TAI LIEU ON THI VAO 10 CUC HOT

NÕu ngêi thø nhÊt lµm mét m×nh trong chÝn ngµy råi ngêi thø hai ®Õn cïng lµm tiÕp trong mét ngµy n÷a th× xong c«ng viÖc.. NÕu gi¶m 3 ngêi th× thêi gian kÐo dµi thªm s¸u ngµy.[r]

Chuyên đề I bậc hai

1 √A2

=|A| ; √A.B=√A.√B (víi A vµ B 0) √A

B=

√A

√B (víi A vµ B > 0); √A

2

.B=|A|.√B (víi B ≥0 ) a) A√B=√A2

B (víi A ≥0 vµ B≥0 ) b) A√B=−√A2

B (víi A < vµ

B≥0 ) √A

B=

|B|√AB (víi AB vµ B≠0¿ );

A

√B= A√B

B (víi B > 0)

8 C

√A ± B=

C(√A∓B)

A − B2 (víi A vµ B

2

≠ A )

9 C

√A ±√B=

C(√A∓√B)

A − B (víi A 0, B0 A B )

Các dạng toán thờng gặp CĐ I

Dng 1: Tỡm ĐKXĐ biểu thức thu gọn biểu thức đó. Dạng 2: Tính giá trị biẻu thức sau thu gọn.

Dạng 3: Tìm giá trị biến để giá trị biểu thức lớn số thực cho trớc

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, biểu thức sau thu gọn. Để làm tốt dạng tập đề nghị HS tập trung vào vấn đề sau:

1) Việc tìm ĐKXĐ vô quan trọng

2) Để thu gọn đợc biểu thức HS phải tìm đợc MTC qui đồng mẫu số

(Trong trình tìm MTC cần ý đến đẳng thức A2− B2=(A+B) (A − B) và

qui tắc đổi dấu ) I Tìm điều kiện xác định

Chú ý: + √f(x) xác định f (x)≥0

+

m=−8+3√10

¿

m=−8−3√10

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

2(m−1)

4(m−1) =m

2

−2⇔8(m−1)2=9(m2−2)⇔m2+16m −26=0

⇔

¿

xác định

vµ chØ f(x) > + g(x)

√f(x)−h(x) xác định

¿

f(x)≥0

√f(x)− h(x)≠0

¿{

¿

+ x −3

x+√x xác định

⇔

x ≥0 x+√x ≠0

⇔ ¿x ≥0

x ≠0

⇔x>0

+ x −3

x −√x xác định

⇔

x ≥0 x −√x ≠0

⇔ ¿x ≥0

x ≠1

⇔1≠ x>0

¿{

Ví dụ 1.1: Tìm điều kiện xác định biểu thức sau a) √4x −1 ; b) √−4x −1 ; c) √x2

+2

d) 2x −3

√x −1 ; e) x

x −√x ; g) √ −2

x −5 m) √x2

−4 ; n) 2x+1

√x2+1 l)

√x

√x+1− x x

II Biểu thức liên hợp trục thức Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức sau:

A=√4−2√3=√(√3−1)2=|√3−1|=√3−1 B=√4+2√3=√(√3+1)2=|√3+1|=√3+1 C=√3±2√2=√(√2±1)2=|√2±1|=√2±1

Chú ý: Khi cần thu gọn biểu thức ta cần liên tởng đến hai đẳng thức quen thuộc (A ± B)2=A2±2 AB+B2 Trong viết nên viết số lớn đứng trớc để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta khơng phải đổi dấu

Ví dụ 1.3: Khi thu gọn biểu thức K=√9−4√5 ta biến đổi theo cách sau: Cách 1: K=√9−4√5=√(√5−2)2=|√5−2|=√5−2

Cách 2: K=945=(25)2=|25|=(25)=52 25<0

Rõ ràng làm theo cách thuận lợi nhiều không bị nhầm dấu Vận dụng:

1 Tính: A=√5+2√6 ; B=√5−2√6 ; C=√9−4√2

2 TÝnh √A biÕt

¿

a=13−2√42; b¿ A=46+6√5; c¿ A=12−3√15¿d¿ A=13−4√30 ; e¿ A=7−4√3 ; g¿ A=11−4√2¿ Khi biểu thức cần tính hay thu gọn mà MT chứa ta cn ngh n

việc trục thức - nhân với biểu thức liên hợp Chú ý:

+

√x − a=

1.(√x+a) (√x − a) (√x+a)=

√x+a x − a2 + 3 k

√x − a=

k.(√3x2+a3

√x+a2)

(√3 x − a)(√3x2+a√3 x+a2)=

k.(√3x2

+a√3 x+a2) x −a3

+ 3 k

√x+a=

k.(√3 x2− a3

√x+a2)

(√3 x+a)(√3x2− a√3 x+a2)=

k.(√3x2−a3

x+a2)

x+a3 Ví dụ 1.4: Trục thức sau:

A=

√2−1=

1 (√2+1) (√2−1)(√2+1)=

√2+1

1 =√2+1 B=

√5−√2=

3(√5+√3) (√5−√2)(√5+√2)=

3(√5+√3)

3 =√5+√3 C=3

√2−3=

1 (√34+3√32+9) (√32−3) (√34+3√32+9)=−

3

√4+3√32+9

Vận dụng: Làm mẫu biểu thức sau: a)

1

53 b)

1

√8+√2 c)

4

3

√7−3

√3 d) 311

 e)

1

3

√4+3

√6+3

VÝ dơ 1.5: Rót gän c¸c biĨu thøc sau: A = √4−2√3+√7−4√3; B =

√7+2+√

8+3√7 C=√4+2√3−√4−2√3

Lêi gi¶i

A =

√3−1¿2 ¿

2−√3¿2 ¿ ¿

√4−2√3+√7−4√3=√¿

¿|√3−1|+|2−√3|=√3−1+2−√3=1

B =

√7+2+√ 8+3√7=

6(√7−2) (√7+2)(√7−2)+√

2(8−3√7)

(8+3√7)(8−3√7)

¿6(√7−2)

3 +√

16−6√7

=

3−√7¿2 ¿ ¿

2√7−4+√¿

C=√4+2√3−√4−2√3=√(√3+1)2−√(√3−1)2=√3+1−√3+1=2

VÝ dơ 1.6: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

A=√x2−2√x2+1+2; B=√x2+2√x2−1(x>1); C=√x2+3−4√x2−1(1<x<√5)

D=√x+√x+1 2+√x+

1

4∀x ≥−

4; E=√x

2

+2y√x2− y2∀x>y>0

Lêi gi¶i

A=√x2−2❑√x2+1+2=√(√x2+1−1)2

¿|√x2+1−1|=√x2+1−1 (v× √x2−1≥1,∀x∈R ) B=√x2+2√x2−1=√(√x2−1+1)2=√x2−1+1(∀x>1)

C=√x2+3−4√x2−1=√(2−√x2−1)2=2−√x2−1,{∀ ∈R/1<x<√5} x+1

4+¿

√¿ ¿ ¿2

¿

x+¿ ¿

D=√x+√x+1 2+√x+

1 4=√¿

E=√x2+2y√x2− y2=√(√x2− y2+y)2=√x2− y2+y ,∀x>y>0

XÐt mét sè vÝ dơ tỉng hỵp sau VÝ dơ 1.7

Cho biÓu thøc: K = ( √a

√a+1− a −√a):(

1

√a+1+ a −1)

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn K

b) Tính giá trị K a=3+22 c) Tìm giá trị a cho K <

a) §KX§:

¿

a>0 a ≠1

⇔1≠ a>0

¿{

¿ K = ( √a

√a−1− a −√a):(

1

√a+1+ a −1)

K ¿( √a √a −1−

1

√a(√a −1)):(

√a+1+

2

(√a −1)(√a+1)) K = a −1

√a(√a −1):

√a −1+2 (√a −1)(√a+1)=

a −1

√a(√a−1) a −1

√a+1= a −1

√a

b) Ta cã: 1+√2¿ 2⇒

√a=1+√2 a=3+2√2=¿ Do đó: K = a−1

√a =

3+2√2−1 1+√2 =

2(1+√2) 1+√2 =2

c) Với a > ⇒√a>0 Do K=a −1

a <0a1<0a<1

Kết hợp với ĐK, ta có K<0⇔0<a<1

VÝ dơ 1.8: Cho biĨu thøc: P=( 4√x 2+√x+

8x 4− x):(

√x −1 x −2√x−

2

√x)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P = -1

c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m(√x −3).P>x+1

Lêi gi¶i a) P=( 4√x

2+√x+ 8x 4− x):( √

x −1 x −2√x−

2

√x) , §K: x ≠4, x ≠1, x>0

P = [ 4√x(2−√x)+8x

(2+√x)(2−√x) ]:[

√x −1−2(√x −2)

√x(√x −2) ]

P = 8√x+4x

(2+√x)(2−√x):

3−√x

√x(√x −2)=

4√x(2+√x) (2+√x)(2−√x)

√x(2−√x)

√x −3 =

4x

√x −3

b) P = 4x

√x −3=−1⇔4x=3−√x⇔4x+√x −3=0⇔4x+4√x −3√x −3=0

⇔(√x+1)(4√x −3)=0 V× x > ⇒x= 16

c) Ta cã: m(√x −3).P>x+1⇔m(√x −3) 4x

√x −3>x+1⇔m 4x>x+1

x(4m1)>1 Vì x > > nên 4m - > ⇒m>1

4 vµ x>

4m−1 (1)

Do đó:

4m −1≤9⇔m ≥

18 tháa m·n (1)

VËy víi m≥

18 th× víi mäi x > ta cã: m(√x −3).P>x+1

VÝ dô 1.9: Cho biÓu thøc: P=(√x −

√x):(

√x −1

√x +

1−√x x+√x)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị cđa biĨu thøc x=

2+√3

c) Tìm giá trị x thỏa mÃn: Px=6x 3x 4 Lêi gi¶i

a) P=(√x −

√x):(

√x −1

√x +

1−√x

P =

√x+1¿2 ¿ ¿

x −1

√x :[

(√x −1)(√x+1)+1−√x

√x(√x+1) ]=

(√x −1)(√x+1)

√x

√x(√x+1)

√x(√x −1)=¿

b) Ta cã:

√3−1¿2⇒√x=√3−1

x= 2+√3=

2(2−√3)

(2+√3)(2−√3)=4−2√3=¿

Do đó:

√3−1+1¿2 ¿ ¿

P=¿

c) P√x=6√x −3−√x −4 , §K: x ≥4

√x+1¿2 ¿

¿√x√x=6√x −3−√x −4⇔x+2√x+1=6√x −3−√x −4 ¿

√x −2¿2+√x −4=0

¿ ¿ ⇔¿

VÝ dơ 1.10: (TN.THCS: 2002): Cho biĨu thøc: A= √x √x −1−

2√x −1

√x(√x −1) a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A

b) Tớnh giá trị biểu thức A x = 36 c) Tìm giá trị x để |A|>A

d) Tìm x để A = -3

Lêi giải a) ĐKXĐ: 1 x>0

Ta có:

√x −1¿2 ¿ ¿

A= √x

√x −1−

2√x −1

√x(√x −1)=

√x2−2

√x+1

√x(√x −1) =¿

b) Khi x = 36, ta cã A=√x −1

√x =

√36−1

√36 =

5

c) Ta cã: |A|>A⇔A<0⇔√x −1

√x <0⇔√x −1<0⇔x<1 (v× x >0)

§èi chiÕu víi §K, ta cã |A|>A⇔0<x<1 d) A = -3 ⇔√x −1

√x =−3⇔√x −1=−3 √x⇔4√x=1⇔√x= 4⇔x=

1

16 (TM§K)

(Chú ý u cầu tốn tìm x để |A|>A tơng đơng với việc ta

tìm x để A < 0) Ví dụ 1.11: (TN.THCS 2005): Cho biểu thức: P=(1+

x 1) x x

a) Tìm TXĐ rút gọn P

b) Tính giá trị P x = 25

c) Tìm x để P ( x1)2 x  2008 2 Lời giải

a) §KX§: 1≠ x>0

P=(1+

√x −1) x −√x

√x −1¿2 ¿ ¿√x −1+1

√x −1

√x(√x −1)=

√x

√x −1

√x(√x −1)=

b) Thay x = 25, ta đợc:

