Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

bộ giáo dục và đào tạo

trường đại học bách khoa hà nội -

luận văn thạc sĩ khoa học

ngành : công nghệ thông tin

Tập mờ loại hai

và suy diễn với tập mờ loại hai

1.3.1 Quan hÖ mê trªn cïng kh«ng gian 10

1.3.2 Quan hÖ mê vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau 131.4 C¬ b¶n vÒ suy diÔn mê 14

1.5 Nguyªn lý më réng 17

1.6 KÕt luËn ch−¬ng 18

Ch−¬ng 2 tËp mê lo¹i hai 19

2.1 Giíi thiÖu chung 19

2.2 Hµm thuéc lo¹i hai 19

2.2.1 Kh¸i niÖm tËp mê lo¹i hai 19

2.2.2 §Þnh nghÜa tËp mê lo¹i hai vµ c¸c kh¸i niÖm 19

2.2.3 Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc d−íi 26

2.3 TËp mê lo¹i hai nhóng 27

2.4 C¸c phÐp to¸n trªn tËp mê lo¹i hai 30

2.4.1 Hîp cña c¸c tËp mê lo¹i hai 30

2.4.2 Giao cña c¸c tËp mê lo¹i hai 32

2.4.3 PhÇn bï cña mét tËp mê lo¹i hai 33

2.5 KÕt luËn ch−¬ng 36

Ch−¬ng 3 Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai 37

3.1 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh 37

3.1.1 Kh¸i niÖm chung 37

3.1.2 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn cïng mét kh«ng gian 38

3.1.3 Quan hÖ mê lo¹i hai vµ phÐp hîp thµnh trªn c¸c kh«ng gian kh¸c nhau 41

3.1.4 PhÐp hîp thµnh cña mét tËp mê lo¹i hai vµ mét quan hÖ mê lo¹i hai 42

3.2 TÝch §ª-c¸c cña c¸c tËp mê lo¹i hai 43

3.3 C¸c d¹ng luËt mê 45

3.4 Mét sè ph−¬ng ph¸p suy diÔn mê lo¹i hai 46

3.4.1 Suy diÔn mê dùa vµo phÐp hîp thµnh 46

3.4.2 Suy diÔn mê dùa trªn sù t−¬ng tù cña c¸c tËp mê 48

3.5 NhËn xÐt 57

Ch−¬ng 4 HÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng 59

4.1 §Þnh nghÜa 59

4.2 Hµm thuéc trªn vµ hµm thuéc d−íi cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng 60

4.3 PhÐp to¸n hîp vµ giao cña tËp mê lo¹i hai kho¶ng 62

4.4 Suy diÔn víi tËp mê lo¹i hai kho¶ng 63

4.5 Gi¶m lo¹i vµ khö mê 68

4.6 ThiÕt kÕ hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng b»ng ph−¬ng ph¸p lan truyÒn ng−îc BP (Back-Propagation) 70

4.7 øng dông cña hÖ logic mê lo¹i hai kho¶ng 76

4.8 KÕt luËn ch−¬ng 79

KÕt luËn 80

Tµi liÖu tham kh¶o 81

à ∪ , (c) (x)

à ∩ , (d) (x)

Hình 1-3: đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ àc(|xưy|)……… 11

Hình 1-4 ……… 16 Hình 2-1: (a) hàm thuộc loại một, (b) vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU

bình m không chắc chắn ……… 26

Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn δ

không chắc chắn ……… 26

Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đường đứt tô đậm) trong một tập

mờ loại hai……… 28

Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng được

gắn với hàm thuộc loại hai được biểu diễn trong Hình 2-2……… 29

Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai ……… 37 Hình 4-1: Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không

gian rời rạc Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU ……… 60

Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2 ……….62 Hình 4-3: Xác định l

f và fl (a) sử dụng minimum t-norm (b) sử dụng product t-norm ……… …67

Hình 4-4: Xác định ~l(y)

à (a) sử dụng minimum t-norm (b) sử dụng product t-norm ……… 67

Hình 4-7: Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của RMSEs1, RMSEns1,

RMSEs2 (a) giá trị trung bình, (b) độ lệch chuẩn ……… 78

Mở đầu

Lý thuyết tập mờ loại hai được Zadeh đưa ra từ năm 1975 Tập mờ loại hai ngày càng được khẳng định vị trí ưu việt của mình trong việc cải thiện và nâng cao chất lượng xử lý thông tin so với nhiều phương pháp truyền thống khác Ngày nay, Logic mờ được ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ…

Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh hưởng không nhỏ tới khả năng ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế Chính vì vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Một trong những hướng nghiên cứu đó là tìm ra các phương pháp làm giảm độ phức tạp tính toán trong các hệ logic mờ loại hai

Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại hai Phương pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất lượng và độ phức tạp tính toán của toàn hệ Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2, được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đình Khang – Khoa CNTT - Đại Học

Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài “Tập mờ loại hai và suy diễn với tập

mờ loại hai” Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản đối

với tập mờ loại hai, một số phương pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai tổng quát và tập mờ loại hai khoảng

Đề tài được chia thành các phần sau:

Chương 1 Cơ bản về tập mờ: Chương này trình bày các khái niệm cơ bản

về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc trưng của tập mờ loại hai

Chương 2 Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng

của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nhược điểm của tập mờ loại một Chương này trình bày những khái niệm và những đặc trưng cơ bản của tập mờ loại hai Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng được trình bày ở đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy diễn mờ

Chương 3 Một số phương pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Chương

này trình bày một số phương pháp suy diễn với tập mờ loại hai Hai phương pháp suy diễn được trình bày ở đây đó là phương pháp suy diễn dựa trên

phép hợp thành và phương pháp suy diễn dựa trên độ tương tự Từ đó đưa ra

những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn phương pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ

Chương 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ

một số nhược điểm như độ phức tạp tính toán lớn Do có cấu trúc đặc biệt nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát Chính vì vậy, tập mờ loại hai khoảng thường được ứng dụng trong các hệ logic mờ Chương này trình bày những đặc trưng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và phương pháp suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng

Ch−¬ng 1 C¬ b¶n vÒ tËp mê 1.1 TËp mê

Ví dụ 1-1:

Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và

ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện được sản xuất trong nước

ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc tương ứng là (x)

à và (x)

à ; x là tỷ lệ phần trăm các linh kiện sản xuất trong nước Một chiếc ô tô được coi là nội địa nếu có (x)

(1-7)

(x)

µ ∪ , (x)

µ ∩ , )

µ ∪

(b)

0.707 0.5

µ ∩

x1

0.707 0.5

µ ∪ , (c) (x)

µ ∩ , (d) (x)

(c)

1 Phép hợp: (x)

™ x⊕y = min(1, x+y)

Việc định nghĩa các t-conom, t-norm và phép lấy phần bù khác nhau sử dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ

1.3 Quan hệ mờ

Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kết hợp, sự ảnh hưởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay nhiều tập mờ

1.3.1 Quan hệ mờ trên cùng không gian

Định nghĩa 1-4: Gọi U và V là hai không gian nền Quan hệ mờ, R(U,V)

là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các UìV Tập mờ này là tập con của UìV và được đặc trưng bởi hàm thuộc (x,y)

à , với x ∈U và y∈V R(U,V) = {((x,y), (x,y)

à )| (x,y)∈UìV}, với (x,y)

à ∈[0,1] (1-15)(1-9)(1-10)

(1-14)

Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực Xét quan hệ mờ “mục

tiêu x là gần với mục tiêu y” Hàm thuộc của quan hệ mờ này được xác định

như sau:

Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết tập hợp và các phép toán số học có thể được định nghĩa và sử dụng đối với các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần trước Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV Các phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó được định nghĩa:

à = àR(x,y)∗ àS(x,y))

à = àR(x,y)⊕ àS(x,y)

ở đây, ∗ là các t-norm và ⊕ là các t-conorm

Ví dụ 1-4: Xem xét mức độ phù hợp của hai quan hệ mờ sau đây: “u gần

với v” và “u nhỏ hơn v”; và quan hệ mờ “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” Tất

cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng U={u1, u2} = {2, 12} và V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13} Chúng ta sẽ tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai quan hệ này Hàm thuộc cho các quan hệ mờ “gần” và “nhỏ” ký hiệu là

1

|x-y||)

( vu

à và às( vu,) Các số trong àc( vu,)và às( vu,)được chọn để phù hợp với khái niệm sự so sánh hai số trong U và V

Giả sử dùng minimum t-norm (∧) và maximum t-conorm (∨) cho các phép hợp và giao khi đó:

( vu

à tương đối lớn, trong khi đó giá trị độ thuộc àc∩s( vu,) tương đối nhỏ

( vu

∩s( vu,)

(1-20)

1.3.2 Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau

Định nghĩa 1-5:

Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các UìV và S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các VìW có các hàm thuộc tương ứng là (x,y)

à o được định nghĩa: )

à o = supy∈V[àR(x,y)∗ àS(y,z)]

ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử ∗ là một norm, chẳng hạn như hàm minimum Như vậy, sup-star ở đây được hiểu như

t-các sup-min và sup-product tương đương với t-các max-min và max-product Ví dụ 1-5: Giả sử c là một quan hệ mờ “u gần v” trên không gian tích Đê-

các UìV, ở đây U={u1, u2} và V={v1,v2,v3}, với các giá trị được cho như sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này được cho

bởi (1-19) Và mb một quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” trên không gian

VìW, ở đây W={w1, w2}={4.8}, giá trị độ thuộc ( wv,)

à được cho trong (1-26) dưới đây:

( wv

Phát biểu “u gần v” và “v lớn hơn nhiều w” thể hiện phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc (u,w)

à o được xác định theo (1-25) và minimun-tnorm như sau:

),( ij

à o = [ (, 1)( 1, j)

à ∧ ] ∨ [ (, 2)( 2, j)

∨ [ (, 3)( 3, j)

mbi

),(u1 w1

Tính toán tương tự cho các phần tử còn lại chúng ta có ma trận độ thuộc của các thành phần của quan hệ mờ (u,w)

à o như sau: )

à o =

Chú ý:

Trong trường hợp V = U, khi đó hàm thuộc àR(x,y) trở thành àR(x) hoặc

àR(y), ví dụ quan hệ mờ “y là một số trung bình và y nhỏ hơn z” vì V=U, khi đó phép hợp thành sup-star trong (1-25) trở thành:

supy∈V[àR(x,y)∗ àS(y,z)] = supx∈U[àR(x)∗àS(x,z)]

đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z Như vậy, chúng ta có thể đơn giản ký hiệu (x,z)

à o thành (z)

à o , và ta có )

à o = supx∈U[àR(x)∗ àS(x,z)]

1.4 Cơ bản về suy diễn mờ

Luật mờ là một thành phần chính trong hệ logic mờ Trong Logic mờ các

luật thường được phát biểu dưới dạng mệnh đề if – then (nếu – thì):

If x is A, then y is B, với x ∈ X và y ∈ Y (nếu x là A thì y là B, với x ∈ X và y ∈ Y)

Mệnh đề trên là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai tập mờ A và B, hàm thuộc của mối quan hệ này ký hiệu là (x,y)

à → , với àA→B(x,y) ∈[0,1] ở đây, àA→B(x,y) xác định độ thuộc của mối quan hệ giữa x và y trong không gian tích Đê-các XìY

(1-31)

Hàm thuộc của mối quan hệ mờ giữa hai tập mờ A và B có thể được xác định theo các Công thức (1-32) – (1-34) dưới đây:

Trong logic rõ, một luật chỉ được đốt cháy nếu và chỉ nếu giả thiết trùng với vế trái của luật và kết quả chính là vế phải của luật Trong logic mờ, luật được đốt cháy với một độ thuộc khác 0 của sự tương tự giữa giả thiết và vế trái của luật; và kết quả là một độ thuộc khác 0 của sự tương tự giữa kết luận và vế phải của luật

Luật mờ dạng Modus Ponen tổng quát là một kết cấu mờ; ở đây, quan hệ mờ thứ nhất là một tập mờ đơn thuần A* Do vậy, sử dụng (1-31), *(y)

nhận được từ phép hợp thành sup-star như sau: )

(* y

à = sup [ *(x)(x,y)]

x∈ à ∗à →

Để hiểu rõ hơn về (1-35), chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau đây Trong ví dụ này, chúng ta giả sử rằng tập mờ A* là một tập mờ đơn trị (singleton), còn gọi là bộ mờ hóa đơn trị

(1-34)(1-33)

Với bộ mờ hóa đơn trị, (1-35) trở thành: )

(* y

à = sup [ *(x)(x,y)]

x∈ à ∗à →

= sup [(x',y),0]

x∈ à → = (x',y)

à →

Nh− vậy, với bộ mờ hóa đơn trị việc tính toán supermum dễ dàng hơn, bởi vì *(x)

à chỉ khác không tại một điểm duy nhất, x’

Ví dụ 1-6: Sử dụng (1-32) cho (x,y)

à → , khi đó (1-37) trở thành )

(* y

à trong hình (b) đ−ợc chọn một cách tùy ý với (x')

à ∈ [0,1] Cuối cùng, chúng ta xác định đ−ợc 1- min[ (x')

à , 1 - ( y)

à ] và đ−ợc thể hiện trong hình (c) )

à ]

y(1-37)

1.5 Nguyên lý mở rộng

Công cụ để tính toán các phép hợp, giao và phần bù của một tập mờ loại hai là nguyên lý mở rộng của Zadeh (1975); Dubois và Prade (1980) Sau đây là nguyên lý mở rộng tổng quát

