ĐỘ SÂU LỌC CỦA IĐÊAN

Khái niệm dãy chính quy, độ sâu của iđêan, cùng với những tính chất và những đặc trưng của nó thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul đã được các nhà toán học t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Mai Vân

Chuyên ngành : Đại Số và Lý Thuyết Số

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

Lời Cảm Ơn

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêmkhắc của thầy giáo TS Trần Tuấn Nam Nhân dịp này tôi xin chânthành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạmThành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyênviên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS

Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên và các quýthầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và

lý thuyết số khóa 18

Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường Sĩ quanKhông Quân nơi tôi công tác, Ban cán bộ và Chi bộ Tiểu đoàn 1 ởTrường Sĩ quan Kỹ thuật Quân sự Winhempich và tất cả các bạn cùngkhóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình họctập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình

đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt

Nguyễn Thị Mai Vân

Lời Nói Đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan thực sự của R và M là R - môđun hữu hạn sinh Khái niệm dãy chính quy, độ

sâu của iđêan, cùng với những tính chất và những đặc trưng của nó

thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul

đã được các nhà toán học tìm hiểu rất chi tiết và được trình bày rất

cụ thể trong các giáo trình về vành giao hoán Đặc biệt, kết quả độ

sâu của I trên M , kí hiệu bởi depth(I, M ), là chiều dài của một M dãy chính quy tối đại trong I và cũng là số nguyên nhỏ nhất r sao cho môđun đối đồng điều địa phương H I r (M ) 6= 0 được nhiều nhà toán

-học quan tâm nghiên cứu và mở rộng

Năm 1978, Nguyễn Tự Cường và Ngô Việt Trung đã trình bày kháiniệm về dãy chính quy lọc xem như là mở rộng của dãy chính quy

và họ đã nghiên cứu một lớp môđun gọi là f − module G Faltings (1978) đã chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r để H I r (M ) không hữu hạn sinh là min {depth (Mp) + ht ((I + p) /p)| I 6⊂ p} L Melkerson (1995)

đã trình bày một kết quả tương tự như Faltings trong đó tính hữu hạn

được thay bằng tính Artin Ông chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r để

H I r (M ) không Artin là min {depth (IRp, Mp)| p ∈ Supp(M/IM )\ {m}}.

Năm 2001, R Lu và Z Tang đã chỉ ra rằng số r này chính là độ sâu lọc của I trên M , kí hiệu là f − depth(I, M ), là chiều dài của một M

- dãy chính quy lọc tối đại trong I Kết qủa mà họ đạt được trong

bài báo này là chứng minh một số tính chất cơ bản của dãy chính quy

lọc và độ sâu lọc, đưa ra một số đặc trưng của độ sâu lọc thông quaExt, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul, những kếtquả này xem như là những kết quả mở rộng của dãy chính quy và độsâu của iđêan Rồi từ những kết quả này khá nhiều nghiên cứu được

mở rộng Chẳng hạn, Lê Thanh Nhàn (2004) đã định nghĩa độ sâu

suy rộng của I trong M , kí hiệu là gdepth(I, M ) Bà chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r sao cho Supp (H I r (M )) vô hạn và Ass (H I r (M )) là tập hữu hạn với mọi i 6 gdepth(I, M ) L Chu và Z Tang (2007) đã chứng minh f − depth(I + Ann(M ), N ) là số nguyên nhỏ nhất r sao cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng H I r (M, N ) không Artin

và khá nhiều mở rộng khác nữa v.v Điều này cho thấy, khái niệm

độ sâu lọc trở thành một công cụ hữu ích cho khá nhiều nghiên cứugần đây liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương, môđun đốiđồng điều địa phương suy rộng với mục đích giải quyết các vấn đề vềtính triệt tiêu, tính hữu hạn, tính Artin và tính hữu hạn của tập cáciđêan nguyên tố liên kết của chúng Vì những kết quả này có nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực của toán học như Đại số giao hoán, Hìnhhọc đại số, Đại số tổ hợp

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bảncủa dãy chính quy lọc và độ sâu lọc, bên cạnh đưa ra một số đặc trưngcủa độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương vàđồng điều Koszul Ngoài ra, chúng tôi còn xét một số kết quả về tínhhữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều

địa phương Cuối cùng, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm về f − module và

mối liên hệ giữa f − module và f − depth Kết quả này được mở rộng

tương tự như mối liên hệ giữa môđun Cohen - Macaulay và độ sâu.Nội dung của luận văn chia làm ba chương cụ thể như sau:

Chương I: Kiến thức cơ sở.

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số mệnh

đề dùng sử dụng trong chương II

Chương II: Độ sâu lọc của iđêan.

