Độ sâu lọc của iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Mai Vân Chuyên ngành : Đại Số Lý Thuyết Số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 Lời Cảm Ơn Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Tốn Tin, lãnh đạo chun viên Phịng KHCN - SĐH Trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập Tơi xin chân thành cảm ơn tận tâm nhiệt tình PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số lý thuyết số khóa 18 Tơi biết ơn lãnh đạo đồng nghiệp Trường Sĩ quan Không Quân nơi công tác, Ban cán Chi Tiểu đoàn Trường Sĩ quan Kỹ thuật Quân Winhempich tất bạn khóa ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân u gia đình ln cho niềm tin động lực để học tập cơng tác tốt Nguyễn Thị Mai Vân Lời Nói Đầu Cho (R, m) vành giao hoán Noether địa phương, I iđêan thực R M R - môđun hữu hạn sinh Khái niệm dãy quy, độ sâu iđêan, với tính chất đặc trưng thơng qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương đồng điều Koszul nhà tốn học tìm hiểu chi tiết trình bày cụ thể giáo trình vành giao hốn Đặc biệt, kết độ sâu I M, kí hiệu depth(I, M), chiều dài M dãy quy tối đại I số nguyên nhỏ r cho môđun đối đồng điều địa phương HIr (M) = nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu mở rộng Năm 1978, Nguyễn Tự Cường Ngơ Việt Trung trình bày khái niệm dãy quy lọc xem mở rộng dãy quy họ nghiên cứu lớp môđun gọi f − module G Faltings (1978) số nguyên nhỏ r để HIr (M) không hữu hạn sinh {depth (Mp ) + ht ((I + p) /p)| I ⊂ p} L Melkerson (1995) trình bày kết tương tự Faltings tính hữu hạn thay tính Artin Ơng số ngun nhỏ r để HIr (M) không Artin {depth (IRp, Mp )| p ∈ Supp(M/IM)\ {m}} Năm 2001, R L u Z Tang số r độ sâu lọc I M, kí hiệu f − depth(I, M), chiều dài M - dãy quy lọc tối đại I Kết qủa mà họ đạt báo chứng minh số tính chất dãy quy lọc độ sâu lọc, đưa số đặc trưng độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương đồng điều Koszul, kết xem kết mở rộng dãy quy độ sâu iđêan Rồi từ kết nhiều nghiên cứu mở rộng Chẳng hạn, Lê Thanh Nhàn (2004) định nghĩa độ sâu suy rộng I M, kí hiệu gdepth(I, M) Bà số nguyên nhỏ r cho Supp (HIr (M)) vô hạn Ass (HIr (M)) tập hữu hạn với i gdepth(I, M) L Chu Z Tang (2007) chứng minh f − depth(I + Ann(M), N ) số nguyên nhỏ r cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng HIr (M, N ) không Artin nhiều mở rộng khác v.v Điều cho thấy, khái niệm độ sâu lọc trở thành cơng cụ hữu ích cho nhiều nghiên cứu gần liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng với mục đích giải vấn đề tính triệt tiêu, tính hữu hạn, tính Artin tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết chúng Vì kết có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp Trong luận văn này, chúng tơi giới thiệu số tính chất dãy quy lọc độ sâu lọc, bên cạnh đưa số đặc trưng độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương đồng điều Koszul Ngoài ra, chúng tơi cịn xét số kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Cuối cùng, giới thiệu thêm f − module mối liên hệ f − module f − depth Kết mở rộng tương tự mối liên hệ môđun Cohen - Macaulay độ sâu Nội dung luận văn chia làm ba chương cụ thể sau: Chương I: Kiến thức sở Trong chương này, nhắc lại khái niệm số mệnh đề dùng sử dụng chương II Chương II: Độ sâu lọc iđêan Đầu tiên, chúng tơi định nghĩa dãy quy lọc Sau đưa số tính chất dãy quy lọc trình bày mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 Từ kết mệnh đề 2.2.1, ta định nghĩa độ sâu lọc iđêan: Cho I iđêan thực R Độ sâu lọc I M độ dài M - dãy quy lọc tối đại I, kí hiệu f − depth(I, M), ta có: f − depth(I, M) = {n| dim (ExtnR (R/I, M)) > 0} f − depth(I, M) = ∞ dim (ExtnR (R/I, M)) 0, ∀n Vì x1 , x2 , , xn M - dãy quy M - dãy quy lọc Do dựa tính chất độ sâu ta có tính chất độ sâu lọc mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5 Bên cạnh tính chất bản, độ sâu lọc cịn có đặc trưng thơng qua Ext, mơđun đối đồng điều địa phương đồng điều Koszul trình bày định lí: Định lí 2.4.1 Cho I iđêan thực R Lấy y1 , y2, , yn ∈ I cho I = (y1, y2 , , yn ) Khi f − depth(I, M) = n − Sup {i |dim(Hi (y1, y2 , , yn ; M)) > 0} Nếu không tồn i để dim(Hi (y1, , , yn ; M)) > vế phải ∞ Định lí 2.4.2 Cho I iđêan thực R cho Supp(M/IM) ⊂ {m} Khi f − depth(I, M) = {depth (IRp, Mp ) : p ∈ SuppM/IM \ {m}} Định lí 2.4.3 Cho I iđêan thực R Khi f − depth(I, M) = i : dim SuppHIi (M) > Định lí 2.4.4 Cho I iđêan thực R Khi f − depth(I, M) = i ∈ N : SuppHIi (M) ⊂ {m} Định lí 2.4.6 Cho I iđêan thực R Khi f − depth(I, M) = min{r |HIr (M) không mô đun Artin} Đồng thời, chúng tơi cịn xét kết tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết mơđun đối đồng điều địa phương, AssHIi (M) tập hữu hạn với i f − depth(I, M) Chương III: f − module Trong chương này, giới thiệu thêm f − module tính chất Cuối trình bày định lí thể mối quan hệ f − module f − depth Định lí 3.2.1: M f − module f − depth(p, M) = dim(M) − dim(R/p) với p ∈ Supp(M/IM)\ {m} Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng đối dãy quy lọc vấn đề có điều kiện chúng tơi tìm hiểu thêm Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn tận tình thầy Trần Tuấn Nam Mặt dù thân có nhiều cố gắng với số lượng thời gian kiến thức có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung q Thầy bạn để luận văn hồn chỉnh Nguyễn Thị Mai Vân Chương Kiến thức sở Trong chương này, nhắc lại khái niệm số kết cần thiết sử dụng luận văn Đó kiến thức iđêan, độ dài, chiều Krull, độ cao môđun, hàm tử Hom, Ext, dãy quy độ sâu, mơđun Cohen - macaulay, môđun đối đồng điều địa phương đồng điều Koszul Chúng không chứng minh chi tiết mệnh đề Đọc giả tham khảo tài liệu [3], [4], [10], [11] 1.1 Các khái niệm vành iđêan Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành giao hoán I iđêan R √ Radical I , kí hiệu I , tập phần tử x ∈ R cho tồn số nguyên dương n để xn ∈ I Gọi V (I) tập tất iđêan nguyên