Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường trung học cơ sở

Bài viết đưa ra một số biện pháp nhằm bồi dưỡng cho học sinh thủ pháp bổ sung yếu tố phụ trong dạy học Hình học ở trường Trung học cơ sở.

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2016, Vol 61, No 6, pp 43-52 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0047 BỒI DƯỠNG THỦ PHÁP BỔ SUNG YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ Nguyễn Thị Thanh Tâm Khoa Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Hà Tĩnh Tóm tắt Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ đóng vai trị quan trọng giải vấn đề Tốn học nói chung Hình học nói riêng Khi học sinh biết sử dụng yếu tố phụ cách hợp lí tạo “cầu nối” liên hệ yếu tố cho, tri thức biết với yếu tố cần tìm, cần giải giúp họ thuận lợi việc chứng minh định lí giải tốn hình học Trong viết này, chúng tơi đưa số biện pháp nhằm bồi dưỡng cho học sinh thủ pháp bổ sung yếu tố phụ dạy học Hình học trường Trung học sở Từ khóa: Thủ pháp; bổ sung yếu tố phụ; bồi dưỡng; học sinh; dạy học Hình học; trung học sở Mở đầu Trong chứng minh định lí hay giải tập Hình học, thủ pháp (TP) bổ sung yếu tố phụ (như vẽ hình phụ, tốn phụ ) đóng vai trị yếu tố trung gian quan trọng giúp tìm lời giải lời giải ngắn gọn, độc đáo sáng tạo Nghiên cứu Trần Luận [4], đưa số phương pháp vẽ hình phụ đơn giản thường vận dụng chủ đề “Tứ giác” “Đường trịn”, như: vẽ hình phụ tỉ lệ (hoặc có diện tích tỉ lệ với hình có kết luận; vẽ đường tròn phụ, Các tác giả nghiên cứu [5], [6] đưa số ví dụ vẽ hình phụ minh họa cho kĩ thuật nhằm kết nối tri thức việc khai thác sâu định lí sách giáo khoa Nguyễn Đức Tấn [7], trình bày lời giải hay tốn hình học thể độc đáo tính hiệu việc sử dụng hình phụ Nhưng hướng dẫn cách thức làm để học sinh (HS) kẻ thêm hình phụ có lợi cho việc giải tốn cịn bỏ ngỏ Trong [8], tác giả sử dụng thao tác tư phân tích, tổng hợp để vẽ tìm cách vẽ hình phụ giải tốn Hình học Như vậy, tác giả khẳng định, việc bổ sung yếu tố phụ thể khéo léo, độc đáo mang tính nghệ thuật, giúp giải nhiều toán cách hiệu chưa đưa cách thức chung để trang bị TP cho HS Trung học sở (THCS) Tuy nhiên, qua nghiên cứu nhận thấy, để tìm yếu tố phụ có lợi việc giải vấn đề (GQVĐ) người giải tốn phải dựa sở xem xét, tìm hiểu đặc điểm đối tượng đề cập đến, biết biến đổi đối tượng cách phù hợp biết đặt mối liên hệ với đối tượng có liên quan Trên sở đó, viết đề cập đến số cách thức bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho HS dạy học Hình học nhằm giúp em nhanh chóng tìm giải pháp GQVĐ độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập Ngày nhận bài: 15/3/2016 Ngày nhận đăng: 25/6/2016 Liên hệ: Nguyễn Thị Thanh Tâm, e-mail: tam.nguyenthithanh@htu.edu.vn 43 Nguyễn Thị Thanh Tâm 2.1 Nội dung nghiên cứu Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ dạy học Hình học trường THCS 2.1.1 Quan niệm thủ pháp bổ sung yếu tố phụ Chúng quan niệm, yếu tố phụ chi tiết mới, đưa vào vấn đề ban đầu (ngoài yếu tố cho), để giúp yếu tố cho, tri thức biết “xích lại” gần với cần giải Do đó, yếu tố phụ tốn học tốn phụ, hình phụ, ẩn phụ Từ góc độ Triết học vật biện chứng, việc bổ sung yếu tố phụ đặt mối quan hệ với quy luật lượng - chất trình vận động, phát triển vật, tượng Do đó, người học cần bổ sung yếu tố phụ cách khéo léo để tạo thay đổi lượng dẫn đến thay đổi chất nhằm đưa vấn đề phức tạp ban đầu dạng quen thuộc, vận dụng tri thức có G Polya [3] cho rằng, hoạt động trí tuệ q trình giải tốn biểu diễn sơ đồ hình vng sau (Hình 1) Trong đó, thao tác “bổ sung” ghi cạnh nối đỉnh “tổ chức” “liên kết” Theo tác giả, “bổ sung” thêm chi tiết mới, đưa vào yếu tố phụ, hiểu biết toán để khắc phục “lỗ hổng” làm cho tốn hồn thiện định.Từ đó, có “một ý chói lọi” quan niệm toán sau bổ sung phần tử phụ định Hình Sơ đồ tổng quát hoạt động trí tuệ giải Tốn [3, tr16] Như vậy, chất việc phát hiện, bổ sung đắn yếu tố phụ việc tìm tịi tri thức trung gian nhằm giúp HS dễ dàng kết nối tri thức có với tri thức cần tìm theo hệ thống liên hệ nhân quả, phụ thuộc lẫn tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đắn cách giải vấn đề toán học Việc khai thác tư tưởng này, nhằm khắc sâu nguyên tắc hệ thống tri thức dạy học toán Trong nghiên cứu này, sở nghiên cứu [1], [6], [9], quan niệm “TP bổ sung yếu tố phụ cách khéo léo, linh hoạt đưa đối tượng tốn học (bài tốn phụ, hình phụ, ẩn phụ) vào yếu tố cho VĐ cần giải làm “cầu nối” gắn kết tri thức biết với tri thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đắn cách giải vấn đề” 2.1.2 Một số yếu tố phụ thường sử dụng dạy học Hình học trường THCS Có nhiều yếu tố phụ dùng nhằm mục đích tạo đối tượng hữu ích để dễ dàng giải vấn đề ban đầu dạy học Hình học trường THCS [7], [8], theo số yếu tố phụ thường sử dụng, là: i) Các toán phụ: toán tương đương, toán 44 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh dạy học hình học trường thành phần ; ii) Hình phụ: điểm (trung điểm, điểm chia trong, chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước ); tia (tia đối tia, tia phân giác góc, tia hợp với tia cho trước góc cho trước ); đoạn thẳng (đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước, đoạn thẳng k lần đoạn thẳng cho trước, dây cung chung hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm hai đường trịn ); góc (góc k lần góc cho trước, góc có số đo đặc biệt ); đường thẳng (đường thẳng qua điểm song song vng góc với đường thẳng cho trước, đường thẳng qua điểm cho trước tiếp tuyến đường tròn ); đường tròn (nội tiếp, ngoại tiếp đa giác ) Chúng ta thấy rõ minh họa cho yếu tố phụ mục 2.2 Một số biện pháp bồi dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ cho HS dạy học Hình học trường THCS 2.2.1 Tập luyện cho học sinh phân tích yếu tố cho yếu tố cần tìm tình cần giải cách khai thác mối liên hệ nhân yếu tố cho, kiến thức biết yếu tố cần tìm nhằm phát yếu tố phụ cần bổ sung Theo [2, tr 12] “Liên tưởng nhân có vai trị đặc biệt quan trọng q trình trí tuệ” Trên sở tính khách quan, tính phổ biến mối liên hệ nhân theo quan điểm vật biện chứng, cụ thể: nguyên nhân sinh nhiều kết kết nhiều nguyên nhân gây ra, GV tập luyện cho HS thói quen vận dụng liên tưởng nhân để GQVĐ Khi HS giải toán, cần tập luyện cho HS biết phân tích yếu tố cần tìm tốn cách tồn diện, đầy đủ để tìm yếu tố phụ cần bổ sung sở yếu tố