Tích Đê-các của r tập rõ bất kỳ X1, X2, …, Xr , ký hiệu X1ìX2 ì…ìXr là một tập rõ của tập tất cả các bộ r phần tử đ−ợc đánh chỉ số (x1, x2, …, xr) với xi∈ Xi , i = 1 r

X = X1ìX2ì…ìXr = {(x1, x2, …, xr) | x1 ∈ X1, …, xr ∈ Xr} Gọi f là một ánh xạ từ không gian X vào không gian Y, khi đó:

y = f(x1, x2, …, xr) ∈ Y

Tiếp theo, giả sử A1, A2, …Ar lần l−ợt là các tập mờ loại một trong X1, X2, …Xr Khi đó, nguyên lý mở rộng cho phép chúng ta ánh xạ r tập mờ loại một A1, A2, …Ar thành một tập mờ loại một B đ−ợc xác định trên Y qua một hàm f nh− sau, B = f(A1, A2, …Ar) với:

à đ−ợc xác định là giá trị lớn nhất của các min( ( 1)

Một cách tổng quát, tập mờ loại một B đ−ợc xác định từ r tập mờ loại một A1, A2, …Ar lần l−ợt xác định trên X1, X2, …Xr qua hàm f đ−ợc định nghĩa:

(1-38)

B = f(A1, A2, …Ar) = ( 1) ()/( 1, ,)1

Tập mờ trong chương này có độ thuộc của mỗi phần tử trong không gian nền là một số thực thuộc đoạn [0, 1], do đó được gọi là tập mờ loại một để phân biệt với khái niệm tập mờ loại hai được đưa ra ở chương tiếp theo

(1-40)

Chương 2 tập mờ loại hai 2.1 Giới thiệu chung

Trong Chương một đã đề cập những vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết tập mờ Tuy nhiên, lý thuyết tập mờ thông thường (tập mờ loại một) tiềm ẩn những mâu thuẫn nhất định Đó là để phát triển bất cứ hệ logic mờ nào, người thiết kế phải xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ sử dụng trong hệ, hay là phải mô tả sự không chắc chắn bằng các hàm thuộc rõ ràng, chắc chắn Điều đó có nghĩa là việc biểu diễn sự không chắc chắn lại sử dụng các độ thuộc mà bản thân chúng là các số thực chính xác

Năm 1975, Zadeh giới thiệu khái niệm tập mờ loại hai nhằm giải quyết vấn đề trên Đó là thay vì độ thuộc là một số thực như với tập mờ thông thường, với tập mờ loại hai, độ thuộc là một tập mờ loại một trên đoạn [0, 1] Tập mờ loại hai thường được sử dụng trong những trường hợp khó xác định chính xác giá trị độ thuộc của các phần tử trong không gian nền Trong chương này sẽ đề cập đến khái niệm tập mờ loại hai, các phép toán và các tính chất trên nó

2.2 Hàm thuộc loại hai

2.2.1 Khái niệm tập mờ loại hai

Đối với tập mờ loại một, độ thuộc của các phần tử là các giá trị số thực trong khoảng [0, 1] Trong trường hợp chúng ta không thể xác định được giá trị độ thuộc của các phần tử, khi đó chúng ta có sử dụng các tập mờ loại một đề biểu diễn giá trị độ thuộc đó Mở rộng tập mờ loại một bằng cách cho phép các độ thuộc là các tập mờ loại một trong khoảng [0, 1] ta được khái niệm tập mờ loại hai Một trong những ưu điểm của tập mờ loại hai so với tập mờ loại một đó là nó cho phép biểu diễn các giá trị độ thuộc bằng các giá trị mờ, các giá trị ngôn ngữ chứ không phải là các giá trị số hoàn toàn chính xác

2.2.2 Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm

Hình 2-1 (a) biểu diễn hàm thuộc của một tập mờ loại một Dịch chuyển các điểm trên đồ thị này sang phải và sang trái một đoạn không nhất thiết bằng nhau, vết mờ được tạo ra như Hình 2-1 (b) Tại một giá trị cụ thể của x gọi là x’, giá trị hàm thuộc không còn là một giá trị đơn nữa, mà là một tập

các giá trị nằm trong đoạn giao cắt của đường x = x’với vệt mờ Như vậy, chúng ta có thể gán một biên độ phân tán cho mỗi điểm Thực hiện việc gán biên độ cho tất cả các điểm x ∈ X, chúng ta tạo ra một hàm thuộc ba chiều – một hàm thuộc loại hai, đặc trưng cho tập mờ loại hai