tố R chứa I Khi √ I= p p∈ V (I) Jacobson radical R, kí hiệu rad(R), giao tất iđêan tối đại R Định nghĩa 1.1.2 Cho R vành giao hoán, M R - môđun N , N các môđun M Tập {x ∈ R | xN ⊆ N } iđêan R, kí hiệu (N :R N ) Tương tự, I iđêan R {a ∈ M | aN ⊆ I } mơđun M , kí hiệu (I :M N ) Iđêan (0 :R M) : = {x ∈ R | xM = 0} gọi linh tử hóa M , kí hiệu AnnR M (hoặc đơn giản AnnM không sợ nhầm lẫn vành R) Nếu R vành giao hoán, M R - môđun hữu hạn sinh I √ iđêan R AnnR (M/IM) = I + AnnR M Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành giao hoán, S tập nhân R M R - môđun Trên tập M × S ta định nghĩa quan hệ ∼ sau: Với (m, s) , (m , s ) ∈ M × S : (m, s) ∼ (m , s ) ⇔ ∃t ∈ S : (ms − m s)t = Dễ thấy ∼ quan hệ tương đương M × S Kí hiệu tập thương M × S/∼ S −1 M lớp tương đương (m, s) m/s Tập S −1 M có cấu trúc mơđun vành S −1 R với phép toán sau: s m + sm m m + = , s s ss rm rm = ss ss S −1 M S −1 R - môđun gọi môđun thương M S Đặc biệt, p iđêan nguyên tố R, S = R\p mơđun S −1 M thường kí hiệu Mp 10 Định nghĩa 1.1.4 Cho M mơđun vành giao hốn R Tập tất iđêan nguyên tố p R cho Mp = gọi giá M kí hiệu SuppR (M) (hoặc đơn giản Supp(M) không sợ nhầm lẫn vành R) Mệnh đề 1.1.1 Cho R vành giao hoán M R - mơđun hữu hạn sinh Khi đó: i) SuppR (M) = {p ∈ spec(R) : (0 : M) ⊆ p} = V (annR (M)) ii) Với S tập nhân R SuppS −1 R S −1 M = SuppR (M) ∩ Spec(S −1 R) iii) Với I iđêan R, ta có: SuppR (M) ⊂ V (I) ⇔ ∃ k ∈ N ∗ : I k M = iv) Nếu R vành Noether I iđêan R SuppR (R/I) = V (I) v) Với I iđêan R SuppR (M/IM) = V (I) ∩ V (Ann(M) = V (I + Ann(M)) Định nghĩa 1.1.5 Cho M môđun vành Noether giao hoán R p iđêan nguyên tố vành R Khi p gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn m ∈ M mà (0 :M m) = Ann(m) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M , kí hiệu AssR(M) (hoặc đơn giản Ass(M) không sợ nhầm lẫn vành R) Mệnh đề 1.1.2 Cho M môđun khác không vành Noether giao hoán R Nếu p phần tử tối đại tập {Ann(m) | m ∈ M, m = 0} p ∈ AssR(M) 11 Do theo mệnh đề 1.5.13 suy p ∈ Ass (HIn (M)) \ {m} Vì p ∈ SuppHIn (M)\ {m} Vậy ta có điều phải chứng minh Định lí 2.4.5 Cho I iđêan thực R cho Supp(M/ I M) ⊂ {m} Khi với n = f − depth(I, M) ta có HIi (M) mơđun Artin với i < n HIn (M) không mơđun Artin Chứng minh Vì Supp(M/ I M) ⊂ {m} nên HIn (M) không môđun Artin Để chứng minh HIi (M) môđun Artin với i < n (*), ta dùng phương pháp quy nạp theo n, thật vậy: + Với n = SuppHI0 (M) ⊂ m Suy HI0 (M) có độ dài hữu hạn nên HI0 (M) Artin Vậy trường hợp (*) + Giả sử n > kết với n − 1, ta cần chứng minh kết (*) với n, thật vậy: Đặt M = M/ΓI (M) Khi theo mệnh đề 1.5.4, HIi (M) ∼ = HIi (M) với i > Mà M I - không xoắn hữu hạn sinh (do bổ đề 1.5.2 ii) Vì ta giả sử thêm M I - khơng xoắn Do theo bổ đề 1.5.2 i) I chứa M - phần tử qui x đặt M1 = M/xM Từ dãy khớp ngắn x 0→M − → M → M1 → 49 Ta nhận dãy khớp dài: x → HIi−1 (M1 ) → HIi (M) − → HIi (M) → Mà f − depth(I, M1 ) = f − depth(I, M) − = n − Vì theo giả thiết quy nạp HIi−1 (M1 ) Artin với i < n Vì :HIi (M ) I Artin ∞ Mặt khác n=1 :HIi (M ) I n = HIi (M) nên theo mệnh đề 1.5.9 suy HIi (M) Artin Vậy ta có điều phải chứng minh Định lí 2.4.6 Với I iđêan thực R, ta có: f − depth(I, M) = min{r |HIr (M) không môđun Artin} Chứng minh + Nếu dim(M/IM) = I + annR (M) = m Suy HIr (M) ∼ = Hmr (M) Theo mệnh đề 1.5.10 Hmr (M) mơđun Artin với r HIr (M) môđun Artin với r nên Vì min{r |HIr (M) khơng mơđun Artin} = ∞ Mặt khác dim(M/IM) = f − depth(I, M) = ∞ (do mệnh đề 2.3.3).Vậy trường hợp định lí + Nếu dim(M/IM) > Đặt n = f − depth(I, M) Theo định lí 2.4.5 ta suy ra: n = min{r |HIr (M) khơng mơđun Artin} Vậy ta có điều phải chứng minh 50 2.5 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Bổ đề 2.5.1 Cho (R, m) vành Noether địa phương giao hốn, M R - mơđun (0 :M I n ) AssM = Ass(0 :M I) I iđêan R Nếu M = n Chứng minh Ta có Ass(0 :M I) ⊆ AssM (do (0 :M I) ⊆ M ) Lấy p ∈ AssM Khi tồn m ∈ M cho p = Ann(m) Do tồn số nguyên n cho I n m = 0, I n−1 m = Vì p ∈ Ass(I n−1m) ⊆ Ass(0 :M I) Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.5.2 Cho (R, m) vành Noether địa phương giao hốn, M R - mơđun N môđun Artin M Khi đó: Ass(M/N )\ {m} = AssM \ {m} Đặc biệt, AssM hữu hạn Ass(M/N ) hữu hạn Chứng minh Từ dãy khớp ngắn → N → M → M/N → Ta suy AssM ⊆ Ass(M/N ) ∪ AssN ⊆ Ass(M/N ) ∪ {m} Ngược lại, lấy p ∈ Ass(M/N ) Suy tồn m ∈ M để p = Ann(m) = N :R m với m ảnh m 51 M/N Do pm ⊆ N Mà N Artin nên pm Artin Vì pm mơđun hữu hạn sinh N nên pm có chiều dài hữu hạn Do tồn số nguyên dương n cho pn−1 (pm) = Vì pn ⊆ :R m p = rad(pn) ⊆ rad(0 :R m) ⊆ rad(N :R m) = p Suy p = rad(Ann(m)) Nên p phần tử tối tiểu Supp(Rm) hay p ∈ Ass(Rm) Do p ∈ AssM Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.1 Cho (R, m) vành Noether địa phương giao hốn, M R - mơđun r > số nguyên Nếu HIi (M) Artin với i < r AssHIr (M) tập hữu hạn Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo r + Với r = i = HI0 (M) = ΓI (M) Mà ΓI (M) môđun M hữu hạn sinh nên ΓI (M) hữu hạn sinh Theo mệnh đề 1.5.12 suy AssHI1(M) tập hữu hạn Vậy mệnh đề với r = + Với r > giả sử kết với r − 1, ta cần chứng minh kết với r , thật vậy: Ta có HI0 (M) R - môđun Artin nên l(0 :M I) < ∞ Do với p ∈ Ass(M)\ {m} I ⊂ p / p với p ∈ Ass(M)\ {m} Cho nên tồn x ∈ I cho x ∈ 52 Do l(0 :M x) < ∞ Vì HIi (M) ∼ = HIi (M/(0 :M x)) với i Từ dãy khớp ngắn x → M/(0 :M x) − → M → M/xM → Ta nhận dãy khớp dài: x → HIi−1 (M) → HIi−1 (M/xM) → HIi (M) − → HIi (M) → (1) Vì HIi (M) Artin với i < r nên HIi (M/xM) Artin với i < r − Do theo giả thiết quy nạp, AssHIr−1 (M/xM) tập hữu hạn Gọi N hạt nhân đồng cấu HIi−1 (M/xM) → HIi (M) dãy khớp (1) Vì HIr−1 (M) Artin nên từ dãy khớp (1) suy N Artin Vì theo bổ đề 2.5.2 Ass HIr−1 (M/xM)/N tập hữu hạn Mà HIr−1 (M/xM) N ∼ = :HIr (M ) x nên Ass :HIr (M ) x tập hữu hạn Do theo bổ đề 2.5.1 AssHIr (M) tập hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Theo định lí 2.4.6 