Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Mục lục Môc lôc Phần I: đại sè .1 Chñ đề 1: Căn thức Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa D¹ng 2: BiÕn đổi đơn giản thức Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét D¹ng 1: Giải phơng trình bậc hai Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiƯm, v« nghiƯm Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc.7 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình cã nghiƯm, cã nghiƯm kÐp, v« nghiƯm Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mÃn điều kiện cho trớc .9 Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai víi mét sè .9 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phơ thc tham sè 10 D¹ng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bËc hai 10 Chủ đề 3: Hệ phơng trình 11 A - Hệ hai phơng trình bËc nhÊt hai Èn: 11 Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng 11 Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ 12 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mÃn điều kiƯn cho tríc .12 B - Một số hệ bậc hai đơn giản: .13 Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 13 Dạng 2: Hệ đối xứng lo¹i II .13 D¹ng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số 14 Chủ đề 4: Hàm số đồ thÞ .15 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 15 Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 15 Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol 15 Chđ ®Ị 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình .16 Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) 16 Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) 16 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm .16 Dạng 4: Toán có nội dung hình học 16 Dạng 5: Toán tìm số 17 Chđ ®Ị 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai 17 Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu 17 Dạng 2: Phơng trình chứa thức 17 D¹ng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 17 Dạng 4: Phơng trình trùng phơng .17 Dạng 5: Phơng trình bậc cao 18 Phần II: Hình häc 19 Chđ ®Ị 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 19 Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 19 Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy .21 Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 22 Chđ ®Ị 5: Chøng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học 22 Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích 23 Chñ ®Ị 7: To¸n q tÝch 23 Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học không gian 24 Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) 1) 3x − 8) x2 + 2) − 2x 9) x2 − 3) 10) 11) 7x − 14 2x − 4) 3− x 5) x+3 7−x 7) 2x − x 2x − 5x + 12) 7x + 6) x − 3x + x − 5x + 13) x −3 3x 5−x 6x − + x + 14) + Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đa thừa số vào dấu a) ; b) x (víi x > 0); x c) x ; d) (x − 5) Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) ( 28 − 14 + ) ⋅ + ; d) b) ( − + 10 )( − 0,4) ; e) c) (15 50 + 200 − 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 + 14 + 20 − 14 ; x ; 25 − x e) x + + − 5; 11 + − 11 − +7 −3 −7 3 h) 26 + 15 − 26 − 15 Bµi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh 3− 216 − )⋅ 8−2 Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) ( a) c) b) (4 + 15 )( 10 − 6) − 15 3+ − 3− − 14 − 15 − + ): 1− 1− 7− 5+2 5−2 + 5− 5+ Bµi 6: Rót gän biĨu thøc: − + − 15 (3 − 5) + + (3 + 5) − b) 4− − 4+ + d) e) 6,5 + 12 + 6,5 − 12 + Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: 1 a) − b) − 24 + + 24 + c) c) 3 +1 −1 − 3 −1 +1 3+ 3− + 3− 3+ d) + 10 x2 Ôn thi vào lớp 10 theo chđ ®Ị a) + − 13 + 48 c) b) + + 48 − 10 + 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau: a) a b +b a ab : a− b , víi a > 0, b > vµ a ≠ b a + a a − a − , víi a > vµ a ≠ b) + a + a −1 a a − + 2a − a ; a−4 d) ⋅ 5a (1 − 4a + 4a ) 2a − c) 3x + 6xy + 3y 2 e) ⋅ x − y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A = x − 3x y + 2y, x = −2 ;y = 9+4 b) B = x + 12x − víi x = 4( + 1) − 4( − 1) ; )( ( ) c) C = x + y , biÕt x + x + y + y + = 3; d) D = 16 − 2x + x + − 2x + x , biÕt 16 − 2x + x − − 2x + x = e) E = x + y + y + x , biÕt xy + (1 + x )(1 + y ) = a Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán x Bài 1: Cho biểu thøc P = x −1 − a) Rót gän P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ cña P a2 + a 2a + a − + Bµi 2: XÐt biĨu thøc A = a − a +1 a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, hÃy so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa A 1 x − + Bµi 3: Cho biÓu thøc C = x − 2 x + 1− x a) Rót gän biĨu thøc C b) Tính giá trị C với x = c) Tính giá trị x để C= 3 Ôn thi vào lớp 10 theo chđ ®Ị a − 1 + a − b2 a − b2 a Bµi 4: Cho biĨu thøc M = a) Rót gän M b : 2 a− a −b a = b c) Tìm điều kiện cđa a, b ®Ĩ M < x −2 x + (1 − x) ⋅ − Bµi 5: XÐt biĨu thøc P = x −1 x + x + 1 a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P x x + x +1 − − Bµi 6: XÐt biÓu thøc Q = x −5 x +6 x −2 3− x a) Rót gän Q b) T×m giá trị x để Q < c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên x−y x − y3 x − y + xy : − Bµi 7: XÐt biĨu thøc H = x− y x−y x+ y a) Rót gän H b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi H a a : − Bµi 8: XÐt biÓu thøc A = 1 + a + a − a a + a − a − a) Rút gọn A b) Tìm giá trị a cho A > c) Tính giá trị cña A nÕu a = 2007 − 2006 b) Tính giá trị M ( Bài 9: Xét biÓu thøc M = ) 3x + 9x − x +1 x −2 − + x+ x −2 x + 1− x a) Rót gän M b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên 15 x − 11 x − 2 x + + − Bµi 10: XÐt biĨu thøc P = x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị cña x cho P = 2 c) So s¸nh P víi a Bµi 11: Cho biĨu thøc: P = − 2 a a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P > Bµi 13: Cho biĨu thøc: A = a) Rót gän A b) Tìm a để A = 1+ a + a −1 a +1 − a +1 a −1 1− a +1 Ôn thi vào lớp 10 theo chđ ®Ị x +2 x − x +1 − Bµi 14: Cho biĨu thøc: A = x + x +1 x −1 x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyen x cho A có giá trị nguyên a a a a + a + Bµi 15: Cho biĨu thøc A = a− a − a+ a : a−2 a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyªn ( ) x x −1 x x + 1 x − x +1 Bµi 16: Cho biÓu thøc: A = x− x − x+ x : x −1 a) Rót gän A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyªn x − + − víi x ≥ 0; x ≠ Bµi 17: Cho biĨu thøc: A = x + x − x a) rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Bài 18: Cho biểu thức: A = x + x +1 x +1 a) Rót gän A b) Tìm giá trị nguyên x để Bài Tập bổ sung Bài 1: Giải phơng trình: x − 100 x − 800 = a) x + 3x − − =2 d) x+3 x −1 b) x −1 + x −1 − x ( víi x ≥ 0; x ≠ 1) nhận giá trị nguyên A x 5x + − =0 c) e) − x = − x − x( x + 2) −5 = f) x = x Bài 2: Giải bất phơng trình: x 60 x 100 x − x + − 5x > − < a) b) 10 25 c) ( x + 2) + x − ≥ ( x + 2)( x − 3) Thực phép tính, rút gọn biểu thức chứa bËc hai: Bµi 1: TÝnh a) 20 − b) 27 − 48 : e) 12 − f) i) 144 49 0,01 64 + 10 m) 21 + 35 ( ) ( ) 18 + 32 − 50 6−2 n) −1 d) g) ( − 3) + ( − 2) − k) c) − 18 ( l) )( ) ( ( h) ( )( +1 −7 ( ) )( p) + − − + − 16 − + 7: b) − 50 − 18 + 200 − 162 ) q) Bµi 2: TÝnh: a) 48 + 27 − 12 : ) ) −1 c) 3+ + 3− 36 : 15 45 Ôn thi vào lớp 10 theo chđ ®Ị d) 5− 5+ + 5+ 5− e) 3+ 3 + 2+ 2 +1 ( − 2+ ) f) 6+2 + 62 Bài 3: Phân tích thừa sè a) − + 15 − b) − a + − a ( víi – < a < ) c) x − d) x + x + e) f) x − y + xy − y a − b + a b − ab Bµi 4: Rót gän: a) A= 25a − 25a víi a < b) B = 49a + 3a víi a ≥ c) C = x + x + x + víi x < - d) D = a ( a − ) + a víi a < Bµi 5: Rót gän biÓu thøc: 3x a) A = 7y c) C = 49 y víi x > 0; y < 9x 25a + 49a − 64a víi a > Bài 6: Giải phơng trình: a) x − x + 14 = b) d) D = ) víi x > - y x + xy víi x > 0; y > 0; x ≠ − y x− y 2x − = − d) 12 x − x + 48 x = 14 e) ( x + xy + y b) B = x − y2 c) x − 20 + x − − x − 4x + − 2x + = x − 45 = f) x +1 − x − = Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai Bài 1: Giải phơng trình 1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải phơng trình sau c¸ch nhÈm nghiƯm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 2 5) 3x – 19x – 22 = ; 6) 5x + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm 1) x2 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 2 3) x – (2m – 3)x + m – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 2 5) x – (2m + 3)x + m + 3m + = ; 6) x – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 2 7) x – 2mx – m – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax + (ab + 1)x + b = Bµi 2: a) Chøng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biệt phơng trình sau có hai nghiệm phân biết: 1 + + = (Èn x) x−a xb xc Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phơng trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiƯm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiÖm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phơng trình (Èn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) x2 - 4ax + b2 = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chøng minh r»ng c¸c phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau): 2b b + c x+ =0 b+c c+a 2c c + a bx − x+ =0 c+a a+b 2a a + b cx − x+ =0 a+b b+c ax − (1) (2) (3) víi a, b, c số dơng cho trớc Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = BiÕt a ≠ vµ 5a + 4b + 6c = 0, chøng minh phơng trình đà cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu hai điều kiện sau đợc thoả