Đầu tiên, chúng tôi định nghĩa dãy chính quy lọc Sau đó đưa ra một

số tính chất của dãy chính quy lọc được trình bày trong các mệnh đề2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4

Từ kết quả của mệnh đề 2.2.1, ta định nghĩa độ sâu lọc của iđêan:

Cho I là một iđêan thực sự của R Độ sâu lọc của I trên M là độ dài của bất kì một M - dãy chính quy lọc tối đại trong I, kí hiệu là

f − depth(I, M ), ta có:

f − depth(I, M ) = min {n| dim (Ext n R (R/I, M )) > 0}

f − depth(I, M ) = ∞ khi dim (Ext n R (R/I, M )) 6 0, ∀n > 0

Vì nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy thì nó cũng là M - dãy chính

quy lọc Do đó dựa trên những tính chất của độ sâu ta cũng có nhữngtính chất cơ bản của độ sâu lọc trong các mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3,2.3.4, 2.3.5

Bên cạnh những tính chất cơ bản, độ sâu lọc còn có những đặc trưngthông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszulđược trình bày trong các định lí:

Định lí 2.4.1 Cho I là iđêan thực sự của R Lấy y1, y2, , y n ∈ I sao

cho I = (y1, y2, , y n) Khi đó

f − depth(I, M ) = n − Sup {i |dim(H i (y1, y2, , y n ; M )) > 0}

Nếu không tồn tại i để dim(H i (y1, , , y n ; M )) > 0 thì vế phải bằng

∞

Định lí 2.4.2 Cho I là iđêan thực sự của R sao cho Supp(M/IM ) 6⊂

{m} Khi đó

f − depth(I, M ) = min {depth (IRp, Mp) : p ∈ SuppM/IM \ {m}}

Định lí 2.4.3 Cho I là iđêan thực sự của R Khi đó

Định lí 2.4.6 Cho I là iđêan thực sự của R Khi đó

f − depth(I, M ) = min{r |H I r (M ) không là mô đun Artin}

Đồng thời, chúng tôi còn xét kết quả về tính hữu hạn của tập cáciđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương, đó là

AssH I i (M ) là tập hữu hạn với mọi i 6 f − depth(I, M ).

Chương III: f − module

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm về f − module và các

tính chất của nó

Cuối cùng trình bày định lí thể hiện mối quan hệ giữa f − module và

f − depth.

Định lí 3.2.1: M là f − module nếu và chỉ nếu f − depth(p, M ) =

dim(M ) − dim(R/p) với mọi p ∈ Supp(M/IM )\ {m}.

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và đối dãy chính quy lọc

là những vấn đề mới nếu có điều kiện chúng tôi sẽ tìm hiểu thêm

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy TrầnTuấn Nam Mặt dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với số lượng thờigian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót Tôirất mong những ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý Thầy

cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Nguyễn Thị Mai Vân

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số kết quảcần thiết được sử dụng trong luận văn Đó là kiến thức về iđêan, độdài, chiều Krull, độ cao của môđun, hàm tử Hom, Ext, dãy chính quy

và độ sâu, môđun Cohen - macaulay, môđun đối đồng điều địa phương

và đồng điều Koszul Chúng tôi không chứng minh chi tiết các mệnh

đề Đọc giả có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [4], [10], [11]

1.1 Các khái niệm về vành và iđêan

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành giao hoán và I là một iđêan của R.Radical của I, kí hiệu là

Định nghĩa 1.1.2 Cho R là vành giao hoán, M là một R - môđun

và N, N0 là các các môđun con của M Tập {x ∈ R | xN0 ⊆ N } là mộtiđêan của R, kí hiệu là (N : R N0)

Tương tự, nếu I là iđêan của R thì {a ∈ M | aN ⊆ I } là một môđuncon của M, kí hiệu là (I : M N )

Iđêan (0 :R M ) : = {x ∈ R | xM = 0} gọi là linh tử hóa của M, kí hiệu

là Ann R M (hoặc đơn giản AnnM nếu không sợ nhầm lẫn về vành R).Nếu R là vành giao hoán, M là một R - môđun hữu hạn sinh và I làiđêan của R thì p

Ann R (M/IM ) = √I + Ann R M

Định nghĩa 1.1.3 Cho R là vành giao hoán, S là một tập con nhâncủa R và M là một R - môđun Trên tập M × S ta định nghĩa mộtquan hệ ∼ như sau:

Với mọi (m, s) , (m0, s0) ∈ M × S:

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : (ms0− m0s)t = 0

Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S

Kí hiệu tập thương M × S/∼ là S−1M và lớp tương đương của (m, s)

Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun

S−1M thường được kí hiệu là Mp

Định nghĩa 1.1.4 Cho M là một môđun trên vành giao hoán R Tậptất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp 6= 0 gọi là giá của M

và được kí hiệu là Supp R (M ) (hoặc đơn giản là Supp(M ) nếu không sợnhầm lẫn về vành R)