định lí 2.4.5 ta suy AssHIi (M) tập hữu hạn với i f − depth(I, M) 53 Chương f - module Sau trình bày khái niệm dãy quy lọc, Nguyễn Tự Cường Ngô Việt Trung nghiên cứu lớp mơđun gọi f − module Đó mơđun mà hệ tham số dãy quy lọc Trong chương này, chúng tơi giới thiệu thêm phần kết f − module cuối trình bày mối liên hệ f − module f − depth Trong chương này, xem (R, m) vành Noether địa phương giao hốn M R - mơđun hữu hạn sinh 3.1 f − module Cho M R - mơđun có dimM > Từ bổ đề 2.1.2ii) ta nhận thấy M - dãy quy lọc phận hệ tham số M Nhưng trường hợp tổng quát, điều ngược lại chưa Tuy nhiên ta có kết sau: 54 Định nghĩa 3.1.1 Cho M R - môđun hữu hạn sinh Nếu hệ tham số M M - dãy quy lọc M gọi f − module Mệnh đề 3.1.1 Cho M R - mơđun có dimM > Các kết sau tương đương: i) M f − module ii) Với phận x1 , x2 , , xt hệ tham số M với p ∈ AssR(M/(x1 , x2 , , xt )M)\ {m} ta có dimR/p = d − t iii) dimM = depthMp + dim R/p với p ∈ SuppM \ {m} iv) htM p = htM q+htp/q với p, q ∈ SuppM mà q ⊆ p; Mp môđun Cohen - Macaulay với p ∈ SuppM \ {m} dimM = dimR/p với iđêan nguyên tố tối tiểu p ∈ SuppM Chứng minh (i) ⇔ (ii) Hiển nhiên ii) ⇒ iii) Với p ∈ SuppM \ {m}, đặt dimR/p = d − r Khi dimM/pM = d − r Do tồn phận x1 , x2 , , xr hệ tham số M p Theo điều kiện ii) suy x1 , x2 , , xr M - dãy quy lọc Theo mệnh đề 2.1.1 suy x1 /1, x2 /1, , xr /1 Mp - dãy quy Do r depth(Mp ) Vì depthMp + dim R/p = d iii) ⇒ ii) Gọi x1 , x2 , , xt phận hệ tham số M Ta chứng minh ii) phương pháp quy nạp t 55 + Với t = p ∈ AssRM\ {m} depth(Mp ) = = t Do theo iii) ta có dimM = depthMp + dim R/p = dim R/p Vậy ii) + Với t > 0, giả sử ii) với t − 1, ta chứng minh ii) với t, thật vậy: Ta có x1 phần tử Mp - quy Với p ∈ Supp(M/x1 M)\ {m} ta códepth(M/x1 M)p = depth(Mp ) − Do theo iii) ta có: depthMp /x1 M p = depth(Mp ) − = dimM − dimR/p − = (d − 1) − dimR/p Theo giả thiết quy nạp suy x2 , , xt phận hệ tham số M/x1 M Vì ta có điều phải chứng minh iii) ⇒ iv) Lấy p ∈ SuppM \ {m}, theo iii) rõ ràng Mp mơđun Cohen Macaulay Giả sử p iđêan nguyên tố tối tiểu SuppM Khi depth(Mp ) = Do theo iii) ta có: dim M = depthMp + dim R/p = dim R/p Lấy p, q ∈ SuppM mà q ⊆ p Ta giả sử q = p + Nếu p = m Mp mô đun Cohen - Macaulay nên htM p = dim Mp = dim(Rp/qRp ) + htMp (qRp ) = ht(p/q) + htM (q) + Nếu p = m, lấy q ∈ AssRM\{m} cho q ⊆ q Khi Mq mô 56 đun Cohen - Macaulay q Rq ∈ AssRMq Do htM (q) + ht(m/q) = htM (q ) + ht(q/q ) + dimR/q = dim(Rp /q Rp) + dim(R/q) = dimMq + dimR/q = htM (m) Vậy ta có điều phải chứng minh iv) ⇒ iii) Hiển nhiên Mệnh đề 3.1.2 Cho M R - mơđun có dimM = d > Nếu M f − module M f − module Chứng minh Gọi x1 , x2 , , xt hệ tham số M Khi x1 , x2 , , xt hệ tham số M Mà M f − module nên x1 , x2 , , xt M - dãy quy lọc Mặt khác dim ((x1 , x2 , , xi−1 ) M :M xi / (x1 , x2 , , xi−1 ) M) = = dim (x1 , x2 , , xi−1 ) M :M xi / (x1 , x2 , , xi−1 ) M Do x1 , x2 , , xt M - dãy quy lọc hay M f − module Vậy ta có điều phải chứng minh 