Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE.. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM [r]
(1)Năm 2007 – 2008 (120 phút) Bài (4đ):
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
2/ a,b,c cạch tam giác Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài (3đ):
Chứng minh x + y = xy ≠ : y
x3−1 −
x
y3−1 =
2( x − y ) x2y2+3
Bài (5đ):
Giải phương trình: 1, x2−24
2001 +
x2−22 2003 =
x2−20 2005 +
x2−18 2007
2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài (6đ):
Cho ∆ABC vng A Vẽ phía ngồi ∆ ∆ABD vng cân B ∆ACE vng cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BE Chứng minh rằng:
1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK
Bài (2đ):
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
đề thi học sinh giỏi thị xã BN Năm học: 2004 – 2005
Thêi gian 150 Bµi 1:
1) Rót gän biĨu thøc: A =
2
1
6
5 n n
x x
x x
víi /x/ = 1
2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + = 0.TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc:
B =
2 7 52
( ) x xy x y x y Bài 2:
1) Giải phơng tr×nh:
(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
2) Tìm x để biểu thức:
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ?
Bµi 3:
1) Tìm số tự nhiên x cho: x2 + 21 số phơng ?
2) Chứng minh rằng: Nếu m, n hai số phơng lẻ liên tiÕp th×:
(m – 1).(n – 1) 192
(2)BN
1) Chøng minh: M; H; F thẳng hàng
2) Chứng minh: AM tia phân giác AHN
3) Vẽ AI HM; AI cắt MN G Chứng minh: GE = MG + CF
Bài 5:
1) Gải phơng tr×nh:
(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
2) Cho a, b, c R+ vµ a + b + c = 1.
Chøng minh r»ng:
1 1 abc
Đề số 3
Bài 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A=(1 3+
3 x2− x):(
x2 27 −3 x2+
1 x +3)
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)Giải phơng trình:
a)
1 3 y2 +
3
x2−3 x
:( x
2
27 − x)
b) x − x 2− 3+x
2 =3 −
(1 −6 − x )
1 2
Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy
Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số phơng Đề số 4
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nh©n tư
a) x2
+4 x − 5
b) ab(a −b)−ac (a+c)+bc(2 a − b+c)
2) Giải phơng trình
1 x2+x+
1 x2+3 x +2
Câu II: (2 điểm)
1) Xỏc nh a, b để da thức f (x)=x3+2 x2+ax +b chia hết cho đa thức g(x)=x2
+x +1
2) Tìm d phép chia đa thức P(x)=x161+x37+x13+x5+x +2006 cho đa thức Q(x)=x2+1
Câu III: (2 điểm)
1) Cho ba sè a, b, c kh¸c a + b + c = Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:
(3)
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n a ≠ −b , b ≠ −c , c ≠ − a
CMR: a
2
− bc (a+b)(a+c )+
b2− ac (b+a)(b+c)+
c2− ab (c +a)(c +b)=0
Câu IV: (3điểm)
1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm cđa CP vµ NB CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng
c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB khơng đổi 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H
CMR: HA '
AA '+ HB' BB' +
HC '
CC' b»ng số
Câu V: (1 điểm):
Cho hai số a, b không đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức:
Q=a2−ab+b2 a2+ab+b2
§Ị sè 5 Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a+b2(a b) c +a¿2(c − a)+c¿
b+c¿2(b − c)+b¿
a¿
b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c vµ
a+ b+
1 c=0
Rót gän biĨu thøc: N=
a2+2 bc+ b2+2ca+
1 c2+2 ab
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
M=x2
+y2− xy − x+ y+1
b) Giải phơng trình: y 5,5
4
−1=0 y − 4,5¿4+¿
¿
Bài 3: (2điểm) Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau đợc 15 phút, ngời gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp ngời xe máy một địa điểm cách B 20 km Tính qng đờng AB Bài 4: (3điểm) Cho hình vuông ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1im)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
3 x2+5 y2=345
Đề số 6
Bài 1: (2,5điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x √x - 3x + √x -2 víi x Bài : (1,5điểm)Cho abc = Rót gän biĨu thøc:
(4)
Bài 3: (2điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0.TÝnh: P=ab 4 a2− b2
Bài : (3điểm)Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân
c) TÝnh : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC cho AEMF l hỡnh vuụng
Bài 5: (1điểm) Chứng minh với số nguyên n :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.
Đề số 7
Bài 1: (2điểm) Cho biÓu thøc:
M=
x2−5 x+6+ x2− x+12+
1 x2−9 x +20+
1 x2− 11 x+30
1) Rót gän M
2) Tìm giá trị x để M >
Bài 2: (2điểm) Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể bao nhiờu
Bài 3: (1điểm) Tìm x, y nguyên cho: x2
+2 xy+x + y2+4 y=0
Bài 4: (3điểm) Cho hình vng ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vng góc với AE A cát CD K
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK
2) Gọi I trung điểm KF, J trung điểm cña AF Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x
4) Hãy vị trí E cho độ dài EK ngắn Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác thoả mãn:
xy+ yz+
1 zx=0
TÝnh N=x2 yz+
y2
zx+ z2
xy
Đề số 8
Câu I: (5 điểm) Rút gọn phân thức sau: 1) |x − 1|+|x|+x
3 x2− x +1
2)
a −1¿2+30 ¿
a −1¿4− 18(a2−2 a)−3
3¿
a −1¿4− 11¿ ¿ ¿
C©u II: (4 ®iĨm)
(5)
A= a 1+a+ac+
b 1+b +bc+
c 1+c +ac
3) Giải phơng trình: x
2
+2 x+1 x2+2 x+2+
x2+2 x+2 x2+2 x+3=
7
Câu III: (4 điểm)Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ cơng nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng công việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc
Nếu cơng việc đợc giao riêng cho tổ tổ cần thời gian để hoàn thành
Câu IV: (3 điểm)Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA
3) Chøng minh AC2
=AB AH +AD AK
C©u V: (2 điểm)
Giải phơng trình: |x 2002|2002+|x 2003|2003=1
Đề số 9 Câu I: (2điểm)
1 Thực phÐp chia A=2 x4− x3− x2− x +2 cho B=x2
+1 Tìm x Z để A
chia hết cho B
2 Phân tích đa thức thơng câu thành nhân tử Câu II: (2điểm)
1 So sánh A B biết:
A=532−1 vµ B=6 (52+1)(54+1)(58+1)(516+1)
2 Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44.