cho kiến thức biết Các tình dạy học Hình học, có nhiều cách khác để bổ sung yếu tố phụ nhờ mối liên hệ nhân Bởi vậy, dạy học Hình học GV cần tập luyện cho HS số cách định hướng hữu ích để HS nhanh chóng xác định yếu tố phụ thích hợp, chẳng hạn: + Nếu điều kiện cần tìm liên quan đến độ dài đoạn thẳng, độ lớn góc thường sử dụng tam giác nhau, tính chất đường đặc biệt tam giác, hình bình hành (chữ nhật, thoi, vng), đường trịn ; điều cần chứng minh liên quan đến tích độ dài ta thường sử dụng tam giác đồng dạng + Nếu yếu tố cho có trung điểm cạnh liên hệ với đường với đường trung tuyến (của tam giác), đường trung bình qua (tam giác, hình thang), tâm hình bình hành nhận cạnh làm đường chéo ; cho dây cung ta nghĩ đến đường kính, bán kính qua trung điểm qua đầu dây cung; hai đường tròn thường liên hệ với đường nối tâm, tiếp tuyến chung, dây cung; cho tam giác tứ giác có tổng hai góc đối 180o (hay có hai đỉnh nhìn đoạn thẳng góc nhau) ta thường nghĩ đến đường tròn ngoại tiếp Trong biện pháp này, đề hướng thực hiện: 1) Tập luyện cho HS khai thác đặc điểm, tính chất yếu tố cho để tìm định hướng bổ sung yếu tố phụ có liên quan đến vấn đề cần giải quyết; 2) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố cần tìm mối liên hệ với yếu tố cho để xác định hướng bổ sung yếu tố phụ nhằm tìm cách đưa vấn đề dạng quen thuộc; 3) Tập luyện cho HS khai thác, phát triển vấn đề nhằm khắc sâu việc bổ sung yếu tố phụ từ vấn đề ban đầu Để minh họa cho ý tưởng trên, dẫn ví dụ chứng minh định lí đường trung bình hình thang sách giáo khoa Tốn 8: Ví dụ “Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy” 45 Nguyễn Thị Thanh Tâm Trong sách giáo khoa, định lí chứng minh cách: Gọi K giao điểm đường thẳng AF DC.Suy ∆FBA = ∆FCK, áp dụng tính chất đường trung bình tam giác ∆ADK, ta có điều phải chứng minh Điều chứng minh ngắn gọn đa số HS hiểu nắm vững kiến thức có Nhưng Hình 1.1 GVchỉ trình bày nhiều HS khơng hiểu lại lại bổ sung yếu tố phụ điểm K trên? Và bổ sung yếu tố phụ khác hay không? Tuy nhiên, GV để HS tự khám phá việc bổ sung yếu tố phụ họ biết lại bổ sung điểm K nhận cách bổ sung yếu tố phụ khác Khảo sát thực tế cho thấy, số HS bổ sung yếu tố phụ theo hướng sau “kéo dài EF lấy điểm G cho EG = 2EF tìm cách chứng minh EG = AB + CD” Khi đó, GV giúp HS nhận theo hướng không chứng minh kiến thức biết mà phải dùng đến kiến thức chưa học (đó tính chất hình bình hành) Từ đó, GV kích thích tích cực học tập HS việc phân tích mối liên hệ cần tìm với cho, tri thức biết để bổ sung yếu tố phụ thích hợp câu hỏi, gợi ý, chẳng hạn: Biểu thức cần chứng minh EF//AB, EF//CD EF = (AB + CD) gợi cho em liên tưởng đến tính chất, định lí biết? Một định lí quen thuộc tam giác? Chúng ta mong đợi HS trả lời rằng: Đó định lí đường trung bình tam giác “Trong hình vẽ, có đường trung bình tam giác hay chưa? (Chưa có) Em bổ sung yếu tố phụ để áp dụng định lí đường trung bình tam giác không?” GV dẫn dắt để HS biết cách bổ sung yếu tố phụ tạo tam giác có đường trung bình EF đáy AB + CD; chia đoạn EF thành hai đoạn tương ứng đường trung bình tam giác có cạnh đáy AB, CD Từ đó, HS biết bổ sung yếu tố phụ theo hai hướng: Thứ nhất, tạo tam giác có đường trung bình EF đáy AB + CD bốn cách bổ sung yếu tố phụ, giao điểm K AF DC (hình 1.1) (hoặc giao điểm K1 DF AB; hay giao điểm K2 BE CD; haygiao điểm K3 DE BA) Thứ hai, tạo đường trung bình tương ứng với cạnh đáy AB, CD hai tam giác chứng tỏ EI + IF = EF hai cách bổ sung yếu tố phụ trung điểm I AC (hình 1.2) Hình 1.2 (hoặc trung điểm J BD) Như vậy, em tự khám phá nhiều cách bổ sung yếu tố phụ phát huy tính độc lập, sáng tạo học tập nhờ khai thác mối liên hệ nhân Ngoài ra, để khắc sâu việc vẽ hình phụ, GV gợi ý cho HS khai thác phát triển toán từ định lí Trong hình vẽ chứng minh định lí trên, giả thiết gồm hai yếu tố: “Tứ giác ABCD hình thang” “E, F tương ứng trung điểm AD, BC”, GV gợi ý cho HS thay đổi giả thiết để phát triển thành toán Chẳng hạn: - GV gợi ý cho HS thay điều kiện “Tứ giác ABCD hình thang” “tứ giác bất kì” kết luận thay đổi nhằm khắc sâu việc bổ sung hình phụ với tốn có giả thiết trung điểm cạnh, sử dụng dụng định lí đường trung bình tam giác 46 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh dạy học hình học trường Bằng cách vẽ hình phụ tương ứng theo hai hướng trên, HS dễ dàng tìm được: Theo hướng thứ nhất, bổ sung yếu tố phụ giao điểm K AF DC, em dễ dàng 1 chứng minh được: EF = DK, mà DK ≤ AB + CD nên EF ≤ (AB + CD) 2 Theo hướng thứ hai, bổ sung yếu tố phụ trung điểm I AC, em dễ dàng chứng 1 minh được: EI = CD, IF = AB mà EF ≤ EI + IF nên EF ≤ (AB + CD) 2 Từ đó, có tốn mới: Bài tốn 1.1 Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự trung điểm AD, BC a) Chứng minh EF ≤ (AB + CD) b) Tứ giác ABCD có điều kiện EF = (AB + CD)? (Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển tốn 8, tập 1, tập 16, tr 78) - Hoặc, sau học xong phần định lí Ta-lét, GV gợi ý để HS khai thác định lí cách viết giả thiết “E, F tương ứng trung điểm AD, BC” dạng “E, F điểm BF AE = = ” thay đổi giả thiết “E, F điểm cạnh cạnh AD, BC cho: AD BC BF AE = = k, với < k < 1” cách bổ sung yếu tố phụ để AD, BC cho: AD BC chứng minh, ta có tốn: Bài tốn 1.2 Cho hình thang ABCD có AB // CD Gọi E, F theo thứ tự điểm thuộc BF AE = = k, với < k < Chứng minh EF = k (AB + CD) AD, BC cho AD BC Chúng ta xét thêm tốn khác: Ví dụ Cho góc xOy điểm I thuộc miền góc Dựng đường thẳng d qua I cắt cạnh Ox, Oy điểm M, N cho I trung điểm đoạn MN Đối tượng nhận thức tình là: Phương pháp dựng đường thẳng qua I cắt hai nửa đường thẳng giao M, N cho IM = IN Như vậy, điểm M, N cần dựng xuất phát từ nguồn gốc sau: Hình 2.1 i) M, N hai đỉnh đối diệncủa hình bình hành có tâm I, vẽ hình phụ hình bình hành, cách: Xác định O′ đường thẳng OI cho IO = IO′ , O′ nằm khác phía O I dựng qua O′ đường thẳng song song với Oy Ox (hình 2.1) ii) M ảnh đối xứng N qua phép đối xứng tâm I, hình phụ ảnh O′ y′ Oy qua phép đối xứng tâm I, suy M = Ox ∩ O′ y′ (hình 2.2) iii) IM, IN hai cạnh tương ứng hai tam giác Ta bổ sung yếu tố phụ điểm O’ tia đối Hình 2.2 IO cho IO’ = IO, dựng đường thẳng O’y’//Oy cắt Ox M; MI cắt Oy N (DeltaOIN = DeltaO’IM) (hình 2.2) 47 Nguyễn Thị Thanh Tâm Hoặc, qua I kẻ đường thẳng cắt Oy P, tia đối IP lấy điểm Q cho IP = IQ, kẻ Qz//Oy cắt Ox M; MI cắt Oy N ta có ∆IMQ = ∆INP (hình 