Trong cơ học lượng tử, có thể nói, nhìn chổ nào chúng ta cũng thấy toán tử vì mỗi thuộc tính vật lí được đặc trưng bởi một toán tử... Chúng ta thường không.[r]
(1)Các toán tử học lượng tử
Lý Lê
Ngày 20 tháng năm 2009
Tóm tắt nội dung
Hóa học lượng tử phát triển từ học lượng tử Trong học lượng tử, nói, nhìn chổ thấytốn tử thuộc tính vật lí đặc trưng tốn tử Vì vậy, hiểu rõ khái niệm tốn tử tính chất toán tử yêu cầu đối người học lượng tử
1 Các khái niệm
1.1 Toán tử
Chúng ta bt u bng vic vit li phng trỡnh Schrăodinger khụng phụ thuộc thời gian cho hệ hạt không gian chiều
−~
2
2m
d2ψ(x)
dx2 +V(x)ψ(x) =Eψ(x) (1)
hay
h
− ~
2
2m d2
dx2 +V(x)
i
ψ(x) =Eψ(x) (2)
Biểu thức dấu móc vng h− ~
2
2m d2
dx2 +V(x)
i
được gọi tốn tử
(operator) Nó tác dụng lên hàmψ(x) cho ta hàmEψ(x)
Như vậy, toán tử qui luật mà nhờ từ hàm số cho trước ta tìm hàm số
b
Af(x) =g(x) (3) Trong đó, Abđược gọi tốn tử Hai hàm sốf(x)và g(x)khơng thiết
phải khác nhau, chúng giống
Ví dụ: GọiDb toán tử đạo hàm bậc theox
b D= d
dx hay Dfb (x) = d
dxf(x) =f
(2)Nếuf(x) =x2+ 3ex, ta có
b
Df(x) =f0(x) = 2x+ 3ex
Tương tự, nếub3 toán tử nhân hàm số với 3, ta có b
3f(x) = 3(x2+ 3ex) = 3x2+ 9ex 1.2 Tổng hai toán tử
Tổng hai toán tử Abvà Bb xác định sau
(Ab+B)fb (x) =Afb (x) +Bfb (x) (4) Ví dụ: Tốn tửCb xác định
b
C=x+ d dx TìmCfb (x)nếu f(x) =asin(bx)
Ta có (x+ d
dx)asin(bx) =xasin(bx) + d
dx[asin(bx)] =axsin(bx) +abcos(bx) 1.3 Tích hai tốn tử
Tích hai tốn tửAbvàBb xác định sau b
ABfb (x) =A[bBfb (x)] (5) Ví dụ: ChoCb =x
d
dx TìmCfb (x)nếu f(x) = (x
2+ 3ex). Ta có
x d dx(x
2+ 3ex) =x[ d dx(x
2+ 3ex)] =x(2x+ 3ex) = 2x2+ 3xex (6) Thơng thường, AbBb6=BbAb Ví dụ, xét hai toán tử Db =
d
dx vàxb=x Ta
có
b
Dbxf(x) =D[xfb (x)] =f(x) +xf0(x) (7)
Trong
b
xDfb (x) =x[bDfb (x)] =xf0(x) (8)
Chúng ta nói hai tốn tử nhau, Ab= Bb, Afb (x) = Bfb (x) với
mọi hàmf(x) Ví dụ, từ phương trình (7), ta có
b
Dxfb (x) =f(x) +x d
dxf(x) = (b1 +bxD)f(x)b (9)
Như
b
Dxb= (b1 +bxD) = (1 +b bxD)b (10)
Toán tửb1 (nhân với 1) gọi toán tử đơn vị Chúng ta thường khơng
(3)1.4 Tốn tử tuyến tính
Tốn tửAbđược gọi làtốn tử tuyến tính thỏa điều kiện sau
b
A[f(x) +g(x)] =Afb (x) +Ag(x)b (11) b
Acf(x) =cAfb (x) (12)