C©u III: (2điểm)
1 Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thoả mÃn: a+b +c2=3(ab+bc+ca )
¿ Hái
tam giác cho tam giác ? Cho đa thức f(x) = x100
+x99+ +x2+x +1 T×m d cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho
®a thøc x2−1 .
Câu IV: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
1 Tø giác AEHF hình ? Tại ? Chøng minh AB CF = AC AE
So sánh diện tích tứ giác AEMF diện tích tam giác BMC Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm phơng trình sau số nguyªn:
x − 2
2005+ x −3 2004 +
(6)(7)
Câu 1: (2điểm) a) Cho x2
−2 xy+2 y2− x +6 y +13=0
TÝnh N=3 x2 y −1 xy
b) Nếu a, b, c số dơng đôi khác giá trị đa thức sau số d-ơng
A=a3
+b3+c3−3 abc
C©u 2: (2 ®iĨm)
Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = th×:
A=(a −b
c + b − c
a + c − a
b )( c a − b+
a b − c+
b c − a)=9
Câu 3: (2 điểm)
Mt ụ tô phải quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian ô tô quãng đờng AB biết ngời đến B Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI ti N
a) Chứng minh tứ giác MENF h×nh thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Câu 5: (1 im)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6
+3 x2+1= y4
(8)
Bài 1: (2 điểm)
Cho M =(
x +1 x)
6
−(x6+
x6)− 2
(x +1 x)
3
+x3+
x3
a) Rót gän M
b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm)
a) T×m x biÕt :
x −3¿3
x − 2¿3=¿
2 x −5¿3−¿ ¿
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 hai số phơng Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x y thoả mÃn: 4 x2+17 xy+9 y2=5 xy − 4|y − 2|
TÝnh H=x3
+y3+xy
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b +c=abc
Chøng minh: a(b2− 1)(c2−1)+b(a2− 1)(c2−1)+c (a2−1)(b2−1)=4 abc
Bài 4: (4 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đ-ờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N
a) Chøng minh IM = IN
b) Chøng minh:
AB+ CD=
2 MN
c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chứng minh HM + HE = 2AK
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) TÝnh S(ABCD) theo a vµ b.
(9)
C
âu : (2 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2− x −12
b) x8
+x+1
c) (x2+3 x +2)(x2+11 x +30)−
Câu 2: (2 điểm)
1) So sánh A B biết: A=532 B=24 (52+1)(54+1)(58
+1)(516+1)
2) Cho 3 a2+2 b2=7 ab vµ 3 a>b>0 .
Tính giá trị biểu thức: P=2005 a 2006 b 2006 a+2007 b
Câu 3: (2 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc: A2x2 9y2 6xy 6x12y1974 2) Gi¶i phơng trình: y2
+4x+2 y 2x+1+2=0
3) Chøng minh r»ng: a8 b8 c8 d8 4a2b2c2d2 Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G
a) Chøng minh tø gi¸c EGFK hình thoi b) Chứng minh AF2 = FK FC.
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm)
Cho ®a thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1) f(2) số lẻ Chứng minh đa thức f(x) nghiệm nguyên
(10)
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: A=( 14+1
4)(3
4
+1
4) (19
4
+1 4)
(24
+1 4)(4
4
+1
4) (20
4
+1 4)
b) Chøng minh r»ng: TÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiếp cộng với số phơng
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho xyz = 2006
Chøng minh r»ng: 2006 x
xy +2006 x +2006+
y
yz+ y +2006+ z
xz +z+1=1
b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.
c) Cho a+2 b+3 c ≥ 14 Chøng minh r»ng: a2
+b2+c2≥ 14
C©u 3: (2 ®iĨm) Cho ph©n thøc:
B=(3 x
2
+3 x3−1 −
x − 1 x2+x+1−
1 x −1)
x −1 2 x2−5 x +5
a) Rút gọn B
b) Tìm giá trị lớn B Câu 4: (3 điểm)
Cho M điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ hình vuông AMCD BMEF
a) Chøng minh: AE BC
b) Gọi H giao điểm AE BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng c) Chứng minh đờng thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB
C©u 5: (1 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng víi n N n > thì:
C=1+1 23+
1 33+
1 43+
1 53 +
1 n3<2
b) Giải phơng trình:
(x 1)(x −2)(x −3)(x − 4)=(x+1)(x +2)( x+3)(x +4 )
(11)
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2
−7 x −6
b) (x+2)(x +3)(x +4)(x +5)−24
c) x4
+4
2) Rót gän:
A=
x2+5 x +6+ x2+7 x +12+
1 x2+9 x+20+
1 x2+11 x +30
Câu 2: (2 điểm)
1) Tỡm a thc f(x) biết f(x) chia cho x-2 d 2, f(x) chia cho x-3 d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + đợc thơng 1-x2 cịn d.
2) Tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức sau số nguyên
A=2 x
3
+x2+2 x +5 2 x +1
Câu 3: (2 điểm)
Giải phơng tr×nh:
a) x −1
99 + x −3 97 +
x −5 95 =
x − 2 98 +
x − 4 96 +
x −6 94
b) x2+x +1¿2+(x2+x+1)−12=0
¿
Câu 4: (3 điểm)
Mt ng thng d i qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần l-ợt E, K, G Chứng minh rằng:
1) AE2=EK EG
2)
AE= AK+
1 AG
3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A Chứng minh: BK DG = const Cõu 5: (1 im)
Tìm giá trị nhá nhÊt nÕu cã cđa biĨu thøc sau:
B=16 x
2
+4 x +1
2 x (víi x > 0)
(12)
Câu 1: (6 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử; a) 2 x y − x2
+2 xy − y2
b) 2 xy +2 x − y2− y
c) x2 2xyy2 3x 3y 10 Câu (4 điểm)
Cho a+b +c=0 vµ abc ≠ 0 Chøng minh r»ng: Câu (4 điểm)
Cho biểu thức Q= x
4
+x x2− x +1+1−
2 x2+3 x +1
x +1 ( x ≠ −1 )
a) Rót gän biĨu thøc Q
b) Tìm giá trị nhỏ Q Câu 4: (6 ®iĨm)
Vẽ phía ngồi tam giác nhọn ABC tam giác ABD ACE Gọi M, N lần lợt trung điểm AD CE H hình chiếu N AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC I
a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN b) Tính góc tam giác MNI
c) Gi¶ sư gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MIN theo a,
b
(13)
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: a+b +c3 a3b3 c3
¿
b) Rót gän: 2 x
3− x2−12 x+45
3 x3− 19 x2+33 x
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh r»ng: n
2−7
¿2−36 n
A=n3¿ chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho ba mỏy bm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc 15 máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
Tính xem giếng hết nớc
b) Giải phơng trình: 2|x+a||x a|=3 a (a số) Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt điểm M, N
a) Chng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chøng minh: gãc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC Câu 5: (1 điểm)
Chøng minh r»ng sè:
224 99 9⏟
n-2 sè
1 00 09⏟
n sè lµ sè chÝnh ph¬ng ( n ≥2 )
(14)
Câu 1: (2 điểm)
Cho P= a
3
− a2− a+4 a3−7 a2+14 a −8
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức:
P=(x −1)(x +2)(x+3)(x +6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: (2 im)
a) Giải phơng trình:
x2+9 x +20+
1 x2
+11 x+30+
1
x2+13 x +42=
1 18
b) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c Chøng minh r»ng;
A= a
b+c − a+ b a+c − b+
c a+b − c≥3
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600
quay quanh ®iĨm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh:
a) BD CE=BC
2
4
b) DM, EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng sè ®o diƯn tÝch b»ng sè ®o chu vi
(15)
Bài 1: (2 điểm)
a, Giải phơng trình
6 x 103=0
1− x2 ¿3+¿
x2−6 x +9¿3+¿ ¿
b) Cho x, y tho¶ m·n: x2
+2 y2+2 xy − x − y +13=0
Tính giá trị biểu thức: H=x
27 xy+52
x y
Bài 2: (2 điểm)
Cho x
2
− y x (1 −3 y )=
y2−3 x
y (1 −3 x ) víi x , y ≠ 0 ; x , y ≠
3 ; x ≠ y
Chøng minh r»ng:
x+
y=x + y +
Bµi 3:
Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên Với y=4 x +3
x2+1
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC cân A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M cho MB < MC Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua đờng thẳng EF
a) Cho AB =1002,5 cm TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF b) Chøng minh tø giác ANEF hình thang cân c) AN cắt BC H Chứng minh HB HC = HN HA Bài 5: (1 ®iĨm)
Cho ®a thøc f (x)=x3+ax2+bx +c
T×m a, b, c biÕt f (1)=5 ; f (2)=7 ; f (3)=9
(16)
Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x8
+x7+1
b) (4 x+1)(12 x −1)(3 x+2)(x +1)−
2) Cho a+b +c=0 a2
+b2+c2=1 Tính giá trị cđa biĨu thøc:
M =a4
+b4+c4
Bµi 2: (2 ®iĨm)
Cho biĨu thøc: M= x
2
(x + y )(1− y)−
y2
(x+ y)(1+x )−
x2 y2 (1+x )(1− y)
a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Bài 3: (2điểm)
Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy b l bao nhiờu
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G
a) Chøng minh AE = AF vµ tø giác EGFK hình thoi
b) Chng minh AKF đồng dạng với CAF AF2 = FK FC
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Bài 5: (1 điểm)
Cho a lµ mét số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số
gồm n chữ số (n số tù nhiªn, n ≥1 )
Chøng minh r»ng: a+b +c +8 số phơng
(17)
Câu 1: (2 điểm)
Giải phơng trình sau: a) x4
+4 x2=5
b) |x 1||2 x 3|=5
Câu 2: (2 điểm)
Cho biÓu thøc: A=x
4
− x x2− x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Câu 3: (2 điểm)
Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuốc mảnh vờn, hoàn thành giê 50 Nhng sau giê lµm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vờn
Hỏi làm anh phải làm bao lâu? Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng:
a) EF song song víi AB b) AB2 = CD EF
Câu 5: (1 điểm)
Chøng minh r»ng biÓu thøc:
10n+18 n −1 chia hết cho 27 với n số tự nhiên.
(18)
C©u 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: x4 3x2 4x 12
b) TÝnh: 2003.2005
1
7
1
1
1
A
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c hai số khác khác thoả mÃn: 3a2 b2 4ab Tính giá trị cđa biĨu thøc: A=a − b
a+b
b) Giải phơng trình: x2 Câu 3: (2 ®iÓm)
Cho An3 3n2 2n (n N)
a) Chứng minh A chia hết cho b) Tìm n với n < 10 để A chia hết cho 15 Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F lần lợt điểm đối xứng H qua AB, AC
a) Chøng minh E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh BEFC hình thang
c) Tìm vị trí H BC để BEFC hình thang vng, hình bình hành Câu 5: (1 điểm)
Cho
13
14
2
2
b a b
ab a
Tính giá trị : P=a2 b2
(19)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Cho x > 0, y > thoả mÃn: x2
2 xy=3 y2
Tính giá trÞ cđa biĨu thøc: x y
y x A
b) Víi |x|=1 Rót gän biÓu thøc: B=− x
2+6 x −5
5 xn xn+1
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh với giá trị nguyên x th× biĨu thøc
P(x)=1985. x
3
3 +1978 x2
2+5 x
6 cã giá trị nguyên
Bài 3: (2 điểm)
Một ngời xe đạp, ngời xe máy, ngời ô tô từ A B khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, với vận tốc thứ tự 10 km/h, 30 km/h,
40 km/h Hỏi lúc ô tô cách ngời xe đạp xe máy Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực,
vÏ phÝa ngoµi tam giác hai hình vuông ABDE, ACGH Biết OE = OH Tính số đo góc BAC ?