2.3) iv) MN cạnh tam giác nhận đường thẳng qua I song song với Ox (Oy) làm đường trung bình Do đó, cách vẽ đường thẳng IK//Ox ( K ∈ Oy) ta có K xác định Trên Oy lấy điểm N nằm khác phía O K, cho OK = KN Từ suy cách dựng d Hình 2.3 qua N I (hình 2.4) Mặt khác, điều kiện “I trung điểm đoạn IM = 1” Từ đó, MN” viết dạng “ IN khuyến khích HS khá, giỏi phát tốn tương tự hay tốn tổng qt bổ sung hình phụ iv) áp dụng định lí Ta-lét để chứng minh, chẳng hạn: Bài tốn 2.1 Cho góc xOy điểm I thuộc miền góc Dựng đường thẳng d qua I cho d Hình 2.4 cắt Ox, Oy điểm tương ứng M, N IM = 2.IN Bài tốn 2.2 Cho góc xOy điểm I thuộc miền góc Dựng đường thẳng d qua IM = k (k > cho trước) I cho d cắt Ox, Oy điểm tương ứng M, N IN Qua ví dụ trên, cho thấy việc phân tích mối liên hệ yếu tố cần tìm với yếu tố cho, kiến thức biết liên tưởng đến kiến thức liên quan giúp người học biết bổ sung yếu tố phụ hợp lí để tìm nhiều cách khác nhau; từ đó, có lời giải tối ưu cho vấn đề Tuy nhiên, để HS có nhiều liên tưởng họ phải có nhiều “hình ảnh” liên quan đến đối tượng nghiên cứu Do đó, q trình dạy học, GV thường xun phải hình thành trang bị cho họ kiến thức vững tích lũy nhiều kĩ năng, kinh nghiệm để gặp tình cụ thể em rút vận dụng thích hợp, giúp tranh đối tượng nghiên cứu hoàn thiện nhằm giải hiệu vấn đề 2.2.2 Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ nhờ chuyển đổi hình thức vấn đề gặp chướng ngại, khó khăn việc liên hệ yếu tố cần tìm với yếu tố cho, kiến thức biết Thực biện pháp này, giúp HS biết biến đổi đối tượng cách chuyển hóa hình thức đối tượng cho phù hợp với nội dung (dựa sở quan điểm triết học vật biện chứng: nội dung, q trình phát triển thể nhiều hình thức ngược lại), để “bóc trần” nội dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức có HS nhằm gợi hướng bổ sung yếu tố phụ từ đến việc GQVĐ Mặt khác, hoạt động nhận thức, lúc đầu đối tượng tồn độc lập với chủ thể HS Do đó, để chủ thể xâm nhập vào đối tượng (hiểu, giải thích vận dụng chúng với tư cách sản phẩm thực hoạt động) họ phải tiến hành biến đổi đối tượng cho dễ dàng huy động kiến thức có Việc biến đổi tốn (đặc biệt biến đổi kết luận dạng tương đương phương thức đơn giản, thường “thử nghiệm” đầu tiên) từ chỗ chưa nhìn thấy hướng giải, hướng sử dụng yếu tố phụ thành dạng có hy vọng gợi hướng bổ sung yếu tố phụ để đến lời giải điều cần thiết em G Polya cho rằng: “Thành công việc giải toán phụ thuộc vào việc chọn đường phụ thuộc vào việc ta công pháo đài có 48 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh dạy học hình học trường mặt yếu hay khơng Để thấy đường hơn, phía dễ qua hơn, ta phải xét toán theo nhiều quan điểm khác nhau, đề cập toán theo nhiều cách, phải biến đổi toán.” [5, tr 45] Như vậy, cách biến đổi tốn nói riêng (vấn đề nói chung), nhằm chuyển hướng (khi cần thiết) tư người học mang lại chi tiết mới, khả để làm xuất liên tưởng trí nhớ liên quan tới toán ta Đặc biệt, nhiều vấn đề Hình học sở giúp HS phát lựa chọn yếu tố phụ thích hợp cần bổ sung để GQVĐ Sau ví dụ sau minh họa: Ví dụ Cho DeltaABC có AB AC, vẽ hai đường cao BD CE Chứng minh AB + CE > AC + BD (1) Trong thực tiễn dạy học khơng HS lúng túng