Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ln tốn có mặt hầu hết kỳ thi học sinh giỏi tuyển sinh đại học Khơng cịn tốn hay khó đề thi Trong chương trình giảng dạy học tập bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chủ đề hấp dẫn người dạy lẫn người học Việc giảng dạy để học sinh học tốt chủ đề vấn đề khó Chủ đề thường dành cho học sinh giỏi nên toán đưa thường hay khó Để chứng minh Bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ có nhiều phương pháp, khơng có phương pháp vạn để giải toán mà có phương pháp giải nhóm tốn mà thơi Một phương pháp hiệu sử dụng đạo hàm cho hàm nhiều biến, tư tưởng khảo sát biến, cách xem biến lại tham số cố định Khơng có thuật giải chi tiết cho phương pháp mà thơng qua ví dụ để học sinh rèn luyện để tự tìm cách giải tốn cụ thể từ tìm thấy sơ đồ giải riêng cho Vì lí tơi viết chuyên đề nhằm giúp học sinh có nhìn rộng phương pháp sử dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mang lại hiệu rõ nét - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư sáng tạo III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức chứa nhiều biến - Phân dạng dạng toán thường gặp phương pháp giải dạng IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số PHẦN 2: NỘI DUNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ: 1) Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập số D Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên hàm số tập số D Căn vào bảng biến thiên để kết luận Lưu ý 1: Nếu D đoạn [a; b] làm sau: - Tính đạo hàm y’ - Tìm nghiệm y’ đoạn [a; b], giả sử nghiệm x1, x2 - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) - KL: Số lớn (nhỏ nhất) số GTLN, (NN) f(x) [a; b] Lưu ý 2: Khi KL GTLN, GTNN tìm phải nêu rõ đạt x nhận giá trị 2) Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến phép đổi biến số Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số (dựa điều kiện biến số ban đầu) Bước Tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số tương ứng với điều kiện 3) Một số bất đẳng thức sở thường sử dụng: 1/ Với a, b, c bất kỳ, ta có: 1/ a + b2 ≥ 2ab /(a + b) ≥ 4ab / 2( a + b ) ≥ ( a + b) / a + b + c ≥ ab + bc + ca /(a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca ) / 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c) 2/ BĐT Côsi - Với a, b, c không âm, ta có: a + b ≥ ab , a + b + c ≥ 3 abc , ( a + b + c ) ≥ 27abc II PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Phương pháp đưa biến toán hai, ba biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức cho hàm biến để khảo sát Ví dụ Cho x, y, z số dương Tìm GTNN biểu thức: P= xyz x+ y+z + xyz x+ y+z Nhận xét hướng dẫn giải x+ y+z x + y + z xyz = , đặt t = ta biểu thức theo biến xyz xyz x+ y+z số t là: P(t ) = t + t x + y + z 3 xyz t = ≥ =3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: xyz xyz Do tốn quy tìm GTNN hàm số P(t ) = t + khoảng [ 3; +∞ ) t t −1 Vì P ' (t ) = > 0, ∀t ≥ nên hàm số P(t) đồng biến khoảng [ 3; +∞ ) t 10 P(t ) = P (3) = , GTNN biểu thức P Từ có [ 3;+∞ ) 1 1 Ví dụ 2.Tìm GTLN, GTNN H = ( x + y )  +  Biết x, y thoả mãn x y Dễ thấy điều kiện ≤ x ≤ y ≤ Nhận xét hướng dẫn giải 1 1 x y Ta có H = ( x + y )  +  = + + y x x y x ta có hàm số theo biến số t sau: H (t ) = + t + y t x 1  Từ điều kiện ràng buộc ≤ x ≤ y ≤ ta suy ra: ≤ ≤ , t ∈  ;1 y 2  Bài tốn trở thành: Tìm GTLN GTNN hàm số H (t ) = + t + đoạn t 1   ; 1   é1 ù 1- t ' H ( t ) = £ 0, " t Ỵ ê ;1ú nên H(t) hàm số nghịch biến đoạn Vì ê2 ú t ë û 1  Từ có GTLN H(t) đoạn  ; 1 khi: t = , GTNN đoạn 2 2  Vì đặt t = H(t) khi: t = Đáp số: max(H) = ⇔ ( x; y ) = ( 1; ) ; min(H) = ⇔ x = y (với ≤ x, y ≤ 2) Ví dụ ( CĐ Khối A, B – 2008 ) Cho x, y số thực thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = 2( x + y ) − 3xy Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết x + y = Có thể đưa tốn ẩn khơng? - Ta nghĩ tới đẳng thức x + y = ( x + y )2 − xy; x3 + y = ( x + y )( x − xy + y ) - Khai triển biểu thức P cố gắng làm xuất x + y để sử dụng giả thiết - Biến đổi biểu thức P vào x + y = ta có : P = 2( x + y )( x − xy + y ) − xy = 2( x + y )(2 − xy ) − xy - Từ giả thiết ( x + y )2 − xy = ⇒ xy = ( x + y )2 − Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa P hàm biến số ta đặt : t = x+ y Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức: x + y ≥ Lời giải Ta có : P = 2( x + y )( x − xy + y ) − 3xy = 2( x + y )(2 − xy ) − 3xy ( x + y)2 − , sau đặt t = x + y thì: t2 − t2 − P (t ) = 2t (2 − )−3 = −t − t + 6t + 2 2 ( x + y) ⇒ ( x + y ) ≤ ⇒ −2 ≤ t ≤ Ta có x + y ≥ P (t ) = −t − t + 6t + với −2 ≤ t ≤ Xét hàm số t = P '(t ) = ⇔  Ta có P '(t ) = −3t − 3t + t = − Ta có : xy = Ta có bảng biến thiên sau -2 t P’(t ) + - 13/2 P(t) -7 Vậy : ( x + y )2  1+ 1− x= ;y=  13 2 max P (t ) = P (1) = ⇔  [ −2;2]  1− 1+ ;y= x =  2 P(t ) = P(−2) = −7 x = y = −1 [ −2;2] Ví dụ ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x ≥ 0, y ≥ x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức sau : S = (4 x + y )(4 y + 3x ) + 25 xy Hoạt động khám phá : - Từ giả thiết x + y = đưa tốn ẩn khơng ? - Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất x + y để sử dụng giả thiết - Chú ý đẳng thức : x + y = ( x + y ) − xy x + y = ( x + y )( x − xy + y ) Sau khai triển vào x + y = , ta có : S = 16 x y − xy + 12 - Vậy đến ta nghĩ đến việc đưa S hàm biến số ta đặt : t = xy - Cần chặn biến t cách sử dụng bất đẳng thức : ≤ xy ≤ ( x + y )2 Lời giải Ta có : S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy = 16 x