Baøi 6 : Baùn kính r ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ñeàu caïnh a laø ………. Baùn kính r ñöôøng troøn noäi tieáp töù giaùc ñeàu caïnh a laø ………. Baùn kính r ñöôøng troøn noäi tieáp ngu[r]
(1)b a c C B A a b' c' b c h H B C A cạnh đối cạnh huyền cạnh kề B A C b a c C B A ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC HỌC KỲ II NĂM HỌC 11-12 A LÝ THUYẾT:
I Hệ thức lượng tam giác vuông. b2 = ab' c2 = ac' h2 = b'c ah = bc a2 = b2 + c2 2
1 1
c b h
II Tỉ số lượng giác góc nhọn Sin = tan = Cos = Cot = < sin < 1; < cos <
sin tan cos α α α cos cot sin α α α sin2
+ cos2 = tan.cot =
2 1 tan cos α α 2 1 cot sin α α
* Nếu hai góc có + = 900 (phụ nhau)
sin = cos; cos = sin; tan = cot; cot = tan III Hệ thức cạnh góc tam giác vuông
b = asinB = acosC ; b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB ; c = btgC = bcotg B IV Đường tròn.
1,Định nghĩa: Tập hợp điểm cách điểm cho trước khoảng cách R > khơng đổi gọi đường trịn tâm bán kính R Kí hiệu : ( ; R)
- Cách xác định:
+ Với điểm cho trước khoảng cách làm bán kính ta vẽ đường tròn + Với đoạn thẳng làm đường kính đường trịn ta vẽ đường trịn + Qua ba điểm khơng thẳng hàng ta vẽ đường tròn
- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường trịn có tâm đối xứng; có vơ số trục đối xứng
- Quan hệ vng góc đường kính dây: Trong đường trịn
+ Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây
+ Đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây
- Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đường tròn: + Hai dây cách tâm
+ Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn
- Liên hệ cung dây: Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây
+ Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn
+ Dây lớn căng cung lớn 2, Vị trí tương đối:
Cạnh đối Cạnh huyền
Cạnh kề Cạnh huyền
Cạnh đối Cạnh kề
(2)* Vị trí tương đối Của điểm với đường tròn :xét (0 ; R ) điểm M
* Vị trí tương đối Của đường thẳng với đường tròn :xét ( O ; R ) đường thẳng a (với d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a)
vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức d R
a caét ( O ; R ) d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) d = R
a vaø ( O ; R ) khoâng giao d > R
* Vị trí tương đối Của hai đường tròn :xét ( O;R) (O’;r) ( với d = OO’ )
Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Hai đường tròn cắt
2 R - r < OO' < R + r - Hai đường tròn tiếp xúc
+ Tiếp xúc + Tiếp xúc
1
OO' = R + r OO' = R - r - Hai đường trịn khơng giao
+ (O) (O')
+ (O) đựng (O')
+ (O) (O') đồng tâm
0
OO' > R + r
OO' < R - r OO' =
3 Tiếp tuyến đường tròn :
a Định nghĩa : đường thẳng d gọi tiếp tuyến đường tròn có điểm chung với đường
b, Tính chất :
(3)x o
A B
C
o
A B C
B
o
A C
E
o
A B
D C
F M
B
o
A C
+ Tính chất 1(dấu hiệu nhận biết) : Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm (chứng minh đường thẳng đường trịn có điểm chung đường thẳng vng góc với bán kính qua điểm chung đó)
C/M: đường thẳng a tiếp tuyến (O) ta cm:H (O) H a; a vng góc với OH
+ Tính chất : Nếu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm giao điểm cách hai tiếp điểm tia kẻ từ giao điểm qua tâm đường trịn tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến
- Tính chất tiếp tuyến cắt nhau:MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB
+ MO phân giác góc AMB hay AMO=BMO
+ OM phân giác goùc AOB hay AOM=BOM
c, Cách chứng minh đường thẳng tiếp tuyến:
Cách : chứng minh đường thẳng có điểm chung với đường trịn Cách : Khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng bán kính
Cách chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính đường trịn điểm điểm thuộc đường trịn
4 Góc đường trịn:
Loại góc Hình vẽ Cơng thức tính số đo
1 Góc tâm
AOB sd AB
2 Góc nội tiếp
2
AMB sd AB
3 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
xBA sd AB
4 Góc có đỉnh bên đường
troøn 1( )
2
AMB sd AB sdCD
5 Góc có đỉnh bên ngồi đường
tròn
1
( )
2
AMB sd AB sdCD Chú ý: Trong đường tròn
(4)O O D
A
B C
D C
A B
- Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng ngược lại góc vng nội tiếp chắn nửa đường trịn
- Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
5, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Đương trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh tứ giác thuộc đường tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh đối diện góc * Cách : chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện 6 Độ dài đường tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đường trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung trịn n0 bán kính R : 180
Rn l
7 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn bán kính R : S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0:
2
360
R n lR S
8 Các loại đường tròn
Đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao ba đường
trung trực cạnh tam giác Tâm đường tròn nội tiếp giao ba đường phân giác tam giác Đường trịn bàng tiếp
tam giác
Tâm đường trịn bàng tiếp góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C giao
điểm đường phân giác góc A đường phân giác ngồi B (hoặc C)
9
Hình trụ, hình nón, hình cầu :
1.Hình trụ: 2.Hình nón: Sxq = rl Hình nón cụt:
Sxq = 2rh Stp = rl + r2 Sxq = (r r l1 2) Stp = 2rh + 2r2 V =
2
1
3r h
2 2
1
( )
3
V h r r r r
r
h l
r
h l r2 h
(5)V = r2h
Bài tập
PHẦN HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài : Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH
a; Cho AH=16 cm; BH= 25 cm Tính AB ; AC ; BC ;CH b; Cho AB =12m ; BH =6m Tính AH ; AC ; BC ; CH ?