trong f g hàm bất kì, cịnc số Ví dụ, tốn tử đạo hàm tốn tử tuyến tính tốn tử bậc hai khơng tuyến tính Thật vậy, ta có
b
D[f(x) +g(x)] =Dfb (x) +Dfb (x) =f0(x) +g0(x) b
D[cf(x)] =cDfb (x) =cf0(x)
Trong
p
f(x) +g(x)6=pf(x) +pg(x) NếuA,b Bb Cb tốn tử tuyến tính,
(Ab+Bb)Cb=AbCb+BbCb (13)
Để chứng minh (13), ta phải chứng minh (Ab+B)b Cb AbCb+BbCb cho
cùng kết áp dụng lên hàmf(x) tùy ý Nghĩa [(Ab+B)b C]fb (x) = (AbCb+BbC)f(x)b
Ta xét vế phải
[(Ab+B)b C]fb (x) = (Ab+B)(b Cfb (x)) = (Ab+B)g(x) =b Ag(x) +b Bg(x)b
Tiếp theo, ta xét vế trái
(AbC+b BbC)fb (x) =AbCfb (x)+BbCfb (x) =A(b Cfb (x))+B(b Cf(x)) =b Ag(x)+b Bg(x)b
Như
[(Ab+B)b C]fb (x) = (AbCb+BbC)f(x) =b Ag(x) +b Bg(x)b
Tương tự, ta có
b
A(Bb+C) =b AbBb+AbCb (14) Ví dụ: Tính(Db+x)b
Cách
(4)Cách
(Db+x)b 2f = (Db+bx)[(Db+x)fb = (Db +x)(fb 0+xf)
= D(fb 0+xf) +x(fb 0+xf) =Dfb 0+D(xfb ) +xf0+x2f = Db2f+xDfb +fDxb +xf0+x2f
= Db2f+xDfb +f +xDfb +x2f = (Db2+
b
xDb+x2+ 1)f
⇒(Db+x)b =Db2+ 2xbDb+x2+
2 Tính chất toán tử
2.1 Phép nhân toán tử
Phép nhân toán tử tuân theo luật kết hợp
b
A(BbC) = (b AbBb)Cb (15) Ví dụ: Đặt Ab=Db;Bb=bx;Cb=b3, ta có
b
ABfb =Dbbxf = (1 +xbD)fb
Vậy
(AbB)b Cfb = (1 + b
xD)3fb = 3f+ 3xf0= (3 + 3xD)fb
suy
(AbB)b Cb= + 3xDb
Mặt khác, ta có
(BbC)fb = 3bxf = 3xf
Vậy
b
A(BbC)fb =D(3xfb ) = 3f + 3xf0= (3 + 3xD)fb
hay
b
A(BbC) = + 3xb Db = (AbB)b Cb
vậy phù hợp với (15)
2.2 Các toán tử giao hoán
Hai toán tửAbvàBb gọi làgiao hoán (commute) với b
ABb=BbAb hay AbBb−BbAb=
Hiệu AbBb −BbAb kí hiệu [A,b B]b gọi phép giao hoán
(commutator) NếuAbvàBb khơng giao hốn với thìAbBb =−BbAb Thật
vậy, ta có
(5)Ví dụ 1: Tính[b3,D]b Ta có
[3,b D]fb =b3Dfb −Dbb3f = 3Dfb −3Dfb =
Như vậy,b3 vàDb hai tốn tử giao hốn Ví dụ 2: Tính[D,b xb2];[bx2,D]b
[D,b bx2]f =Dbxb2f−xb2Dfb = 2xf +x2Dfb −x2Dfb = 2xf
⇒ [D,b xb2] = 2x
[xb2,D]fb =xb2Dfb −Dbxb2f =x2Dfb −2xf−x2Dfb =−2xf
⇒ [bx2,D] =b −2x
Như vậy, bx2 Db khơng giao hốn với Ta thấy [D,b xb2] = −[bx2,D]b ,
phù hợp với (16)
NếuA,b Bb tốn tử tuyến tính k số, ta có
[A, kb B] = [kb A,b Bb] =k[A,b B]b (17)
Thật
[A, kb B] =b A(kb Bb)−kBbAb=kAbBb−kBbAb (18)
Do
[A, kb Bb] =kAbBb−kBbAb=k(AbBb−BbA) =b k[A,b B]b (19)
Tương tự
[kA,b B] =b kAbBb−B(kb A) =b kAbBb−kBbAb=k(AbBb−BbA) =b k[A,b B]b (20)