Mệnh đề 1.1.1 Cho R là vành giao hoán và M là mộtR - môđun hữuhạn sinh Khi đó:

i) Supp R (M ) = {p ∈ spec(R) : (0 : M ) ⊆ p} = V (ann R (M ))

ii) Với S là tập con nhân của R thì

Định nghĩa 1.1.5 Cho M là một môđun trên vành Noether giao hoán

R vàplà một iđêan nguyên tố của vành R Khi đó pgọi là iđêan nguyên

tố liên kết của M nếu tồn tại m ∈ M mà (0 :M m) = Ann(m) = p.Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M, kí hiệu Ass R (M ) (hoặcđơn giản Ass(M ) nếu không sợ nhầm lẫn về vành R)

Mệnh đề 1.1.2 Cho M là một môđun khác không trên vành Noethergiao hoánR Nếuplà phần tử tối đại của tập{ Ann(m) | m ∈ M, m 6= 0}

thì p ∈ Ass R (M )

Mệnh đề 1.1.3 Cho M là một môđun trên vành Noether giao hoán

R và S là tập nhân con của R Khi đó

Ass S−1R (S−1M ) = Ass R M ∩ Spec(S−1R)

Mệnh đề 1.1.4 Cho M là một môđun trên vành Noether R Khi đó

Ass R (M ) ⊆ Supp R (M ) và phần tử tối tiểu của Supp R (M ) thuộc vào

Ass R (M )

Mệnh đề 1.1.5 Cho R vành Noether, M là R - môđun hữu hạn sinh

và I là iđêan nguyên tố bất kì của R Khi đó các kết quả sau tươngđương:

i) p ∈ Supp R (M )

ii) Tồn tại p0 ∈ Ass R (M ) sao cho p0 ⊆ p

iii)Ann R (M ) ⊆ p

Mệnh đề 1.1.6 Nếu 0 → L → M → N → 0 là dãy khớp các R môđun thì Ass R (M ) ⊆ Ass R (L) ∪ Ass R (N )

-Mệnh đề 1.1.7 Cho R là vành Noether và M là R - môđun hữu hạnsinh Khi đó Ass R M là tập hữu hạn

1.2 Độ dài, chiều Krull và độ cao của môđun

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là môđun khác không trên vành giao hoán

R Chuỗi tăng ngặt M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ M n−1 ⊂ M n các môđuncon của M sao cho M0 = 0 vàM n = M gọi là chuỗi hữu hạn các môđuncon của M

Chuỗi hữu hạn gồm n + 1 các môđun con của M:

Cho M là một môđun khác không trên vành giao hoán R Môđun M

có chuỗi hợp thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài củachuỗi hợp thành được gọi là độ dài của môđun M, kí hiệu là l(M ).Qui ước: i) Nếu M = 0 thì l(M ) = 0

ii) Nếu M không có chuỗi hợp thành thì l(M ) = ∞

Mệnh đề 1.2.1 Cho R là vành giao hoán và 0 → L → M → N → 0

là dãy khớp ngắn các R - môđun và R - đồng cấu Khi đó:

+ M có độ dài hữu hạn ⇔ L, N có độ dài hữu hạn

+ Nếu L, M, N cùng có chiều dài hữu hạn thì l(M ) = l(L) + l(N )

Mệnh đề 1.2.2 Cho R là vành Noether giao hoán, M là một R môđun hữu hạn sinh và N là một R - môđun bất kì Nếu l(M ) < ∞

-thì l(Hom(M, N )) < ∞ Do đó nếu N là một R - môđun Artin thì

Mệnh đề 1.2.3 Vành R có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi R là Artin

Định nghĩa 1.2.2 Cho Rlà vành giao hoán có đơn vị Một dây chuyềncác iđêan nguyên tố của R là một dãy tăng thực sự của những iđêannguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ p n−1 ⊂ pn của R Số nguyên nđược gọi là độ

dài của dây chuyền.

Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên

tố của R gọi là chiều Krull của R (hoặc đơn giản gọi là chiều của R).Chiều Krull của R được kí hiệu là dimR

Định nghĩa 1.2.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một

R - môđun khác không Khi đó chiều của M, kí hiệu dimM, là cậntrên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của

Nếu M là một R - môđun hữu hạn sinh thì dimM còn được xác địnhnhư sau:

+ Nếu M khác môđun không thì dimM = dim(R/AnnM )