Định nghĩa 2-1: Một tập mờ loại hai, ký hiệu A~, được mô tả bởi một hàm thuộc loại hai ~(x,u)

à ∈ [0, 1] Có thể biểu diễn A~ như sau:

à ≠ 0 Mỗi đường (2-1)

u 1

hàm thuộc loại một, (c) FOU

thẳng đứng đậm trong hình thể hiện một giá trị ~(x,u)

à , tương ứng với một cặp giá trị (x, u) xác định

Trong Định nghĩa 2-1, giới hạn các giá trị u: ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1], điều này phù hợp với ràng buộc của một tập mờ loại một: 0 (x)

≤≤ 1 Nếu vết mờ (như trong ví dụ Hình 2-1 (b)) biến mất thì hàm thuộc loại hai sẽ giảm thành hàm thuộc loại một Hơn nữa, việc giới hạn 0 ~(x,u)

≤≤ 1 cũng phù hợp ràng buộc giá trị của một hàm thuộc nằm trong khoảng [0,1]

Định nghĩa 2-2: Tại mỗi giá trị của x, x = x’, mặt phẳng hai chiều mà các

A =

à với x’ ∈ X và ∀u ∈ Jx' ⊆ [0, 1], )

f ()/

' Jx' ⊆ [0, 1] ở đây, 0 ≤()≤

J1 J2 J3 J4 J5 a

Sử dụng (2-3), A~ có thể được biểu diễn lại dưới dạng: A~ = {(x, ~(x)

à ) | ∀x∈X } hoặc

f ()/]/[ ∫

, Jx ⊆ [0,1]

Định nghĩa 2-3: Miền của một hàm thuộc thứ cấp được gọi là độ thuộc sơ

cấp của x Trong (2-5), Jx là độ thuộc sơ cấp của x, ở đây Jx ⊆ [0,1] với ∀x

∈ X

Định nghĩa 2-4: Giá trị của một hàm thuộc thứ cấp được gọi là độ thuộc

thứ cấp Trong (2-5), fx(u) là một độ thuộc thứ cấp; trong (2-1), ~(x',u')

( x’ ∈ X và u’ ∈ U) là một độ thuộc thứ cấp

Nếu X và Jx là các tập rời rạc khi đó vế phải của (2-5) có thể được biểu diễn lại như (2-6) dưới đây:

+ … + fuNk xNM

Ví dụ 2-2: Trở lại Hình 2-2, hàm thuộc thứ cấp tại x = 1 là a / 0 + b / 0.2

+ c / 0.4 Các giá trị độ thuộc sơ cấp của nó tại x = 1 là u = 0, 0.2, 0.4 và các độ thuộc thứ cấp kết hợp với chúng là a, b, c

Khi fx(u) = 1 với ∀u ∈ Jx ⊆ [0, 1] thì các hàm thuộc thứ cấp là các tập khoảng Nếu điều này là đúng với mọi x ∈ X, khi đó chúng ta gọi tập mờ loại hai này là tập mờ loại hai khoảng và chúng ta có hàm thuộc lọai 2 khoảng Tập mờ loại hai khoảng sẽ được trình bày chi tiết ở Chương bốn

Ví dụ 2-3: Hàm thuộc thứ cấp dạng Gaussian và tam giác thường có đỉnh

tại điểm trung tâm của độ thuộc sơ cấp của x và giá trị hàm thuộc thứ cấp giảm nhanh đối với các điểm xa điểm trung tâm đó Như vậy, giá trị cực đại (2-4)

(2-6)

của fx(u) đạt tại trung điểm của Jx Một hàm thuộc loại hai Gaussian đ−ợc diễn tả ở Hình 2-3

Định nghĩa 2-5: Độ không chắc chắn trong các độ thuộc sơ cấp của một

tập mờ loại hai, A~, là một miền giới hạn, đ−ợc gọi là chân đế của độ không chắc chắn (FOU) FOU là hợp của tất cả các độ thuộc sơ cấp

FOU(A~) = Ux∈XJx

Về mặt ý nghĩa hình học, FOU mô tả trực quan độ không chắc chắn của tập mờ loại hai, nó là biểu diễn hình học toàn bộ miền trị cho tất cả các độ (2-7)

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

0

0.4 0.6 0.8

thuộc thứ cấp của một hàm thuộc loại hai Trong các ứng dụng, FOU là một căn cứ đầu tiên để chúng ta lựa chọn các hàm thuộc loại hai phù hợp