Từ (19) (20), ta có
[A, kb B] = [kb A,b Bb] =k[A,b B]b (21) 2.3 Một số phép giao hoán quan trọng
2.3.1 Công thức 1:
[A,b BbC] = [b A,b Bb]Cb+B[b A,b C]b (22) Chứng minh:
(6)2.3.2 Công thức 2:
[AbB,b C] =b A[bB,b C] + [b A,b C]b Bb (23) Chứng minh:
Ta chứng minh tương tự theo cách sau Ta có [AbB,b C]b = (AbB)b Cb−C(b AbB)b
= (AbB)b Cb−C(b AbB) + (b AbC)b Bb−A(b CbB)b = (AbB)b Cb−A(b CbB) + (b AbC)b Bb−C(b AbB)b = A(b BbC)b −A(b CbB) + (b AbC)b Bb−(CbA)bBb = A(b BbCb−CbB) + (b AbCb−CbA)bBb
= A[bB,b C] + [b A,b C]bBb
Trong trường hợp, Bb =Ab=Cb, ta có
[Ab2,A] = [b AbA,b A] =b A[bA,b A] + [b A,b A]bAb=Ab×0 + 0×Ab= (24)
Tương tự
[Ab3,A] = [b AbAb2,A] =b A[bAb2,A] + [b A,b A]bAb2 =Ab2×0 + 0×Ab= (25)
2.3.3 Cơng thức 3:
Từ (24) (25), ta có
[Abn,A] = 0b (26)
Tương tự
[A,b Abn] = (27) 2.3.4 Công thức 4:
[A,b Bb+C] = [b A,b Bb] + [A,b C]b (28) Chứng minh:
[A,b Bb+C]b = A(b Bb+C)b −(Bb+C)b Ab = AbBb+AbCb−BbAb−CbAb = (AbBb−BbA) + (b AbCb−CbA)b = [A,b B] + [b A,b C]b
Tương tự, ta có
(7)3 Đặc hàm đặc trị
Giả sử tác dụng lên hàm f(x) toán tử Ab, ta thu kết
chính hàm f(x) nhân với sốk Khi đó, ta nói hàm f(x) đặc hàm (eigenfunction) tốn tử Ab, vớiđặc trị (eigenvalue) k
Phương trình biểu diễn mối liên hệ toán tửAb, đặc hàmf(x)và đặc trị kđược gọi làphương trình đặc trị (eigenvalue equation)
b
Af(x) =kf(x) (30)
Ví dụ
b
De2x = d dxe
2x = 2e2x ta nóie2x là đặc hàm tốn tử
b
Dvới đặc trị Phương trình đặc trị
b
De2x= 2e2x
Ví dụ b
D2sin(ax) =D[b Dbsin(ax)] =D[ab cos(ax)] =−a2sin(ax)
vậy sin(ax) đặc hàm toán tử Db2 với đặc trị −a2 Ta có, phương
trình đặc trị
b
D2sin(ax) =−a2sin(ax)
Như vậy, phương trình Schrăodinger (1) cho h mt ht khụng gian mt chiều phương trình đặc trị
Sau đây, thử tìm tất đặc hàm đặc trị cho toán tử đạo hàmDb Từ phương trình (30), ta có
b
Df(x) = df(x)
dx =kf(x) (31)
Phương trình (31) tương đương với df(x)
f(x) =kdx (32)
Lấy tích phân (32) ta
lnf(x) =kx+constant f(x) =econstantekx
(8)đúng đặc hàm tốn tử tuyến tính Thật vậy, nếuf(x) đặc hàm củaAb, với đặc trị k, nghĩa
b
Af(x) =kf(x) vàAblà tốn tử tuyến tính, ta có
b
A[cf(x)] =cAfb (x) =ckf(x) =k[cf(x)] (34)
Như
b