y + 12( x + y ) + 34 xy = 16 x y + 12( x + y )( x − xy + y ) + 34 xy = 16 x y + 12[( x + y ) − xy ] + 34 xy, x + y = = 16 x y − xy + 12 ( x + y) 1 = ⇒0≤t ≤ Đặt t = xy Do x ≥ 0; y ≥ nên ≤ xy ≤ Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 với ≤ t ≤ f '(t ) = ⇔ t = Ta có f '(t ) = 32t − 16 4 Bảng biến thiên t f(t) 1/16 - 12 f(t) 1/4 + 25/2 191/16 Vậy : 191 2+ 2− 2− 2+ f (t ) = f ( ) = x = ;y= x = ;y=  1 16 16 0;  4 4 4   25 max f (t ) = f ( ) = x = y =  1 2 0;   4 Ví dụ (ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + Với x, y số thỏa mãn điều kiện : ( x + y )3 + xy ≥ Hoạt động khám phá : - Vì giả thiết biểu thức phức tạp nên ta khai thác trước cho gọn để sử dụng dễ dàng Chú ý đẳng thức : x + y = ( x + y ) − xy x + y = ( x + y )( x − xy + y ) Và ( x + y ) ≥ xy Khi điều kiện tốn trở thành : x + y ≥ Ta biến đổi A sau : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + 3 = ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + 2 3( x + y ) ≥ ( x2 + y )2 + − 2( x + y ) + ( x + y )2 4 x + y ≥ ( ) Hay A ≥ ( x + y )2 − 2( x + y ) + - Vì ta nghĩ đến việc đưa A hàm biến cách đặt t = x + y - Tìm điều kiện biến t ta sử dụng bất đẳng thức x + y ≥ ( x + y )2 Lời giải Ta ln có kết : ( x + y ) ≥ xy , từ ta có : ( x + y )3 + xy ≥ ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) ≥ ( x + y )3 + xy ≥ ⇒ ( x + y )3 + ( x + y ) ≥ ⇒ [ ( x + y ) − 1]  ( x + y ) + ( x + y ) +  ≥ ⇒ ( x + y) − ≥ 1  Do ( x + y ) + ( x + y ) +  = ( x + y ) +  + ≥ 0, ∀x, y 2  Bài tốn đưa tìm max, : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + Với x, y thỏa mãn x + y ≥ Ta biến đổi biểu thức A sau : A = 3( x + y + x y ) − 2( x + y ) + = 3 ( x + y ) + ( x + y ) − 2( x + y ) + 2 3( x + y ) ( x + y )2 + − 2( x + y ) + ( x + y )2 ( x + y ≥ ) ≥ Hay A ≥ ( x + y )2 − 2( x + y ) + ( x + y)2 ( x + y ≥ ) nên x + y ≥ 2 Đặt t = x + y Ta có hàm số f (t ) = t − 2t + với t ≥ f '(t ) = t − 2 f '(t ) = ⇔ t = Vì x + y ≥ Ta có bảng biến thiên sau : t f '(t ) 4/9 + f (t ) +∞ 1/2 +∞ 16 f (t ) = f ( ) = t= Vậy 16 đạt t≥ 2 9 Mặt khác, ta dễ thấy x = y = A = 16 16 Kết luận : A = x = y = khơng có giá trị lớn 16 Suy A ≥ Ví dụ (ĐH Khối A- 2006) Cho hai số thực x, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y ) xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 1 + x3 y Hướng dẫn: 1 x3 + y ( x + y )( x − xy + y ) x+ y 1 + 3= 3 = =( ) = ( + )2 3 x y x y x y xy x y 2 Đặt x = ty Từ giả thiết ta có: ( x + y ) xy = x + y − xy ⇒ (t + 1)ty = (t − t + 1) y A= Do y = t2 − t +1 t2 − t +1 ; x = ty = t2 + t t +1 2  1   t + 2t +  A = Từ ÷  + ÷ =  x y   t − t +1  t + 2t + −3t + f ( t ) = ⇒ f '( t ) = Xét hàm số t2 − t +1 ( t − t + 1) Lập bảng biến thiên ta tìm GTLN A là: 16 đạt x = y = Ví dụ (ĐH Khối B- 2011) Cho