Vùng tô đen trong Hình 2-4 (a) minh họa FOU của một tập mờ loại hai

Ví dụ 2-4: Ví dụ này chỉ ra một cách đơn giản để xây dựng một FOU cho

một khoảng với hai điểm xác định với các hàm thuộc tam giác Gọi a là giá trị trung bình của của các điểm bên trái của khoảng, b là giá trị trung bình của các điểm bên phải của khoảng và độ lệch chuẩn của các điểm bên trái là

δa, của các điểm bên phải là δb Chúng ta định nghĩa hai khoảng không

chắc chắn tương ứng với hai điểm a và b là [a - δa, a + δa] và [b - δb, b + δb] Gọi r là khoảng cách giữa hai điểm a và b Gọi T là trung

điểm của a và b Xác định đỉnh của các tam giác là giao điểm của đường u

0.7 0

1

x1 x2

Hình 2-4 (a): Miền tô đen là FOU của một tập mờ loại hai Độ thuộc sơ cấp Jx1 và Jx2 tại điểm x1 và x2

(a)u

thẳng song song với trục u đi qua trung điểm T của a và b cắt với đường u = 1 FOU được xác định là hợp của tam giác ((0, a - δa), (0, a + δa), (a+r/2,1)) và tam giác ((0, b -δb ), (0, b+δb), (b-r/2,1)) (Hình 2-5)

Định nghĩa 2-6: Giả sử àA(x | p1, p2, …, pv) trong đó p1, p2, …, pv là các tham số, các giá trị pi biến đổi trong một miền giá trị Pi ,(pi∈Pi)xác định một họ hàm thuộc loại một Một hàm thuộc sơ cấp (gọi tắt là MF) được định nghĩa là một hàm thuộc loại một bất kỳ trong trong họ hàm thuộc loại một trên:

Các ví dụ sau đây minh họa việc xác định một FOU từ một họ MF

Ví dụ 2-5: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình

không chắc chắn

Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với độ lệch chuẩn δ không đổi và giá trị trung bình m biến đổi trong khoảng [m1, m2]:

u 1

àA(x) = exp⎢⎣⎡ư ( ư )2⎥⎦⎤2

, m ∈ [m1, m2]

Tương ứng với mỗi giá trị m chúng ta sẽ nhận được một đường cong độ

thuộc khác nhau Họ các đường cong này xác định một FOU, như Hình (2-6)

Ví dụ 2-6: Họ hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn

không chắc chắn

Xét hàm thuộc sơ cấp Gaussian với giá trị trung bình m không đổi và độ lệch chuẩn δ biến đổi trong khoảng [δ1, δ2] :

àA(x) = exp⎢⎣⎡ư ( ư )2⎥⎦⎤2

, δ ∈ [δ1, δ2]

Tương ứng với mỗi giá trị δ chúng ta sẽ nhận được một đường cong độ

thuộc khác nhau Họ các đường cong này xác định một FOU, như Hình (2-7)

2.2.3 Hàm thuộc trên và hàm thuộc dưới

Khái niệm FOU có thể được diễn tả bởi một khái niệm khác đó là hàm thuộc trên và hàm thuộc dưới

1

xm1 m2

Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung

bình m không chắc chắn

Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch

chuẩn δ không chắc chắn

Định nghĩa 2-7: Một hàm thuộc trên và một hàm thuộc dưới là hai hàm

thuộc loại một, là hai đường biên FOU của một tập mờ loại hai A~ Hàm thuộc trên được gắn với đường biên trên của FOU(A~) và được ký hiệu là

àA(x), ∀x ∈ X Hàm thuộc dưới được gắn với đường biên dưới của FOU(A~) và được ký hiệu là à

2.3 Tập mờ loại hai nhúng

Định nghĩa 2-8: Cho hai không gian liên tục X và U, một tập mờ loại hai

nhúng A~ được định nghĩa:

(2-14)

Tại mỗi giá trị của x, hàm thuộc của A~e nhận duy nhất một giá trị độ thuộc sơ cấp θ, (θ∈Jx) và được kết hợp với một độ thuộc thứ cấp f x(θ) Hình 2-8 là một ví dụ về một tập mờ loại hai nhúng

Như vậy, một tập mờ loại hai A~ có thể được hiểu là một tập hợp các tập mờ loại hai A~e, được gọi là các tập mờ loại hai nhúng trong A~

Khi tính toán với tập mờ loại hai, chúng ta thường rời rạc hóa không gian X và U như trong (2-6) Khi đó, sẽ có một số hữu hạn các tập mờ loại hai nhúng A~e trong A~