3.2 Liên hệ f − module f − depth Định lí 3.2.1 M f − module f − depth(p, M) = dim(M) − dim(R/p) với p ∈ Supp(M/IM)\ {m} 57 Chứng minh ⇒) Giả sử M f − module ta chứng minh f − depth(p, M) = dim(M) − dim(R/p) với p ∈ Supp(M/IM)\ {m}, thật vậy: Lấy p ∈ Supp(M/IM)\ {m} x1 , x2 , , xt M - dãy qui lọc tối đại p Khi p⊆ q q∈AssR (M/(x1,x2, ,xt)M )\{m} Do tồn q ∈ AssR(M/ (x1 , x2 , , xt ) M)\ {m} cho p ⊆ q Vì M f − module nên x1 , x2 , , xt phận hệ thống tham số M Do theo mệnh đề 3.1.1, ta có dim(R/q) = dimM − t Nhưng p ∈ Supp(M/ (x1 , x2 , , xt ) M) nên p = q Do dim(R/p) = dimM − t Suy t = dim(M) − dim(R/p) Vì f − depth(p, M) = t = dim(M) − dim(R/p) ⇐) Giả sử f − depth(p, M) = dim(M) − dim(R/p) với p ∈ Supp(M/IM)\ {m} ta chứng minh M f − module, thật vậy: Đặt d = dimM Ta chứng minh phương pháp qui nạp theo d + Nếu d = hiển nhiên + Giả sử d > kết với d - 1, ta chứng minh kết với n, thật vậy: Gọi x1 , x2 , , xd hệ tham số M Khi x1 M - phần tử quy lọc, x1 khơng M - phần 58 tử quy lọc tồn p ∈ AssR(M)\ {m} cho x1 ∈ p Khi f −depth(p, M)+dim(R/p) = dim(R/p) dim(M/x1 M) = dim(M)−1 điều mâu thuẫn với giả thiết Đặt M1 = M/x1 M Khi dim(M1 ) = dimM − = d − x2 , , xd hệ tham số M1 Với p ∈ Supp(M1 )\ {m}, x1 ∈ p nên ta có: f − depth(p, M1 ) = f − depth(p, M) − = dim(M) − dim(R/p) − = dim(M1 ) − dim(R/p) Vì theo giả thiết quy nạp x2 , , xd M1 - dãy quy lọc Do x1 , x2 , , xd M - dãy quy lọc hay M f − module Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét Giả sử M f − module, I iđêan thực R cho √ I ⊇ AnnR (M) I = m Khi theo mệnh đề 2.3.4 3.2.1, ta có: f − depth(I, M) = {f − depth (p, M) : p ∈ SuppM/IM \ {m}} = dim(M) − max {dimR/p : p ∈ SuppM/IM \ {m}} = dim(M) − dimR/I Mặt khác htM (I) dim(M) − dimR/I = f − depth(I, M) Theo mệnh đề 2.3.2 ta có f − depth(I, M) htM (I) Do f − depth(I, M) = htM (I) = dim(M) − dim(R/I) 59 Kết Luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số kết chủ yếu sau: ♦ Định nghĩa số tính chất dãy quy lọc trình bày mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 ♦ Định nghĩa số tính chất độ sâu lọc trình bày mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, 2.3.4, 2.3.5 ♦ Những đặc trưng độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương đồng điều Koszul trình bày định lí 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3, 2.4.4, 2.4.5, 2.4.6 ♦ Xét tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương trình bày nhận xét cuối mệnh đề 2.5.1 ♦ Giới thiệu định nghĩa f − module trình bày tính chất trình bày mệnh đề 3.1.1, 3.1.2 ♦ Cuối trình bày định lí thể mối quan hệ f − module f − depth, định lí 3.2.1 Vì thời gian khả có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung q Thầy bạn để luận văn hoàn chỉnh 60 Tài liệu tham khảo [1] KH Ahmadi-Amoli(Tehran), Local cohomology, d - sequences and generalized fractions, Colloquium mathematicum, 74:(2), 1997 [2] J Asadollahi, K.Khashyarmanesh and SH Salarian, A generalization