√25−1¿2 ¿ ¿

P=1

¿

c) P ( x1)2  x 2008 2

=

√x −1¿2 ¿

√2+√3¿2 ¿

√x −1¿2=x −2008+√2+√3

¿ ¿

1

¿

⇔ √2+√3=x 2008+2+3x 2008=0x=2008

Ví dụ 1.12: (Đề thi vào lớp 10 THPT NghƯ An 2009 - 2010) Cho biĨu thøc: A=x√x+1

x −1 − x −1

√x+1

a) Nêu điều kiện xác định rút gọn A b) Tính giá trị A x =

4

c) Tìm tất giá trị x để A < Lời giải

a) Điều kiện xác định

¿

x ≥0 x −1≠0

⇔1≠ x ≥0

¿{

¿

A=x√x+1 x −1 −

x −1

√x+1=

x√x+1

(√x −1)(√x+1)−

x −1

√x+1=

x√x+1−(x −1)(√x −1) (√x −1) (√x+1) =

√x √x −1

b) Thay x =

4 vào biểu thức A ta đợc: A= √

√94−1 =

3 2−1

=3

c) A<1⇔ √x

√x −1<1⇔

√x

√x −1−1<0⇔

√x −1<0⇒x<1

Đối chiếu với điều kiện, ta đợc A<1⇔0≤ x<1

VÝ dô1.13: (Đề thi vào lớp 10 THPT - Nghệ An 2010-2011). Cho biÓu thøc A= √x

√x −1−

√x+1− x −1

a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x =

c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm GTNN B = A(x – 1) Lời giải

a) §KX§ 1≠ x ≥0 A= √x

√x −1−

√x+1−

x −1=

√x √x −1−

2

√x+1−

2 (√x −1) (√x+1) ¿√x(√x+1)−2(√x −1)−2

(√x −1) (√x+1) =

(√x)2+√x −2√x+2−2 (√x −1)(√x+1) =

√x(√x −1) (√x −1) (√x+1)=

√x

√x+1

b) Thay x = vào biểu thức A ta đợc: A= √9

√9+1=

c)

¿

B=A(x −1)= √x

√x+1(√x −1) (√x+1)=(√x)

2

−√x=(√x −1 2)

2

−1 4≥ −

1 4∀x∈

¿

§KX§ VËy MinB = −1

4 vµ chØ x=

VÝ dô 1.14: Cho A= x+2 x√x −1+

x+1 x+√x+1−

1

√x −1

a) Rót gän A

b) TÝnh A víi x=4−2√3

Lêi giải a) ĐKXĐ: 1 x 0

Ta có A= x+2

x√x −1+ x+1 x+√x+1−

1

√x −1=

x+2

(√x −1) (x+√x+1)+

x+1 x+√x+1−

1

√x −1

= x+2+(x+1)(√x −1)−1 (x+√x+1) (√x −1)(x+√x+1) =

x+2+x√x − x+√x −1− x −√x −1 (√x −1) (x+√x+1)

= x(√x −1)

(√x −1) (x+√x+1)= x x+√x+1

b) x=4−2√3=(√3−1)2⇒√x=√3−1 → A= 4−2√3

4−2√3+√3−1+1=

4−2√3 4−√3 =

10−4√3

13

Bài tập tự làm 1.1 Thu gọn biÓu thøc:

A=√2−√3 (√6+√2) ; B = 8+2√2 3−√2 −

2+3√2

√2 +

√2 1−√2

C =

√5−3¿2 ¿

2−√5¿2 ¿ ¿

√¿

; D = (√10+√2)(6−2√5)√3+√5

(§S: A = 2; B = -1; C = 1; d = 16). 1.2 a) TÝnh A = 3√3+1¿2

−2√3(3−√3)+¿ b) Rót gän biĨu thøc: B = ( √b

a −√ab−

√a

√ab− b)(a√b − b√a)

(§S: A = 34; B = b - a víi §K: a > 0, b > vµ a ≠ b ). 1.3 Rót gọn biểu thức: A=(4+15)(106)415

1.4 Giải phơng trình:

x+3+x+2+

1

x+2+x+1+

√x+1+√x=1

1.5 CMR: A 10 5   10 5   2 10 1.6 Cho biÓu thøc: √

x −

1 2√x¿

2

(√x −1

√x+1 −

√x+1

√x −1) B=¿

a) Rót gän B

b) Tìm giá trị x để B > c) Tìm giá trị x để B = -2

(§S:

1+√x¿2

a/ B=1− x

√x ; b/ 0<x<1; c/ x=¿

) 1.7 Cho A=(x√x −1

x −√x −

x√x+1 x+√x ):

2(x −2√x+1) x −1

a) Rót gän A

(§S: a/ A=√x+1

√x −1;b/x=4, x=9 )

1.8 Cho biÓu thøc: y= x2+√x x −√x+1+1−

2x+√x

√x

a) Rút gọn y Tìm x để y =

b) Gi¶ sö x > 1, Chøng minh r»ng y −|y|=0 c) Tìm GTNN y

(ĐS: a/ y=x(x 1); c/ yMin=

−1

4 x= )

1.9 Cho biÓu thøc:

) , ( :

)

(

2 1 1         

 x x x

x x x x x x x A

a) Rót gän A

b) Chøng minh r»ng: < A <

(§S: a/ A=

x+√x+1 )

1.10. Cho biÓu thøc: K=(x+1 x −1−

x −1 x+1+

x2−4x −1

x2−1 )

x+2003 x

a) Tìm ĐK x để K xác định & rút gọn K

b) Với giá trị nguyên x K có giá trị nguyên ( ĐS: a/ x ≠ ±1, x≠0; K=x+2003

x ; b/ x=±2003 )

1.11 BiÕt (√x2

+5+x)(√y2+5+y)=5 (1) TÝnh x + y (HD: Nhân hai vế (1) víi (√x2

+5− x) vµ (√y2

+5− y) )

1.12 Cho biÓu thøc: T=1:( x+2 x√x −1+

√x+1 x+√x+1−

√x+1

x −1)

a) Rót gän T

b) Chøng minh r»ng: T>3 ∀x ≠1 vµ x>0

( a/T=x+1

√x +1;b/x+1>2√x⇒T>3 )

1.13 Cho biÓu thøc: A=( x√x x+√x+1−

1 x):

2

√x+1 CMR A < víi < x <

1.14 Cho biÓu thøc: P=( 1−√x−

1

√x):(

2x+√x −1 1− x +

2x√x+1−√x 1+x√x )

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x=743 c) T×m GTLN cđa a P > a

( a/P=1−√x+x

√x ;b/P=3;c/P=

1

√x+√x −1≥2√

√x.√x −1=1 - đẳng thức không xảy Vậy

P > Do GTLN a a = 1). 1.15 Cho M=( x+2

x√x −1+

√x+1

x+√x+1−

√x −1 x −1 )

a) Rót gän M

b) CMR: > 3M với ĐK thích hợp x ( a/M= √x

x+√x+1(1≠ x>0);b/ M=1+

x+1

√x >1+ 2√x

√x =3⇒1>3M )

1.16 Cho biÓu thøc: A=( 2x+1 x√x −1−

1

√x −1):(1−

x+4 x+√x+1)

a) Rót gän A

b) Tìm số nguyên x cho A nhận giá trị nguyên ( a/A= x

√x −3; b/ A=1+

1.17 Cho: M=( √x

√x −1− x −√x):(

1

√x+1+ x −1)

a) Rót gän M

b) T×m x cho M > ( a/M=x −1

√x ;b/x>1 )

1.18 Cho: M=(√x+1

√x −1−

√x −1

√x+1+4√x).(√x −

√x)

a) Rót gän M

b) TÝnh M x = 1.19 Cho: A= √a+x2

x −2√a+√ a+x2

x +2√a

a) Rót gän A

b) Tìm ĐK x a để A2

>A

c) Tìm ĐK x a để |A|≤1

1.20 Cho biÓu thøc: A=

√x+1− x√x+1+

2 x −√x+1

a) Rót gän A

b) Chøng minh r»ng: A ≤1 ( a/A= √x

x −√x+1;b/ H·y CM:A−1≤0 )

1.21 Cho biÓu thøc: A=(√x −

1 2√x).(

x −√x

√x+1 −

x+√x

√x −1) víi (1≠ x>0)

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > -6

( a/A=−2√x; b/ 0<x<1 hc 1<x<9 ).

1.22 Đề thị vào lớp 10 năm học 2006 - 2007

Cho biÓu thøc:

1−√x¿2 ¿

P=(

√x − x+ 1−√x):

√x+1

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P

b) Tìm x để P >

( a/1≠ x>0, P=1−√x

√x ;b/0<x<1 )

1.23 Cho biÓu thøc: A=(2+√x x −1 +

2 1+√x):

3 x+x

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị A x = c) Cho x > T×m GTNN cđa A

( a/1≠ x>0, A= x

√x −1;b/ )

1.24 Cho P=( √x

√x −1− x −√x):(

1 1+√x+

2 x −1)

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P >

( a/ 1≠ x>0, P=x −1

√x ;b/x>1 ).

1.25.Cho biÓu thøc P=(

√x −1−

√x):(

√x+1

√x −2−

√x+2

√x −1)

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P=1

( a/x ≠4,1≠ x>0, P=√x −2

3√x ;b/x=64 )

1.26 Cho biÓu thøc

1− x¿2 ¿ ¿

P=(√x −2 x −1 −

√x+2 x+2√x+1).¿

a) Rót gän P

b) TÝnh P víi x=7−4√3

c) T×m GTLN cđa P

( a/P=√x − x ;b/P=3√3−5;c/MaxP=1 4⇔x=

1 ).

1.27 Cho biÓu thøc P=( √x

√x −1− x −√x):(

1

√x+1+ x −1)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P <

c) Tìm số m để có giá trị x thỏa mãn: P.√x=m−√x

( a/1≠ x>0, P=x −1

√x ;b/0<x<1;c/1≠m>−1 )

1.28 Cho biÓu thøc: P=( √x

√x −1− x −√x):(

1

√x+1+ x −1)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị x để P <

c) Tìm số m để có giá trị x thỏa mãn: P.√x=m−√x

1.29 Cho biÓu thøc: P=( 1−√x−

1

√x):(

2x+√x −1 1− x +

2x√x+x −√x 1+x√x )

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P với x=743

c) Tìm giá trị lớn a để P > a 1.30.Cho biểu thức:

3 1

:

1 1

P

x x x

 

  

  

 

a) Nêu ĐKXĐ rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để

5 p

c) T×m giá trị nhỏ biểu thức

12 x M P x   

1.31 Rót gän biĨu thøc sau:

1

3

P 

  ( §S: 2 3)

1.32 Rót gän biÓu thøc:

1

: x

A

x x x x x x

 

   (§S: x – )

1.33 Rót gän biĨu thøc sau:

2

( )

:

1

1

( ) :

a b b a b ab

B a b a b b a            

  ( §S:

1 ab)

1.34 Cho biÓu thøc :

2

1 :

9

3

x x x

P x x x                     

a) Rút gọn P b) Tìm x để

6 P

(§S: a/ P =

( 0,

3

x x

x x

x



 

 ); b/

9 4;

25 x x

; c/ Đặt x t m1 phơng trình ẩn t

luôn có hai nghiƯm d¬ng t

)

1.35 Cho biÓu thøc:

1

2 :

2 3

x x x

P

x x x x

     

     

       

   

a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x =

3 2 

c) So s¸nh P víi

1.36 Cho biĨu thøc:

10

3 4

x x x

P

x x x x

 

  

   

a) Rót gän P

b) Chøng minh: P > -3 víi mäi x thuéc TXĐ c) Tìm GTLN P

1.37 Cho biểu thøc:

2

: 1

x x x

P

x x

x x x x

    

     

      

 

a) Rút gọn P b) Tìm x để P > c) Tìm GTNN P

(§S: a/

( 0, 1); / /

1 x

P x x b x c P

x

    

 )

1.38 Cho biÓu thøc:

1

:

1

1 1

x x x

P

x

x x x x x x x x x

    

     

           

   

a) Rót gän P

b) Tìm x để P x c) Tìm GTNN P

d) Tìm m để có x thoả mãn ( x1)P m x 

(§S: a/



x -1

P = ,1 0, b/ x = + 2

x +1 )

1.39 Cho biÓu thøc A=( √x

√x −1− x −√x):

1

√x −1

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x=3+22

c) Tìm tất giá trị x cho A <

d) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình A√x=m−√x có nghiệm e) Tìm x để |A|>A

chuyên đề Hàm số bậc nhất

1 Hàm số có dạng: y = ax + b ( a ≠0 ) đợc gọi hàm số bậc biến số x Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x có tính chất:

- Hàm số đồng biến R a > - Hàm số nghịch biến R a <

3 a đợc gọi hệ số góc đờng thẳng y = ax + b ( a ≠0 )

4 Với hai đờng thẳng y = ax + b (d) y=a'x+b'(d') , a a

❑' kh¸c

ta cã: *) a a'

(d) (d') cắt

*) a = a ❑' vµ b ≠ b'⇔

(d) vµ (d') song song víi

*) a=a'vµb=b'⇔(d) vµ (d') trïng

*) a.a'

=−1⇔(d)⊥(d')

Ví dụ 2.1: Viết phơng trình đờng thẳng thỏa mãn điều kiện sau: a) Có hệ số góc qua điểm (1 ; 0)

b) Song song với đờng thẳng y=1

2x −2 cắt trục tung điểm có tung độ

Lêi gi¶i

a) Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax + b Vì hệ số góc đờng thẳng 3, : a =

Vì đờng thẳng qua điểm (1 ; 0) Thay x = 1, y = vào phơng trình đờng thẳng, ta đ-ợc: = 3.1 + b ⇒b=−3

Vậy phơng trình đờng thẳng là: y = 3x - b) Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax + b Vì đờng thẳng song song với đờng thẳng y=1

2x −2 ⇒a=

2, b ≠2

Vì đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ ⇒b=2,(≠ −2) Vậy phơng trình đờng thẳng là: y=1

2x+2

VÝ dô 2.2: Cho hµm sè: y = (2 - m)x + m - (d). a) Với giá trị m y hàm bậc

b) Với giá trị m hàm số y đồng biến, nghịch biến

c) Với giá trị m đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3x +

d) Với giá trị m đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + điểm trục tung

e) Với giá trị m đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + điểm trục hoành

g) Với giá trị m đờng thẳng (d) vng góc với đờng thẳng y = 2x + (k)

h) Với giá trị m đờng thẳng (d) qua điểm M(-2; -1) Lời giải

a) y hàm bậc 2− m≠0⇔m≠2 b) Hàm số đồng biến 2 m>0m<2

Hàm số nghịch biến m<0⇔m>2

c) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3x + khi:

¿

2− m=3 m −1≠2

⇔ ¿m=−1

m ≠3

⇔m=−1

¿{

¿

e) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + điểm trục hoành ⇔(2−m)4+m−1=0⇔m=7

3

g) (d)(k)(2 m) 2=1m=5

h) Đờng thẳng (d) qua M(-2; 1) ⇔−1=(2−m) (−2)+m−1⇔m=4

Ví dụ 2.3: Xác định hệ số a b hàm số y = ax + b, biết đồ thị hàm số qua hai điểm A(1 ; 3) v B(2 ; 1)

Lời giải

Đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A(1 ; 3) B(2 ; 1) nên:

3=a+b 1=2a+b

⇔ ¿a=−2

b=5

¿{

¿

Chú ý: Ngoài cách giải HS tham khảo cách giải tổng quát sau: Phơng trình đờng thẳng qua điểm A(x1; y1) B(x2; y2) là: x − x1

x2− x1

= y − y1 y2− y1

¸p dơng vµo vÝ dơ 2.3 ta cã: x −1

2−1= y −3

1−3⇔−2(x −1)=1(y −3)⇔y=−2x+5

VÝ dơ 2.4: Cho hµm sè y = kx + – 2x + k

a) Xác định k để hàm số hàm bậc đồng biến b) Xác định k để đồ thị đờng thẳng qua M(1;3)

c) Xác định k để đồ thị đờng thẳng cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giỏc cú din tớch bng

Lời giải Hàm sè cã d¹ng y = (k – 2).x + k –

a) Để hàm số hàm bậc đồng biến k – > <=> k > b) Để hàm số qua M(1;3) = (k – 2).1 + k + <=> k =

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung A(0; k + 3), cắt trục hoành điểm B( k+3 k 2;0)

Do ú S=1 2|k+3||

k+3

k −2|=1⇔(k+3)

2

=2|k −2|⇔k2+6k+9=2|k −2| + NÕu k > > PTVN

+NÕu k < > PT cã nghiÖm k=−4−√11;k=−4+√11

Bài tập vận dụng 2.1 Cho hàm số y = x + m (d) Tìm m để (d):

a) Đi qua điểm A(1;2011)

b) Song song với đờng thẳng x - y + = c) Tiếp xúc với (P): y=−1

4 x

2

( a/m=2010;b/m≠3;c/m=1 ) 2.2 Cho hµm sè: y=(

x√x+x+√x+ x+√x+1):

1 x2−√x

a) Rót gän y

b) Cho A(2 ; 5), B(-1 ; 1), C(4 ; 9) Chứng minh A, B, C thẳng hàng đờng thẳng ABC song song với đờng thẳng câu a

c) CMR đờng thẳng BC hai đờng thẳng 2y + x - = 0, y = đồng quy (a/ ĐK: 1≠ x>0, y=2¿ x −2;b/❑

¿

đờng thẳng AB: y = 2x + thay tọa độ C vào đờng thẳng AB; c/ đồng quy M(1 ; 3)).

2.3 Cho hµm sè y = 4x + 7.

b) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B

c) Cho biết vị trí tơng đối hai đờng thẳng Vẽ chúng mặt phẳng tọa độ

(a) A(-1 ; 3) thuộc đồ thị hàm số; b) y = −1 x+

11

4 ; c) hai đờng thẳng vng góc cắt

nhau t¹i A(-1 ; 3) ).

2.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0 ; 5), B(-3 ; 0), C(1 ; 1), M(-4,5 ; -2,5)

a) CMR: A, B, M thẳng hàng A, B, C không thẳng hàng b) Tính diện tích tam giác ABC

(a/ Phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A, B là: y=5

3x+5 , kiĨm tra xem ®iĨm M,

điểm C có thuộc đờng thẳng AB hay không; b/ Tam giác ABC vuông, SΔABC=8,5 ) 2.5 Cho hai đờng thẳng có phơng trình: 2x - y = -6 x + y = 3.

a) Xác định tọa độ giao điểm M hai đờng thẳng

b) Hai đờng thẳng lần lợt cắt trục hồnh A B Tính diện tích tam giác MAB

c) Giả sử (x ; y) tọa độ điểm thuộc miền tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 2x + y

a) M(-1 ; 4) b) SΔMAB=12 c) Xét đờng thẳng có phơng trình 2x + y = k ( Dk ).

( Dk ) song song trùng với đờng thẳng y = -2x ( Dk ) cắt Oy (0 ; k). Những điển có tọa độ(x ; y) thỏa 2x + y = k nằm ( Dk ) nên việc tìm GTLN, GTNN của k tơng ứng với vị trí ( Dk ) cắt miền tam giác MAB

( Dk ) c¾t Oy cho k cao nhÊt vµ k thÊp nhÊt.

Do đó: - GTLN k ứng với ( Dk ) qua B, nghĩa 2.3 + = k ⇒k=6 .

- GTNN k ứng với ( Dk ) qua B, nghĩa 2.(-3) + = k ⇒k=−6 . 2.6 Cho ba đờng thẳng:

(d ❑1 ): y=(m2−1)x+(m2−5) víi m≠ ±1 . (d ❑2 ): y = x +

(d ❑3 ): y = -x + 3.

a) Chứng minh m thay đổi (d ❑1 ) ln qua điểm cố định b) Chứng minh (d ❑1 ) // (d ❑3 ) (d ❑1 ) (d2)

c) Xác định m để ba đờng thẳng đồng quy 2.7 Cho đờng thẳng:

(d ❑1 ): y = 4mx - ( m + 5) víi m (d ❑2 ): y=(3m2+1)x+m2−4 .

a) Chứng minh m thay đổi đờng thẳng (d ❑1 ) qua điểm A cố định; đờng thẳng (d ❑2 ) qua điểm B cố định.

b) TÝnh kho¶ng cách AB

c) Với giá trị m th× (d ❑2 ) // (d ❑1 )

d) Với giá trị m (d 2 ) (d 1 ) cắt nhau.

2.8 Cho im A(0;-1) B(-4; 3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đờng trung trực AB Tính góc α tạo đờng thẳng d với trục Ox

2.9 Cho hai điểm A(1;3) B(-2;1).

a) Hóy lp phơng trình đờng thẳng (k) qua A B b) Xác định khoảng cách từ O đến đờng thẳng (k) c) Hãy lập phơng trình đờng thẳng qua C(2;-1) và:

c1 ) Song song với đờng thẳng (k)

chuyên đề III Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn

1 Phơng trình bậc hai ẩn x y có dạng ax + by = c, a , b , c∈R ,|a|+|b|≠0

2 Phơng trình bậc hai ẩn ax + by = c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng ax + by = c

3 Để giải hệ hai phơng trình bậc hai ẩn ngời ta thờng sử dụng hai phơng pháp: cộng (xem chi tiÕt SGK to¸n tËp 2)

4 C¸c bíc giải toán cách lập hệ phơng trình: Bớc1: Lập hệ phơng trình.

- Chn hai n v đặt ĐK thích hợp cho chúng

- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ đại lợng

Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói

Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phơng trình, nghiệm thích hợp với toán đa kết luận

Chú ý: 1) Hệ phơng trình:

ax+by=c a'x

+b' y=c' (a , b , c , a', b', c'≠0)

¿{

¿ - Cã v« sè nghiƯm nÕu: a

a'= b b'=

c c - V« nghiƯm nÕu: a

a'= b b'≠

c c

- Cã mét nghiÖm nhÊt nÕu: a

a'≠ b b'

2) Trong chuyên đề III việc giải toán cách lập hệ phơng trình

vơ quan trọng (chiếm tỷ lệ cao việc thi lên lớp 10 THPT hàng năm) chúng tơi tập trung sâu vào tập phơng pháp giải tốn cách lập hệ phơng trình

VÝ dụ 3.1: Giải hệ phơng trình. a)

4x+7y=16 4x −3y=−24

¿{

¿

(1) b)

¿

(√5+2)x+y=3−√5

− x+2y=6−2√5

¿{

¿

(2) Lêi gi¶i

a)

¿

4x+7y=16 4x −3y=−24

⇔ ¿10y=40

4x+7y=14

⇔ ¿y=4

x=−3

¿{

Vậy nghiệm hệ phơng trình là: ¿

x=−3 y=4

¿{

¿

Chú ý: Trong hai phơng trình nên giữ lại phơng trình đơn giản nhất.

b) C1/ Từ phơng trình thứ hai, ta có: x = 2y+2√5−6 (*) thay vào phơng trình thứ ta đợc: (√5+2)(2y+2√5−6)+y=3−√5 ⇔y=3−√5

Vậy nghiệm hệ phơng trình là:

¿

x=0 y=3−√5

¿{

¿

C2/

¿

(√5+2)x+y=3−√5 − x+2y=6−2√5

¿{

¿

⇔

¿

−2(√5+2)x −2y=2(√5−3) − x+2y=6−2√5

¿{

¿

(3)

Cộng vế theo vế hai phơng trình hệ (3), ta đợc: x = 0, từ ta có y=3−√5

Chú ý: Mọi toán giải hệ phơng trình bậc hai ẩn, ta giải đợc phơng pháp cộng phơng pháp Nhng trớc giải bài, ta phải chọn phơng pháp đơn giản tiện lợi nhất.