a, b số thực dương thỏa mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị lớn biểu thức:  a b3   a b  P =  + ÷−  + ÷ a  b a  b Hướng dẫn: - Biến đổi giả thiết: 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) ⇔ 2(a + b ) + ab = a 2b + ab + 2(a + b) a b 1 1 ⇔  + ÷+ = ( a + b ) +  + ÷ b a a b - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 1 1 1 1 a b  (a + b) +  + ÷ ≥ 2(a + b)  + ÷ = 2  + + ÷ a b a b b a        Suy ra:  + ÷+ ≥ 2  + ÷+ ⇒  + ÷ ≥ b a b a b a a b a b a b a b b , t ≥ Ta : P = 4(t − 3t ) − 9(t − 2) = 4t − 9t − 12t + 18 a Xét hàm số: f (t ) = 4t − 9t − 12t + 18 f '(t ) = 6(2t − 3t − 2) ≥ 0, ∀t ≥ 23 5 f (t ) = f  ÷ = − Suy min  2  ;+∞ ÷ Đặt t = + 2  Vậy P = − 23 a b 1 1 đạt đươc + = a + b =  + ÷ b a a b (a; b) = (2;1) (a; b) = (1; 2) Ví dụ Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện 2( x + y ) = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: T = Hướng dẫn: x4 + y4 xy +   - Đặt t=xy từ giả thiết suy xy ≤ xy + ⇔ − ≤ xy ≤ Vậy t ∈  − ;   3 2 Chú ý: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x y ta x + y ≥ xy - Biến đổi biểu diễn theo biến t ta được: T = 1 −7t + 2t + 8t +  1 −7t + 2t + f (t ) = , t ∈ − ;   3 8t + - Xét hàm số - Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên ta tìm max f (t ) = f (0) =  1 − ;     1 1 f (t ) = f  − ÷ = f  ÷ = 1    5   15 − ;    Từ kết luận giá trị lớn giá trị nho T 1 M = x+ y+z+ + + x y z Ví dụ Cho x, y , z > x + y + z ≤ Tìm giá tri nhỏ biểu thức: Nhận xét hướng dẫn giải Rõ ràng khơng có dấu hiệu để biểu diễn biến số biểu thức cho tốn theo biến số mới, ta tìm GTNN biểu thức M ban đầu thơng qua việc tìm GTNN biểu thức trung gian T, biểu thức xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cơ si ta có 1 M = x + y + z + x + y + z ≥ 3 xyz + , đẳng thức xảy ⇔ x = y = z (a) xyz + Để tìm GTNN biểu thức M ta tìm GTNN biểu thức T = 3 xyz + 3 xyz Đặt u = 3 xyz việc tìm GTNN biểu thức T quy việc tìm GTNN hàm số T (u ) = u + khoảng u  3  0;  (vì < u = xyz ≤ x + y + z ≤ )  2   15  3 (u ) = T  ÷ = Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến khoảng  0;  , nên minT (0; ] 2 2   Suy GTNN biểu thức trung gian T Tức T = 3 xyz + 15 (đạt ⇔ x = y = z ) 15 ≥ , đẳng thức xảy ⇔ x = y = z (b) xyz + Từ kết (a) (b) suy GTNN biểu thức M ban đầu x = y = z 15 đạt 2 Phương pháp khảo sát biến toán ba biến  Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến cịn lại, tốn lúc trở thành bất đẳng thức biến Ln có tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng công cụ hiệu toán đạo hàm  Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x, y, z P( x, y, z ) với điều kiện T  Bước Xem P( x, y, z ) hàm theo biến x , y, z số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta được: P ( x, y, z ) ≥ g ( y , z ) P ( x, y, z ) ≤ g ( y , z )  Bước Xem g ( y, z ) hàm biến y , z số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta : g ( y, z ) ≥ h( z ) g ( y, z ) ≤ h( z )  Bước Cuối khảo sát hàm số biến h( z ) với điều kiện T ta tìm min, max hàm Ta đến kết luận : P( x, y, z ) ≥ g ( y, z ) ≥ h( z ) ≥ m P( x, y, z ) ≤ g ( y, z ) ≤ h( z ) ≤ M Ví dụ 10 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá x y z trị nhỏ biểu thức : P = x + y + y + z + z + x Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến ? - Xem P hàm theo biến z, x, y số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị nhỏ P, tức : P( x, y, z ) ≥ P( x, y ) - Khảo sát hàm P( x, y ) , đưa P( x, y ) hàm số biến không ? x để đưa P( x, y ) hàm biến Tìm GTLN y - Bằng cách đặt ẩn phụ t = hàm số biến - Vậy P( x, y, z ) ≥ P ( x, y ) = P (t ) ≥ 34 33 Lời giải x y z Ta có : P = x + y + y + z + z + x Xem hàm theo biến z ; x, y số −y z ( x − y )( z − xy ) + = ( y + z ) ( z + x) ( y + z ) ( z + x ) Theo giả thiết x ≥ y ⇒ x − y ≥ nên P ≥ ⇔ z ≥ xy (do x, y, z ∈ [ 1; 4] ) P '( z ) = z P '( z ) P( z ) xy - 10 + Từ bảng biến thiên: x y x y P ≥ P( xy ) = + = + x 2x + 3y x+ y + 1+ x y y Đặt t = x , x ≥ y, x ≥ z x, y, z ∈ [ 1; 4] nên ≤ t ≤ y t2 + Ta có 2t + + t −2  4t (t − 1) + 3(2t − t + 3)  f '(t ) = < 0, ∀t ∈ [ 1; 2] (2t + 3)2 (1 + t ) Xét hàm f (t ) = Suy f (t ) giảm [ 1; 2] , P ≥ P( xy ) = f (t ) ≥ f (2) = 34 33  z = xy  ⇒ x = 4, y = 1, z = Đẳng thức xảy :  x =2 t = y  34 Vậy P = x = 4, y = 1, z = 33   Ví dụ 11 Cho ba số thực a, b, c ∈  ;3 Tìm giá trị lớn biểu thức: 3  P= a b c + + a+b b+c c+a Hoạt động khám phá: - Khảo sát biến nào? - Xem P hàm theo biến a, b, c số Khảo sát hàm số với điều kiện cho suy giá trị lớn P, tức : P(a, b, c) ≤ g (b, c) - Khảo sát hàm g (b, c) hàm theo biến c, b số Khảo sát hàm số với điều kiện cho, suy GTLN g (b, c) , tức g (b, c) ≤ h(b) - Tiếp theo khảo sát hàm h(b) suy h(b) ≤ - Vậy P(a, b, c) ≤ g (b, c) ≤ h(c) ≤ Lời giải: a b c + + a+b b+c c+a Xem hàm số theo biến a , b, c số Đặt P (a ) = b c (b − c)(a − bc) − = ( a + b ) ( a + c ) ( a + b) ( a + c ) 1  Trường hợp 1: a ≥ b ≥ c a, b, c ∈  ;3 3  P '(a ) = 1  Suy b − c ≥ 0; a − bc ≥ nên P '(a) ≥ Do P(a) tăng  ;3 3  11 b c + + = g (c) (xem hàm theo biến c) 3+b b + c c +3 −b (b − 3)(3b − c ) 1  g ( c ) g '(c ) = + = ≤ Do giảm  ;3 (b + c) (c + 3) (b + c) (c + 3) 3b + + = h(b) (xem h(b) hàm số theo biến b ) Suy ra: g (c) ≤ g ( ) = 3 + b 3b + 10 3 (1 − b)(1 + b) Ta có: h '(b) = (3b + 2) − (b + 3)2 = (3b + 1) (b + 3) ⇒ P (a ) ≤ P (3) = Ta có bảng biến thiên b h '(b) h(b) 1/3 + - Suy h(b) ≤ h(1) = a = 3; b = 1; c = 1  Trường hợp : c ≥ b ≥ a a, b, c ∈  ;3 3  Từ kết trường hợp 1, ta có: P(a, b, c) ≤ (a − b)(b − c)( a − c) Mặt khác : P(a, b, c) − P (c, b, a ) = (a + b)(b + c )(a + c) ≤ ⇒ P(a, b, c) ≤  1 1    Vậy maxP = , đạt (a, b, c) =  3;1; ÷,  ;3;1÷,  3; ;1÷ 3 3     Vậy P(a, b, c) ≤ P(3, b, c) ≤ P(3, b, ) ≤ P(3,1, ) = Ví dụ 12 Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b Tìm giá trị lớn biểu thức : P= 2 − + a +1 b +1 c +1 Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết abc + a + c = b đưa tốn ẩn khơng ? a+c đưa P biến ( a < ) − ac c 2 2(a + c) −2+ (0 < a < ) Khi P = + 2 a + (a + 1)(c + 1) c +1 c - Biến đổi giả thiết a + c = b(1 − ac) > ⇒ b = - - Xem P hàm theo biến a c số 2c + = g (c ) suy f (a) ≤ c +1 c 1+ c 10 Tiếp tục khảo sát hàm g(c) với < c < +∞ suy g (c) ≤ - Khảo sát hàm biến a f (a) với < a < - Lời giải : 12 a+c a < − ac c 2 2(a + c ) −2+ , (0 < a < ) Thay vào biểu thức P ta : P = + 2 a + (a + 1)(c + 1) c +1 c ( x + c) − với < x < coi c tham số Xét hàm số : f ( x) = + 2 x + ( x + 1)(c + 1) c c>0 −2c( x + 2cx − 1)  1 = ⇔ x0 = −c + c + ∈  0; ÷ Ta có : f '( x) = 2 (1 + x ) (1 + c )  c Theo giả thiết ta có a + c = b(1 − ac) > ⇒ b = Ta có bảng biến thiên x x0 f '( x ) + 1/c - f ( x0 ) f ( x) Từ bảng biến thiên ta có : f ( x) ≤ f ( x0 ) = c + c2 2c ≤ + = g (c ) c +1 c +1 1+ c 2(1 − 8c ) = ⇔ c = c0 = ∈ ( 0; +∞ ) Ta có : g '(c) = 2 (1 + c ) (3c + + c ) P = f (a ) + Bảng biến thiên : c g '(c ) +∞ c0 + g (c ) - g (c0 ) Từ bảng biến thiên suy : g (c) ≤ g (c0 ) 10 10 Vậy với c = , a = , b = max P = ⇒ P ≤ g (c) ≤ g (c0 ) = Ví dụ 13 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca ≤ 12 Tìm giá a b c trị nhỏ biểu thức: S = + + Hoạt động khám phá: - Hãy suy nghĩ để chuyển toán ẩn mới? - Có thể biểu diễn để biểu thức S giả thiết đơn giản hay không? a b - Nếu đặt : x = , y = , z = toàn nào? c - Có thể chuyển tốn cho ẩn không? 13 2x + y - Từ giả thiết : x + y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ 12 xy − 21 x > y 2x + y - Khi đó: S ≥ x + y + xy − = f ( x) - Khảo sát hàm số f ( x) xem y tham số cố định Ta S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = y + 32 y + 14 + = g ( y) 4y 2y - Tiếp tục khảo sát hàm biến g(y) - Ta đến kết luận : S ≥ f ( x) ≥ g ( y ) ≥ 15 Lời giải : a b c Đặt x = , y = , z = ⇒ x, y, z > 0; x + y + 21z ≤ 12 xyz S = x + y + 3z 2x + y Từ x + y + 21z ≤ 12 xyz ⇒ z ≥ 12 xy − 21 x > y 2x + y Từ biểu thức S suy được: S ≥ x + y + xy − = f ( x) ⇒ f '( x) = − ⇔ x = x0 = 14 − 32 y =0 (4 xy − 7) 32 y + 14   + ∈  ; +∞ ÷ 4y 4y  4y  Bảng biến thiên: x 7/4y f’(x) +∞ x0 - + f ( x) f ( x0 ) Khi từ bảng biến thiên , ta có: 32 y + 14 S ≥ f ( x ) ≥ f ( x0 ) = y + + = g ( y) 4y 2y g '( y ) = (8 y − 9) 32 y + 14 − 28 y 32 y + 14 =0 Đặt t = 32 y + 14 phương trình g '( y ) = ⇔ (8 y − 9) 32 y + 14 − 28 = ⇔ t − 50t − 122 = ⇔ t = ⇔ y = y