Bài 5: (1 điểm)
Giải phơng trình: (x2 x +11)( y2+2 y +4)=− z2+4 z +2
(20)
Câu 1: (2 điểm)
a) Rút gän biÓu thøc:
a+2¿2− a2 ¿ ¿ ¿
A= a
2
+a − 2 an+1− an.
b) Tính giá trị biểu thức:
B=x19−5 x18+5 x17−5 x16+ −5 x2+5 x+1886 víi x =
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình x3
+5 x 12 y=4 b) Cho a, b, c số tự nhiên không nhỏ
Chứng minh rằng:
1+a2+ 1+b2≥
2 1+ab
C©u 3: (2 ®iĨm)
Một tơ vận tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau thời gian tơ từ A đến B với vận tốc 60 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ô tô tải B Nhng sau đợc nửa quãng đờng AB, xe tải giảm bớt km/h nên hai xe gặp C cách B 30 km
Tính quãng đờng AB Câu : (3 điểm)
Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:
a, AE2 = EK EG
b,
AE= AK +
1 AG
c, Khi đờng thẳng thẳng d thay đổi vị trí nhng qua A tích BK.DG = Const
Câu 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:
M=x
2−2 x+2005
x2
(21)
C©u 1: (2 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng ta có:
A= x
5
120 + x4 12+
7 x3 24 +
5 x2 12 +
x
5 lu«n số nguyên dơng
b) Rút gọn: B=x
24
+x20+x16+ +x4+1 x26+x24+x22+ +x2+1
C©u 2: (2 điểm)
Bạn A hỏi bạn B: năm bố mẹ anh tuổi ? B trả lời: bố mẹ tuổi Trớc tổng số tuổi bố mẹ 104 tuổi tuổi ba anh em 14; 10 Hiện tổng số tuổi bố mẹ gấp lần tổng sè ti cđa ba anh em t«i”
TÝnh xem tuổi bố mẹ bạn B ? Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh nếu: x+ y=z +t (x, y, z, t Z ) số :
A=x2
+y2+z2+t2 tổng bình phơng ba số nguyên
b) Tỡm số tự nhiên N từ ba điều kiện sau: Trong có điều kiện đúng, điều kiện sai:
1 N + 45 bình phơng số tự nhiên N có chữ số tận
3 N - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm)
Hai đờng chéo AC BD hình thoi ABCD cắt O Đờng trung trực AB cắt BD AC O1 O2 Đặt O2A = a ; O1B = b
TÝnh diƯn tÝch ABCD theo a, b C©u 5: (1 điểm)
Tìm x, y, z Z thoả m·n:
(2 x +5 y +1)(2|x|
+y + x2+x )=105
(22)
C©u 1: (2 ®iĨm) a) Cho
k2+k¿3 ¿
ak=3 k
2+3 k +1 ¿
víi k N* TÝnh tæng S = a1+a2+a3+ +a2007
b) Chøng minh r»ng: n
2
−7¿2−36 n
A=n3
¿ chia hÕt cho víi mäi n nguyên
Câu 2: (3 điểm)
a) Cho ba số x, y, z thoả mãn đồng thời:
x2+2 y +1=0 ; y2
+2 z +1=0 ; z2+2 x +1=0
Tính giá trị biÓu thøc: A=x2005
+y2006+z2007
b) Chøng minh r»ng víi x, y Z th×
P=(x+ y)(x +2 y)(x +3 y )(x+4 y )+ y4 lµ mét số phơng.
c) Tìm số d phép chia:
(x+1)(x +3)(x+5)( x+7)+2007 cho x2
+8 x +1
Câu 3: ( điểm)
Phng v Hng có 110.000 đồng Hai ngời rủ chợ Phơng tiêu 1/5 số tiền Hng tiêu 1/6 số tiền Số tiền cịn lại Hng nhiều số tiền lại Phng l 10.000 ng
Hỏi ngời có tiền Câu 4: (3 điểm)
Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? v× ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA
3) Chøng minh AC2
=AB AH +AD AK
(23)
Câu 1: (2 điểm)
Giải phơng trình:
a) (
1 2+
1 3+
1 4+ +
1 2005) x 2004
1 + 2003
2 + 2002
3 + + 2004
=2005
b) |x 1|+|x 3|=4
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tỉ lệ ba đờng cao tam giác Biết cộng lần lợt độ dài cặp hai cạnh tam giác tỉ lệ kết : :
Câu 3: (2 điểm)
a) Tỡm tng cỏc hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức:
2004+2005 x +x2¿2005
2004 −2005 x +x2
¿2004.¿
P (x)=¿
b) Tìm số tự nhiên n để n4
+n2+1 số nguyên tố
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC Kẻ đờng cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB, B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K
Chứng minh IB, CK đờng cao tam giác ABC Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c [0 ;1] vµ a+b +c=2
Tìm giá trị lớn biểu thức P=a2
+b2+c2
(24)
C©u 1: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nh©n tư:
x9− x7− x6− x5+x4+x3+x2−1
b) Rót gän biÓu thøc: (x2− xy1 −
3 y2 x4− xy3−
y x3
+x2y +xy2).(y + x2 x+ y)
Câu : (2 điểm)
a) Cú tồn cặp số tự nhiên (x, y) s 4 x4
+y4 số nguyên tố
không
b) Giải phơng trình: y2 y +3=
x2+2 x+4
C©u 3: (2 ®iĨm)
Một ngời từ A đến B tử B A 17 phút, đoạn đờng AB dài km gồm đoạn lên dốc, tiếp đoạn đờng bằng, cuối đoạn xuống dốc Hỏi đoạn đờng dài km Nếu vận tốc ngời lúc lên dốc 4km/h, lúc đoạn đờng km/h, lúc xuống dốc km/h
Câu 4: (3 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD, M điểm tuỳ ý đờng chéo BD Kẻ ME vng góc với AB, MF vng góc với AD
a) Chøng minh: DE = CF vµ DE CF
b) Chứng minh đờng thẳng DE, BF, CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c ba số dơng Chứng minh rằng:
1< a a+b+
b b+c+
c c +a<2
(25)
C©u 1: (2 điểm)
Cho phân thức: A= x
4
+x3− x2− x −2
x4+2 x3− x2−4 x −2 (víi x Z)
a) Rót gän A
b) Xác định x để A có giá trị nhỏ Câu 2: (2 điểm)
a) Cho x, y, z số nguyên khác
Chøng minh r»ng nÕu: x2
− yz=a ; y2
− zx=b ; z2
− xy=c Th× tỉng
ax+by +cz chia hÕt cho tỉng a+b +c
b) Cho đa thức f(x) chia cho x-2 d 5, chia cho x-3 d 7, cịn chia cho x2−5 x +6 đợc thơng 1− x2 cũn d.