+ Nếu M là môđun không thì dimM = −1

Mệnh đề 1.2.4 Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị và M làmột R - môđun khác không hữu hạn sinh Khi đó:

i) l(M ) < ∞ ⇔ dimM = 0

ii) Nếu R là vành địa phương thì dim(M ) < ∞

Mệnh đề 1.2.5 Cho (R, m) là vành Noether địa phương Nếu x ∈ m

khác ước không thì dimR/(x) = dimR − 1

Định nghĩa 1.2.4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và p là mộtiđêan nguyên tố của R Chiều cao của p, kí hiệu là ht Rp (hoặc đơn giản

làhtpnếu không sợ nhầm về vànhR), là cận trên đúng của tất cả độ dàicủa các dây chuyền các iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ p n−1 ⊂ pn = p

của R

Cho M là một R - môđun khác không Chiều cao của M, kí hiệu là

ht R M(hoặc đơn giản là htM nếu không sợ nhầm về vành R), là cậntrên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyên các iđêan nguyên tố

p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ p n−1 ⊂ pn = p của Supp(M )

Chú ý:

- Nếu ht R M = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R

- dimR = sup{ht Rp : p ∈ Spec(R)}

- Với p ∈ Spec(R) thì ht Rp = dimRp và ht Mp = dimMp

- Với I là iđêan thực sự của R, ta có ht R I = min{ht Rp: p ∈ V (I)}

Định nghĩa 1.2.5 Cho R là vành giao hoán và I là iđêan của R T làtập các iđêan của R sao cho với I1, I2 là hai iđêan bất kì thuộc T luôntồn tại iđêan I3 thuộc T chứa trong I1 ∩ I2 Khi đó ta xác định đượcmột tôpô trên R

Nếu M là R - môđun tương tự ta cũng xác định được một tôpô trên M

(bằng cách thay iđêan bởi môđun con)

Cho R là vành,I là iđêan của R và M là R - môđun Tô pô trên M xácđịnh bởi tập các môđun con {I n M | n = 1, 2, } gọi là tô pô I - adic.Nếu với mọi dãyx1, x2, , x n các phần tử trongM thỏa x i − x i+1 ∈ I i M

với mọi i, luôn tồn tại duy nhất x ∈ M sao cho x − x i ∈ I i M với mọi ithì tô pô I - adic trên M là đầy đủ và đầy đủ của M kí hiệu là Mc

Mệnh đề 1.2.6 Cho (R, m) là vành Noether địa phương và Rb là đầy

đủ m - adic của R Khi đó dimR = dim b R

α∗ : Hom(X, A) → Hom(X, B)màα∗(f ) = αf, ∀f ∈ Hom(X, A).

α∗ : Hom(B, X) → Hom(A, X)màα∗(g) = gα, ∀f ∈ Hom(B, X).các ánh xạ cảm sinh α∗ và α∗ là các đồng cấu nhóm

Khi đó ta có hàm tử Hom(X, −) : M od R → Ab là hiệp biến và hàm tử

Mệnh đề 1.3.1 Với mỗi môđun X và với bất kì dãy khớp ngắn các R

- môđun 0 −→ A−→ B χ −→ C − σ → 0 ta luôn có các dãy sau đây là khớp:

Hom(X, A) −χ → Hom(X, B)∗ −σ → Hom(X, C)∗

Hom(C, X) −σ∗ → Hom(B, X)−χ∗ → Hom(A, X)

Mệnh đề 1.3.2 Cho R là vành giao hoán, S là tập con nhân của R và

A là R - môđun hữu hạn sinh Với mọi R - môđun B ta có:

S−1Hom R (A, B) ∼ = Hom S−1R (S−1A, S−1B)

Mệnh đề 1.3.3 Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R và M là

R - môđun Khi đó Hom R (R/I, M ) ∼= 0 :M I

Định nghĩa 1.3.2 Cho R là vành giao hoán, A, C là các R - môđun.Xét phép giải xạ ảnh của C:

Phức thu gọn tương ứng của X là:

= ker δ n /imδ n−1 gọi là mở rộng bậc n của môđun A

bởi C, kí hiệu là Ext n (C, A)

Ext n (C, A) = H n Hom X, A

= ker δ n /imδ n−1

Mệnh đề 1.3.4 Cho R là vành giao hoán và A, C là các R - môđun

Khi đó Ext0(C, A) ∼ = Hom(C, A)

Mệnh đề 1.3.5 Cho R là vành giao hoán Với mỗi R - môđun G và

với bất kì dãy khớp ngắn các R - môđun 0 → A −→ B χ −→ C → 0 σ ta luôn

có các khớp dài sau:

→ Ext n (C, G) −σ∗ → Ext n (B, G) −χ∗ → Ext n (A, G) −→ Ext E∗ n+1 (C, G) → (1)

→ Ext n (G, A) −σ → Ext∗ n (G, B) −χ → Ext∗ n (G, C) −→ Ext E∗ n+1 (G, A) → (2)