g’(y) g ( y) Ta có bảng biến thiên: +∞ 5/4 - 15/2 14 Từ bảng biến thiên suy : g ( y ) ≥ g ( ) + 15 ⇒ S ≥ g ( y) ≥ g ( ) = 15 Vậy với : y = , x = 3, z = ⇔ a = , b = , c = S = 3 2 Ví dụ 14 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = 3(a + b + c ) + 4abc Hoạt động khám phá: - Bài tốn cần làm có chứa ẩn a, b, c chúng thỏa mãn a + b + c = suy nghĩ biến đổi T = 3(a + b + c ) + 4abc cho ẩn hơn? - Từ giả thiết a + b + c = ⇒ a + b = − c , mà a + b > c ⇒ ≤ c ≤ - Khi : T = 3(3 − c)2 + 3c + 2ab(2c − 3) - Tích ab tổng a + b = − c gợi cho nghĩ đến bất đẳng thức nào? 2  a +b   3−c  ab ≤  ÷ = ÷     - 27  3−c  = f (c ) Khi T ≥ 3(3 − c )2 + 3c + 2(2c − 3)  ÷ =c − c + 2   - Khảo sát hàm biến f(c) ta đến kết T ≥ f (c) ≥ f (1) = 13 Lời giải: Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử : < a ≤ b ≤ c Vì chu vi nên a + b + c = nên ⇒ a + b = − c mà a + b > c ⇒ ≤ c ≤ Ta biến đổi : T = 3(a + b + c ) + 4abc = 3(a + b ) + 3c + 4abc =3  (a + b) − 2ab  + 3c + 4abc = 3(3 − c) + 3c + 2ab(2c − 3) 2  a +b   3−c   3−c  Mặt khác : ab ≤  ÷ = ÷ ⇒ ab(2c − 3) ≥  ÷ (2c − 3) (       c < ⇒ 2c − < ) 2 27  3−c  2 T ≥ 3(3 − c) + 3c + 2(2c − 3)  = f (c ) Do : ÷ =c − c + 2   27  3 Xét hàm số : f (c) = c3 − c + , đoạn 1;  2  2 f '(c) = 3c − 3c; f '(c ) = ⇔ c = Ta có bảng biến thiên c f’(c) + 15 f (c ) 13 Khi từ bảng biến thiên suy ra: f (c) ≥ f (1) = 13 Suy T ≥ f (c) ≥ f (1) = 13 a = b = c = Vậy T = 13 a = b = c = x + y + z = Ví dụ 15 Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện   xyz = Chứng minh rằng: 183 − 165 ≤ x + y + x ≤ 18 Hướng dẫn Biểu thức P = x + y + z đối xứng với ba ẩn x, y, z Biến đổi P theo x + y + z; xyz; xy + yz + zx nào? - Ta có P = x + y + z = ( x + y + z ) − 2( x y + y z + z x ) = (42 − 2( xy + yz + zx)) − 2( xy + yz + zx) − xyz ( x + y + z ) - Với mối quan hệ chuyển P biến nào? x + y + z = Đặt t = xy + yz + zx từ giả thiết  ta có P = 2(t − 32t + 144)  xyz = - Tìm điều kiện cho ẩn nào? Từ điều kiện x, y, z ta y + z = − x; yz = 2 t = x(4 − x) + x x - tìm điều kiện ẩn x chuyển điều kiện theo ẩn t áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z ta có: ( y + z ) ≥ yz ⇔ (4 − x) ≥ ⇔ x3 − x + 16 x − ≥ ⇔ ( x − 2)( x − x + 4) ≥ x ⇔ 3− ≤ x ≤ 2 đoạn 3 − 5;  , ta có: x −2( x − 1)( x − x − 1) t '( x ) = x2 Xét hàm số t ( x) = x(4 − x) + 5 −1 Từ việc xét dấu t '( x) đoạn 3 − 5;  ta ≤ t ≤ 5 −1 Khảo sát hàm số P = 2(t − 32t + 144) ≤ t ≤ suy : 183 − 165 ≤ x + y + x ≤ 18 4 Ví dụ 16.