BD không đổi khi đường thẳng qua I thay đổi.[r]
(1)Phòng GD-ĐT Hơng Sơn
ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN : TOÁN
Câu 1:
Cho A = ( ( + 1) + ( +1) ):
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Câu 2:
a) Giải pt: x3 - 3x2 + 3x - = 0
b) Tìm nghiệm nguyên pt: (x + y)2 = (x -1) (y + 1)
Câu 3: Cho x, y, z thoả mãn: x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1 Tính tổng: S = x2010 + y2011 + z2012
Câu 4:
a) Cho m, n, p không âm thoả mãn: m + n + p = CMR: n + p 16mnp b) Cho x,y số thực không âm: x2 - 2xy + x - 2y ≤ 0
Tìm GTLN M = x2 - 5y2 + 3x
Câu 5: Cho góc xOy vng điểm I nằm góc Kẻ IC, ID vng góc với Ox Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng qua I cắt Ox, Oy A, B
a) CMR : Tích AC BD khơng đổi đường thẳng qua I thay đổi b) CMR : =
c) Biết SAOB = 8a2/ Tính CA, DB theo a?
==============&==============
Gợi ý giải câu khó
Câu 1: a) Rút gọn được: A = b) Tìm x < Kết hợp ĐK x khác 0, 1, -1 Ta được: x < x khác 0, -
c) x = TM ĐK
Câu 2:
a) (x - 2)(x2 - x + 1) = => x = (vì x2 - x + > với x) b) Tìm ĐK: x 1; y ≤ -1 Hoặc x ≤ ; y
Giải : x = 1; y = -1
(Có thể dùng PT bậc hai để giải - Lớp 9)
Câu 3:
Ta có (x + y + z)3 = => x3 + y3 + z3 + 3(x +y)(y + z)(z + x) = (vì x3 + y3 + z3 =1) => (x +y)(y + z)(z + x) = => x + y = y + z = z + x =
+ Xét TH1: x + y = => x = - y x + y + z = 0=> z = Thay vào ta có S =
Tương tự ta xét TH cịn lại ta tính S = Vậy S =
Câu 4:
a) Có cách giải:
C1: Sử dụng: (a + b)2 4ab cho hai số m (n +p) Ta có
VT = (n + p) = (n + p)(m + n + p)2 (n + p) 4m (n + p) = 4m (n + p)2 Mà (n +p)2 4np Vậy VT 4m 4np= 16mnp - ĐPCM
(2)=> p(4n - 1)2 + n(4p - 1)2 với n,p Vây BĐT ln đúng.
C3: Phân tích được: (n +p)(1 + 16np) 16np CM BĐT OK b) x2 - 2xy + x - 2y≤ => (x +1)(x - 2y) ≤ Nên x ≤ 2y => x2 ≤ 4y2 Thay x2 ≤ 4y2 => M = - y2 + 6y = - (y - 3)2 ≤ 9
Vây Max M = x = 6, y =
Câu 5:
a) CM tam giác đồng dạng Ta có : AC BD = a2
b) Ta có : AC/ BD = IA/ IB
Sử dụng tính chất đường phân giác OI ta điều phải CM
c) Tính AC =3a/ 32; BD = 32a/3
x
y a
a
2
1 B
A
O
I