Tìm đa thức f(x) Câu 3: (2 điểm)
Giải phơng trình:
x3 x2 x=1
Câu 4: (3 điểm)
Cho hỡnh chữ nhật ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm F cho
AF = AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE = AD Gọi N giao điểm FC với AB M giao điểm EC AD
a) Chøng minh MD = BN
b) KỴ BH AC, gọi I trung điểm AH, K trung điểm CD Chứng minh BH IK
Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất số có ba chữ số cho tổng nghịch đảo chữ số số
(26)
Câu 1: (2 điểm)
a) Cho y >x>0 vµ x
2
+y2
xy =
10
3 Tính giá trị biểu thøc M=
x − y x + y
b) Rót gän biĨu thøc A=(
14+1 4)(3
4
+1
4) (11
4
+1 4)
(24
+1 4)(4
4
+1
4) (12
4
+1 4)
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng tr×nh: x4−4 x3−19 x2+106 x −120=0
b) Cho x4
a+ y4
b =
a+b vµ x
2
+y2=1
Chøng minh r»ng:
a+b¿102 ¿
x2004 a1002+
y2004 b1002=
2
Câu 3: (2 điểm)
Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình đ-ờng hai nhà Bình Khi trở đến nhà An tính qng đđ-ờng dài gấp bốn lần quãng đờng Bình
Tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD, góc vng xAy qoay quanh đỉnh A hình vng, cạnh Ax cắt đờng thẳng BC, CD lần lợt M, N; cạnh Ay cắt đờng thẳng P Q
a) Chứng minh ANP AMQ vuông cân
b) BiÕt QM c¾t PN ë R; I, K theo thø tự trung điểm PN, QM Tứ giác AKRI hình ?
c) Chng minh im: B, D, K, I thuộc đờng thẳng, từ suy đờng thẳng IK cố định góc vng xAy quay quanh đỉnh A
C©u 5: (1 ®iÓm)
Cho p3
+q3=2 Chøng minh r»ng: 0< p+q ≤2
(27)
Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phơng trình:
4 x −6¿3=0
2− x2 ¿3+¿
x2− x +43+
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4+2004 x2
+2003 x +2004
Câu 2: (2 điểm)
Cho a+b +c=0 ; x+ y+ z=0 ; a
x+ b y+
c z=0
Chøng minh: ax2
+by2+cz2=0
Câu 3: (2 điểm)
Tỡm s nguyờn dng A; Cho biết ba mệnh đề P, Q, R dới có mệnh đề sai:
P = A+ 45 bình phơng số tự nhiên Q = A tận chữ số
R = A - 44 bình phơng số tự nhiên Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD; M điểm tuú ý trªn BD, ME AB; MF AD (E AB, F AD)
a) Chứng minh DE, BF, CM đồng quy
b) Tìm M BD để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên để y nguyên: y=2 x +3
x2+1
(28)
Câu 1: (2 điểm)
Rút gọn biÓu thøc: a) A=|x −2|+|x|+x 3 x2− x+4
b) B=
x2+2 x+
3 x2+7 x +10+
4 x2
+14 x +15+ x +9
Câu 2: (2 điểm) a) Cho 3 a2
+b2=4 ab vµ b > a > TÝnh P=a −ba+b
b) T×m x, y biÕt: x2
+y2− xy − x +3=0
C©u 3: (2 điểm)
a) Cho a, b số nguyên Chøng minh r»ng nÕu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d th× a2
+b2+ab chia hÕt cho 19
b) Chøng minh r»ng tÝch bốn số tự nhiên liên tiếp cộng số phơng Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA’, BB’ , CC’ cắt H, gọi M trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC Trên tia HG lấy điểm O
cho OG =
3 OH; AO HM cắt t¹i D
a) Chøng minh OM BC b) Tứ giác BHCD hình ?