Định nghĩa 2-9: Cho hai không gian rời rạc X và U, một tập mờ loại hai

nhúng A~e có N phần tử là các giá trị độ thuộc sơ cấp ký hiệu là θ1, θ2, …,

θN với θi∈Jxi,(i = 1 N) và mỗi giá trị độ thuộc sơ cấp θi này được kết hợp với duy nhất một giá trị độ thuộc thứ cấp f (θi)

∑= θθ , θi∈Jxi ⊆ U = [0,1] Tập A~e được nhúng trong A~, và có tổng số ∏=

Tập Ae là tập tất cả các độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai nhúng A~e

được định nghĩa trong (2-14) Có vô số tập mờ loại một nhúng Ae của A~e khi hai tập X và U liên tục

Định nghĩa 2-11: Cho hai không gian rời rạc X và U, trong mỗi tập

Jx1, Jx2, , JxN, là N độ thuộc sơ cấp của tập mờ loại hai A~ , ta chọn duy nhất một phần tử θi (θi∈Jxi , i =1 N) ta được N phần tử và tạo thành một tập mờ loại một nhúng được xác định như sau:

Ví dụ 2-7: Hình 2-9 thể hiện hai tập mờ loại hai nhúng của hàm thuộc

loại hai được diễn tả trong Hình 2-2 Tương ứng với mỗi tập mờ loại hai nhúng đó là các tập mờ loại một nhúng: 0 / 1 + 0.4 / 2 + 0.8 / 3 + 0.8 / 4 + 0.4 / 5 (Hình 2-9 (a)) và 0.2 / 1 + 0.8 / 2 + 0.6 / 3 + 0.2 / 4 +0.2 / 5 (Hình 2-9 (b))

00.20.40.60.8 1

2.4 Các phép toán trên tập mờ loại hai

Trong phần này đề cập tới các phép toán tập hợp đối với tập mờ loại hai nói chung Các phép toán tập hợp bao gồm phép hợp, giao, phần bù

Cho hai tập mờ loại hai A~ và B~ xác định trên cùng không gian X:

00.20.40.60.8 1

ở đây:

∫∈ = (()/,(w)/w)

Theo công thức (1-39) ở Chương một, chúng ta có thể biểu diễn lại (2-21) như trong (2-22) dưới đây:

∫ ∫∈∈

Khi ϕ là phép toán maximun ∨ , khi đó, từ (2-21) và (2-22) chúng ta có:

à ∪ = vvJvxh

ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó

Một cách khác để diễn tả (2-23) theo hàm thuộc thứ cấp của A~ và B~, )

à ∪ = (u) g (w)/(v)

(2-24)

thuộc thứ cấp của ~~(x)

à ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của ~(x)

à ∪ ta phải xác định phép tuyển giữa ~(x)

2.4.2 Giao của các tập mờ loại hai

ở đây:

∫∈ = (()/,(w)/w)

∫ ∫∈∈

ở đây hàm ϕ là một minimun, ta sử dụng ký hiệu ∧ thay cho ϕ Khi đó từ (2-25) và (2-27) ta có:

à ∩ = vvJvxh

ở đây, dấu ∗ thể hiện một minimum hoặc một hàm nào đó

Ta có thể biểu diễn (2-28) theo hàm thuộc thứ cấp của của A~ và B~, ~(x)

à ∩ = (u) g (w)/(v)

à ∪ theo phép toán t-norm giữa hai độ thuộc thứ cấp của ~(x)

à ∩ ta phải xác định phép hội giữa ~(x)

2.4.3 Phần bù của một tập mờ loại hai

Trong biểu thức này ~(x)

vµ B~ =

+

+

+

= 0.3 / 0.4 + 0.5 / 0.8 + 0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8 = max(0.3, 0.3) / 0.4 + max(0.5, 0.7)/ 0.8 =0.3 / 0.4 + 0.7 / 0.8

Tõ (2-29), sö dông mini t-norm vµ maximum t-conorm, ta cã:

BA

+

+

+

= 0.3 / 0 + 0.5 / 0 + 0.3 / 0.1 + 0.7 / 0.1 = max(0.3, 0.5) / 0 + max(0.3, 0.7) / 0.1 =0.5 / 0 + 0.7 / 0.1

Từ (2-29), ta có: )

Ví dụ 2-9: Tiếp theo, chúng ta xem xét hội của một tập mờ loại hai đơn trị

(singleton), A~ và một tập mờ loại hai, B~ Tập mờ loại hai đơn trị, A~ là một tập mờ loại hai có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau:

à = ⎩⎨⎧

Tập mờ loại hai B~ đ−ợc diễn tả bởi hàm thuộc ~(x,w)

à : )