VÝ dô 3.2: Cho hệ phơng trình:

kx y=5 (1) x+y=1 (2)

¿{

¿

a) Với giá trị k hệ phơng trình có nghịêm (x ; y) = (2 ; -1)

b) Với giá trị k hệ phơng trình có nghịêm ? Hệ phơng trình vô nghiệm

Lời giải

a) Thay x = 2, y = -1 vào phơng trình (1), ta đợc: 2k - (-1) = ⇒k=2 Và x = 2, y = -1 thỏa mãn phơng trình (2)

Vậy với k = 2, hệ phơng trình có nghiƯm lµ: (x ; y) = (2 ; -1) b) Hệ phơng trình có nghiệm k

1 −1

1 ⇔k ≠−1

HƯ ph¬ng trình vô nghiệm k

1= 1

1

1⇔k=−1

Một số vấn đề cần quan tâm giải toán cách lập hệ phơng trình + Mối liên hệ ba đại lợng vận tốc (v), quãng đờng (s) thời gian (t) tập chuyển động: s=vt;v=s

t ;t= s v

+ NÕu vËn tèc thùc cđa thun (ca nô) x km/h, vận tốc dòng chảy y km/h vận tốc thuyền (ca nô) xuôi dòng x + y km/h, ngợc dòng x – y km/h

+ Nếu đội hoàn thành cơng việc xong a (ngày) ngày đội làm đợc

a (c«ng viƯc)

+ Nếu ngời chuyển động ngợc chiều hai ngời gặp có tổng quãng đờng qng đờng ta xét

Ví dụ 3.3: (Tốn chuyển động)

Hai ngời hai địa điểm A B cách 3,6 km, khởi hành lúc, ngợc chiều gặp địa điểm cách A km Nếu hai giữ nguyên vận tốc nh trờng hợp trên, nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút họ gặp qng đờng Tính vận tốc ngời

Lêi gi¶i Gọi vận tốc ngời nhanh x (km/h)

Vận tốc ngời chậm y (km/h) ĐK: x > y >

Nếu hai ngời khởi hành đến gặp nhau, quãng đờng ngời nhanh đợc km, ngời chậm đợc 1,6 km, ta có phơng trình:

x= 1,6

y

Nếu ngời chậm khởi hành trớc (

10h ), ta có phơng trình: 1,8

x + 10=

Ta có hệ phơng trình:

2 x=

1,6 y 1,8

x + 10=

1,8 y

¿{

¿

giải ra đợc: x = 4,5; y = 3,6 (TMĐK)

Vận tốc ngời nhanh 4,5 km/h, vận tốc ngời chậm 3,6 km/h Ví dụ 3.4: (Tốn chuyển động)

Một tơ từ A đến B với vận tốc xác định thời gian định Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc tơ tăng 10 km/h thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc thời gian dự định ô tô

Lời giải Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h)

Và thời gian dự định ô tô y (h) ĐK: x > 10, y > 1/2 Do đó, quãng đờng AB xy (km)

Khi « t« gi¶m vËn tèc 10 km/h, ta cã PT: (x −10)(y+3

4)=xy3x40y=30 (1)

Khi ô tô tăng vận tốc 10 km/h, ta cã PT: (x+10)(y −1

2)=xy⇔− x+20y=10 (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh:

¿

3x −40y=30 − x+20y=10

¿{

¿ Giải ta đợc: x = 50, y = (TMĐK)

Vận tốc dự định ô tô là: 50 km/h, thời gian dự định là:

Ví dụ: 3.5: Hai cơng nhân sơn cửa cho cơng trình ngày xong việc Nếu ngời thứ làm chín ngày ngời thứ hai đến làm tiếp ngày xong cơng việc Hỏi ngời làm xong việc

Lời giải

Gọi thời gian ngời thứ làm xong công việc x (ngày) Thời gian ngời thứ âhi làm xong công việc y (ngày) ĐK: x > 4; y >

Một ngày ngời thứ làm đợc

x (c«ng viƯc)

Một ngày ngời thứ hai làm đợc

y (c«ng viƯc)

Hai ngời làm xong cơng việc ngày Do đó, ngày hai ngời làm đợc

4 (c«ng

viƯc)

Do ta có phơng trình

x+ y=

1

4 (1)

Ngời thứ làm ngày ngời thứ hai đến làm ngày xong cơng việc nên ta có phơng trình 10

x +

y=1 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình

1 x+

1 y=

1 10

x + y=1

¿{

¿

.Giải ta đợc (x; y) = (12; 6)(TMĐK)

VËy ngêi thø nhÊt làm 12 ngày xong công việc Ngời thứ hai làm ngày xong công việc

Vớ d 3.6: sửa nhà cần số thợ làm việc thời gian qui định Nếu giảm ngời thời gian kéo dài thêm sáu ngày Nếu tăng thêm hai ngời xong sớm dự định ngày Hỏi theo qui định cần thợ làm ngày, biết khả lao động thợ nh

Gọi số thợ cần thiết x (ngời) Thời gian cần thiết y (ngày) ĐK: x: nguyên dơng y dơng

Coi ton b cụng vic nh đơn vị cơng việc, ngời thợ ngày làm đợc

1

xy (c«ng việc)

Nếu giảm ba ngời thời gian kéo dài thêm ngày Nghĩa x (ngời) làm y + (ngày) xong công viƯc, tøc lµ (x −3)(y+6)

xy=1⇔(x −3) (y+6)=xy (1)

Tơng tự tăng thêm (ngời) cần y – (ngày), ta có phơng trình

(x+2)(y −2)

xy =1⇔(x+2)(y −2)=xy (2)

Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh

¿

(x −3)(y+6)=xy (x+2) (y −2)=xy

⇔ ¿x=8

y=10

¿{

¿

(TMĐK)

Bài tập luyện tập 3.1 Giải hệ phơng trình sau:

a)

10x 9y=8 15x+21y=0,5

¿{

¿

b)

¿

(√5+2)x+y=3−√5 − x+2y=6−2√5

¿{

¿ c)

¿

x+2y=−4 2x − y=7

¿{

¿

c)

¿

4x+3y=7 5x+2y=8

¿{

¿ e)

¿

4x+3y=1 2x −3y=5

¿{

¿

f)

¿

x − y=3 x3− y3=9

¿{

¿

g)

¿

x+y+xy=11 x2y+xy2=30

¿{

¿

h)

¿

xy=64 x−

1 y=

1

¿{

¿ t)

¿

x+y+xy=2+3√2 x2+y2=6

¿{

¿

m)

¿

x√y+y√x=12 x√x+y√y=28

¿{

¿

3.2 Cho hƯ ph¬ng tr×nh:

¿

mx− y=1 x

2− y 3=334

¿{

¿

a) Gi¶i hƯ phơng trình m =

b) Tỡm giỏ trị m để hệ phơng trình vơ nghiệm

3.3 Cho hệ phơng trình:

¿

2x −my=−3 mx+3y=4

¿{

¿

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Với giá trị nguyên m hệ cã nghiÖm ( x0; y0 ) tháa m·n:

x0<0, y0>0

(a/ x = -5/7, y = 11/7; b/ m = -2;-1;0;1;2) 3.4 Cho hệ phơng trình:

¿

mx+y=10 2x −3y=6

¿{

¿ a) Gi¶i hƯ m =

b) Tìm m để hệ phơng trình vơ nghiệm

(a/ x = 36/5,y = 14/5; b/ m = -2/3) 3.5 Cho hÖ phơng trình:

2x y=4 x+ay=1

¿{

¿

a) Khi a = 1, giải hệ phơng trình phơng pháp cộng

b) Tìm giá trị a để hệ phơng trình có nghiệm x = -3, y = -10 (a/ x = 5/3, y = -2/3; b/ a = -2/5)

3.6 Cho hệ phơng trình:

ax+y=3 (1) x −2y=2 (2)

¿{

¿

a) Khi a=1

2 , giải hệ phơng trình phơng pháp

b) Gi (D1) v (D2) lần lợt đờng thẳng có phơng trình (1) (2) - Tìm a để (D1) cắt (D2) điểm có tọa độ (2 ; 0)

- Tìm a biết có điểm A (D1) ®iĨm B trªn (D2)

tháa m·n:

¿

xA=xB≠0 yA+3yB=0

¿{

¿

(a/ x = 4, y = 1; b/ -/ a = 3/2, -/ a = 3/2) 3.7 Cho hệ phơng trình:

¿

mx− y=2m (1) x −my=1+m (2)

¿{

¿

a) Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm b) Xác định m để hệ phơng trình có nghiệm ngun

c) Chứng tỏ M(x ; y) với (x ; y) nghiệm hệ phơng trình ln nằm đờng thẳng cố định

d) Tìm giá trị m để biểu thức P = xy có giá trị lớn Tìm giá trị lớn ( với x, y nghiệm hệ phơng trình)

3.8 Tổng hai số 59 Hai lần số bé ba lần số Tìm hai số (34 25)

3.10 Hai nguời thợ xây tờng 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai xõy c

4 tờng

Hỏi ngời làm xây xong têng (12 vµ 18)

3.11 Tìm số có hai chữ số biết hai lần chữ số hàng chục lớn lần chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng d (Số 83)

3.12 Mét xe lửa phải vận chuyển lợng hàng Nếu xếp vào toa 15 hàng thừa lại tấn, xếp vào toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hµng (8 toa vµ 123 tÊn)

3.13 Hai đội xe chở cắt để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 12 ngày xong việc Nhng hai đội làm ngày Sau đội thứ làm tiếp ngày xong việc hỏi đội làm xong việc

(Đội thứ 21 ngày - đội thứ hai 28 ngày)

3.14 Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách 750 km ngợc chiều nhau, sau 10 chúng gặp Nếu xe thứ khởi hành trớc xe thứ hai 45 phút sau xe thứ hai đợc chúng gặp Tính vận tốc xe

(Xe thø nhÊt 40km/h - xe thø hai 35km/h) 3.15 Hai vòi nớc chảy vào bể nớc cạn, sau 4

5 đầy bể lúc

đầu mở vòi thứ nhất, sau mở tiếp vòi thứ hai sau

5 đầy bể

Hỏi vòi thứ hai chảy đầy bĨ (8 giê)

3.16 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp I vợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức kế hoạch 15%, hai xí nghiệp làm đợc 404 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch

( xí nghiệp I: 200 dụng cụ, xí nghiệp II: 160 dụng cụ). 3.17 Hai trờng A B có 210 học sinh thi đỗ hết lớp đạt tỉ lệ 84%.

Tính riêng trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90% Tính xem trờng có học sinh lớp dự thi

(Trêng A: 150, trêng B: 100)

3.18 Ba bình tích tổng cộng 120 lít Nếu đỗ đầy nớc vào bình thứ rót vào hai bình bình thứ ba đầy nớc cịn bình thứ hai đợc thể tích nó, bình thứ hai đầy nớc cịn bình thứ ba đợc phần ba thể tích Hãy xác định thể tích bình

( V1=50l ,V2=40l ,V3=30l )

3.19 Hai bến sông A B cách 40 km Một ca nô xuôi từ A đến B quay A với vận tốc riêng không đổi hết tất 15 phút Khi ca nô khởi hành từ A lúc đó, khúc gỗ trơi từ A theo dịng nớc gặp ca nơ đờng trở điểm cách A km Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nớc

3.20 Để làm xong công việc, A B làm giờ; B C làm 4,5 giờ; A C làm 36 phút Hỏi ba làm phải xong cơng việc

3.21 Một ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng sau gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe

3.21 Một ô tô từ A dự định đến B lúc 12 tra Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B lúc chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B lúc 11 tra Tính độ dài AB thời điểm xuất phát A

3.22 Hai vòi nớc chảy vào bể nớc cạn, sau 4

5 đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ nhất, sau mở vòi thứ hai sau

6

3.23 Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 1006 Nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng số d 124

chuyên đề IV Hàm s y=ax2(a 0

) - phơng trình bËc hai mét Èn

*) Mét sè kiÕn thøc trọng tâm 1 Hàm số y=ax2(a 0)

TH: a > 0

- Hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > 0, y = GTNN hàm số, đạt đợc x =

TH: a < 0

- Hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > 0, y = GTLN hàm số, đạt đợc x =

- Đồ thị hàm số y=ax2(a ≠0) tiếp xúc với đờng thẳng y = kx + c phơng trình ax2

=kx+c cã nghiƯm kÐp

2 Phơng trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a ≠0)

b2  4ac Δ'=b'

2

ac(b=2b')

* >0 phơng trình có hai nghiệm * '

>0 phơng trình có hai ph©n biƯt nghiƯm ph©n biƯt

x1=− b+√Δ 2a , x2=

− b −√Δ

2a x1=− b

' +√Δ a , x2=

−b'−

√Δ a

* Δ=0 phơng trình có nghiệm kép * '=0 phơng tr×nh cã nghiƯm kÐp

x1=x2=− b

2a x1=x2=−b

' a

* Δ<0 ph¬ng trình vô nghiệm * '

<0 phơng trình vô nghiệm Hệ thức Vi - ét ứng dụng

Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình : a x2

+bx+c=0,(a ≠0) th×

¿

x1+x2=−b a x1x2=c

a

¿{

Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta gi¶i phơng trình: x2Sx

+p=0

(K cú u v là: S2

−4P ≥0 )