A[cf(x)] =k[cf(x)] (35) Với giá trị ktrong (31), có đặc hàm; đặc hàm với giá trịk giá trị c khác khơng độc lập tuyến tính1
với nhau, chúng phụ thuộc lẫn
4 Mối liên hệ toán tử học lượng tử
Tiếp theo, ta xét mối liên hệ toán tử học lượng tử Chúng ta so sánh phng trỡnh Schrăodinger cho h mt ht khụng gian chiều
[−~
2
2m d2
dx2 +V(x)]ψ(x) =Eψ(x)
với phương trình đặc trị
b
Af(x) =kf(x)
Ta thấy, rõ ràng giá trị lượng E đặc trị; đặc hàm hàm sóngψ(x); tốn tử đặc hàm đặc trị
b
H=−~
2
2m d2
dx2 +V(x) (36)
và gọi làtoán tử Hamiltonian hay toán tử lượng hệ Năng lượng hệ tổng động Trong (36) V(x) năng, nên−~
2
2m d2
dx2 tốn tử mơ tả động hệ Theo
cơ học cổ điển, động hạt theo phươngx xác định Ex=
1 2mv
2
x (37)
1
Hàmf1, f2vàf3được gọi độc lập tuyến tính phương trìnhc1f1+c2f2+c3f3= xảy sốc1=c2=c3= Ví dụ, hàmf1= 3x, f2= 5x2−x, f3=x2 hàm phụ thuộc tuyến tính, f1 + 3f2 −15f3 = 0; đó, hàm
(9)Mặt khác, ta có mối liên hệ khối lượngm, vận tốcvx động lượngpx sau
px =mvx ⇒vx= px m Do đó, ta có
Ex= 2mv
2
x= p2x
2m (38)
Như vậy, theo học cổ điển lượng hệ tính sau H= p
2
x
2m +V(x) (39) Phương trình (39) gọi hàm Hamiltonian cho hạt có khối lượngmdi chuyển khơng gian chiều phụ thuộc vào V(x)
So sỏnh phng trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian
h
− ~
2
2m d2
dx2 +V(x)
i
ψ(x) =Eψ(x)
với phương trình (39), ta thấy hàm Hamiltonian (39) học cổ điển thay toán tử Hamiltonian học lượng tử
~2
2m d2
dx2 +V(x)↔
p2x
2m +V(x) (40) Động p
2
x
2m học cổ điển thay toán tử động học lượng tử
b T =−~
2
2m d2 dx2
Mối liên hệ đại lượng vật lí học cổ điển học lượng tử phổ biến Do đó, học lượng tử có định đề quan trọng sau:
Mỗi thuộc tính vật lí lượng, động lượng, tọa độ, mơ-men góc có tốn tử tương ứng
Các thuộc tính tọa độx, y, zvà năngV học lượng tử học cổ điển có dạng giống Những thuộc tính khác khơng giống Ví dụ, thành phần động lượngpx thay toán tử
b px= ~
i ∂
∂x =−i~ ∂
∂x (41)
với
i =−i
1 i =
i i2 =
i
−1 =−i
(10)Bảng 1.1: Những toán tử thường sử dụng học lượng tử
Thuộc tính Cơ học cổ điển Cơ học lượng tử Tọa độ x, y, z, r x, y, z, r Thế V(x), V(y), V(z) V(x), V(y), V(z) Động lượng
x px pbx =−i~
∂ ∂x
y py pby =−i~
∂ ∂y
z pz pbz =−i~
∂ ∂z Động x p x
2m Tbx=−
~2 2m ∂2 ∂x2 y p y
2m Tby =−