of the cofiniteness problem in local cohomology, J Aust Math Soc 75 (2003), 313 - 324 [3] M F Atiyah, I G Macdonald, Introduction to Commutative Al- gebra, Addison - Wesley Plublising Company, Inc 1969 [4] M Brodmann and R.Y Sharp, Local cohomology: An Algebra- ic Introduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998 [5] M Brodmann and L T Nhan, A finiteness Result for associated primes of certain Ext - Modules Comm Algebra 36 (2008), 1527 1536 [6] W Bruns and J Herzog, Cohen - Macaulay Rings, Cambridge University Press, 1993 61 [7] L Chu and Z.Tang, On the Artinianness of Generalized local cohomology, 2000 Mathematical Subject Classification: 13D45, 14B15, 16P20 [8] R.L u and Z.Tang, The f- depth of an ideal on a module Proc AMS Math Soc 130 (7) (2001), 1905 - 1912 [9] N Q Chinh, On reducing sequence and an applications to local cohomology modules, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 31 No (2005), pp - 11 [10] H Matsumura, Commutative Ring Theory Cambridge University Press, 1986 MR 88h:1301 [11] H Matsumura, Commutative Ring Theory - second Edition, The Ben - jamin/ Cummings Plublising Company, Inc 1980 [12] L Melkersson, Some application of a criterion for artianness of a module, J Pure and Appl Math 101(1995), 291 - 303 MR 96b:13044 [13] A.Mafi, Some result on Local cohomology modules, arXiv: math/ 0511144v1 [math AC], 2005 [14] A.Mafi, Some properties of generalized Local cohomology modules, arXiv: math/0511144v1 [math AC], 2005 [15] U Nagel, P Schenzel Cohomological annihiltors and Castelnuovo Mumford regularity In: Commutative Algebra: syzygies, multiplic- 62 ities, and birational algebra(South Hadley, 1992) Contemp Math., 159 Amer Math Soc., pp 307 -328 [16] L T Nhan, On generalized regular sequences and the finiteness for associated primes of local cohomology modules Comm Algebra 33 (3) (2005), 793 - 806 [17] L T Nhan and M Morales, Generalized f - modules and the associated primes of local cohomology modules Comm Algebra 34 (2006), 863 - 878 [18] J St ckrad and W Vogel, Buchsbaum Rings and Applications, Spinger - Verlag, Berlin - Heidelberg- New York, 1986 [19] Yan Gu, Some result on the Generalized local cohomology modules, Advances in Applied Methematical Analysis, ISSN 0973 - 5313 Vol No (2008), pp.75 - 80 63 ... quy lọc Sau đưa số tính chất dãy quy lọc trình bày mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 Từ kết mệnh đề 2.2.1, ta định nghĩa độ sâu lọc iđêan: Cho I iđêan thực R Độ sâu lọc I M độ dài M - dãy quy lọc. .. Tang số r độ sâu lọc I M, kí hiệu f − depth(I, M), chiều dài M - dãy quy lọc tối đại I Kết qủa mà họ đạt báo chứng minh số tính chất dãy quy lọc độ sâu lọc, đưa số đặc trưng độ sâu lọc thông... I iđêan thực R Độ sâu lọc I M độ dài M - dãy quy lọc tối đại I , kí hiệu f − depth(I, M) Qui ước: Nếu I khơng tồn M - dãy quy lọc tối đại f − depth(I, M) = ∞ Từ định nghĩa dãy quy lọc độ sâu lọc