∫ ∫Jwx⊆[0,1]

Từ (2-29), (2-31), (2-33) và sử dụng minimum t-norm chúng ta có:

=

xxx

Nh− vậy, về mặt đồ thị, hội giữa một tập mờ loại hai đơn trị, A~, và một tập mờ loại hai, B~, là một lát cắt dọc của ~(x,w)

Chương 3 Suy diễn với tập mờ loại hai

Suy diễn mờ đóng vai trò quan trọng trong một hệ logic mờ, phương pháp suy diễn quyết định tính phức tạp và chất lượng của hệ logic mờ Hình 3-1 mô tả một hệ logic mờ loại hai, mô tơ suy diễn dựa trên cơ sở các luật mờ để xác định tập mờ đầu ra cho mỗi tập mờ đầu vào Việc suy diễn mờ có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau song chúng đều được xác định dựa trên mối quan hệ mờ giữa các luật Trong phần này giới thiệu một số phương pháp suy diễn mờ cơ bản Trước khi đi vào các phương pháp suy diễn, chúng ta xem xét khái niệm quan hệ mờ loại hai và phương pháp xác định các thành phần của một quan hệ mờ loại hai; các dạng biểu diễn thường gặp của các luật mờ, phương pháp chuyển đổi một dạng biểu diễn mờ về dạng biểu diễn chuẩn

3.1 Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành

3.1.1 Khái niệm chung

Một quan hệ R(A1, A2, …, An) của n tập rõ A1, A2, An, là một tập rõ trong không gian tích Đê-các A1ìA2ì ìAn và R(A1, A2, …, An) ∈ A1ìA2ì ìAn Chúng ta có thể sử dụng hàm thuộc để biểu diễn mối quan hệ rõ này như sau:

Tập rõ

đầu vào Mờ hoá

Tập mờ đầu vào

Suy diễn

Các luật Giảm mờ

Giảm loại

Tập mờ đầu ra x

Tập rõ đầu ra

yTập mờ giảm loại

Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai

), ,(a1 a2

), A A,R(A), aa ,(anếu

Một quan hệ mờ loại một F(A1, A2, …, An) là một tập mờ loại một đ−ợc định nghĩa trên không gian tích Đê-các của n tập rõ A1, A2, …, An, ở đây mỗi bộ số (a1, a2, …, an) có một độ thuộc àF(a1, a2, …, an) ∈[0,1] và đ−ợc ký hiệu:

F(A1, A2, …, An) = ( 1, 2, )/( 1, 2, )

∫ ∫ìα∈ α α)

∫ ∫ìα∈ β βở đây, các hàm thuộc sơ cấp J v

(3-6)

∫ ∈ ∫∈ uvsv

Để minh họa cho hai phép toán trên, chúng ta xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 3-3: Xét các mối quan hệ mờ sau: “u gần v” và “u nhỏ hơn v”; và “ u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” Các mối quan hệ này trên cùng không gian

UìV Giả sử U = {u1, u2} = {2, 12} và V = {v1, v2, v3} = {1, 7, 13} Giá trị

độ thuộc thứ cấp của các mối quan hệ mờ: “gần”, ký hiệu là c~ và “nhỏ hơn”

, ký hiệu là s~ được biểu diễn qua ma trận dưới đây:

U1 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1 0.7/0.3+1/0.4+0.1/0.5 0.5/0+1/0.1

thuộc của quan hệ mờ “u nhỏ hơn v”

Bằng trực giác chúng ta thấy mối quan hệ mờ “ u gần v” hoặc “u nhỏ

hơn v” phù hợp hơn mối quan hệ mờ “u gần v” và “u nhỏ hơn v” Với khái

niệm quan hệ mờ, bây giờ chúng ta xác định các hàm thuộc thứ cấp của phép hợp và giao của hai quan hệ mờ trên:

Từ (3-6) và (3-7), sử dụng minimun t-norm và maximum t-cornorm ta có: )

,( 1 1

à ∪ = (0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.7/1) C (1/0 + 0.9/0.1 + 0.4/0.5) = (0.3∧1)/(0.8∨0) + (0.3∧0.9)/(0.8∨0.1) + (0.3∧0.4)/(0.8∨0.5) + (1∧1)/(0.9∨0) + (1∧0.9)/(0.9∨0.1) + (1∧0.4)/(0.9∨0.5) +

0.7∧1)/(1∨0) + (0.7∧0.9)/(1∨0.1) + (0.7∧0.4)/(1∨0.5)

= 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 0.3/0.8 + 1/0.9 + 0.9/0.9 + 0.4/0.9 + 0.7/1 +

(3-7)