Các dãy này được bắt đầu bởi các thành viên (bên trái) tương ứng là

0 → Hom(C, G) = Ext0(C, G) (đối với dãy (1)), 0 → Hom(G, A) =

Ext0(G, A) (đối với dãy (2)) và kéo dài về bên phải theo tất cả n =

0, 1, 2,

Mệnh đề 1.3.6 Cho R là vành Noether giao hoán, S là tập con nhâncủa R và A là R - môđun hữu hạn sinh Với mọi R - môđun B ta có:

S−1Ext n R (A, B) ∼ = Ext n S−1R (S−1A, S−1B), n > 0

1.4 Dãy chính quy và độ sâu

Định nghĩa 1.4.1 Cho (R, m)là vành Noether địa phương giao hoán,

M là một R - môđun Phần tử x ∈ R được gọi là M - phần tử chínhquy nếu xz = 0 thì z = 0

Nói cách khác, phần tử x ∈ R được gọi là M - phần tử chính quy nếu

x khác ước không của M

Định nghĩa 1.4.2 Cho M là môđun trên vành Noether địa phươnggiao hoán R Dãy x1, x2, , x n các phần tử của R được gọi là M - dãychính quy nếu nó thỏa hai điều kiện sau:

i)x i làM /(x1, x2, , x i−1 ) M - phần tử chính quy với mọi i = 1, 2, , n.ii) M /(x1, x2, , x n ) M 6= 0

- Nếu dãy x1, x2, , x n chỉ thỏa điều kiện i) thì nó gọi là một M - dãychính quy yếu

- ChoI là iđêan thực sự củaR, nếux1, x2, , x n thuộcI thì x1, x2, , x n

gọi là M - dãy chính quy trong I

Các tính chất cơ bản của dãy chính quy:

Mệnh đề 1.4.1 Cho(R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M

là R - môđun hữu hạn sinh và x1, x2, , x n là M - dãy chính quy Khi

đó ta có các kết quả sau:

i) với mọi p ∈ SuppM mà x1, x2, , x n ∈ p thì x1/1, x2/1, , x n /1 làmột Mp - dãy chính quy.

ii) x1, x2, , x n cũng là một Mc- dãy chính quy

iii) mỗi hoán vị của x1, x2, , x n cũng là một M - dãy chính quy

iv) x e1

1 , x e2

2 , , x en

n cũng là M - dãy chính quy với mọi e i > 0

Định nghĩa 1.4.3 Cho (R, m)là vành Noether địa phương giao hoán,

M là R - môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R M - dãy chính quy

x1, x2, , x n trong I gọi là tối đại nếu x1, x2, , x n , x n+1 không là M dãy chính quy với bất kì x n+1 ∈ I

-Mọi M - dãy chính quy trong I đều có thể mở rộng đến một M - dãychính quy tối đại trong I

Mệnh đề 1.4.2 Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđunhữu hạn sinh, I là iđêan của R sao cho IM 6= M và x1, x2, , x n là M

- dãy chính quy tối đại trong I Khi đó Ext i R (R/I, M ) = 0 , ∀i < n và

Ext n R (R/I, M ) ∼ = Hom(R/I, M/ (x1, x2, , x n ) M ) 6= 0

Mệnh đề 1.4.3 Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđunhữu hạn sinh, I là iđêan của R sao cho IM 6= M Khi đó tất cả các M -dãy chính quy tối đại trong I có cùng chiều dài là n được xác định nhưsau:

i : Ext i R (R/I, M ) 6= 0

Định nghĩa 1.4.4 Cho R là vành Noether giao hoán,M là R - môđunhữu hạn sinh, I là iđêan của R sao cho IM 6= M thì chiều dài chungcủa tất cả các M - dãy chính quy tối đại trong I được gọi là độ sâu của

I trên M, kí hiệu depth(I, M ) Nếu IM = M thì depth(I, M ) = ∞.

depth(I, M ) = min

i : Ext i R (R/I, M ) 6= 0

depth(I, M ) = ∞ ⇔ Ext i R (R/I, M ) = 0, ∀i.

Định nghĩa 1.4.5 Cho (R, m)là vành Noether địa phương giao hoán,

M là R - môđun hữu hạn sinh thì độ sâu của m trên M được gọi là độsâu của M, kí hiệu là depth(M )

i) depth(I, M ) = inf {depthMp : p ∈ V (I)}

ii) depth(I, M ) = depthn√

I, Mo

iii) depth(I ∩ J, M ) = min {depth(I, M ); depth(J, M )}

iv) nếu x = x1, x2, , x n là M - dãy chính quy trong I thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth {I, M/xM} = depth(I, M ) − n

Định nghĩa 1.4.6 Cho (R, m)là vành Noether địa phương giao hoán,

M làR- môđun hữu hạn sinh với chiều n Hệ{x1, x2, , x n}các phần tửcủamgọi là hệ các tham số của M nếul (M/ (x1, x2, , x n ) M ) < ∞.