mÃn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 – 3x – = TÝnh: 2 A = x1 + x ; C= B = x1 − x ; 1 + ; x1 − x − D = ( 3x1 + x )( 3x + x1 ); E = x1 + x ; F = x1 + x 1 vµ x1 − x2 − Bµi 2: Gäi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá trị biểu thức sau: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm 3 A = 2x1 − 3x1 x + 2x − 3x1x ; 1 x x1 x x B= + + + − − ; x x x x + x1 x + 2 3x + 5x1x + 3x C= 2 4x1x + 4x1 x Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Bµi 3: a) Gäi p vµ q lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng trình hÃy thành p q lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm q p b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ 1 vµ 10 − 72 10 + Bài 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x – m = a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với m b) Với m 0, lập phơng trình Èn y tho¶ m·n y1 = x1 + 1 vµ y = x + x2 x1 Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thức sau: A = ( 3x1 − 2x )( 3x − 2x1 ) ; B= x1 x + ; x − x1 − C = x1 − x2 ; D= x1 + x + + x1 x2 Bài 6: Cho phơng trình 2x2 – 4x – 10 = cã hai nghiÖm x1 ; x2 Không giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1 Bài 7: Cho phơng trình 2x2 3x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: x1 y1 = x2 b) x2 y = x y = x + a) y = x + Bài 8: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: x x y1 + y = + x x1 a) ; y1 y + = 3x + 3x y y1 y1 + y = x + x 2 b) y + y 2 + 5x + 5x = Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiệm x1 ; x2 HÃy lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 + y = 1 1 + vµ + = x1 + x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Bài 1: a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x m = (ẩn x) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + = T×m m để phơng trình có nghiệm a) Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a = Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Bài 2: 4x 2( 2m 1) x a) Cho phơng trình: + m2 − m − = 2 x + 2x + x +1 Xác định m để phơng trình có nghiệm b) Cho phơng tr×nh: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phơng trình có nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 1) X¸c định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 tho¶ m·n 2x1 – x2 = - 7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 2 d) x – (2m + 1)x + m + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x22 2 f) x – 4x + m + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phơnmg tr×nh: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm b) Ch phơng trình bậc hai: x2 mx + m = Tìm m để phơng trình có hai nghiÖm x1 ; x2 2x1x + cho biểu thức R = đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn x1 + x + 2(1 + x1x ) c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phơng trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiƯm (k > 0) lµ : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Bài 1: a) Cho phơng tr×nh x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 < b) Cho phơng trình 2x2 + (2m 1)x + m = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chøng minh r»ng phơng trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) T×m giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng tr×nh: x2 – mx + m = cã nghiƯm thoả mÃn x1 - x2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 – = a) Chøng minh r»ng ph¬ng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m x1 x + = c) Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n: x x1 2 Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x – 2(m + 1)x + m = a) Gi¶i biện luận phơng trình theo m b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập víi m - T×m m cho |x1 – x2| Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k 0) lần nghiệm phơng trình kia: Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + bx + c = (2) hệ sè a, b, c, a’, b’, c’ phơ thc vµo tham số m Định m để cho phơng trình (2) cã mét nghiƯm b»ng k (k ≠ 0) lÇn nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau: i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình: ax + bx + c = (*) 2 a' k x + b' kx + c' = Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a 0) (4) Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng víi ta xÐt hai trêng hỵp sau: i) Trêng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: 10 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề ( ) < ∆ ( ) < Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: (3) ≥ Δ (4) ≥ S(3) = S(4) P = P (4) (3) Chó ý: Bằng cách đặt y = x hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc Èn nh sau: bx + ay = −c b' x + a' y = c' Để giải tiếp toán, ta làm nh sau: - Tìm điều kiƯn ®Ĩ hƯ cã nghiƯm råi tÝnh nghiƯm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mÃn y = x2 - Kiểm tra lại kết Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bµi 2: Víi giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x + mx – = 0; mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bài 3: Xét phơng trình sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 4: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1) Bài 5: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng Bài 6: Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho phơng tr×nh: x2 – 5x + k = (1) x2 7x + 2k = (2) Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1) Chủ đề 3: Hệ phơng trình A - Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng Bài 1: Giải hệ phơng trình 11 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề 3x 2y = 1) ; 2x + y = 3x − 4y + = 4) ; 5x + 2y = 14 4x − 2y = 2) ; 6x − 3y = 2x + 5y = 5) ; 3x − 2y = 14 Bài 2: Giải hệ phơng trình sau: ( 3x + )( 2y − 3) = 6xy 1) ; ( 4x + 5)( y − 5) = 4xy y + 27 2y - 5x +5 = − 2x 3) ; 6y − 5x x +1 +y= 2x + 3y = 3) 4x + 6y = 10 4x − 6y = 6) 10x − 15y = 18 ( 2x - 3)( 2y + ) = 4x ( y − 3) + 54 2) ; ( x + 1)( 3y − 3) = 3y( x + 1) − 12 7x + 5y - x + 3y = −8 4) 6x - 3y + 10 = 5x + 6y D¹ng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phơng trình sau + x + 2y y + 2x = 1) ; − =1 x + 2y y + 2x ( ( ) ) 3x − x +1 y + = 2) ; 2x − =9 x +1 y + 2 x − 2x + y + = 4) ; 3 x − 2x − y + + = 3y x +1 + x −1 y + = 3) ; − =4 x −1 y + 5 x − − y + = 5) 2 4x − 8x + + y + 4y + = 13 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài 1: a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1) 2mx − ( n + 1) y = m − n ( m + ) x + 3ny = 2m b) Định a b biết phơng trình: ax - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2 Bài 2: Định m để đờng thẳng sau ®ång quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bµi 3: Cho hệ phơng trình mx + 4y = 10 m (m lµ tham sè) x + my = a) Giải hệ phơng trình m = b) Giải biện luận hệ theo m c) Xác định giá tri nguyên m để hệ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng e) Định m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) cho S = x2 y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tơng tự với S = xy) f) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) điểm M(x ; y) nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác ( m 1) x my = 3m Bài 4: Cho hệ phơng tr×nh: 2x − y = m + a) Giải biện luận hệ theo m 12 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm nhÊt (x ; y) mµ P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác định m để hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x2 + 2y = (Hc: cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2) e) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác x + my = Bài 5: Cho hệ phơng trình: mx 2y = a) Giải hệ phơng trình m = b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ x > y < c) Tìm số nguyên m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ x, y số nguyên d) Tìm m để hƯ cã nghiƯm nhÊt (x ; y) mµ S = x y đạt giá trị lớn B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x + y + xy = 11 Ví dụ: Giải hệ phơng trình 2 x + y + 3( x + y ) = 28 Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng tr×nh sau: x + y + x + y = 1) x + y + xy = xy + x + y = 19 3) 2 x y + xy = 84 x + xy + y = 2) x + xy + y = 2 x − 3xy + y = −1 4) 3x − xy + 3y = 13 ( x + 1)( y + 1) = 10 6) ( x + y )( xy − 1) = 2 x + xy + y = 19( x − y ) 8) x − xy + y = 7( x − y ) x y + y x = 30 10) x x + y y = 35 ( x + 1)( y + 1) = 5) x ( x + 1) + y( y + 1) + xy = 17 x + xy + y = + 7) x + y = ( x − y ) − ( x − y ) = 9) 5( x + y ) = 5xy D¹ng 2: Hệ đối xứng loại II x + = 2y Ví dụ: Giải hệ phơng trình y + = x Bài tập tơng tự: Giải hệ phơng trình sau: 13 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề x + = 3y 1) y + = 3x x = 2x + y 3) y = 2y + x x y + = y 2) xy + = x x + xy + y = 4) x + xy + y = y x − 3y = x 6) y − 3x = x y x − 2y = 2x + y 5) y − 2x = 2y + x 2x + y = x 7) 2y + = x y x = 3x + 8y 8) y = 3y + 8x x − 3x = y 9) y − 3y = x x = 7x + 3y 10) y = 7y + 3x Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Giải hệ phơng trình sau: x + y = 1) x + xy + = x − xy − y = 12 2) xy − x + y = 2 xy − x + x = −4 3) x − xy + y − x = x + y + xy − 11 = 4) xy + y − x = 2( x + y ) − 3( x + y ) − = 5) x − y − = x − y + = 7) 2 y − x = 5( x − y ) + 3( x − y ) = 6) 2 x + y = 12 2 x + y − xy = 9) 2 x + y − xy − y = 3x + 2y = 36 11) ( x − 2)( y − 3) = 18 x − y = 8) x − y + = 2x − 3y = 10) 2 x − y = 40 xy + 2x − y − = 12) xy − 3x + 2y = xy + x − y = 13) xy − 3x + y = x + y − 4x − 4y − = 14) x + y + 4x + 4y − = x ( x − 8) + 3y( y + 1) = −6 15) 2x ( x − 8) + 5y( y + 1) = 14 14 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Chủ đề 4: Hàm số đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x ; Bài 2: Vẽ đồ thị hàm sè y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vuông góc với đờng thẳng (d): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo víi chiỊu d¬ng trơc Ox mét gãc 300 e) (d) ®i qua E(0 ; 4) vµ ®ång quy víi hai ®êng th¼ng f) (∆): y = 2x – 3; (∆’): y = 3x điểm g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k 1)x + k với k tham số a) Định k ®Ĩ (d) ®i qua ®iĨm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y = c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = d) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) HÃy tìm a vẽ đồ thị (P) b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hoành độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB Bµi 2: Cho hµm sè y = − x 2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi (P) Bài 3: Trong hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y = x đờng th¼ng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) Tìm m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chøng tá r»ng (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bµi 4: Cho hµm sè y = − x 2 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hoành độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm Bài 5: Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b 1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2) 4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C ;−1 vµ cã hƯ sè gãc m 2 a) Viết phơng trình (d) b) Chứng tỏ qua ®iĨm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ở câu 2) vuông góc với 15 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dòng nớc chảy) Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quÃng đ ờng AB thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc quÃng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quÃng đờng lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A ®Õn bÕn s«ng B víi vËn tèc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngợc Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Bài 1: Hai ngời thợ làm chung công việc giê 12 th× xong NÕu ng êi thø nhÊt lµm giê vµ ngêi thø hai làm hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm công việc xong? Bài 2: Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc hồ Nếu vòi A chảy vòi B chảy 30 phút đợc hồ Hỏi chảy mỗI vòi chảy đầy hồ Bài 3: Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy? Bài 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhËt cã chu vi lµ 280 m Ngêi ta lµm lèi ®i xung quanh vên (thuéc ®Êt vên) réng m TÝnh kÝch thíc cđa vên, biÕt r»ng ®Êt lại vờn để trồng trọt 4256 m2 Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: 16 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán tìm số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d Bài 3: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 Bài 4: Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng Tìm phân số Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu Giải phơng trình sau: x x+3 + =6 x − x −1 2x − x+3 b) +3 = x 2x − t2 2t + 5t c) +t = t −1 t +1 a) D¹ng 2: Phơng trình chứa thức Loại Loại Giải phơng trình sau: A (hayB 0) A= B⇔ A = B B ≥ A=B⇔ A = B a) 2x − 3x − 11 = x − b) c) 2x + 3x − = x + d) ( x + 2) = 3x − 5x + 14 ( x − 1)( 2x − 3) = −x − e) ( x − 1) x − 3x Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải phơng trình sau: a) x + x = x + b) x + − 2x + = x + 2x + c) x + 2x + + x + x = x − 4x d) x + − x − 4x + = 3x Dạng 4: Phơng trình trùng phơng Giải phơng trình sau: a) 4x4 + 7x2 = ; c) 2x4 + 5x2 + = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 17 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Dạng 5: Phơng trình bậc cao Giải phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; 4 c) x + x – 2x – x + = ; d) x = (2x2 – 4x + 1)2 Bµi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 1 d) 4 x + − 16 x + + 23 = x x 21 f) − x + 4x − = x − 4x + 10 x 48 x 4 h) − − 10 − = x 3 x c) x − x + x − x + = e) x2 + x −5 3x + +4=0 x x + x −5 ( ) ( ) g) 2x + 3x − − 2x + 3x + + 24 = i) 2x 13x + =6 2x − 5x + 2x + x + k) x − 3x + + x = 3x + Bµi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bài tập nhà: Giải phơng trình sau: a) + = 2( x − 1) x − b) 4x x +3 + =6 x +1 x c) 2x + x−2 −x = x−4 d) x + 2x − 2x − + =8 x2 −9 x − 3x + a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = c) x2 – 4x – 10 - e) b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = ( x + 2)( x − 6) b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 2x − 2x − d) − 4 +3= x+2 x+2 =0 x + − x + x( − x ) = a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 18 Ôn thi vào líp 10 theo chđ ®Ị 1 c) 3 x + − 16 x + + 26 = x x 1 d) 2 x + − 7 x − + = x x a) x − 4x = x + 14 b) 2x + x − = x − c) 2x + 6x + = x + d) x + 3x + = x − e) 4x − 4x + + x − = x − f) x + x − = x + x + Định a để phơng trình sau có nghiÖm a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 2 c) 2t – 2at + a – = Phần II: Hình học Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L a) Chứng minh DI = IL = LE b) Chøng minh tø gi¸c BCED hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có đờng chéo vuông góc với I a) Chøng minh r»ng nÕu tõ I ta h¹ đờng vuông góc xuống cạnh tứ giác đờng vuông góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác đà cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng tròn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần lợt M N a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì? c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách ®Ịu ®iĨm E, G, A, H d) Khi c¸t tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng tròn phía hình vuông Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chøng minh PH, BI, AM ®ång qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tứ giác APMH hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn Bài 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng tròn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: 19 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung ®iĨm M cđa BC a) Chøng minh tø giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng tròn b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chøng minh r»ng ®iĨm A, I, F, H, E nằm đờng tròn Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng: a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp b) Tø gi¸c OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc Bài 5: Từ điểm M bên đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lÊy mét ®iĨm C VÏ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF MB Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c AECD, BFCD nội tiếp đợc b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp ®êng trßn (O) Tõ A vÏ tiÕp tun xy víi đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD CE a) Chøng minh r»ng ®iĨm B, C, D, E cïng nằm đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N a) Chứng minh tam giác AMN tam giác ®Òu b) Chøng minh r»ng MA + MB = MC 1 + = c)* Gäi D lµ giao ®iĨm cđa AB vµ CM Chøng minh r»ng: AM MB MD Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vuông góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định Bài 9: Từ điểm A bên đờng tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN b) Chøng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10: Cho đờng tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chøng minh r»ng ∠MAB = ∠ AO'D 20 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD ( E ∈ AD) a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đờng tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300 Bài 12: Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một ®iĨm thc cung BC ( AB < AC), D lµ điểm thuộc bán kính OC Đờng vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chứng minh ADCF tứ giác nội tiếp b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh r»ng ∠AME = ∠ACB c) Chøng minh r»ng AM tiếp tuyến đờng tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600 Bài 13: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biết AOM = 600 Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P a) Chứng minh r»ng ®iĨm B, M, O, I, N n»m đờng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2: Từ điểm C đờng tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài 3: Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đ ờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đờng tròn (O) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI ®ång quy d) Chøng minh ID tiÕp xóc víi đờng tròn (O) Bài 4: Cho đờng tròn (O) (O) tiếp xúc C AC BC ®êng kÝnh cđa (O) vµ (O’), DE lµ tiÕp tun chung (D (O), E (O)) AD cắt BE M a) Tam giác MAB tam giác gì? 21 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề b) Chøng minh MC lµ tiÕp tun chung cđa (O) (O) c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB OO Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di ®éng trªn tia ®èi cđa tia CA cho BM = CN a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung ®iÓm AB Chøng minh MA.MB = MI.MN d) Chøng minh: IM.IN = IA2 Bài 4: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuéc BM cho AM = BN a) So s¸nh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đờng