* NÕu a + b + c = th× phơng trình ax2+bx+c=0 (a 0) có hai nghiệm: x1=1, x2=

c a

* NÕu a - b + c = phơng trình ax2

+bx+c=0 (a ≠0) cã hai nghiÖm: x1=−1, x2=−c

a

Ví dụ 4.1: Xác định hệ số a hàm số y=ax2 , biết đồ thị hàm số qua điểm A(-2 ; 1) Vẽ đồ thị hàm số

Lêi gi¶i

a) A(-2 ; 1) ⇒x=−2, y=1 , thay vào phơng trình y=ax2 ta đợc : −2¿2=1⇒a=1

4 a.¿

Vậy hàm số là: y=1 x

2 b) Vẽ đồ thị: Lập bảng giá trị vẽ Ví dụ 4.2: Cho hàm số y=1

4x

2

có đồ thị (P)

a) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm A B thuộc (P) xA=−2; xB=4

Lời giải a) Điểm A thuộc (P) có xA=2 yA=

1 x

2A

=1 TT: yB 4 Phơng trình đờng thẳng qua A(-2; 1) B(4; 4) y=1

2x+2

b) Phơng trình đờng thẳng song song với AB y=1

2x+k (d)

Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) ⇔1

4x

2

=1

2x+k cã nghiÖm kÐp

⇔x2−2x −4k=0 cã nghiÖm kÐp ⇔Δ'=1+4k=0⇔k=−1

4

Toạ độ điểm M (1;1 4)

Ví dụ 4.3: Cho đờng thẳng có phơng trình 2(m−1)x+(m−2)y=2(d)

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt Parabol y=x2 hai điểm A B b) Tìm toạ độ trung điểm AB theo m

Lêi gi¶i

a) XÐt hƯ

¿

2(m−1)x+(m −2)y=2 y=x2

⇒(m−2)x2+2(m−1)x −2=0

¿{

(1)

Để (d) cắt Parabol y=x2 hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt

⇔

a=(m −2)≠0 Δ'

>0

⇔ ¿m≠2

Δ'=m2−3>0 ⇔

¿ ¿m≠2

m>√3

¿

m<−√3

¿ ¿

b) Gọi I trung điểm cđa AB th× xI=xA+xB =

− b 2a=

1− m m−2 I∈(d)⇔2(m −1)xI+(m−2)yI=2⇔2(m−1).1− m

m−2+(m −2)yI=2⇔ yI=

2(m2− m−1) (m−2)2

Ví dụ 4.4: Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) có phơng trình y = mx +

a) Chøng minh với giá trị m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B

b) Tìm giá trị m để tam giác OAB có diện tích Lời giải

XÐt ph¬ng trình tơng giao x2=mx+1x2mx1=0 (1)

a) Vì phơng trình (1) có hệ số a c trái dấu nên phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

Do ú (d) luụn ct (P) hai điểm phân biệt A B mà xA<0<xB

SAOB=SOAI+SOIB=|xA| OI+|xB|.OI

2 =

|xA|+|xB| =

xB− xA =√

Δ a =√

m2+4 =√m

2

+4

V× SAOB=3⇒√m2

+4=3⇔m2=5⇔m=±√5

Bài tập vận dụng 4.1 Vẽ đồ thị hàm số (P): y=−x

2

4 đờng thẳng (D): y = 2x + hệ trục

tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phơng pháp đại số 4.2 Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P) qua A(1 ; 1)

a) Xác định a

b) Gọi (D) đờng thẳng qua A cắt tia Ox điểm M có hồnh độ m ( m )

* Viết phơng trình đờng thẳng (D)

* Với giá trị m (D) tiếp xúc víi (P)

4.3 Cho Parabol (P) có phơng trình: y=x2 đờng thẳng (D) có phơng trình: y=x+m2+1

a) Chứng minh với m, (D) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Ký hiệu xA, xB lần lợt hoành độ điểm A điểm B Hãy xác định giá trị tham số m cho: xA2+xB2=10 (b/ m = ±√2 )

4.4 Cho hàm số y=ax2 có đồ thị (P)

a) Xác định a biết (P) qua điểm A( -2 ; -1) vẽ (P) b) Gọi B điểm (P) có hồnh độ

Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (D) tiếp xúc với (P) song song với AB

4.5 Vẽ Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (D): y = -x + hệ trục tọa độ Tìm tọa độ giao điểm (P) (D) phơng pháp đại số

4.6 Cho Parabol (P): y=1 2x

2

đờng thẳng (d): mx + y =

a) Chứng minh m thay đổi (d) qua điểm cố định C b) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B

c) Xác định m để AB có độ dài nhỏ Tính diện tích tam giác AOB ứng với giá trị tìm đợc m

d) Chứng minh trung điểm I AB m thay đổi nằm Parabol cố định

4.7 Cho (P)

2 y x

đờng thẳng (d) y = mx -2m -1 a) Vẽ (P) tìm m để (d) tiếp xúc với (P)

b) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định với giá trị tham số m

c) Viết phơng trình đờng thẳng (k) vng góc với đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)

d) Viết phơng trình đờng thẳng (l) song song với (d) tiếp xúc với (P) Ví dụ 4.5: Cho phơng trình: x2+(m+1)x+5− m=0 (1)

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm -1 Tìm nghiệm cịn lại b) Giải phơng trình m = -6

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Với m tìm đợc câu c, viết hệ thức x ❑1 x2 độc lập m

Lêi gi¶i a) Phơng trình (1) có nghiệm -1 nên:

−1¿2+(m+1)(−1)+5−m=0⇒m=5

Khi ta có phơng trình: x2

+7 2x+

5

2=0 nghiệm lại PT là:

2

b) Víi m = -6 ta cã PT: x2−5x+11=0 có =19<0 phơng trình vô nghiệm

c) Ta có: =m2+6m19

Phơng trình (1) có hai nghiệm ph©n biƯt Δ=m2

+6m−19 >0

Ta xÐt dÊu Δ

m −3−2√7 -3+2 √7

Δ + - +

VËy m < −3−2√7 hc m > -3+2 7 phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Ta cã: x1+x2=− m−1 (1); x1x2=− m (2)

Tõ (2) suy ra: m = − x1x2+5 , thay vào (1): x1+x2=x1x26 Vậy hệ thức cần tìm là: x1+x2 x1x2+6=0

Ví dụ 4.6: Giải phơng trình sau: a) x4

−4x2+3=0 b) x+ x¿

2

−4(x+1

x)+3=0

¿

Lêi gi¶i

a) Đặt x2=t (ĐK: t≥0) Khi phơng trình đẫ cho trở thành: t2

−4t+3=0

Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: t1=1, t2=c

a=3 (TMĐK)

* Với t1=1x2=1x=1 * Với t2=3x2=3x=3

Vậy phơng trình cã nghiÖm : x = -1; 1; √3;−√3 b) ĐK: x 0 Đặt x+1

x=t

Ta đợc: t2−4t

+3=0 Theo c©u a/ t1=1, t2=

c a=3

* t1=1⇒x+

1

x=1 (PT v« nghiƯm)

* t2=3⇒x+1

x=3⇔x

2

−3x+1=0 ⇔x1=3+√5 ; x2=

3−√5

Ví dụ 4.7: Cho phơng trình x22(m1)x

+m22=0 (I)

a) Giải phơng trình (I) m = -2

b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt? c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ?

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x12+x22=4

e) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1=2x2 f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu

g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng

i) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

j) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện 2x1−4x2=−3 Lời giải

a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thµnh: x2

+6x+2=0 Ta cã Δ'=b'2

−ac=32−1 2=7>0→ phơng trình có nghiệm phân biệt

x1=3+7

1 =−3+√7; x2=

−3−√7

1 =−3−√7

b) Phơng trình (I) có nghiệm '0(m 1)21.(m22)02m+30m3

Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt '>0(m1)21.(m22)>02m+3>0m<3

c) Phơng trình (I) có hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔c

a<0⇔m

2−2<0⇔−

√2<m<√2

d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m≤3

Khi theo hệ thức Vi-et ta có: x1+x2=−b

a =2(m−1); x1x2=

c a=m

2−2 Do x12+x22=4 ⇔(x

1+x2)

−2xxx2=4⇔[2(m−1)]2−2 (m2−2)=4⇔2m2−4m+2=0

⇔(x −1)2=0⇔x=1 (TM§K)

e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m≤3

Khi theo Vi-et đề ta có

¿

x1+x2=2(m−1) (1)

x1x2=m2−2 (2) x1=2x2 (3)

¿{ {

¿ Tõ (1) vµ (3) ta cã x2=2(m−1)

3 ; x1=

4(m −1)

3 thay vào (2) ta đợc m=−8+3√10

¿

m=−8−3√10

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

2(m−1)

4(m−1) =m

2

−2⇔8(m−1)2=9(m2−2)⇔m2+16m −26=0

⇔

¿

f) Phơng trình (I) có nghiệm dấu

⇔

Δ'≥0 c a>0

⇔ ¿m≤3

2 m>√2

¿

m<−√2

¿ ¿⇔

¿

√2<m≤3

¿ ¿

m<−√2

¿ {

g) Phơng trình (I) có nghiƯm cïng ©m

⇔

Δ'≥0 − b

a <0 c a>0

⇔ ¿m ≤3

2 m−1<0

¿

m2−2>0

⇔ ¿m ≤3

2 m<1 m>√2

¿

m<−√2

¿ m<2

h) Phơng trình (I) cã hai nghiƯm cïng d¬ng

⇔

Δ'≥0 − b

a >0 c a>0

⇔ ¿m≤3

2 m>1

¿

m>√2

¿

m<−√2

¿ ¿⇔√2<m≤3

2

¿ ¿ ¿ i) Phơng trình (I) có nghiệm

a+b+c=012(m1)+m22=0m22m+1=0(m1)2=0m=1 Khi nghiệm cịn lại x2=c

a= m2−2

1 = 12−2

1 =−1

j) Ph¬ng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: 2x14x2=3

ĐK: m3

2 (để phơng trình có nghiệm)

Theo hệ thức Vi-et yêu cầu toán, ta có:

¿

x1+x2=2(m −1) (1)

x1x2=m2−2 (2) 2x1-4x2= -4 (3)

¿{ {

Tõ (1) vµ (3) ta cã x1=4m−6 ;x2=

2m

3 thay vào (2), ta đợc 4m −6

3 2m

3 =m

2

−2⇔2m(4m−6)=9(m2−2)⇔m2+12m−18=0⇔ m=−6+3√6

¿

m=−6−3√6

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

(TM)

Bµi tËp vËn dơng

4.8 Cho phơng trình: x2−2(m+3)x+4m −1 (1) a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng

b) T×m mét hƯ thøc liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m 4.9 phơng trình x22(m+1)(m+3)=0 (1)

a) Giải phơng tr×nh (1) m = -2

b) Chứng tỏ phơng trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m c) Viết hệ thức hai nghiệm phơng trình độc lập với tham s m

4.10 Cho phơng trình: (m3)x22 mx+m+2 (1)

a) Giải phơng trình với m = -5

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phõn bit

d) Giả sử x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1), tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc x12+x22

e) ViÕt hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vµo m 4.11 (TS: L10: 2006 - 2007)

Cho phơng trình: x22(m+2)x+m29=0 (I) a) Giải phơng trình (I) víi m =

b) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt

c) Gọi hai nghịêm phân biệt phơng trình (I) x1 x2 Hãy xác định giá trị m để: |x1− x2|=x1+x2

(a/ x=3±√17;b/m>−13

4 ;c/m=3 )

4.12 Cho phơng trình bậc hai: x2mx

+m1=0 (I) a) Giải phơng trình (I) với m =

b) Chứng minh phơng trình (I) lu«n cã nghiƯm víi mäi m

c) Gäi x 1 x2 nghiệm phơng trình (I) TÝnh x ❑1 + x2 vµ x

❑1 . x2 theo m Tìm giá trị m để x12+x22 đạt giỏ tr nh nht

4.13 Giải phơng trình: a) 4x4−5x2−9

=0 b) (x+1 x)

2

−8(x+1

x)+7=0

c) x(x + 1)(x + 4)(x + 5) = 12 4.14 Giải phơng tr×nh:

a) x2

+2(√3+1)x+2√3=0 b) x2−5x −14=0

4.15 Cho phơng trình bậc hai: x2

−2x − m2−4=0

a) Chứng tỏ phơng trình cho ln có hai nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình cho Tìm m để: x12+x22=20

c) Giải phơng trình m = -2 4.16 Cho phơng trình: 2x2

4.17 Cho phơng trình: x2(m+5)x m+6=0 (1) a) Giải phơng trình víi m =

b) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm x = -2

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn

A=x12+x22=13

4.18 Cho phơng trình: x2−2(m+1)x+m2−4m+5=0 (có ẩn số x) a) Định m để phơng trình có nghiệm

b) TÝnh x12+x22 theo m (víi x1, x2 nghiệm phơng trình)

4.19 Cho phơng trình: x22(m1)x

+2m4=0 (có ẩn số x)

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) T×m GTNN cđa y = x12+x22 (víi x1, x2 nghiệm phơng trình)

4.20 Cho phơng trình: x22(m1)x+m 3=0 (có ẩn số x)

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối 4.21 Cho phơng trình: x2

−2x+m=0 Víi giá trị m phơng trình: a) Có nghiƯm ?

b) Cã hai nghiƯm d¬ng ? c) Có hai nghiệm trái dấu ?

4.22 Cho phơng trình: x2 2(m1)x2m1 (1) a) Giải phơng trình (1) m =

b) CMR víi mäi giá trị tham số m phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt

c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thoả mãn x12x2

d) Viết biểu thức liên hệ x x1, 2không phụ thuộc vào

4.23 Cho phơng trình: a+1

=0 ax2−2(a+1)x

+¿ (1) a) Tìm giá trị a để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2

b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị a để phơng trình (1) có nghiệm khác x1=3x2

4.24 Cho ph¬ng trình: x22(m3)x 1=0 với m tham số (1)

a) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm (-2)

b) Chứng tỏ phơng trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu với m Chuyên đề V

Giải toán cách lập phơng trình Dạng 1: Tốn chuyển động

Chó ý

+ Mối liên hệ ba đại lợng vận tốc (v), quãng đờng (s) thời gian (t) tập chuyển động: s=vt;v=s

t ;t= s v

+ NÕu vËn tèc thùc cđa thun (ca nô) x km/h, vận tốc dòng chảy y km/h vận tốc thuyền (ca nô) xuôi dòng x + y km/h, ngợc dòng x – y km/h VÝ dô 5.1: (TN.THCS: 2002)

Một ca nơ chạy xi dịng từ bến A đến bến B, quay trở lại A tổng cộng Biết quãng đờng AB dài 30 km vận tốc dịng chảy km/h Tính vận tốc ca nơ nớc n lặng

Lêi gi¶i

Gọi vận tốc ca nô nớc yên lặng x (km/h): ĐK: x >

Vì ca nơ đợc vịng, nên theo ta có phơng trình: 30

x+4+ 30

x −4=4 Gi¶i

ra ta đợc: x1=−1 (loại); x2=16 (TMĐK)

VËy vËn tèc cña ca nô nớc yên lặng là: 16 km/h Ví dơ 5.2:

Một ca nơ xi dịng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nơ

Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc thực ca nô ( ĐK x > 4) Vận tốc xi dịng ca nô là: x + (km/h) Vận tốc ngợc dịng ca nơ : x – (km/h) Thời gian ca nô đến lúc gặp bè nứa 8:4 = (giờ) Thời gian xi dịng ca nô 24

x+4 (giê)

Thời gian ngợc dịng đến chỗ gặp bè nứa ca nơ 16

x −4 (giê)

Theo bµi ta có phơng trình 24

x+4+ 16

x −4=2

Giải phơng trình ta đợc x = 20 (TMĐK); x = (loại) Vậy vận tốc thực ca nô 20km/h

VÝ dô 5.3:

Một ngời xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc ơtơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18km/h Sau hai xe gặp nhau, xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe

Lời giải Gọi vận tốc xe đạp x (km/h) (ĐK: x > 0) Vận tốc ôtô x + 18 (km/h)

Quãng đờng từ chỗ gặp đến B 4x (km) đến A 108 – 4x (km) Thời gian xe đạp đến chỗ gặp: 108−4x

x (giê)

Thời gian ôtô đến chỗ gặp: 4x

x+18 (giê)

Theo bµi ta có phơng trình 1084x

x =

4x

x+18⇒2x

2

−9x −486=0

Giải ta đợc x = 18 (TMĐK); x = -13,5 (loại)

Vậy vận tốc xe đạp 18 km/h vận tốc ơtơ 36 km/h Ví dụ 5.4:

Một ôtô dự định từ A đến B với vận tốc 40 km/h Khi cịn cách trung điểm qng đờng 60 km xe tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên đến B sớm dự định Tính quãng đờng AB

Lời giải Gọi 2x (km) quãng đờng AB (ĐK: x > 0) Thời gian dự định từ A đến B là: 2x

40 = x

20 (giê)

Thời gian đoạn đờng đầu là: x −60

40 (giê)

Thời gian đoạn đờng sau là: x+60

50 (giê)

Theo ta có phơng trình x 60

40 + x+60 50 +1=

x

20→ x=140

Vậy quãng đờng AB 280 km

Bµi tËp vËn dông

5.2 Một ôtô quãng đờng dài 520 km Khi đợc 240 km ơtơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết qng đờng cịn lại Tính vận tốc ban đầu ôtô, biết thời gian hết quãng đờng ( ĐS: 60 km/h)

5.3 Một xe ô tô tải xe ô tô du lịch từ tỉnh A đến tỉnh B quãng đờng dài 300 km, khởi hành lúc Vận tốc xe ô tô du lịch lớn vận tốc xe ô tô tải 10 km/h, nên ô tô du lịch đến trớc xe ô tô tải Tính vận tốc xe

5.4 Hai ô tô khởi hành lúc quãng đờng từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trớc ô tô thứ hai 2/5 Tính vận tốc xe

5.5 Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời từ A B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do đến B trớc xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quảng đờng AB dài 100 km

5.6 Một ngời dự định từ A đến B cách 36 km thời gian định Đi đ-ợc nửa đờng, ngời nghỉ 18 phút nên để đến B hẹn ngời phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc ban đầu (ĐS: 10 km/h)

5.7 Một thuyền khởi hành từ bến sơng A Sau 20 phút ca nô khởi hành từ A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20 km Tìm vận tốc thuyền, biết vận tốc ca nô nhanh thuyền 12 km/h (ĐS: 3km/h)

5.8 Một ôtô khởi hành tự A đến B cách 240 km sau, ôtô thứ hai khởi hành từ A đến B với vận tốc lớn vận tốc ôtô thứ 10 km/h nên đuổi kịp ôtô thứ quãng đờng AB Tính vận tốc ca mi xe

(ĐS: 30 km/h 40 km/h)

5.9 Lúc ôtô từ A đến B Lúc 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc ơtơ 24 km/h Ơtơ đến B đợc 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe, biết quãng đờng AB dài 120km (ĐS: 48 72)

5.10 Một ca nơ xi dịng nớc từ bến A đến bến B, lúc ngời đi từ bến A dọc theo bờ sông hớng bến B Sau chạy đợc 24 km, ca nô quay trở lại gặp ngời địa điểm C cách bến A km Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng, biết vận tốc ngời vận tốc dòng nớc 4km/h (ĐS: 20 km/h)

Dạng 2: Toán suất (Làm chung làm riêng; ) Chú ý

Nu mt đội hồn thành cơng việc xong a (ngày) ngày đội làm đợc

a (c«ng viƯc)

VÝ dơ 5.5:

Để hồn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ hai đợc điều làm việc khác, tổ hoàn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc ?

Lêi gi¶i

Gọi x (giờ) thời gian tổ hồn thành cơng việc (ĐK x > 0) Trong tổ làm đợc

x (c«ng viƯc)

Trong hai tổ làm đợc

6 (c«ng viƯc)

Trong tổ hai làm đợc

6− x=

x −6

6x (c«ng viƯc)

Thời gian tổ hai hoàn thành công việc 6x

x −6 (giê)

Trong hai tổ làm đợc

3 (c«ng viƯc)

Phần việc lại tổ làm 11 3=

2

Ta có phơng trình 10 x=

2

3⇒x=15

VËy tæ hoàn thành công việc 15 Tổ hai HTCV 10 giê VÝ dô 5.6:

Hai vòi nớc chảy vào bể nớc đầy Nếu vòi chảy nửa bể nghỉ cho vòi hai chảy tiếp cho đầy bể tổng cộng Hỏi vòi chảy riêng đầy bể

Lời giải

Tổng thời gian vòi vòi hai chảy đầy bể 8.2 = 16 (giờ) Gọi x (giờ) thời gian vòi chảy đầy bể ( < x < 16) 16 x (giờ) thời gian vòi hai chảy đầy bể

Ta có phơng trình:

x+ 16− x=

1

Giải ta đợc x = 12 (TMĐK); x = -4 (K.TMK)

Vậy vòi chảy đầy bể 12 giờ, vòi hai chảy đầy bể Ví dô 5.7:

Lớp 9A đợc phân công trồng 480 xanh Lớp dự định chia cho số học sinh, nhng lao động có bạn vắng nên bạn có mặt phải trồng thêm xong Tính số học sinh lớp 9A

Lời giải Gọi x số học sinh lớp 9A (x nguyên, x > 8) Theo dự định học sinh phải trồng 480

x (c©y)

Thùc tÕ, em trồng 480

x 8 (cây)

Ta có phơng trình 480

x 8 480

x =3⇔x

2

−8x −1280=0

Giải ta đợc x = 40 (TMĐK); x = -32 (K.TMĐK) Vậy số học sinh lớp 9A 40

VÝ dụ 5.8:(Đề thi vào lớp 10 tỉnh NA năm học 2006-2007)

Trong mét kú thi tun sinh líp 10, hai trờng THCS A B có tất 450 häc sinh dù thi BiÕt sè häc sinh tróng tun cña trêng A b»ng 3/4 sè häc sinh dù thi cđa trêng A, sè häc sinh tróng tun cđa trêng B b»ng 9/10 sè häc sinh dù thi cña trêng B Tỉng sè häc sinh tróng tun cđa hai trêng b»ng 4/5 sè häc sinh dù thi cđa c¶ hai trờng Tính số học sinh dự thi trờng

Lêi gi¶i

Gọi số học sinh dự thi trờng A x (ĐK: < x < 450 & x Z ) Do đó: số học sinh dự thi trờng B là: 450 - x

Sè häc sinh tróng tun cđa trêng A lµ: 3x

4 ; cđa trêng B lµ:

9(450− x)

10

Theo ta có phơng trình: 3x

4 +

9(450− x) 10 =

4 450 x=300 (TMĐK)

Vây số học sinh dù thi cđa trêng A lµ: 300; cđa trêng B là: 150 Bài tập vận dụng

5.11 Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm nêm xe chở Hỏi lúc đầu đoàn xe có chiÕc? (§S:12 chiÕc)

5.12 Lớp 9A dự định trồng số sân trờng; em trồng tổng số trồng vợt mức dự định 52 cây; em trồng tổng số trồng mức dự định 24

Tính số học sinh lớp 9A số dự định trồng

(ĐS: Số học sinh lớp 9A: 38; Số dự định trồng: 100)

A

5.14 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vợt mức 18% tổ hai vợt mức 21% Vì thời gian qui định họ hoàn thành vợt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm đợc giao tổ theo kế hoạch ?

5.15 Trong phịng có 80 ngời họp, đợc xếp ngồi dãy ghế Nếu ta bớt hai dãy ghế dãy ghế cịn lại phải xếp thêm hai ngời đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế đợc xếp bao nhiờu ngi ngi ?

Dạng 3: Toán hình chữ nhật, tam giác vuông, Chú ý

+ Hình chữ nhật có cạnh a b thì: Chu vi là: 2.(a + b) Diện tÝch lµ S = a.b VÝ dơ 5.9: Mét khu vờn hình chữ nhật có chiều dài

4 chiỊu réng vµ cã diƯn tÝch

b»ng 179m2 TÝnh chu vi khu vên Êy.