~2 2m ∂2 ∂y2 z p z
2m Tbz=−
~2
2m ∂2 ∂z2
Mô-men góc Lz Lbz =−i~(x ∂
∂y−y ∂ ∂x)
Những tốn tử khác xây dựng từ tốn tử cho bảng Ví dụ, toán tửpb2x xây dựng từ pbx sau
b
p2x=pbxpbx=
~ i ∂ ∂x ~ i ∂ ∂x
=−h2 ∂
2
∂x2 (42)
Tương tự, ta có
b
p2y =−h2 ∂
2
∂y2 pb
2
z=−h2 ∂2
∂z2 (43)
5 Toán tử thuộc tính vật lí
Xét chuyển động hạt hộp chiều mô tả hàm sóng ψn=
r l sin(
nπx
l ) (n= 1,2,3, ) Ta thấyψn đặc hàm toán tử lượngHb với đặc trị
E = n
2h2
8ml2
Thật vậy, tốn hạt hộp năngV(x) = 0, nên ta có
b
H =Tbx+Vb(x) =−
~2
(11)Do
−~
2
2m d2 dx2
hr2 l sin(
nπx l )
i = n
2h2
8ml2
hr2 l sin(
nπx l )
i
Như vậy, thực phép đo lượng hạt hộp chiều, ta thu kết đặc trị lượng E toán tử lượngHb
Một cách tổng qt,nếu Bb tốn tử mơ tả thuộc tính vật lí B phép đo thuộc tính B cho đặc trị βi toán tử
b
B.Đây định đề học lượng tử Ví dụ, ψi đặc hàm củaHb, ta có
b
Hψi=Eiψi (44)
Nghĩa phép đo thuộc tính vật lí mơ ta tốn tử lượng
b
H cho ta giá trịEi Nếuψi hàm phụ thuộc tọa độ, không phụ thuộc thời gian (44) dạng tổng quát ca phng trỡnh Schrăodinger khụng ph thuc thi gian
Tiếp theo, xét hàm trạng thái phụ thuộc thời gian
Ψ = Ψ(x, t) (45) Nếu trạng thái hệ mơ tả hàm sóngΨ, hàm sóng Ψđó chứa tất thơng tin mà cần biết hệ Vậy Ψ cung cấp cho thông tin thuộc tính B? Bây giờ, giả định Ψlà đặc hàm Bb với đặc trị βi,
phép đo thuộc tính B cho ta giá trị βi Chẳng hạn, xét thuộc tính lượng Giả sử hệ trạng thái tĩnh với hàm trạng thái
Ψ(x, t) =e−iEt/~ψ(x) (46)
ta có
b
HΨ(x, t) =H[eb −iEt/~ψ(x)] =e−iEt/~Hψ(x)b (47)
áp dụngHψ(x) =b Eψ(x), ta b
HΨ(x, t) =e−iEt/~Eψ(x) =Ee−iEt/~ψ(x) =EΨ(x, t)
vậy
b
HΨ =EΨ (48)
Do đó, trạng thái tĩnh,Ψ(x, t) đặc hàm củaHb, chắn
tìm giá trịE thực phép đo lượng Phương trình (48) l mt cỏch vit khỏc ca phng trỡnh Schrăodinger ph thuộc thời gian
(12)Bài tập
1 ChoDb = d
dx hàm f(x) xác định f(x) = sinx+eix Hãy tính
(Db2+Dbbx)f(x)
2 Chứng minh
[Ab+B,b Cb+D] = [b A,b C] + [b A,b D] + [b B,b C] + [b B,b D]b
Từ đó, tính
[x+ d dx,
d2 dx2 +x]
3 Cho biết
b
x=x pbx =−i~ d dx Chứng minh
[x,b pbx] =i~; [x,b pb
2
x] = 2~2 d dx Tìm hàmg(x) đặc hàm củapbx với đặc trịk
b
pxg(x) =kg(x)
Chứng tỏ hàm sóng hạt hộp chiều khơng phải đặc hàm củapbx
5 Tìm hàm f(x) đặc hàm pb
2