Bài 2: Tính góc ABC Bieát AB = cm ; BC =5 cm
Bài 3: Cho tam giác vuông ABC A AH đường cao ; BH = cm ; CH = cm Tính AB ; AC ; AH ; Góc C góc B
Bài 4: Cho ABC có AB= cm ; AC = 4,5 cm ; BC = 7,5 cm C/m ABC vng A Tính góc B ; góc C ; đường cao AH ABC
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông A biết AB6, AC8 Tính tỷ số lượng giác góc B, từ suy tỷ số lượng giác góc C
PHẦN ĐƯỜNG TRỊN
Bài 6: Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cạnh a ……… Bán kính r đường trịn nội tiếp tứ giác cạnh a ……… Bán kính r đường tròn nội tiếp ngũ giác cạnh a ……… Bán kính r đường trịn nội tiếp lục giác cạnh a ……… Bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh a ……… Bán kính R đường trịn ngoại tiếp tứ giác cạnh a là……… Bán kính R đường trịn ngoại tiếp ngũ giác cạnh a là……… Bán kính R đường tròn ngoại tiếp lục giác cạnh a là………
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông B Một điểm M cạnh BC, đường tròn đường kính MC cắt tia AM điểm thứ hai N cắt tia BN điểm thứ hai D
a) Chứng minh A, B, N, C nằm đường tròn b) Chứng minh CB tia phân giác góc ACD
Bài 8 : Cho (O;R) đường kính AB, M điểm thuộc (O)
MA < MB Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB H cắt (O) điểm thứ hai N Trên tia đối tia MN lấy điểm C Nối C với B cắt đường tròn điểm thứ hai I Giao điểm AI với MN K
a) Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp b) Chứng minh : CI CB = CK CH
c) Chứng minh IC tia phân giác góc ngồi tam giác IMN
Bài 9 : Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB điểm C nửa đường trịn (AC < BC), D mộ t điểm dây BC không trùng với B C AD cắt nửa đường tròn điểm thứ hai E, BE cắt đường thẳng AC F
a) Chứng minh tứ giá c CDEF nội tiếp b) Chứng minh CDF BAC
H
1
3 2 1 1
O
E
D C
B
A
Hình baøi 16
(6)Bài 10 : Cho (O) điểm A cố định đường tròn Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn điểm B C (B nằm A C) Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đường tròn M N, gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh : AM2 = AB AC
b) Chứng minh tứ giác OMAN IMAN nội tiếp
c) Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN E Chứng minh IE // MC
Bài 11 : Cho tam giác ADC (A 90o
) Điểm B nằm A C (B ≠ A, B ≠ C) Đường trịn (O) đường kính BC giao CD M Tia AM giao với (O)
điểm thứ hai N.Kẻ NP vng góc với AC (P (O))
a) Chứng minh CM CD = CB CA b) Chứng minh D, B, P thẳng hàng c) Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp
Bài 12: Cho hình vuông ABCD có cạnh a, M trung
điểm AB Đươ øng thẳng qua M vng góc với đường chéo AC H cắt đường thẳng CD N
1/ Chứng minh tứ giác MBCH nội tiếp nội đường trịn tính chu vi đường trịn theo a
2/ Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân A, M điểm cạnh AB Kẻ đường trịn tâm O đường kính MB cắt cạnh BC E Đường thẳng CM cắt (O) N
1/ Chứng minh tứ giác ANBC nội tiếp 2/ Chứng minh tam giác MEB vuông cân
Bài 14: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx lấy điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E F (F B E)
1/ Chứng minh: góc ABD góc DFB 2/ CMR: Tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp
3/ CMR: AE AC = AD.AF
Bài 15 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P
Chứng minh rằng:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC
5 Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 16 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED =
1
BC
Hình 16
/ /
y x
N C
D I
M
B O
A H
( ( 2
2
1 1
1 P
N
F
E
M
D C
B
A
O
(7)4 Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) 5. Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Bài 17 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N
1 Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900 3.Chứng minh AC BD =
2 AB
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD 5.Chứng minh MN AB
Bài 18 Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp
điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2.
4 Chứng minh OAHB hình thoi
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
PHẦN HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN, HÌNH CẦU Bài 13: Cho hình nón đỉnh A, đường sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm
a Tính Sxq hình nón b Tính V hình nón
Bài 14: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm a Tính Sxq hình nón cụt b Tính V hình nón sinh hình nón cụt
Câu 15: Một hình trụ có chiều cao 16cm , bán kính đáy 12cm Tính diện tích tồn phần, thể tích hình trụ?
Câu 16: Một hình cầu có bán kính 5cm Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu ?
/ /
y x
N C
D I
M
B O
A
Hình baøi 17
d
H I K
N P
M D
C B
A
O