c) Gọi A1 , B1 , C1 điểm đối xứng H qua cạnh BC, CA, AB Tính AA1
AA '+ BB1 BB'+
CC1 CC'
Câu 5: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc:
x+6¿4
x+8¿4+¿
P=¿
(29)
C©u 1: (2 ®iÓm)
Cho ®a thøc A=2a2
b2+2 b2c2+2 a2c2 a4b4c4
a) Phân tích đa thức A thành nh©n tư
b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác A> Câu 2: (2 điểm)
a) Gi¶i phơng trình: (x2
y2)2=4 xy +1
b) Cho a, b, c đôi khác a
b− c+ b c −a+
c
a −b=0
TÝnh
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿
a −b¿2 ¿ ¿ ¿
P=a
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho m, n số thoả mÃn: 3 m2
+n=4 m2+n
Chứng minh (m-n) (4m + 4n + 1) số phơng
b) Cho x, y, z số khác thoả mÃn x+ y+ z=xyz vµ
x+ y+
1 z=m
Tính giá trị biểu thức: A=1
x2+ y2+
1
z2 theo m
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC , trọng tâm G, BC lấy điểm P, đờng thẳng qua P theo thứ tự song song CG BG cắt AB, AC E, F; EF cắt BG, CG theo tứ tự I, J
a) Chøng minh: EI = IJ = JF
b) Chøng minh PG ®i qua trung ®iĨm cđa EF
c) Một đờng thẳng P tam giác Chứng minh tổng khoảng cách từ ba đỉnh tam giác ABC xuống đờng thẳng d gấp lần khoảng cách từ trọng tõm n -ng thng d
Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất số có hai chữ sè ab cho: ab
|a − b| lµ sè nguyªn tè
(30)
Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
M= x
2
(x + y )(1− y)−
y2
(x+ y)(1+x )−
x2 y2 (1+x )(1− y)
a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Câu 2: (3 điểm)
a) Chøng minh với n số tự nhiên chẵn biÓu thøc:
A=20n
+16n−3n−1 chia hÕt cho 323
b) Cho x, y, z khác x+ y+ z ≠ 0 Chøng minh r»ng:
NÕu
x+ y+
1 z=
1
x + y +z th× x2007+
1 y2007+
1 z2007=
1
x2007+y2007+z2007
C©u 3: (2 ®iĨm)
Trong đua mơ tơ có ba xe khởi hành lúc Một xe chạy chậm xe thứ 15 km nhanh xe thứ ba km, đến đích chậm xe thứ 12 phút sớm xe thứ ba phút Khơng có dừng lại đờng
Tìm vận tốc xe, quãng đờng đua xem xe chạy mt bao nhiờu thi gian
Câu 4: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD, gọi K, O, E, N lần lợt trung điểm AB, BC, CD DA Các đoạn thẳng AO, BE, Cn DK cắt t¹i L, M, R, P
TÝnh tØ sè diện tích S(MNPR) : S(ABCD) Câu 5: (1 điểm)
TÝnh tæng S=
1 3+ 34+
1
3 5+ +
1 n(n+1)(n+2)
(31)
C©u 1: (2 điểm)
a) Phân tích a4
+4 thành nhân tử
b) Tính : A=24+4 44+4
64+4
84+4 104
+4 124+4
144
+4 164+4
184
+4 204+4
C©u 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thøc:
A=x15− x14+7 x13− x2+ −7 x2+7 x − 5 víi x = 6
b) Tìm n nguyên để n - chia hết cho n2
−n+1
C©u 3: ( ®iÓm)
a) Cho ®a thøc f (x)=x100+x99+ + x2+x+ 1
T×m d cđa phÐp chia f(x) cho x2−1
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
B=xy( x −2)( y +6)+12 x2−24 x +3 y2+18 y+ 2004
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF v CE
a) Tứ giác AEHF hình ? T¹i ? b) Chøng minh AB AE = AC AF
c) So s¸nh diƯn tÝch tø gi¸c AEMF diện tích tam giác BMC Câu 5: (1 ®iÓm)
Cho x2
+y2− xy=x+ y
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A=x3+y3
(32)
Câu 1: (2 điểm)
1 Phân tích thành nhân tử: a) x10
+x2+1
b) (x23 x +2)(x2−7 x +12)−15
2 Cho a, b lµ số thoả mÃn a2
+b2+ab=2005 Tính giá trÞ cđa biĨu thøc:
a+b¿4 ¿
a+b¿2
a2
+b2+¿
a4+b4+¿
P=¿
Câu 2: ( điểm)
) Cho p p2 + số nguyên tố Chứng minh p3 + số nguyên tố.
b) Tìm số dơng x, y, z thoả mÃn: x+ y=xyz x+ y+ z=4
Câu 3: (2 ®iÓm)
Trên quãng đờng AB thành phố, phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B phút lại có xe buýt theo chiều ngợc lại Các xe chuyển động với vận tốc nh Một khách du lịch từ A đến B nhận thấy phút lại gặp xe bt từ B vể phía
Hỏi phút lại có xe từ A vợt qua ngời Câu 4: (3 điểm)
a) Cho hình bình hành ABCD Lấy E thuộc BD, Gọi F điểm đối xứng với C qua E Qua F kẻ Fx song song với AD, cắt AB I, Fy song song với AB, cắt AD K Chứng minh ba điểm I, K, E thẳng hàng
b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d M nằm khác phía với AB) cho tia MA, MB tạo với đờng thẳng d tam giác có din tớch nh nht
Câu 5: (1 điểm)
Giải phơng trình: x a2x b
2
b2− x2+a=
x2 x2−b2
(33)
Câu 1: (2 điểm) a) Cho x2
x +1=0
Tính giá trị cđa biĨu thøc: A=x4+x2+1 x2
b) Tìm số tự nhiên x để x
2
+8
x+8 số phơng
Câu 2: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: (x21
)2=4 x+1
b) Giải bất phơng trình: x 1
2 x>1
Câu 3: ( điểm)
Việt (hỏi): Bạn số nhà ?
Nam (trả lời): Mình số nhà số có ba chữ số, mà hai chữ số đầu nh hai chữ số cuối lập thành số phơng số gấp bốn lần số ?
Vit: Sau lúc suy nghĩ tìm số nhà Nam Hỏi số nhà Nam ?