(Khối B - 2010) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = 3( a 2b + b 2c + c a ) + 3(ab + bc + ca ) + a + b + c 16 Hướng dẫn Ta có M ≥ (ab + bc + ca )2 + 3(ab + bc + ca ) + − 2(ab + bc + ca) (a + b + c )2 = 3  1 Xét hàm số : f (t ) = t + 3t + − 2t với t ∈ 0; ÷  2 2 ≤0 Ta có f '(t ) = 2t + − ; f ''(t ) = − (1 − 2t )3 − 2t Dấu xảy t = ; suy f '(t ) nghịch biến  1   11 Xét đoạn 0;  ta có : f '(t ) ≥ f '  ÷ = − > , suy f (t ) đồng biến  3 3  1 Do f (t ) ≥ f (0) = 2, ∀t ∈ 0;   3  1 Vì M ≥ f (t ) ≥ 2, ∀t ∈ 0;  ; M = ab = bc = ca , ab + bc + ca =  3 a +b + c =1 ⇔ (a; b; c) số sau: ( 1;0;0 ) , ( 0;1; ) , ( 0;0;1) Đặt t = ab + bc + ca , ta có : ≤ t ≤ Do giá trị nhỏ M BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTLN biểu thức : S = x2 y + y2 z + z x Đáp số : S = đạt x = ; y = 0; z = 27 3 Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTLN, GTNN biểu thức : P = x3 + y + z − 3xyz Đáp số : max P = 2 đạt x = 2; y = z = P = −2 đạt x = − 2; y = z = Bài Cho x > 0; y > 0; z > thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm GTLN biểu thức : T = xy + yz + zx − xyz Đáp số : T = đạt x = y = z = 27 Bài Tìm GTNN biểu thức : 17 Q= a b4  a b2  a b + −  + ÷+ + b4 a  b2 a  b a Đáp số : Q = −2 đạt a = −b KÕt luËn Với đề tài: “ Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến ” cố gắng hệ thống số dạng Trong dạy có đưa sở lí thuyết ví dụ có hoạt động khám phá cụ thể nhằm giúp học sinh tự tìm lời giải cho mình, từ hình thành cho phương pháp giải tốn nói chung để giải toán Các tập đưa từ dễ đến khó, có tập có lời giải chi tiết có tập có hướng dẫn học sinh phải biết chiếm lĩnh tri thức, phát triển khả tư cho học sinh Hệ thống tập đề tài chủ yếu tập đề thi Đại hoc Cao đẳng năm gần nên học sinh hiểu làm tạo nên hứng thú động lực học tập tốt cho cỏc em Tuy nhiên trình giảng dạy vÉn cã rÊt nhiỊu häc sinh cßn bì ngì qúa trình giải toán cực trị, lập luận cha có cứ, suy diễn cha hợp logic đặc biệt số dạng cha phù hợp với häc sinh trung b×nh, yÕu Sáng kiến kinh nghiệm triển khai chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; dùng để giảng dạy cho em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp em học sinh vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới cho loại toán XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hướng Hóa, ngày 05 tháng 06 năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN (hoặc đề tài NCKH) viết, không chép nội dung người khác Người thực Trương Văn Đức 18 ... PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Phương pháp đưa biến toán hai, ba biến Biến đổi giả thiết biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ chúng tìm. .. đạt x nhận giá trị 2) Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến phép đổi biến số Bước Biểu diễn biến số biểu thức ban đầu theo biến số Bước Tìm điều kiện cho biến số... Bài Tìm GTNN biểu thức : 17 Q= a b4  a b2  a b + −  + ÷+ + b4 a  b2 a  b a Đáp số : Q = −2 đạt a = −b KÕt luËn Với đề tài: “ Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến