 − x3  +  x3 − x4  +  x − x5  +  4  6  8   + 2        8 4  x − x  +  x − x  +  x − x8  +  x8 −  − ≥ − 10   12   14   16  9 9 Với x1 = x ; x2 = x3 ; ; x6 = x7 ; x7 = x8 ; x8 = , Min S = − 9 Bài Cho x, y , z ∈ ℝ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = 19x2 + 54y2 +16z −16xz − 24y +36xy Giải Biến ñổi S ⇔ f(x) = 19x2 − 2(8z −18y)x + 54y2 +16z2 − 24y Ta có ∆′x = g(y) = (8z −18y)2 − (54y2 +16z2 − 24y) = −702y2 +168zy − 240z2 ⇒ ∆′y = (84z)2 − 702.240z2 = −161424z ≤ ∀z∈R ⇒ g(y) ≤ ∀y, z∈R Suy ∆′x ≤ ∀y, z∈R ⇒ f(x) ≥ Với x = y = z = MinS = Bài Cho x + xy + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: S = x2 − xy + y Giải Xét y = ⇒ x2 = ⇒ S = giá trị hàm số Xét y ≠ 0, biến ñổi biểu thức dạng sau ñây u= S x − xy + y ( x / y ) − ( x / y ) + t − t + x = = = = u với t = 2 x + xy + y y ( x / y) + ( x / y) + t + t + Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số ⇔ u(t2 + t + 1) = t2 − t + ⇔ (u − 1)t2 + (u + 1)t + (u − 1) = (*) + Nếu u = 1, t = ⇒ x = 0, y = ± ⇒ u = giá trị hàm số + Nếu u ≠ 1, u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương trình (*) có nghiệm t ⇔ ∆ = (3u − 1)(3 − u) ≥ ⇔ ≤ u ≠ ≤ Vậy tập giá trị u  ,  ⇒ Min u = ; Max u = 3    x = y Min S = ⇔ Min u = ⇔ t = ⇒  ⇔ x = y = ±1 2  x + xy + y =  x = 3, y = −  x = − y ⇔ Max S = ⇔ Maxu = ⇔ t = −1 ⇒  2   x + xy + y =  x = − 3, y = Bài Cho x,y∈R thỏa mãn ñiều kiện ( x − y + 1) + 4x y − ( x + y ) = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức S= x + y Giải Biến ñổi ( x − y ) + ( x − y ) + + 4x y − ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + + 4x = ⇔ ( x + y ) Do −4x ≤ nên ( x + y ) − ( x + y ) + ≤ ⇔ − 3( x + y ) + = − 4x 3− 3+ ≤ x2 + y2 ≤ 2 Với x = 0, y = ± 3− 3− , Min( x + y ) = 2 Với x = 0, y = ± 3+ 3+ , Max( x + y ) = 2 Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x + x + x + Giải Gọi y0 giá trị hàm f(x) ⇒ tồn x cho y = x0 + x02 + x0 + ⇔ y − x0 = x02 + x0 + ⇒ y 02 − y x0 + x02 = x02 + x0 + ⇔ g(x0) = 3x02 + 2(1 + y ) x0 + − y 02 = Ta có g(x) = có nghiệm x0 ⇔ ∆′ = (1 + y ) − 3(1 − y 02 ) = 2(2 y 02 + y − 1) = 2( y + 1)(2 y − 1) ≥ Chương I Hàm số – Trần Phương Do y0 = x0 + x02 + ( x0 + 1) ≥ x0 + x02 = x0 + x0 ≥ nên ∆′ ≥ ⇔ 2y − ≥ ⇔ y ≥ 1 Với x = − Minf(x) = 2 Bài Cho y = f ( x ) = x − 5x + + mx Tìm giá trị m cho Min y >  x + ( m − ) x + ; x ≤ ∨ x ≥ : ( P1 )  f ( x) =  Giải Ta có  − x + ( m + ) x − ; ≤ x ≤ : ( P2 ) Gọi (P) ñồ thị y = f(x) ⇒ (P) = (P 1) ∪ (P2) (P) có hình dạng đồ thị sau ñây P1 A P2 A P1 A P1 P2 B C B C P2 C B Hồnh độ điểm đặc biệt đồ thị (P): Hồnh ñộ giao ñiểm (P1), (P2) xA = 1; x B = ; Hồnh độ đỉnh (P1): xC = 5−m Nhìn vào đồ thị ta xét khả sau: Nếu xC ∈[x A, x B] ⇔ m∈[ −3, 3] Minf(x) = Min{f(1), f(4)}  −3 ≤ m ≤  Khi Minf(x) > ⇔  f (1) = m > ⇔ < m ≤   f (4) = 4m > (1)  − m  −m2 +10m − Nếu xC ∉[xA, xB] ⇔ m∉[ −3, 3] Minf(x) = f1 ( xC ) = f1  =    m ∉ [−3, 3] Khi ñó Minf(x) > ⇔  ⇔3< m ⇔ < m < + (2) Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài 10 (ðề thi TSðH 2005 khối A) 1 Cho x, y , z > ; + + = Tìm Min S = + + x y z 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Giải: Sử dụng bất ñẳng thức Côsi cho số a, b, c, d > ta có: ) ( 16 ( a + b + c + d ) + + + ≥ 4.4 abcd 4.4 = 16 ⇒ + + + ≥ a b c d abcd a b c d a +b+c+d 16 16 1 + + + ≥ =  x x y z x + x + y + z 2x + y + z  16 16 +  + + + ≥ = x y y z x + y + y + z x + 2y + z  1 + + + ≥ 16 16 =  x y z z x + y + z + z x + y + z 1  ⇒ Min S = 16 =  + +  ≥ 16  + +  x y z x + y + z x + y + z x + y + z     Bài 11 (ðề thi TSðH 2007 khối B) y  Cho x, y , z > Tìm Min S = x  x +  + y  +  + z  z +   zx   yz   xy  Giải: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi cho số ta có y y x4 y4z4   S =  x2 + y2 + z2 + x + x + + + z + z  ≥ 9 4 = ⇒ Min S = 2 yz yz zx zx xy xy  x y z 2  x, y > Bài 12 Cho  Tìm giá trị nhỏ S =  x + y =  x   y  Giải: S =  + y+ + x−   y   x Mặt khác, S = Suy 2S ≥ x x 1− x + y + y 1− y ≥ xy ≥ = ( ) ( x + y ≥2 1− y + x+ y 1− x ) ( x+ y − y + 1− y ) x+ y = x+ y  1  =  + −  x x y   1− x y x ( x+ y ) = 2 ⇒ S ≥ ⇒ MinS = Bài 13 Cho x, y, z > Tìm Max của: S = ( xyz x + y + z + x + y + z (x 2 +y +z ) ) ( xy + yz + zx) Giải: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi BunhiaCơpski ta có đánh giá sau: Chương I Hàm số – Trần Phương x + y + z ≥ ⋅ x y z xy + yz + zx ≥ 3 xy yz.zx = 3 x y z ; x+ y+z≤ S≤ (12 + 12 + 12 ) ( x + y + z ) = x + y + z Từ suy xyz (1 + ) x + y + z ( x + y + z ) 3.3 x y z = xyz xyz 1+ 1+ 3+ ⋅ ≤ ⋅ = 2 3 xyz x +y +z Bài 14 (ðề thi TSðH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = x + − x Cách 1: Tập xác ñịnh D = [ −2; 2] ; y′ = − x − x2 ; y′ = ⇔ x = − x  x ≥  max y = 2 ⇔ ⇔x= ⇒   x = − x  y = −2 x −2 + y′ y − 2 −2 Cách 2: ðặt x = sin u , u ∈  − π ; π   2  ( ) ⇒ y = ( sin u + cos u ) = 2 sin u + π ∈  −2; 2  ; max y = 2 ; y = −2 Bài 15 (ðề dự bị TSðH 2003 khối B) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ y = x + (1 − x ) ñoạn [ −1;1] Cách ðặt u = x ∈ [ 0;1] Ta có y = u + (1 − u ) = −3u + 12u − 12u + y ′ = −9u + 24u − 12 = ⇔ u1 = ∈ [ 0;1] ; u = > Nhìn bảng biến thiên ta có max y = 4; y = Cách ðặt x = sin u ⇒ y = sin u + cos u x y′ y − + = ( sin u + cos u ) + 3cos u ≤ ( sin u + cos u ) + = Với x = max y = Sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:  6 8 8 sin u + 27 + 27 ≥ ⋅ sin u ⋅ 27 ⋅ 27 = sin u   cos u + + ≥ ⋅ cos u ⋅ ⋅ = cos u  27 27 27 27 y = sin u + cos u + ≥ ( sin u + cos u ) = ⇒ y ≥ Với x = ⇒ y = 3 9 Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài 16 a) Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn hàm số y = x + x2 +1 b) Cho a + b + c = Chứng minh rằng: Giải a) TXð: D = ℝ ; y ′ = lim y = lim x →∞ ( x + 3) / x x →∞ x +1 x2 = lim x →∞ − 3x ( x + 1) x + a + + b + + c + ≥ 10 () = ⇔ x = ⇒ y = 10 3 ( x + 3) / x = lim x x →∞ x 1+ x x −∞ 1/3 +∞ + − y′ Suy lim y = 1; lim y = −1 Nhìn BBT x →+∞ 10 x →−∞ y ta có y = x + ≤ 10 ⇒ max y = 10 x2 +1 −1 b) Theo phần a) y ≤ 10 , ∀x ⇔ x + ≤ 10 x + , ∀ x ðặc biệt hóa bất ñẳng thức giá trị x = a, x = b, x = c ta có:  x = a : a + ≤ 10 a +   x = b : b + ≤ 10 b +   x = c : c + ≤ 10 c + a + b + c + ≤ 10 ( a + + b + + c + 1) ⇔ 10 ≤ a + + b + + c + Cách Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy ñặt OA = ( a;1) ; AB = ( b;1) ; BC = ( c;1) y Khi OC = OA + AB + BC = ( a + b + c ; 3) Do OA + AB + BC ≥ OA + AB + BC = OC Từ suy 2 a + + b + + c + ≥ 10 O C B A a a+b a+b+c x Bài 17 (ðề 33 III.2, Bộ ñề thi TSðH 1987 – 1995) Cho x + y = Tìm Max, Min A = x + y + y + x Giải Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCơpski ta có A≤ ( x + y ) (1 + y ) + (1 + x ) = + x + y ≤ + 2(x2 + y2 ) = + Với x = y = Max A = + 2 Chương I Hàm số – Trần Phương Tìm MinA: Xét trường hợp sau • Trường hợp 1: Nếu xy ≥ , xét khả sau: +) Nếu x ≥ 0, y ≥ A>0 ⇒ Min A > +) Nếu x ≤ 0, y ≤ |A| ≤ ( x + y ) [ (1 + x) + (1 + y )] = 2+ x+ y = − x − y ≤ − ( x2 + y2 ) = Từ khả ñã xét suy với xy ≥ Min A = −1 • Trường hợp 2: Xét xy < : ðặt x + y = t ⇒ xy = t − < ⇒ t ∈ ( −1,1) A = x (1 + y ) + 2xy (1 + x ) (1 + y ) + y (1 + x ) = + xy ( x + y ) + xy + x + y + xy 2 2 = + t ⋅ t − + ⋅ t − 1 + t + t − = t − (1 + ) t +  + 2 2 ⇔ A = f ( t ) = (1 + ) t + t − (1 + ) t + −  Ta có: f ′ ( t ) = (1 + ) 1+ 1+ t + 2t− = ⇔ t = t1 = − ;t = t2 = −1 2 (19 − ) ; f (t2 ) = Thế t1 , t vào phần dư f ( t ) chia cho f ′ ( t ) ⇒ f ( t1 ) = 27 Nhìn bảng biến thiên suy ra: t −1 t1 t2 A ≤ f ( t1 ) ⇒ A ≥ − f ( t1 ) suy + ƒ′ + − (19 − ) f ( t1 ) Min A = − f ( t1 ) = − < −1 27 ƒ t12 − f (t ) xảy ⇔ x + y = t1 ; xy = ⇒ x, y nghiệm u + − (1 + ) ± 15 − 2 1+ 2 −3 u+ = ⇒ x, y = Kết luận: Max A = + ; Min A = − (19 − ) 27 Bài 18 Cho x, y , z ∈ [ 0,1] thoả mãn ñiều kiện: x + y + z = Tìm Max, Min biểu thức: S = cos ( x + y + z ) Giải Do x, y , z ∈ [ 0,1] nên < x + y + z < x + y + z = < π 2 Vì hàm số y = cos α nghịch biến 0, π nên toán trở thành ( ) Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Tìm MaxS hay tìm Min ( x + y + z ) x + y + z = (12 + 12 + 12 ) ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z ) = Với x = y = z = MaxS = cos 2 Tìm MinS hay tìm Max ( x + y + z ) Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai: Khơng tính tổng qt giả sử z = Max { x, y, z} ⇒ z ∈  ;1 Biến ñổi ñánh   giá ñưa tam thức bậc hai biến z ( ) 2 x + y + z = z + ( x + y ) − xy ≥ z + − z = z − z + = f ( z ) Do ñồ thị hàm y = f(z) parabol quay bề lõm lên nên ta có: Max f ( z ) = Max f ; f (1) = f = f (1) = 2 Với z = 1; x = ; y = MinS = cos Cách 2: Phương pháp hình học {() } () Xét hệ tọa ðề vng góc Oxyz Tập hợp điểm M ( x, y, z ) thoả mãn ñiều kiện x, y , z ∈ [ 0,1] nằm hình lập phương ABCDA′B′C′O cạnh với A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A′(0, 1, 0); B′(1, 1, 0); C′(1, 0, 0) Mặt khác x + y + z = nên M ( x, y, z ) nằm mặt phẳng (P): x + y + z = 2 Vậy tập hợp ñiểm M ( x, y, z ) thoả mãn ñiều kiện giả thiết nằm thiết diện EIJKLN với ñiểm E, I, J, K, L, N trung ñiểm cạnh hình lập phương Gọi O′ hình chiếu O lên EIJKLN O′ tâm hình lập phương tâm lục giác EIJKLN Ta có O′M hình chiếu OM lên EIJKLN Do OM2 = x + y + z nên OM lớn ⇔ O′M lớn z ⇔ M trùng với ñỉnh E, I, J, K, L, N 3/ Từ suy ra: () ) ≥ cos ( 54 ) x + y + z ≤ OK = + = 4 ⇒ cos ( x + y + z O′ L 3/ M O Với z = 1; x = ; y = MinS = cos J K I E 3/ x N y Chương I Hàm số – Trần Phương Bài 19 Cho a,b,c > thỏa mãn điều kiện a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ S = a2 + 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Giải Sai lầm thường gặp: a2 + S ≥ 3.3 1 ⋅ b + ⋅ c + = 3.6 b c a  ≥  ⋅ a ⋅  b  • Nguyên nhân:      a + b + c +  b  c  a      2   ⋅ b ⋅   ⋅ c ⋅  = = ⇒ Min S = c a    1 = = = ⇒ a + b + c = > mâu thuẫn với giả thiết a b c • Phân tích tìm tịi lời giải : Min S = ⇔ a = b = c = Do S biểu thức ñối xứng với a, b, c nên dự đốn Min S đạt a = b = c = Sơ ñồ ñiểm rơi:  2 a = b = c = 1 a = b = c = ⇒  ⇒ = ⇒ α  = = =4  αa αb αc α α = 16 Cách 1: Biến ñổi sử dụng bất đẳng thức Cơsi ta có S = a2 + 1 1 1 + + + b2 + + + + c2 + + + 2 2 16b 16b 16c 16c 16a 16a 16 ≥ 17 ⋅17 16  a2 b2 c2 a b c  17 17 + 17 ⋅ + 17 ⋅ = 17 17 16 + 17 16 + 17 16  16 32 16 32 16 32 16 b 16 c 16 a 16 c 16 a   16 b  a b c ≥ 17 3 ⋅ 17 16 ⋅ 17 16 ⋅ 17 16 16 b 16 c 16 a  = 10 16 17 ⋅ 17 (2a 2b 2c)5 17 ≥ ( ⋅ 17 2a + 2b + 2c ≥ 15 )   = 17  17 16 a b c 17 17 Với a = b = c = Min S = 2 Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Cách 2: Biến ñổi sử dụng bất đẳng thức BunhiaCơpski ta có  1 ⋅  a + = b 17    1 +  b2 + = ⋅ c 17   1  ⋅  c + a2 = 17  ⇒ S≥ ≥ ≥  4   2 ⋅a +   a +  (1 + ) ≥ b b  17    4   2 ⋅ b +   b +  (1 + ) ≥ c c  17    4   2 ⋅ c +   c +  (1 + ) ≥ a a  17   4 4  1 15  1    ⋅ a + b + c + + +  = ⋅ a + b + c + + + +  + +  a b c 4a 4b 4c  a b c   17  17  1  1 15  1    45  ⋅ ⋅ + 3⋅ ⋅ ⋅  = 3+ ⋅3  ⋅ abc ⋅   4a 4b 4c  a b c  17  17  abc   45 1 17   45  17  + ⋅  = Với a = b = c = Min S = 3 + ⋅ a + b + c  ≥ 2 17    17    ( ) ( ) ( ) Cách 3: ðặt u = a , ; v = b , ; w = c , b c a Do u + v + w ≥ u + v + w S = a2 + nên suy : 1 1 1 + b2 + + c2 + ≥ ( a + b + c) +  + +  b c a a b c ≥ ( a + b + c ) +  + +  + 15  + +  = 15   (a + b + c) ⋅ ⋅ + + +  ⋅ ⋅ ⋅  a b c 16  a b c ≥ ≥ 135 ⋅ ⋅ abc ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ≥ a b c 16 ( abc ) 16  a ( b c 16  a b ) c 135 + ⋅ 16 a + b + c ( ) 135 18 135 153 17 17 + ⋅4 = + = = Với a = b = c = Min S = 16 4 2 11 Chương I Hàm số – Trần Phương B CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ I ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình: x−2 + 4−x =2 Giải ðặt f ( x ) = x − + 4 − x với ≤ x ≤ 1 f ′( x) =  − 44( (4 − x)3  x − 2)  =0⇔ x=3   x ƒ′ − + ƒ Nhìn BBT suy ra: f ( x ) ≥ f ( 3) = ∀x ∈ [ 2, 4] ⇒ Phương trình f ( x ) = x − + 4 − x = có nghiệm x = Bài Giải phương trình: x + x = x + Giải PT ⇔ f ( x ) = x + x − x − = Ta có: f ′ ( x ) = x ln + x ln − 2 ⇒ f ′′ ( x ) = x ( ln 3) + x ( ln ) > ∀x ∈ ℝ ⇒ ƒ′(x) ñồng biến Mặt khác ƒ′(x) liên tục x −∞ f′ − f ′ ( ) = ln + ln − < , f ′ (1) = 3ln + 5ln − > ⇒ Phương trình ƒ′(x) = có nghiệm x0 f Nhìn bảng biến thiên suy ra: +∞ + x0 ƒ(x0) Phương trình f ( x ) = x + x − x − = có khơng q nghiệm Mà f ( ) = f (1) = nên phương trình (1) có nghiệm x = x = Bài Tìm m ñể BPT: m x + < x + m có nghiệm ∀x ∈ ℝ Giải m x + < x + m ⇔ m ( x + − 1) < x ⇔ m < f ( x ) = x 2x + − Ta có: f ′ ( x ) = − 2x + x + ( x + − 1) lim f ( x ) = lim = ; x →+∞ x →+∞ 2 + 92 − x x −1 lim f ( x ) = lim = −1 x →−∞ x →−∞ 2+ + x x =0⇔ x −∞ f′ x + = ⇔ x = ±6 − −6 + ƒ −1 +∞ − −3 Nhìn BBT ta có f ( x ) > m , ∀x ∈ ℝ ⇔ Min f ( x ) = f ( −6 ) = − > m ⇔ m < −3 x∈ℝ 4 12 Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài Tìm m để PT: + sin x = m (1 + cos x ) (1) có nghiệm x ∈  − π , π   2  Giải Do x ∈  − π , π  ⇒ x ∈  −π , π  nên ñặt t = tg x ∈ [ −1,1]  2  2  4  2 ⇒ cos x = − t ; sin x = 2t Khi (1) ⇔ ( sin x + cos x ) = m (1 + cos x ) 1+ t 1+ t 2 2     ⇔  2t + −2 t  = m 1 + − t  ⇔ f ( t ) = ( 2t + − t ) = 2m (2)  1+ t   1+ t  Ta có: f ′ ( t ) = ( 2t + − t ) ( − 2t ) = ⇔ t = 1; t = − ⇒ Bảng biến thiên t −1 ƒ′(t) ƒ(t) Nhìn bảng biến thiên suy ra: ðể (2) có nghiệm t ∈ [ −1,1] Min f ( t ) ≤ 2m ≤ Max f ( t ) t∈[ −1,1] 1− − + t∈[ −1,1] ⇔ ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Vậy để (1) có nghiệm x ∈  − π , π  m ∈ [ 0; 2]  2   x − 3x ≤  Bài Tìm m để hệ BPT:  (1) có nghiệm  x − x x − − m + 4m ≥ 0 ≤ x ≤ Giải (1) ⇔  (2) x  f ( x ) = x − x x − ≥ m − 4m f′ 3 x + x − ∀x ∈ [ 0; )  f Ta có: f ′ ( x ) =  ; 3 x − x + ∀x ∈ ( 2; 3] − + + 21 CT ƒ′(x) = ⇔ x = Nhìn BBTsuy ra: Max f ( x ) = f ( 3) = 21 x∈[ 0;3] ðể (2) có nghiệm Max f ( x ) ≥ m − 4m ⇔ m − 4m ≤ 21 ⇔ −3 ≤ m ≤ x∈[ 0;3] sin x cos y = m − m − 6m + 35  Bài Tìm m ≥ ñể hệ:  (1) có nghiệm cos x sin y = m − 6m + 33  Giải 13 Chương I Hàm số – Trần Phương sin ( x + y ) = m − 12m + 17 sin x cos y + cos x sin y = m − 12m + 17   (1) ⇔  ⇔  (2) 3 1 sin x cos y − cos x sin y = m − m +  sin ( x − y ) = m − 2m +   Xét f ( m ) = m − 12m + 17 Ta có: f ′ ( m ) = 3m − 12 = ⇔ m = > Nhìn BBT suy ra: ƒ(m) ≥ ƒ(2) = 1,∀m ≥ kết hợp với sin ( x + y ) ≤ suy ñểhệ (2) có nghiệm m = 2, hệ (2) trở thành: m ƒ′ − +∞ + 17 +∞ ƒ sin ( x + y ) =  có nghiệm x = π ; y = π Vậy (1) có nghiệm ⇔ m =  sin ( x − y ) =  II ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC Bài Chứng minh rằng: + x ln ( x + + x ) ≥ + x , ∀x ∈ ℝ BðT ⇔ f ( x ) = + x ln ( x + + x ) − + x ≥ ∀x ∈ ℝ Ta có: f ′ ( x ) = ln ( x + + x ) = ⇔ x = ⇒ Bảng biến thiên Nhìn bảng biến thiên suy ra: x −∞ f′ 0 − f +∞ + f ( x ) ≥ f ( ) = ⇒ (ñpcm)  a, b, c > 3 Bài Cho  CMR: T = a + b + c ≥ 2 2 b + c c + a a + b  a + b + c = Ta có: T = a + b + c = a2 b2 c2 + + 2 2 1− a 1− b 1− c a (1 − a ) b (1 − b ) c (1 − c ) Xét hàm số f ( x ) = x (1 − x ) với x > x Ta có f ′ ( x ) = − x = ⇔ x = > f′ Nhìn bảng biến thiên ⇒ f ( x ) ≤ ∀x > 3 f 2 3( 3 Khi : T = a + b + c ≥ a + b2 + c2 ) = 2 f ( a) f ( b) f (c) ðẳng thức xảy ⇔ a = b = c = 14 −∞ + 3 +∞ − Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài Cho ≤ n lẻ Chứng minh rằng: ∀x ≠ ta có: (1 + x + x2! + + xn! )(1 − x + x2! − x3! + − xn! ) < 2 n n n n ðặt u ( x ) = + x + x + + x ; v ( x ) = − x + x − x + − x 2! n! 2! 3! n! Ta cần chứng minh f ( x ) = u ( x ) v ( x ) < u ′ ( x ) = + x + x + + x n −1 = u ( x ) − x n  ( n − 1) ! 2! n!  Ta có:  v ′ ( x ) = −1 + x − x + − x n −1 = −v ( x ) − x n  ( n − 1) ! 2! n! n n ⇒ f ′ ( x ) = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) = u ( x ) − x  v ( x ) − u ( x )  v ( x ) + x     n!  n !   n n ⇒ f ′ ( x ) = − x [u ( x ) + v ( x )] = −2 x n! n! 1 + x + x + + x n −1   ( n − 1) ! 2! 4! Do ≤ n lẻ nên ƒ′(x) dấu với (−2x) x −∞ f′ Nhìn bảng biến thiên suy ra: a4 + b4 a3 + b3 ≥ () 1+ ( a ) b 1+ ⇔ a b a + b3 a + b ≤ 2 = 1+ t4 1+ t3 ≥ Xét f(t) = 1+ t = 1+ t3 −3 (1 + t ) 3 (1 + t ) +∞ − + 1 f a với t = > b t3 (1 + t ) t (1 + ) − (1 + t ) t (1 + t ) f′(t) = − ∀a, b > f′ +∞ t + f f ( x ) < f ( ) = ∀x ≠ ⇒ (ñpcm) Bài Chứng minh rằng: 0 −2 = t (1 + t ) −2 −3 (1 + t ) ( t − 1) (1 + t ) (1 + t ) f′(t) = ⇔ t = ⇒ Bảng biến thiên f(t) Từ BBT ⇒ ≤ f(t) < ∀t > ⇒ Dấu xảy ⇔ a = b > 2 ≤ a4 + b4 a + b3 ⇒ a + b3 a + b ≤ 2 15 Chương I Hàm số – Trần Phương III BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài Cho ∆ABC có A > B > C Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x) = x − sin A + x − sin C Bài Tìm Max, Min của: x − sin B − x − sin C y = sin x + cos x + a sin x cos x 4  Bài Cho ab ≠ Tìm Min y = a + b −  a + b b a a b Bài Cho x + y > Tìm Max, Min S =  a b + +  b a x2 + y2 x + xy + y Bài Giả sử phương trình x + px + 12 = có nghiệm x1, x2 p Tìm p ≠ cho S = x14 + x 24 nhỏ Bài Tìm Min y = ( + ) 2x + (2 − 3) 2x x x − ( + ) + ( − )  Bài Cho x, y ≥ x + y = Tìm Max, Min S = x + y Bài Cho x + y + z = Tìm Max, Min P = x + y + z + xy + yz + zx Bài Tìm m để PT: − x + + x − ( − x ) ( + x ) = m có nghiệm Bài 10 Tìm m để PT: Bài 11 Tìm m để PT: ( x − x + ) − x − x + = x − x + m có nghiệm phân biệt x + − x = − x + x + m có nghiệm Bài 12 Tìm m để PT: x − = x − + mx có nghiệm 2x − Bài 13 Tìm m để PT: m cos x − sin x cos x + m − = có nghiệm x ∈ 0, π Bài 14 Tìm m để PT: sin x.cos x.sin 3x = m có nghiệm x ∈  π , π    Bài 15 3 x + x − <  Tìm m để hệ BPT:  có nghiệm  x + 3mx + < Bài 16 a Tìm m để: m x + = x + có nghiệm phân biệt Bài 17 b Cho a + b + c = 12 CMR: a + + b + + c + ≥ 6 Chứng minh: ( x + y + z ) − ( x y + y z + z x ) ≤ , ∀x, y, z ∈ [ 0,1] 16 ( ) ... Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số ⇔ u(t2 + t + 1) = t2 − t + ⇔ (u − 1)t2 + (u + 1)t + (u − 1) = (*) + Nếu u = 1, t = ⇒ x = 0, y = ± ⇒ u = giá trị hàm số + Nếu u ≠ 1, u thuộc tập giá trị hàm số ⇔ phương. .. cos u + ≥ ( sin u + cos u ) = ⇒ y ≥ Với x = ⇒ y = 3 9 Bài Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Bài 16 a) Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn hàm số y = x + x2 +1 b) Cho a + b + c = Chứng minh rằng:... Với x = y = z = MinS = Bài Cho x + xy + y2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: S = x2 − xy + y Giải Xét y = ⇒ x2 = ⇒ S = giá trị hàm số Xét y ≠ 0, ñó biến ñổi biểu thức dạng sau ñây u= S x − xy +