Câu 4: ( điểm)
1) Cho hai điểm A B nằm phía đờng thẳng a Hãy tìm đờng thẳng a điểm P cho tổng độ dài AP + PB bé
2) Cho góc nhọn xOy điểm A miền góc Hãy tìm hai cạnh Ox, Oy điểm tơng ứng B C cho chu vi tam giác ABC bé
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số x, y, z, t tháa m·n: x2+y2+z2+t2=x ( y+ z+t )
(34)
C©u 1: ( điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tö:
a)
c+a −b¿3
b+c − a¿3−¿
a+b − c¿3−¿
a+b+c¿3−¿ ¿
b)
y2
+z2¿3
z2− x2¿3−¿
x2
+y2¿3+¿
Câu 2: (2 điểm)
a) Cho f(x) = ax2
+bx +c
Chøng minh r»ng: f(x) + 3f(x + 2) = 3f(x + 1) + f(x + 3) b) Tìm số x, y nguyên dơng thoả mÃn: x2 y2=2 y +13
Câu 3: ( ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng n5−5 n3+4 n chia hÕt cho 120 víi mäi n nguyªn.
b) Cho tam giác có độ dài hai đờng cao cm cm Hãy tìm độ dài đờng cao thứ ba, biết độ dài đờng cao số ngun
C©u 4: (3 ®iÓm)
a) Chứng minh tổng độ dài cạnh ngũ giác lồi bé tổng độ dài đờng chéo ngũ giác
b) Cho tam giác ABC Trong hình chữ nhật có hai đỉnh nằm cạnh BC hai đỉnh lại lần lợt nằm hai cạnh AB AC, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn
Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất số thực dơng x, y thoả mÃn: x3+y3=xy 27
(35)
C©u 1: ( ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng: n5
−n chia hÕt cho 30 víi mäi sè nguyªn n
b) Phân tích thành nhân tử: x3
+y36 xy+8
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z tho¶ m·n:
¿
1 x+
1 y+
1 z=2
xy − z=4
¿{
¿
b) Cho a, b, c số hữu tỉ đôi khác Chứng minh rằng:
a −b¿2 ¿
b − c¿2 ¿
c −a¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
1
¿
A=√¿
lµ mét số hữu tỉ
Câu 3: ( điểm)
a) Cho x, y > tho¶ m·n x + y =1 Chøng minh r»ng:
(x +1 x)
2
+(y +1 y)
2
≥25
b) Chøng minh r»ng:
n+1¿2 ¿
n2
+¿
1 5+
1
13+ +
Câu 4: (2 điểm)
Cho ®a thøc P(x) ¿x4+ax3+bx2+cx +d víi a, b, c , d lµ h»ng sè
BiÕt P(1) = 10; P(2) = 20 ; P(3) = 30 TÝnh P(12) + P(-8)
Câu 5: ( điểm)
Tìm số x, y nguyên thoả mÃn: x2y2 x2 y2=2 xy
(36)
Bài 1: (4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A=x4
+4
b) Tỡm s nguyên a để biểu thức P=a2+a+3
a+1 nhËn gi¸ trị nguyên
Bài 2: (4 điểm)
a thức P(x) chia cho x -3 d 7, chia cho x + d -9 chi cho x2 - 5x + đợc thơng x2 + cịn d Tìm đa thức P(x).
Bài 3: (6 điểm)
a) Biết x nghiệm phơng trình:
x ab a+b +
x − ac a+c +
x − bc
b+c =a+b+c
Tìm x dạng thu gọn
b) Rót gän biĨu thøc: M= (2
3
+1)(33+1)(43+1) (503+1) (23−1)(33− 1)(43−1) (503− 1)
Bµi 4: (6 ®iĨm)
a) Trên tia Ox góc xOy cho trớc điểm A Hãy tìm tia Oy góc điểm B cho OB + BA = d (với d độ dài cho trớc
b) Cho tam giác ABC có trung tuyến kẻ tõ B vµ C lµ BE vµ CF Chøng minh BE vuông góc với CF khi: AC2 + AB2 = 5BC2
(37)
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4
+3 x22 x+3
b) Giải phơng trình: x3+3 x2 x+1=0
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thøc: P=(a+2
a+1− a − 2 a − 1)
a+1 a
a) Rót gän P
b) Tìm a để P nguyên Bài 3: (3 điểm)
a) Tìm số nguyên x, y, z biết rằng: y +z +1
x =
x+z +2
y =
x+ y − 3
z =
1 x + y +z
b) Cho ®a thøc f(x) = ax2
+bx +c víi a, b, c số hữu tỉ Biết f(0), f(1),
f(2) có giá trị nguyên
Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên Bài 4: (2 ®iĨm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đờng cao AA’, BB’, CC’ Gọi H trực tâm tam giác ABC
Chøng minh r»ng: HA '
AA '+ HB' BB' +
HC ' CC' =1
Bµi 5: (1 điểm)
Tìm số a b chob đa thức x2
+ax+b chia cho (x + 1) th× d 7, chia
cho (x-3) th× d -5
(38)
Bài 1: (2 điểm)
Rút gọn biểu thøc:
a)
b+c − a¿2
a+b − c¿2+¿
a −b +c¿2+¿
a+b+c¿2+¿
P=¿
b) Q=x − y1 −x+ y1 −
x2+y2
Bài 2: ( điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (a+b+c )(ab+bc+ca ) abc
b) T×m x, y biÕt: x2+y2− x +3 y +5 2=0
c) Cho A=(n −1)(n2−3 n+1) Tìm số tự nhiên n để giá trị A s nguyờn
tố
Bài 3: ( điểm)
Giải phơng trình:
x 13 117 +
x −11 119 +
x − 9 121 +
x − 7 123 +
x − 5 125 =
x −117
13 +
x − 119
11 +
x −121
9 +
x −123
7 +
x 125
Bài 4: (2 điểm)
Một ô tô khởi hành từ A đến C, hai sau ô tô khác từ B đến C Sau
32
5 giê tÝnh từ ô tô thứ lhởi hành hai ô tô gặp Tính vận tốc