Lêi giải Gọi x(m) chiều rộng khu vờn (ĐK x > 0) ChiỊu dµi khu vên lµ:

4 x(m)

Theo ta có phơng trình x.7

4 x=1792x=32 (giá trị âm x loại)

Chiều rộng khu vờn 32(m), chiều dài khu vờn 56(m) Do chu vi khu vờn là: 176 (m)

Ví dụ 5.10:(Đề thi vào lớp 10 tỉnh NA năm học 2009-2010)

Mt tha rung hỡnh chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45 m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng thay đổi

Lêi giải

Gọi chiều rộng ruộng hình chữ nhật x(m), (ĐK x > 0) Chiều dài ruộng hình chữ nhật x + 45 (m)

Chu vi ruộng hình chữ nhật là: 2.(2x + 45) (m)

Nếu giảm chiều dài lần tăng chiều rộng lần chu vi ruộng khơng thay đổi , nên ta có phơng trình: 2{x+45

2 +3x}=2(2x+45)⇔7x+45=4x+90⇒x=15

Vậy chiều rộng ruộng 15 (m), chiều dài 60 (m) Do diện tích ruộng 15 60=900(m2) .

Bµi tập vận dụng 5.16 Một khu vờn hình chữ nhật cã chiỊu réng b»ng

5 chiỊu dµi vµ cã diƯn tÝch b»ng

360 m ❑2 TÝnh chu vi khu vên Êy (§S: 84m)

5.17 Tính kích thớc hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2 , biết tăng kích thớc lên cm diện tích tăng 48 cm 2 (5m 8m)

5.18 Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m Tính cạnh góc vuông, biết chúng 2m (ĐS: 6m 8m)

5.19 Mt mnh vờn hình chữ nhật có diện tích 320m2 Nếu tăng chiều rộng thêm 10m giảm chiều dài 16 m diện tích mảnh đất khơng thay đổi Tính kích thớc mảnh vờn (ĐS: 10m 32m)

Phần II: Hình học Chuyên đề VI

B C H a b c h , b , c  

1 b2 ab, 2 c2

=ac, 3 a2=b2+c2

4 h2 =b,c, 5 a.h = b.c 6

h2= b2+

1 c2

7 b = a.sinC = a cosC; c =asinC = acosB; 8 b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgB; 9 sinα=c

a; cosα= b

a; tgα= c

b; cotgα= b c

10 NÕu α+β=900⇒Sinα=cosβ ; cosα=sinβ ; tgα=cotgβ

Ví dụ 6.1: Cho tam giác ABC vng A, có AB = 12 AC = Tính độ dài đờng cao AH tam giác

Lêi gi¶i

Gäi AH = h, BC = a, CA = b = 5, AB = c = 12, HB = c ❑,

Vµ HC = b ❑,

C¸ch 1

Sư dơng hƯ thøc:

h2= b2+

1 c2

⇒h2= b

2

c2

b2+c2⇒h=√ b2c2 b2+c2=√

122 52 122+52=

60 13

C¸ch 2

áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

a=√b2+c2=√122+52=13 L¹i cã: ac,=c2⇒c,=c

2 a= 122 13 = 144 13

áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng AHB, ta có: AH2

=AB2−BH2

144 13 ¿

2

¿

122−¿

⇒h=√c2− c,2=√¿

Ví dụ 6.2: Cho hình thang ABCD có ∠ B = ∠ C = 90 ❑0 , hai đờng chéo vng góc với H Biết AB=3√5 cm, HA=3 cm Chứng minh rằng:

a/ HA : HB : HC : HD = : : : b/

AB2 −

1 CD2=

1 HB2 −

1 HC2

Lêi gi¶i

a) Muốn chứng tỏ HA, HB, HC, HD tỉ lệ với 1,2,4,8 trớc tiên ta tính độ dài đoạn thẳng đó:

¸p dơng hƯ thøc: b2

=ab, vào tam giác vuông ABC ta đợc: AB2=AC AH⇒AC=AB2

AH =15 cm⇒HC=12cm

¸p dơng hƯ thøc: h2

=b,c, vào tam giác

vuụng BAC CBD ta đợc:

BH2=HA HC=36⇒BH=6 cm;CH2=HB HD⇒HD=24 cm VËy: HA: HB : HC : HD = : : 12 : 24 = : : : b) ¸p dơng hƯ thøc:

h2= b2+

1

c2 vào tam giác vuông BAC CBD ta đợc:

HB2= AB2+

1 BC2 ;

1 HC2 =

1 BC2+¿

1 CD2

Trừ vế hai đẳng thức ta đợc:

HB2 − HC2=

1 AB2 −

1 CD2 A B C H

5 h 12

VÝ dô 6.3: Cho cotgα=a

2

− b2

2 ab α góc nhọn, a > b > Tính cos α

Lêi gi¶i Ta cã: cotgα=a

2

− b2

2 ab ⇒tgα= ab a2−b2

a2− b2¿2 ¿

a2− b2¿2 ¿

a2

+b2¿2 ¿ ¿ ¿ ¿

1+4a

2b2 ¿

1+tg2α=

cos2α ⇒cos

2

α= 1+tg2α=

1

¿

6.1 Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, đờng phân giác AD Biết AB = 63 cm, CH = 112cm, tính HD

6.2. Cho tam giác ABC vuông A Các đờng trung tuyến AD BE vng góc với G Biết AB = √6 cm Tính cạnh huyền BC

6.3 Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đờng thẳng CD F

Chøng minh r»ng:

AB2= AE2+

1 AF2

6.4 Tính giá trị cđa biĨu thøc: C=5cos2α

+2sin2α biết sinα=2 chuyên đề VII

Các tập tứ giác nội tiếp đờng trịn

Trong phần chúng tơi giới thiệu số chủ đề quan trọng thờng gặp trong các đề thi gần đây.

a Các tốn tứ giác nội tiếp đờng trịn. b Qu tớch

c Ba điểm thẳng hàng

d Các toán tỉ số cạnh, diện tích tam giác, e Chứng minh im ng qui.

f Tia phân giác, góc nhau, g Diện tích, thể tích hình & mặt,

Cỏch chng minh mt t giác nội tiếp đờng tròn C1) Chứng minh tổng số đo hai góc đối 180 ❑0 .

C2) Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện. C3) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai cịn lại dới một góc α

C4) Chứng minh tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác

Để chứng minh tỉ số cạnh: Phần lớn dựa vào tính chất tam giác đồng dạng, tính chất đờng phân giác,

VÝ dơ 28:(TN THCS: 2004 - 2005)

Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R; H điểm nằm O B Đờng thẳng vng góc với AB H cắt nửa đờng tròn C Gọi I trung điểm cung AC

A  B

O H

C



I



K

c/ Trong trêng hỵp OH =

3 R , Chøng minh BIIK (K trung điểm

OA)

Lời giải: a/ Tứ giác OICH nội tiếp đờng trũn:

Ta có: OIAC ( T/c dây cung không qua tâm ) CIO900 (1)

Mặt khác: CHA900 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: I H nhìn CO dới góc vuông

Do t sgiác OICH nội tiếp đờng trịn đờng kính CO b/ AI.AC = AO.AH

XÐt ΔAIO vµ ΔAHC cã:

Δ Δ



   

   

0

H I 90 (c/m trª n)

AIO AHC(g.g) ¢ chung

⇒AI

AH= AO

AC ⇒AI AC=AO AH

c/

OH=1

3R (gt)= 3OC⇒

OH OC=

1

3 (3) IK//=1

2OC⇒IK= 2R BK=3

2R

}

⇒IK

BK=

3 (4) Tõ (3) vµ (4)⇒OH

Oc = IK BK(¿

1

3) hay Δ OHC Δ KIB

Mµ H 900  I 900 hay BI⊥IK VÝ dô 29: (TN.THCS: 2001 - 2002):

Cho hai đoạn thẳng AB AC vng góc với ( AB < AC ) Vẽ đờng tròn tâm O đờng kính AB đờng trịn tâm O ❑' đờng kính AC Gọi D giao điểm thứ hai

hai đờng trịn

a/ Chứng minh: Ba điểm B, D, C thẳng hàng

b/ Gọi giao điểm OO ❑' với cung nhỏ AD đờng tròn (O) N Chứng

minh A phân giác góc DAC

Lời giải: a/ Chứng minh: ba điểm B, D, C thẳng hàng (hình H1) Ta có: ADB = 90 ❑0 ( góc nội tiếp nhắn nửa đờng trịn) ADC = 90 ❑0 ( góc nội tiếp nhắn nửa đờng trịn)

Do đó: ADB + ADC = 180 ❑0 ⇒ ba điểm B, D, C thẳng hàng. b/ Chứng minh AI phân giác góc DAC

Nhận thấy: OO ❑' đờng trung bình tam giác ABC, OO

❑' //BC

Mặt khác AD⊥BC (c/m )

OO ❑' AD ⇒DN=NA (t/c đờng kính dây cung )

Do đó: DAI = CAI hay AI phân giác góc DAC

VÝ dơ 30:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn ( O ; R) , hai đờng cao AD BE cắt









 

A

B

C D

O

'

O

N

t¹i H ( D∈BC, EAC,AB<AC ) (hình H1) a/ Chứng minh tứ giác AEDB, CDHE

tứ giác nội tiếp

b/ Chøng minh: CE.CA = CD.CB vµ DB.DC = DH.DA (hình H1) c/ Chứng minh OC vuông gãc víi DE

d/ Đờng phân giác AN góc A tam giác ABC cắt BC N cắt đờng (O) K ( K khác A) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đờng tròn (O)

Lời giải:

a/ Tứ giác AEDB có AEB = ADB = 90 0 A E nhìn AB díi mét gãc 90 ❑0

VËy AEDB t giác nội tiếp

Tứ giác CDHE có: CDA + CEH = 90 ❑0 VËy tø gi¸c CDHE nội tiếp. b/ Xét hai tam giác vuông: CEB vµ CDA cã:

C chung ⇒Δ CEB Δ CDA

⇒CE

CD= CB

CA hay CE CA=CB CD

XÐt hai tam gi¸c vuông DBH DAC có:

DBH = DAC (cựng chắn cung DE đờng tròn ngoại tiếp AEDB)

⇒Δ DBH Δ DAC ⇒DB

DA = DH

DC ⇒DB DC=DH DA

c/ KỴ tiÕp tuyÕn Cx cña (O), ta cã: ACx = ABC (gãc nội tiếp chắn cung AC) (1) DEC = BAC ( góc tứ giác nội tiếp ABDE) (2) Tõ (1) vµ (2), ta cã ACx = DEC (ở vị trí so le trong)

DE//Cx mà OC Cx ( Cx tiếp tuyến) OCDE d/ Nèi KC, ta cã: NCK = BAK = BAC

2 ( cïng ch¾n BK)

NAC = BAC

2 ( AN phân giác )

NAC = NIC

2 (gãc néi tiÕp - góc tâm)

NKC=NIC

Ta lại cã: NIC=180

0

−NIC

2 (do tam giác NIC cân I )

ICN+NCK=180

0

2 − NIC

2 + NIC

2 ⇒ICK=90

0 .

Ta có CI cắt (O) M (3) Vậy tam giác MCK vuông C M , C , K∈(O) Do MK qua O (4) Từ (3) (4) suy KO CI cắt M (O)

VÝ dô 31:

Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB Điểm H nằm hai điểm A B ( H không trùng với O) Đờng thẳng vng góc với AB H, cắt đờng tròn điểm C Gọi D E lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ H đến AC BC

a/ Tø gi¸c HDCE hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh ADEB tứ giác nội tiếp

c/ Gi K l tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB Chứng minh DE = 2KO Lời giải

a/ XÐt tø gi¸c HDCE, cã:

ACB ¿900 ( góc nội tiếp chắn đờng tròn) (1)

H

A

B D C

O

K

N

M

E

I

x

C



O

H

M

E

F

A B

Q

I

x y

P

K

HEC = 90 ❑0 (gt) (2) HDC = 90 ❑0 (gt) (3) Tõ (1), (2) vµ (3) suy tứ giác HDCE hình chữ nhật

b/ XÐt tø gi¸c ADEB, cã:

ADE + HBE = 90 ❑0 + HDE + HBE (4) Ta cã: HDE + DEH = 90 ❑0 vµ HBE + BHE = 90

❑0

Mặt khác BHE + EHC = 90 ❑0 mà DEH = EHC, (t/c hình chữ nhật). Từ ta có: HBE = HED

Do HDE + HBE = 90 ❑0 (5) Từ (4) (5) suy tứ giác ADEB nội tiếp đờng tròn

c/ Nối B với K cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB F

Ta có OK = AF ( t/c đờng trung tuyến tam giác ) (6) Ta có: AF//CH ( vng góc với AB) (*) EH//CA ( theo câu a) Ta chứng minh E, H, F thẳng hàng: Thật

Cã: EBH = DHA ( v× cïng phơ víi EHB)