thẳng d qua N vuông góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung ®iĨm cđa CD a) Chøng minh ®iĨm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chứng minh EC = EK Chđ ®Ị 5: Chøng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học Bài 1: Cho đờng tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chøng minh MA2 = MC.MD b) Chứng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R + R2 không đổi C di động AB Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E a) Chứng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE 22 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vuông góc M AB HA FA = + Chøng minh r»ng: HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động nửa đờng tròn Bài 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đờng thẳng AP 1 = + BC cắt Q Chứng minh r»ng: PQ PB PC Bµi 4: Cho gãc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chøng minh c¸c hƯ thøc: 1 + = a) 2 AB AC a 2 b) AB + AC = 4R2 Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung ngoµi BC (B ∈ (O); C ∈ (O’)) a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600 b) TÝnh ®é dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa ®êng trßn (O) ë E Gäi M, N theo thø tự giao điểm EA, EB với nửa ® êng trßn (I), (K) a) Chøng ming r»ng EC = MN b) Chøng minh r»ng MN lµ tiÕp tuyÕn chung nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 3: Từ điểm A bên đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q a) Chøng minh r»ng: Khi ®iĨm M chun ®éng cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng tròn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyÕn AB, AC vµ cung nhá BC Bµi 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK a) Chøng minh r»ng: ®iĨm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh AOM vuông O b) OM cắt đờng tròn C D Điểm C ®iĨm E ë cïng mét phÝa ®èi víi AB Chøng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Gi¶ sư tØ sè diƯn tÝch hai tam giác Acm AEC Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Toán quỹ tích 23 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng tròn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm cđa BD víi CM a) Chøng minh ∆BPM c©n b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O) Bài 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d Bài 3: Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI a) Chứng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp b) Gäi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB cã chu vi lín nhÊt Chđ ®Ị 8: Mét sè toán mở đầu hình học không gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDABCD Biết AB = cm; AC = cm vµ A’C = 13 cm TÝnh thĨ tÝch vµ diƯn tÝch xung quanh cđa hình hộp chữ nhật Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA 25 cm2 Tính thể tích diện tích toàn phần hình lập phơng Bài 3: Cho hình hộp chø nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’ b»ng 60 TÝnh thĨ tích diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ®Ịu ABCA’B’C’ TÝnh diƯn tÝch xung quanh vµ thĨ tÝch biết cạnh đáy dài cm góc AAB 300 Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên ®êng th¼ng d lÊy mét ®iĨm S Nèi SA, SB, SC a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6: a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích toán phần cđa h×nh chãp b) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiÕu cao 15 cm vµ thĨ tÝch lµ 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm 2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ vµ chiỊu cao lµ cm TÝnh thĨ tÝch cđa hình chóp cụt Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) 24 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ ®Ị a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp b) Chøng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích xung quanh Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh b»ng 65π cm2 TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh nón Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính ®¸y lín b»ng cm, ®êng cao b»ng 12 cm đờng sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu 25 ... 24 + c) c) 3 +1 −1 − 3 −1 +1 3+ 3− + 3− 3+ d) + 10 x2 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề a) + − 13 + 48 c) b) + + 48 − 10 + 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau: a) a b +b a ab... xúc với (P) (ở câu 2) vuông góc với 15 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dòng nớc... Tính thể tích hình chóp cụt Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = a SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) 24 Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề a) Tính thể tích hình