Mệnh đề 1.4.5 Cho(R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M

là R - môđun hữu hạn sinh với chiều n Nếu {x1, x2, , x n} là hệ cáctham số của M thì dim (M/ (x1, x2, , x t ) M ) = n − t với mọi t 6 n

Định nghĩa 1.4.7 Cho (R, m)là vành Noether địa phương giao hoán,

M là R - môđun hữu hạn sinh với chiều n Hệ {x1, x2, , x t } (t 6 n)

các phần tử của m gọi là một bộ phận của hệ các tham số của M nếu

dim (M/ (x1, x2, , x t ) M ) = n − t

Mệnh đề 1.4.6 Cho(R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M

là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó mọi M - dãy chính quy là một bộphận của hệ các tham số của M

Hệ quả 1.4.1 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M

là R - môđun hữu hạn sinh Nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy thì

dim (M/ (x1, x2, , x n ) M ) = dimM − n

Định nghĩa 1.4.8 Cho (R, m)là vành Noether địa phương giao hoán,

R - môđun M hữu hạn sinh khác không gọi là môđun Cohen-Macaulay

là vành Cohen-Macaulay

Mệnh đề 1.4.7 Cho(R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M

là R - môđun hữu hạn sinh Nếu M là R - môđun Cohen-Macaulay thì

ta có các kết quả sau:

ii) Mp là Rp - môđun Cohen - Macaulay với mọi p ∈ SpecR

Hơn nữa, nếuMp 6= 0thìdepthMp = depth(p, M )vàdimM = dimMp+

Mệnh đề 1.4.8 Cho (R, m)là một vành Cohen - Macaulay địa phương.Khi đó:

i) với mọi iđêan I thực sự của R, ta có:

ht(I) = depth(I) ; htI + dimR/I = dimR

ii) với mọi p, q là các iđêan của R mà q ⊆ p, ta có htp = htq + htp/q

Mệnh đề 1.4.9 Cho(R, m) là một vành Noether địa phương giao hoán

và M là R - môđun hữu hạn sinh và Mclà đầy đủ m - adic của M Khiđó:

i) depth R M = depth RbMc

ii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi Mc là môđun Macaulay depth R M = depth RbMc

Cohen-1.5 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I làiđêan khác không của R Với mỗi R - môđun M, tập

Hơn nữa, với g : M → N và h : N → L là hai đồng cấu R - môđun và

r ∈ RthìΓI (h◦f ) = Γ I (h)◦Γ I (f ), Γ I (f +g) = Γ I (f )+Γ I (g), Γ I (rf ) =

rΓ I (f ), Γ I (Id M ) = IdΓI(M )

Do đó hàm tử ΓI(−) là hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R môđun vào chính nó Hàm tử ΓI(−) được gọi là hàm tử I - xoắn

-Bổ đề 1.5.1 Nếu 0 → L−→ M f −→ N → 0 g là một dãy khớp của các R

- môđun và các R - đồng cấu thì 0 → ΓI (L) −Γ−−I(f )→ ΓI (M ) −Γ−−I(g)→ ΓI (N )

cũng là một dãy khớp

Định nghĩa 1.5.2 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêankhác không của R và M là R môđun

+ M gọi là I - không xoắn khi ΓI (M ) = 0

+ M gọi là I - xoắn khi ΓI (M ) = M

Bổ đề 1.5.2 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan kháckhông của R và M là R - môđun

i) Nếu M là R - môđun hữu hạn sinh thì M là I - không xoắn khi vàchỉ khi I chứa một M - phần tử chính quy

ii) M/Γ I (M ) là I - không xoắn

Định nghĩa 1.5.3 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêankhác không củaR và M là R - môđun Nếu M là môđun nội xạ thì dãykhớp chính tắc sau đây là chẻ:

0 → ΓI (M ) → M → M/Γ I (N ) → 0

Định nghĩa 1.5.4 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, I là iđêankhác không của R và M là R - môđun

Xét phép giải nội xạ của M:

Mệnh đề 1.5.2 Cho R là một vành giao hoán có đơn vị Nếu 0 →

L −→ M f −→ N → 0 g là một dãy khớp của các R - môđun và các R - đồngcấu thì với mỗi i ta luôn có dãy sau đây là khớp:

Mệnh đề 1.5.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan kháckhông của R và M là R - môđun Nếu M là I - xoắn thì H I i (M ) = 0

với mọi i > 0

Mệnh đề 1.5.4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan kháckhông của R Với mỗi R - môđun M, phép chiếu π : M → M/Γ I (M )

cảm sinh đẳng cấu H I i (π) : H I i (M ) → H I i (M/Γ I (M )) với mọi i > 0

Mệnh đề 1.5.5 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan kháckhông của R Với mỗi R - môđun M, H I i(ΓI (M )) = 0 với mọi i > 0