ô tô Biết B nằm đờng từ A đến C quãng đờng AB 78 km, vận tốc ô tô từ A lớn vận tốc ô tô từ B km/h
Bài 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC có ba phân giác AD, BE CF Gọi M, N, P theo thứ tự điểm đối xứng B, A C qua AD, BE , AD Q điểm đối xứng A qua CF Chứng minh MN // PQ
(39)
Bài 1: ( điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử: a) − x4
+1 −2 x3− x2
b) a(b3− c3
)+b (c3−a3)+c (a3− b3)
Bµi 2: (4 ®iĨm)
a) Rót gän biĨu thøc sau:
a+b¿2
a+b − 1¿3− 6¿
a+b+1¿3−¿ ¿
b) Xác định a, b để đa thức x3
+ax2+2 x+b chia hÕt cho ®a thøc x2−1
c) Tìm d phép chia đa thức f (x)=2004 x2005 2005 x2004+x2002− 1 cho ®a thøc
x2−1
d) Tìm x nguyên thoả mÃn: |2 x 1|<5
Bài 3: (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD có AD = BC Gọi M, N, P Q lần lợt trung điểm AB, CD, BD AC
a) Chứng minh MN phân giác góc PMQ b) Tìm điều kiên tứ giác ABCD để MN = PQ
c) Xác định vị trí điểm I CD để AIB có chu vi nhỏ Bài 4: (1,5 điểm)
a) TÝnh nhanh: 9982+9992+10012+10022
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
A=x2+xy+ y2−3 x − y+2004
(40)
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x4
+x3 x2+3 x 1
b) Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: A=2 x2
+9 y2− xy − x − 12 y +2006
Bµi 2: (2 điểm)
a) Tìm thơng phần d phÐp chia ®a thøc:
f (x)=1+x +x2+x3+ +x1997 cho x2+1
b) §a thøc f(x) chia cho x-3 th× d 10, chia cho x+5 th× d cßn chia
cho (x-3)(x+5) đợc thơng x2+1 cịn d Tìm đa thức f(x)
Bµi 3: (2 điểm)
Tìm số tự nhiên x cho M=x1999
+x1997+1 có giá trị số nguyên tố
Bài 4: (3 điểm)
Cho hỡnh vuông ABCD điểm M đờng chéo AC Từ M hạ MH, MK thứ tự vng góc với AB BC
a) Chứng minh rằng: AK, CH DM đồng quy
b) Tính góc ∆DHK biết diện tích ∆ 14(HK2+KD2) .
Bài 5: (1 điểm)
Tỡm a phơng trình sau có nghiệm nhất: |2 x − a|+1=|x+3|
(41)
Bµi 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tö: a) x5
−2 x4+2 x3− x2− x +6
b) x3
+x2+4
Bµi 2: (2 ®iĨm)
Cho biĨu thøc: P=(
m−1+ m m3−1
m2
+m+1 m+1 ):
2 m+1 m2+2 m+1
a) Rót gän P
b) TÝnh P m=2001
1999
Bµi 3: (2 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n phân số: 15 n
2
+8 n+6
30 n2+21 n+13 tèi gi¶n
b) Tìm số ngun n để n −7 chia hết cho n2
−64
Bµi 4: (3 ®iĨm)
Cho hình vng ABCD, cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vuông góc với AE, cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF, AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chøng minh tø gi¸c MENF hình thoi
b) Chng minh rng chi vi tam giác CEM không đổi E chuyển động BC Bài 5: (1 điểm)
Tìm a để P = a4 + số nguyên tố.
(42)
Bµi 1: ( 2điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x+ y¿2−(x+ y)−6
¿
b) (x2+x +1)(x2+3 x +1)+x2
Bài 2: (2 điểm)
Cho ®a thøc P(x)=x5
+ax4+bx3+cx2+dx+e vµ cho biÕt
P(1) = ; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33 ; P(5) = 51 TÝnh P(6) ; P(7) ; P(8)
Bài 3: (2 điểm)
Giải phơng trình: a) x2+ 4 x
2
x2− x +4=5
b) x5=x4+x3+x2+2
Bài 4: (2 điểm)
Dựng hai can lớt 2,5 lít làm để đong đợc lít rợu từ can lít đựng đầy rợu (các can khơng có vạch chia độ)
Bµi 5: (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: P = x100−10 x10
+10
(43)
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: x5 x4 1
b) Tìm cặp số (x, y) để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: P=− x2
y2+xy+2 x+2 y
Bài 2: ( 2điểm)
Giải phơng trình:
a) ( x+ 2)2+(x +3)3+( x +4 )4=2
b) |x2
− 1|+|x2− 4|=x2− x +4
Bài 3: ( điểm)
Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Newtơn đa thức:
[1+ x2
(1 x )]8
Bài 4: (2 điểm)
Tỡm s tự nhiên có bốn chữ số biết số luỹ thừa bậc bốn tổng chữ số nú
Bài 5: (2 điểm)
Chøng minh r»ng:
3≤
x2+x +1 x2− x+1≤ 3
(44)
C©u 1: ( điểm)
Phân tích thành nhân tử: a) x4y4+64
b) 2 x4
− x3+14 x29 x+2
Câu 2: ( điểm)
Tỡm m để phơng trình sau có hai nghiệm: |x|+|x − 2||x +1|=m
Câu 3: ( điểm) Cho x2
2006 x +1=0 Tính giá trị biểu thøc: P=x
4
+x2+1 x2
C©u 4: (2 ®iĨm) Cho x, y, z > vµ xyz =1 Chøng minh r»ng:
x3
+y3+1+ y3
+z3+1+ z3
+x3+1 1
Câu 5: ( điểm)
Cho a, b, c ba số dơng thoả m·n: a+b +c=1
T×m GTNN cđa biĨu thøc: P=(1+1
a)(1+ b)(1+
1 c)