[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 4: Các toán liên quan tới phương trình bậc hai định lý Vi-et
Bài 1:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 1.Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m
2.Chứng minh có hệ thức hai nghiệm số khơng phụ thuộc vào m
Giải:
1 Ta có : = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = >
suy phương trình ln có nghiệm với m
2.Theo vi-et ta có:
) (
) ( 2
2
m m x x
m x x
Từ (1) suy ra:
2 1 x x
m thay vào (2) ta có:
2
1
2 2
x x x
x x
x
2
1
2 2
1
x x x x
x
x
Ta có đpcm
Bài 2: Tìm giá trị nguyên k để biệt thức phương trình sau số phương: k.x2 + (2.k-1).x + k-2= 0; (k0)
Giải:
(2)Giả sử 4k + số cp số cp lẻ hay: 4k + = (2n + 1)2 n số tự nhiên Hay: k = n2 + n
Vậy để số cp k = n2 + n( thử lại thấy đúng)
Bài 3: Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :
(x-2)(x2 + k.x + k2 - 3)=
Giải:
Đặt f(x)= (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3) = (x-2).g(x)
Để f(s)=0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g(x) =0 có hai nhgiệm phân
biệt khác hay:
1 2
0 ) (
0 ) ( 2
k k g
k k
Bài 4: Tìm a,b để hai phương trình sau tương đương:
x2 + (3a + 2b) x - =0 (1) x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2) với a b tìm giải phương trình cho
Giải:
-Điều kiện cần:
Nhận thấy pt (1) ln có nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) phải có nghiệm
phân biệt giống với (1)
Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - =0 g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b
Để hai phương trình cho tương đương f(x) = g(x) (*) với x (Vì hệ số
(3)Thay x = vào (*) ta có b = -2 (3)
Thay x = vào (*) kết hợp với (3) ta a= -2 -Điều kiện đủ:
Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với Bài 5: Giả sử b c nghiệm phương trình : x2 -
a.x-2
.a2 =0; (a 0) chứng minh : b4 + c4 2+
Giải:
Theo định lý Viet ta có:
2
2 a bc
a c b
Ta có: 4 2 2 2 2
2
) (
)
(b c b c b c bc b c
c
b
2 2 2
3 2
3
1
4 4
4 2 4
a a a
a a a
a c
b
Bài : Chứng minh với a,b,c phương trình sau ln có nghiệm :
a(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) =
Giải:
Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = = (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc
(4)' = a2b2 + b2c2 + c2a2 -abc.(a + b + c) = [(ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2]
0
*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:
-Nếu ab + bc + ca phương trình cho ln có nghiệm
-Nếu ab + bc + ca =0 Khi kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp pt cho có vơ số nghiệm
Bài 7:CMR:Nếu hệ số a,b,c phương trình:ax2 + bx + c = (a0) số lẻ phương trình bậc hai khơng thể có nghiệm hữu tỉ
Giải:
Giả sử phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số lẻ có nghiệm hữu
tỉ
x0 =
n m
với m,n số nguyên (m,n)=1 n0 ;khi ta có:
a
2
c n m b n m
hay:am2 bmncn2 0 (1).Suy ra:
n am
m cn
2
mà (m,n)=1 ( , 2) ( , 2)
n m m n nên:
n a
m c
mà c,a số lẻ nên suy
ra m,n số lẻ.Vậy ta có:a,bc,m,n số lẻ Do đó:
2
cn bmn
am số lẻ (Mâu thuẫn với (1))