giải toán này, ta biến đổi để có đoạn thẳng AB + CE đoạn thẳng khác AC + BD khó để tìm điều cần chứng minh Để tháo gỡ điều đó, chúng tơi yêu cầu người học phát biểu điều kiện tương đương với kết luận để vận dụng kiến thức học Mong đợi GV với giả thiết AB AC, HS thay đổi kết luận phát biểu toán phụ tương đương với toán ban đầu sau: “Cho DeltaABC có AB AC Vẽ hai đường cao BD CE Chứng minh AB − AC > BD − CE” Biến đổi toán “gợi ý” cho người giải vẽ đường phụ cách đặt đoạn AB’ = AB chồng lên đoạn AC để làm xuất đoạn thẳng hiệu AB AC (hình 3), là: ′ ′ CB = AB − AC = AB − AC ′ ′ Ta có DeltaABB’ cân A Từ B kẻ B H⊥AB ′ CF⊥ B H Đến đây, ta thấy việc giải toán trở nên dễ dàng Ta ′ Hình cần chứng minh BD = B H CEHF hình chữ nhật Từ đó, ′ ′ ′ suy B F = BD − CE Cuối toán đưa việc so sánh B F với B C DeltaCFB’ Qua việc giải toán trên, HS nhận rằng, nhiều để chứng minh tốn hình học (đặc biệt chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức), nên bổ sung yếu tố phụ cách đưa điều kiện cho toán hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào nơi (một hình mới) làm cho chúng có liên hệ với 2.2.3 Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ sở cấu trúc lại yếu tố cho đặt kiến thức có nhằm tạo cấu trúc phù hợp với tình cần giải Trong dạy học hình học trường THCS, HS gặp tình huống, tốn chướng ngại nhận thức em; tri thức có chưa thể giải đáp yêu cầu tốn hay nói cách khác tri thức có khơng tương thích với tình Khi đó, việc cấu trúc lại đối tượng, tạo cho HS có điều kiện gắn kết kiến thức, kinh nghiệm có với yếu tố cần tìm, khắc phục chướng ngại toán nhằm dễ dàng chiếm lĩnh kiến thức Do đó, q trình dạy học Hình học GV cần giúp HS biết đặt đối tượng nghiên cứu mối quan hệ với đối tượng khác, tránh tình trạng HS thường nhìn nhận vật, tượng cách đơn lẻ dẫn đến khó tìm yếu tố phụ cần thiết để bổ sung Ví dụ sau minh họa cho điều này: Ví dụ Chứng minh định lí: “Ba đường cao tam giác đồng quy điểm” Thực tiễn giảng dạy cho thấy, học sinh THCS gặp khó khăn chứng minh định lí Tuy nhiên Hình 49 Nguyễn Thị Thanh Tâm em giải toán, GV hướng dẫn làm sáng tỏ đường cao tam giác ABC đường trung trực tam giác A1 B1 C1 , với A1 , B1 , C1 giao điểm đường thẳng qua A, B, C song song với BC, AC, AB (hình 4) Như vậy, nhờ bổ sung yếu tố phụ tam giác A1 B1 C1 cho phép chuyển việc chứng minh tính chất đồng quy ba đường cao tam giác ABC định lí quen thuộc tính chất đồng quy ba đường trung trực 2.2.4 Tập luyện cho HS phát yếu tố phụ cần bổ sung cách xét vị trí đặc biệt yếu tố hình học có vấn đề cần giải Mục đích biện pháp giúp HS biết xét vị trí đặc biệt yếu tố hình học có vấn đề cần giải quyết, để phát sử dụng yếu tố phụ cách hợp lí dựa sở cặp phạm trù chung, riêng triết học vật biện chứng Ví dụ Cho góc xOy, Ox lấy hai điểm A, B Oy lấy hai điểm C, D cho AB = CD Gọi M N trung điểm AC BD Chứng minh đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy Chúng ta thấy, vị trí đặc biệt CD CD đối xứng với AB qua phân giác Ot góc xOy Dẫn đến ta lấy điểm phụ điểm C’, D’ đối xứng A B qua Ot Gọi E, F giao điểm AC’ BD’ với Ot Khi E, F trung điểm AC’ BD’ (hình 5) Như vậy, việc chứng minh MN song song với Ot