Mệnh đề 1.5.6 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan kháckhông của R Khi đó:

i) Với mỗi R - môđun M, SuppH I i (M ) ⊂ V (I) với mọi i

ii) Supp(M ) ⊂ V (I) ⇔ H I0(M ) ∼ = M và H I i (M ) = 0 với mọi i > 1

Mệnh đề 1.5.7 Cho R là vành Noether giao hoán, M là R - môđunkhác không hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM 6= M thì

depth(I, M ) = min

i : H I i (M ) 6= 0

Mệnh đề 1.5.8 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, I

là iđêan hữu hạn sinh của R và M là R - môđun Nếu 0 :M I là Artin

và M là môđun I - xoắn thì M là Artin

Mệnh đề 1.5.9 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán,

M là R - môđun khác không hữu hạn sinh Khi đó Hmi (M ) là Artin vớimọi i > 0

Mệnh đề 1.5.10 Cho R là vành Noether, I là iđêan của R và M là R

- môđun hữu hạn sinh Nếu với mọi i > 0 mà H I i (M ) là hữu hạn sinhvới mọi j < i thì Ass H I i (M ) là tập hữu hạn.

Mệnh đề 1.5.11 Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán,

I là iđêan của R và M là R - môđun hữu hạn sinh Khi đó:

i)AssH I i (M ) = Ass(Hom R (R/I, H I i (M )

ii) AssH I n (M ) = Ass(Ext n R (R/I, M )) với n = depth(M )

1.6 Đồng điều Kozul

Định nghĩa 1.6.1 Cho R là vành địa phương giao hoán và x ∈ R.Phức 0 → R −→ R → 0 x gọi là phức Koszul sinh trên R bởi x và được kíhiệu là K(x; R)

Nếu x1, x2, , x n là các phần tử của R Ta định nghĩa phức Koszul sinhtrên R bởi x1, x2, , x n là K(x1; R) ⊗ K(x2; R) ⊗ ⊗ K(x n ; R)và được

kí hiệu là K(x1, x2, x n ; R)

Cho M là R - môđun và x1, x2, , x n là các phần tử của R Ta địnhnghĩa phức Koszul sinh trên R bởi x1, x2, , x n theo M là K(x1; R) ⊗

K(x2; R) ⊗ ⊗ K(x n ; R) ⊗ M và được kí hiệu là K(x1, x2, x n ; M ).Đồng điều của phức Koszul K(x1, x2, x n ; M ) gọi là đồng điều Kozul

và được kí hiệu là H i (x1, x2, x n ; M )

Mệnh đề 1.6.1 Cho R là vành, x1, x2, , x n là dãy trong R và M là

R - môđun Khi đó ta có các kết quả sau:

i) H0(x1, x2, , x n ; M ) ∼ = M/ (x1, x2, , x n ) M

ii)H n (x1, x2, , x n ; R) ∼= (0 :M (x1, x2, , x n))

iii) Nếu I = (x1, x2, , x n) là iđêan của R thì IH i (x1, x2, , x n ; M ) = 0

với mọi i > 0

Mệnh đề 1.6.2 Cho R là vành, x1, x2, , x n là dãy trong R và 0 →

→ H i (x1, , x n ; U ) → H i (x1, , x n ; M ) → H i (x1, , x n ; N ) →

→ H i−1 (x1, , x n ; U ) →

Hệ quả 1.6.1 Cho R là vành, x1, x2, , x n là dãy trong R và M là R

- mô đun Khi đó dãy sau là khớp:

−−→ H ±xn i (x1, , x n−1 ; M ) → H i (x; M ) → H i−1 (x1, , x n−1 ; M ) −−→±xn

±xn

−−→ H i−1 (x1, , x n−1 ; M ) →

Mệnh đề 1.6.3 Cho R là vành, x = x1, x2, , x n là dãy trong R,M là

R - môđun Nếu I = (x) chứa M - dãy chính quy yếu y = y1, y2, , y m

thì H n+1−i (x, M ) = 0 với mọi i = 0, , m và

H n−m (x; M ) ∼ = Hom R (R/I, M/yM ) ∼ = Ext m R (R/I, M )

Mệnh đề 1.6.4 Cho R là vành Noether, x1, x2, , x n là dãy trong R,

M là R - môđun hữu hạn sinh vàI là iđêan củaR sinh bởi x1, x2, , x n.Khi đó:

i) H i (x, M ) = 0, ∀i = 0, , n ⇔ M = IM

ii) Nếu tồn tại i sao cho H i (x, M ) 6= 0 thì

depth(I, M ) = n − Sup {i |(H i (y1, y2, , y n ; M )) 6= 0}

Mệnh đề 1.6.5 Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R môđun khác không hữu hạn sinh và I ⊂ m là iđêan sinh bởi các phần

-tử x1, x2, , x n Khi đó các điều sau là tương đương:

Chương 2

Độ sâu lọc của iđêan

Dãy chính quy lọc được Nguyễn Tự Cường và Ngô Việt Trung trình bàyvào năm 1978, khái niệm này được xem như là mở rộng của dãy chínhquy Năm 1995, L Melkerson đã chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhấtr sao cho

H I r (M )không Artin làmin {depth (IRp, Mp)| p ∈ Supp(M/IM )\ {m}}.Sau đó năm 2001, R Lu và Z Tang đã chỉ ra rằng số r này chính là độsâu lọc của I trên M, kí hiệu là f − depth(I, M ) Khái niệm này là sự

mở rộng của độ sâu và nó trở thành một công cụ hữu ích cho khá nhiềunghiên cứu gần đây liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương,môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Trong chương này, chúngtôi sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản của dãy chính quy lọc và độsâu lọc Bên cạnh, chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của độ sâu lọcthông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul.Đồng thời chứng minh một số kết quả về tính hữu hạn của tập các iđêannguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương

Trong suốt chương này, chúng ta xem(R, m)là vành Noether địa phươnggiao hoán và M là R - môđun hữu hạn sinh

Với bất kì môđun con N của M, ta kí hiệu:

iii) l ((x1, , x i−1 ) M : M x i / (x1, , x i−1 ) M ) < ∞, ∀i = 1, , n

iv) Supp ((x1, , x i−1 ) M : M x i / (x1, , x i−1 ) M ) ⊆ V (m), ∀i = 1, , n

Từ định nghĩa ta có các kết quả sau:

i)x ∈ m làM - phần tử chính quy lọc nếu và chỉ nếux /∈ S

p∈AssR(M )\{m}

p.ii) Nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy thì nó cũng là M - dãy chínhquy lọc

iii) x1, x2, , x n là M - dãy chính quy lọc nếu x i là phần tử chính quylọc trên M/ (x1, x2, , x i−1 ) M với mọi i = 1, , n

Sau đây là những tính chất cơ bản của dãy chính quy lọc:

Mệnh đề 2.1.1 Dãy các phần tửx1, x2, , x n ∈ mgọi làM - dãy chínhquy lọc nếu và chỉ nếu x1 là M - phần tử chính quy lọc và x2, , x n là

M/x1M - dãy chính quy lọc

Chứng minh.

ii) Nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy lọc thì

dim M/(x1, , x n )M = sup {dim M − n, 0}

Chứng minh.

i) Hiển nhiên

ii) (chứng minh quy nạp)

- Nếu n = 0 thì ii) hiển nhiên đúng

- Với n > 0

+ Nếu dimM = 0 thì ii) hiển nhiên đúng

+ Nếu dimM > 0, giả sử ii) đúng với n − 1 ta sẽ chứng minh ii) đúng

Đặt M0 = M/x1M, khi đó dimM0 = dimM − 1

Theo giả thiết quy nạp, ta có :

dimM/(x1, , x n )M = dimM0/(x2, , x n )M = sup{dimM0 − (n − 1), 0}

= sup{dimM − 1 − (n − 1), 0} = sup{dimM − n, 0}

Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.1.3 Cho dãy các phần tử x1, x2, , x n ∈ m Khi đó:

i)x1, x2, , x nlàM - dãy chính quy lọc nếu và chỉ nếux1/1, x2/1, , x n/1

là Mp - dãy chính quy với mọi p ∈ Supp(M )\ {m} chứa x1, x2, , x n.ii) Nếu x1, x2, , x n là M - dãy chính quy lọc thì x α1

Do đó theo i) ta lại có x α1

1 , x α2

2 , , x αn

n là M - dãy chính quy lọc

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ta biết mỗi hoán vị của một dãy chính là một dãy chính quy Tuy nhiênmỗi hoán vị của một dãy chính quy lọc không nhất thiết lại là một dãychính quy lọc

Ví dụ: Xét vành đa thức K [x1, x2] với K là một trường

Đặt R = K [x1, x2](x

1,x2 ) và M = R ⊕ R/ x22

.Khi đó 0 :M x1 = 0và 0 :M/x1M x1 ⊆ R/ x1, x22

có độ dài hữu hạn nêndãy x1, x2 là dãy chính quy lọc

Nhưng vì iđêan nguyên tố (x2) ∈ Ass R (M )\ {x1, x2} và x2 ∈ (x2) nên

x2 không là phần tử chính quy lọc

Vì vậy dãy hoán vị x2, x1 không là M - dãy chính quy lọc