AFH + FHA = 90 ❑0 mỈt khác CBA = AFH ( góc nội tiêpd chắn cung AC) Suy ra: FHA + AHD = 90 ❑0 mặt khác DHE = 90

0 ( theo câu a) F, H, E thẳng

hàng

Do HF//AC (**) Từ (*) (**) suy ra, tứ giác ACHF hình bình hành, CH = AF

Hay AF = DE (7) Từ (6) (7), ta có đpcm

Vớ dụ 32: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc đờng tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By E F

a/ Chøng minh tø gi¸c AEMO néi tiÕp

b/ AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? c/ Vẽ MH AB, MH cắt EB K So sánh MK KH

d/ Cho AB = 2R Gọi r bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh:

3< r R<

1

Lêi gi¶i: a/ EMO = EAO = 1v

⇒ tứ giác AEMO nội tiếp đờng trịn đờng kính EO

b/ EM = EA; OM = OA ⇒ OE đờng trung trực AM

⇒OE⊥AM⇒MPO=900

T¬ng tù: MQO=900

và AMB = 1v (nội tiếp đờng trịn)

Tø gi¸c MPOQ cã góc vuông nên hình chữ nhật c/ Gọi I giao điểm BM Ax, ta có:

EA = EM ⇒ EMA = EAM

⇒ EIM = EMI ⇒ EI = EM = EA MH // IA nên theo định lí Tales ta có:

MK EI =

BK BE =

KH

EA Mặt khác EI = EA nên MK = KH

A B

H

D

 

O

K

d/ Chú ý: “Trong tam giác vuông cạnh huyền a, cạnh góc vng b c, đờng cao h bán kính đờng trịn nội tiếp r ta cú: a.h=r.(a+b+c)=2 S

Trong tam giác vuông EOF cã: EF.OM = r.(OE + OF + EF) EF.R = r.(OE + OF + EF)

⇒ r

R= EF

OE+OF+EF mµ OE+OF>EF ⇒ r R=

EF

OE+OF+EF< EF

2 EF=

Mặt khác: OE+OF+EF<3 EF r

R= EF

OE+OF+EF> EF

3 EF=

VËy

3< r R<

1

116 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ đờng trịn đờng kính BH cắt Ab E nửa đờng trịn đờng kính CH cắt AC F Chứng minh rằng:

a/ Tø giác AEHF hình chữ nhật

b/ EF l tiếp tuyến chung hai đờng trịn đờng kính BH CH c/ Tứ giác BCFE nội tiếp

117 Cho đờng trịn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho

AI=2

3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I

Gọi C điểm tùy ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng với M, N B Nối AC cắt MN E

a/ Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp

b/ Chøng minh ΔAME Δ ACM vµ AM2=AE AC c/ Chøng minh AE AC−AI IB=AI2

d/ Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ

upload.123doc.net Cho đờng trịn (O;R), đờng thẳng d khơng qua O cắt đờng tròn hai điểm A B Từ điểm C d (C nằm đờng tròn) kẻ hai tiếp tuyến CM; CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt CN K

a/ Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b/ Chứng minh KN.KC = KH.KO

c/ Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I Chứng minh I cách CM; CN; MN d/ Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ

119 Cho đờng trịn tâm O, bán kính R có AB đờng kính cố định cịn CD đờng kính di động Gọi d tiếp tuyến đờng tròn kẻ từ B, d cắt đờng thẳng AC, AD lần lợt P Q

a/ Chøng minh tø gi¸c CPQD néi tiÕp

b/ Xác định vị trí CD để diện tích tứ giác CPQD ba lần diện tích tam giác ACD

120 Cho hai đờng tròn (O ❑1 ) (O ❑2 ) cắt A B, tiếp tuyến chung với

hai đờng tròn (O ❑1 ) (O ❑2 ) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O ❑1 ) và

(O ❑2 ) theo thứ tự C D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I a/ Chứng minh IA vng góc với CD

b/ Chøng minh tø gi¸c IEBF néi tiÕp

c/ Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF

121 Cho đờng tròn (O;R), hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA Trên tia đối tia AB lấy điểm S Nối SC cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H Chứng minh:

a/ BMD = BAC Từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b/ HK//CD

122 Cho Tam giác ABC vuông A có AB > AC, đờng cao AH Trên mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ đờng trịn đờng kính BH cắt AB E, vẽ đờng trịn đờng kính HC cắt AC F

a/ Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b/ Chøng minh AE.AB = AF.AC

c/ Chøng minh BEFC tứ giác nội tiếp

d/ Biết góc B b»ng 30 ❑0 , BH = 4cm TÝnh diÖn tích hình viên phân giới hạn dây BE vµ cung BE

123 Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AG, BE, CF cắt H

a/ Chứng minh tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp Xác định tâm I đờng tròn ngoại tiếp tứ giác

b/ Chøng minh AF.AC = AH.AG

c/ Chứng minh GE tiếp tuyến đờng tròn (I)

d/ Cho bán kính đờng trịn tâm (I) 2cm, BAC = 50 ❑0 Tính độ dài cung FHE đờng tròn tâm I diện tích hình quạt trịn IFHE (làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai)

124 Cho đờng tròn (O,R) đờng kính AB cố định.Qua A B vẽ tiếp tuyến với đờng tròn (O)

Từ điểm M tùy ý đờng tròn ( M khác A B) vẽ tiếp tuyến thứ ba với đ-ờng tròn cắt tiếp tuyến A B theo thứ tự tơng ứng H K

a/ Chứng minh tứ giác AHMO tứ gi¸c néi tiÕp b/ Chøng minh AH + BH = HK

c/ Chứng minh ΔHAO ΔAMB đồng dạng HO MB=2R2 .

d/ Xác định vị trí điểm M đờng trịn cho tứ giác AHKB có chu vi nhỏ

125 Cho tam giác ABC (AB = AC) Các đờng cao AG, BE, CF cắt H

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Xác định tâm I đờng trịn ngoại tiếp tứ giác

b) Chứng minh GE tiếp tuyến đờng tròn tâm I c) Chứng minh AH.BE = AF.BC

d) Cho bán kính đờng trịn I r BAC = α Hãy tính độ dài đờng cao BE tam giác ABC

126 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB điểm C thuộc cung AB Vẽ CH vng góc với AB Gọi I, K lần lợt tâm đờng tròn nội tiếp tam giác CAH, CBH Đờng thẳng IK cắt CA, CB lần lợt M N

a) Chøng minh tø gi¸c MIHA néi tiÕp b) Chøng minh CM = CN

c) Xác định vị trí C để tứ giác ABMN nội tiếp đợc

d) Vẽ CD vuông góc với MN CMR C chuyển động cung AB CD ln qua điểm cố định

127 (Đề thi vào THPT Hà Nội 2009 - 2010).

Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đờng trịn đờng kính BH cắt AB E nửa đờng trịn đờng kính CH cắt AC F Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF hình chữ nhật

Giới thiệu số đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Trong năm gần đây

Tun sinh vµo líp 10 THPT - NghƯ An Năm học 2006 - 2007 (120 Phút)

Bài 1(2,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc:

1−√x¿2 ¿

P=(

√x − x+ 1−√x):

√x+1

¿

a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm x để P >

Bµi (1,5 ®iĨm):

Trong mét kú thi tun sinh líp 10, hai trêng THCS A vµ B cã tÊt c¶ 450 häc sinh dù thi BiÕt sè häc sinh tróng tun cđa trêng A b»ng 3/4 sè häc sinh dù thi cđa trêng A, sè häc sinh tróng tun cña trêng B b»ng 9/10 sè häc sinh dù thi cđa trêng B Tỉng sè häc sinh tróng tun cđa hai trêng b»ng 4/5 sè häc sinh dù thi cña hai trờng Tính số học sinh dự thi trờng

Bài (2,5 điểm):

Cho phơng trình: x22(m+2)x+m29=0 (I) a) Giải phơng trình (I) với m =

b) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt

c) Gọi hai nghịêm phân biệt phơng trình (I) x1 x2 Hãy xác định giá trị m để: |x1− x2|=x1+x2

Bài (4 điểm): Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R, M điểm nằm đờng trịn cho cung AM lớn cung BM (M khác B) Đờng thẳng d tiếp tuyến M nửa đờng (O ; R) Kẻ AD, BC vng góc với d (D C thuộc đờng thẳng d)

a) Chøng minh M trung điểm đoạn thẳng CD b) Chøng minh AD.BC = CM ❑2 .

c) Chứng minh đờng trịn đờng kính CD tiếp xúc với đờng thẳng AB

d) Kẻ MH vng góc với đờng thẳng AB (H thuộc đờng thẳng AB) Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác DHC 1/4 diện tích tam giác AMB

HÕt

Tun sinh vµo líp 10 THPT - Nghệ An Năm học 2007 - 2008 (120 Phút)

Phần I trắc nghiệm (2 điểm)

Em hóy chọn phơng án trả lời phơng án (A, B, C, D) câu sau, ghi phơng án chọn vào làm.

Câu Đồ thị hàm số y = 3x - cắt trục tung điểm có tung độ là:

A 2; B -2; C 3; D

3

Câu Hệ phơng tr×nh ¿

x − y=1 x+y=3

¿{

¿

cã nghiƯm lµ:

C©u Sin300 b»ng: A

2; B.√

2 ; C √

2 ; D

√3

Câu Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đờng tròn (O) Biết MNP = 700 Góc MQP có số đo là:

A 1300; B 1200; C 1100; D 1000

PhÇn II Tù luËn ( điểm)

Câu (3 điểm) Cho biểu thøc A=( √x

√x −1− x −√x):

1

√x −1

a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị x cho A <

c) Tìm tất giá trị tham số m để phơng trình A√x=m−√x có nghiệm Câu (2 điểm) Hai xe máy khởi hành lúc từ A đến B Xe máy thứ có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy thứ hai 10 km/h, nên đến tr-ớc xe máy thứ Tính vận tốc trung bình xe máy, biết quãng đ-ờng AB dài 120 km

Câu ( diểm) Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB Điểm H nằm hai điểm A B ( H không trùng với O) Đờng thẳng vng góc với AB H, cắt đờng tròn điểm C Gọi D E lần lợt chân đờng vng góc kẻ từ H đến AC BC

a/ Tø gi¸c HDCE hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh ADEB tø gi¸c néi tiÕp

c/ Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB Chứng minh DE = 2KO - Hết

-TuyÓn sinh vào lớp 10 THPT - Nghệ An Năm học 2009 - 2010 (120 Phút)

Câu I (3,0 điểm): Cho biÓu thøc A=x√x+1 x −1 −

x −1

√x+1

1) Nêu điều kiện xác định rút gọn A 2) Tính giá trị A x =

4

3) Tìm tất giá trị x để A < Câu II (2,5 điểm): Cho phơng trình bậc hai

2x2−(m+3)x+m=0 (với m tham số) (1) 1) Giải phơng tr×nh (1) m =

2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1+x2=

5

2x1x2

Câu IV (3,0 điểm): Cho đờng trịn (O;R), đờng kính AB cố định CD đờng kính thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến đờng tròn (O;R) B cắt đờng thẳng AC AD lần lợt E F

1) Chøng minh r»ng BE BF=4R2

2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đợc đờng tròn

3) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I nằm đờng thẳng cố định /

- HÕt

-TuyÓn sinh vào lớp 10 THPT - Nghệ An Năm học 2010 - 2011 (120 Phút)

Câu I (3,0 điểm).Cho biểu thøc A= √x

√x −1−

√x+1− x −1

1) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x =

3) Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm GTNN B = A(x – 1) Câu II (2,0 điểm) Cho phơng trình bậc hai (tham số m).

x2(m+1)x+2m 2=0 (1) 1) Giải phơng trình (1) m =

2) Tìm giá trị tham số m để x = -2 nghiệm phơng trình (1)

Câu III (1,5 điểm) Hai ngời làm chung cơng việc sau 30 phút họ làm xong Nếu ngời thứ làm giờ, sau ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc 75% công việc

Hỏi ngời làm sau xong công việc? (Biết suất làm việc ngời không thay đổi)

Câu IV (3,5 điểm) Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A O ) Đờng thẳng qua điểm H vng góc với AO cắt nửa đ-ờng trịn (O) C Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Tiếp tuyến nửa đờng tròn (O) D cắt đờng thẳng HC E Gọi I giao điểm AD HC

1) Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đờng tròn 2) Chứng minh tam giác DEI tam giác cân

3) Gọi F tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ICD Chứng minh góc ABF có số đo không đổi D thay đổi cung BC (D khác B C)