Hình trở thành cần chứng minh MN song song với EF Điều dễ dàng có nhờ tính chất đường trung bình tam giác tính chất hình bình hành Cần lưu ý rằng, cách bổ sung yếu tố phụ việc xét trường hợp đặc biệt Ngoài ra, nhờ mối liên hệ nhân có nhiều cách bổ sung yếu tố phụ khác để chứng minh toán này, chẳng hạn: chứng minh cát tuyến cắt đường thẳng Oz, MN có góc vị trí đồng vị, so le (ngồi) nhau; chứng minh đường thẳng Oz, MN song song với đường thẳng đó; hay chứng minh đường thẳng Oz, MN vng góc với đường thẳng Chúng ta xét thêm ví dụ khác: Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: Tổng khoảng cách từ điểm M nằm phần mặt phẳng giới hạn ba cạnh ba cạnh tam giác đến AB, BC, CA khơng đổi Bài tốn HS khơng phải dễ Khó khăn thứ kết luận tốn khơng nói rõ tổng khoảng cách Để giải khó khăn này, ta lấy trường hợp riêng để soi sáng trường hợp chung Nếu tổng số khoảng cách từ điểm tam giác tới cạnh khơng đổi, với trường hợp đặc biệt, điểm M trùng với Hình 6.1 đỉnh (giả sử M ≡ A), tổng khơng đổi Mà tổng khoảng cách từ A đến cạnh đường cao AA1 Từ đó, suy cần chứng minh: MP + MQ + MK = AA1 50 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh dạy học hình học trường GV gợi ý để HS nhận MP, AA1 đường cao tương MP.BC MP = = ứng hai tam giác chung đáy BC nên AA1 AA1 BC S∆MBC tương tự cho biểu thức lại, nên người học nghĩ S∆ABC đến việc bổ sung yếu tố phụ đoạn thẳng MA, MB, MC vận dụng tỉ số diện tích để chứng minh (hình 6.1) Một hướng suy nghĩ khác: Nếu A1A ta đặt đoạn Hình 6.2 A1N = MP, để chứng minh MP + MQ + MK = AA1 ta cần chứng minh MQ + MK = AN? Để giải khó khăn này, người giải lại vận dụng trường hợp riêng để soi sáng trường hợp chung Bây giờ, ta lấy điểm đặc biệt M cạnh (giả sử M ∈ BC) Khi đó, HS dễ dàng chứng minh MQ + MK = BB1 cách chia đoạn thẳng BB1 thành đoạn thẳng MQ, MK việc bổ sung yếu tố phụ MI⊥BB1 chứng minh MK = BI; MQ = IB1 (hình 6.2) Từ đó, người giải biết việc bổ sung yếu tố phụ đề giải toán cho vẽ đường thẳng qua M vng góc với AA1 cắt Hình 6.3 AB, AC, AA1 B’, C’, N; chứng minh MQ + MK đường cao B’B1 tam giác AB’C’ Lại kẻ đường phụ MI⊥B′ B1 ta suy điều phải chứng minh (hình 6.3) Hơn nữa, thay đổi vị trí điểm M thuộc phần mặt phẳng giới hạn ba cạnh với trường hợp cụ thể có nhiều toán thay giả thiết tam giác tam giác cân điểm M thuộc cạnh đáy giải tốn cách bổ sung hình phụ tương tự nhờ xét trường hợp riêng Qua ví dụ nhận thấy, để GQVĐ phức tạp phải xét trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt làm điểm tựa Đặc biệt, với nhiều tốn hình học việc xét trường hợp đặc biệt gợi ý cho người giải biết bổ sung yếu tố phụ cách hợp lí giúp họ giải hiệu vấn đề cho Những ví dụ minh họa biện pháp trên, cho thấy yếu tố phụ bổ sung vào đối tượng nhằm GQVĐ phải từ xuất phát nguyên nhân đó, Polya khẳng định “Cái lí buộc phải đưa vào phần tử phụ khác lí phải có Khơng nên đưa vào phần tử phụ mà khơng có lí cả” [3] Kết luận Trong dạy học hình học, TP bổ sung yếu tố phụ có vai trị tri thức phương pháp dạng tìm đốn Để bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ GV cần tập luyện cho HS hoạt động bổ sung yếu tố phụ cách hợp lí thơng qua giải tình học tập Hình học Từ đó, hình thành cho HS cách thức bổ sung yếu tố phụ phù hợp chứng minh định lí giải tốn Hình học, giúp HS nhận thức sâu sắc ý nghĩa, tầm quan trọng TP học tập Hình học; qua góp phần hình thành phát triển lực GQVĐ - lực quan trọng người học theo định hướng đổi giáo dục 51 Nguyễn Thị Thanh Tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dự án Việt - Bỉ, 2000 Dạy học kĩ tư Hà Nội [2] Phan Trọng Ngọ (Chủ biên), Dương Diệu Hoa, Nguyễn Lan Anh, 2001 Tâm lí học trí tuệ Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] G Polya, 1979 Sáng tạo toán học, Tập Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Trần Luận, 1996 Vận dụng tư tưởng sư phạm G.Pôlya xây dựng nội dung phương pháp dạy học sở hệ thống tập theo chủ đề nhằm phát huy lực sáng tạo học sinh chun tốn cấp II Luận án Phó Tiến sĩ Khoa học Sư phạm – Tâm lí, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội [5] Đào Tam, 2014 Bồi dưỡng lực kết nối tri thức dạy học toán trường Phổ thông theo hướng nâng cao hiệu hoạt động tìm tịi trí tuệ học sinh Kỉ yếu Hội thảo khoa học quốc gia - Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng phát triển lực người học, giai đoạn 2014-2020, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội, Tr 12-22 [6] Đào Tam, Nguyễn Thị Thanh Tâm, 2016 Hình thành khắc sâu số thủ pháp giải vấn đề dạy học toán trường THCS Tạp chí Khoa học Trường Đại học Hà Tĩnh Số 7, Tr 3-9 [7] Nguyễn Đức Tấn, 2012 Cẩm nang vẽ thêm hình phụ giải tốn hình học phẳng Nxb Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh [8] Bạch Phương Vinh, 2013 Rèn luyện thao tác phân tích tổng hợp cho học sinh lớp thơng qua toán giải phương pháp vẽ thêm hình phụ Tạp chí Giáo dục, Tr 42-45 [9] Pimpaka Intaros et al., 2014 Students’ problem solving strategies in problem solving mathematics classroom Procedia - Social and Behavioral Sciences, 116, tr 4119-4123 ABSTRACT Tactics for teaching the addition of sub-elements to secondary school geometry students Tactics of adding sub-elements play an important role in solving math problems in general and geometry in particular When students use sub-elements appropriately, they create a link between given elements, given knowledge and elements to be explored, which enables students to justify a theorem and solve geometric problems In this paper, we suggest ways to help students use tactics toadd sub-elements when teaching geometry at lower secondary schools Keywords: Tactics, adding sub-elements, develop, students, teaching geometry, lower secondary schools 52 ... nghiên cứu Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ dạy học Hình học trường THCS 2.1.1 Quan niệm thủ pháp bổ sung yếu tố phụ Chúng quan niệm, yếu tố phụ chi tiết mới, đưa vào vấn đề ban đầu (ngoài yếu tố cho) ,... theo số yếu tố phụ thường sử dụng, là: i) Các tốn phụ: toán tương đương, toán 44 Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh dạy học hình học trường thành phần ; ii) Hình phụ: điểm (trung. .. tìm yếu tố phụ cần bổ sung sở yếu tố cho kiến thức biết Các tình dạy học Hình học, có nhiều cách khác để bổ sung yếu tố phụ nhờ mối liên hệ nhân Bởi vậy, dạy học Hình học GV cần tập luyện cho