Khái niệm số thập phân đối với học sinh trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hồng Đức Huy KHÁI NIỆM SỐ THẬP PHÂN ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠN PHÁP DẠY HỌC MƠN TỐN Mã số: 60.10.40 Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 PHẦN MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Ở Pháp, kể từ sau chống cải cách Toán học Hiện đại (1968/1978) số thập phân đóng vai trị sở việc nghiên cứu hệ thống số (theo Bronner, 1997) Sự chọn lựa didactic chịu ảnh hưởng từ ý kiến sư phạm nhà toán học lớn Pháp, chẳng hạn theo Lebesgue : Nếu ta chọn hệ đếm thập phân cho giảng dạy phổ thơng lý sư phạm : để tiết kiệm thời gian, số biểu diễn hệ thập phân cụ thể phù hợp với tư trẻ (Lebesgue,1931, tr 8) Trong đời sống ngành khoa học, ngành khoa học thực nghiệm vật lý, hóa học…, người ta thường sử dụng số thập phân tính tốn chấp nhận kết thập phân gần Trong chương trình sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất, theo Luận án tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) khái niệm số thập phân thức nghiên cứu tiểu học Đến trung học sở, số thập phân nhận dạng số hữu tỷ đặc biệt Thể chế dạy học trung học cở sở trung học phổ thông không xem số thập phân đối tượng nghiên cứu.Tuy nhiên chúng xuất định nghĩa số thực tính tốn gần đúng, tính tốn với máy tính bỏ túi khuyến khích Việt Nam Vì vậy, chúng tơi cho vai trị vị trí đối tượng số thập phân dạy học toán bậc phổ thông Việt Nam không xem trọng thể chế dạy học Pháp Mặt khác, nghiên cứu việc giảng dạy số thập phân thể chế dạy học Việt Nam Điều giải thích cho tính thích đáng nghiên cứu mà dự định thực Chúng khởi đầu nghiên cứu với câu hỏi sau: Khái niệm số thập phân đưa vào chương trình hành sách giáo khoa phổ thông Việt Nam nào? Có tiến triển chương trình sách giáo Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT khoa việc dạy học khái niệm số thập phân qua hai chương trình hành trước năm 2001 ? Những khó khăn mà học sinh Việt Nam gặp phải học khái niệm này? Lý khó khăn ? Trong khó khăn này, giống khác với mà nhà Didactic Toán Pháp phát nghiên cứu thể chế dạy học Pháp ? Quan niệm khái niệm số thập phân học sinh có sau học khái niệm gì? Phạm vi lý thuyết tham chiếu mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu sử dụng chủ yếu công cụ lý thuyết nhân chủng học Chevallard (1991) Đặc biệt hai định đề mà chúng tơi tích lại Chevallard đóng vai trị giả thuyết công việc cho nghiên cứu + Mọi thực tế thể chế phân tích được, theo quan điểm khác cách khác nhau, thành hệ thống nhiệm vụ xác định + Việc thực kiểu nhiệm vụ kết việc áp dụng kĩ thuật - Trong khuông khổ nghiên cứu này, đặc biệt nghiên cứu sai lầm học sinh học số thập phân Điều rút từ việc từ việc nghiên cứu sai lầm Brousseau nhận định: “Sai lầm không đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh (… ), mà hậu kiến thức trước tỏ có ích, đem lại thành cơng, lại tỏ sai đơn giản khơng cịn thích hợp nũa Những sai lầm thuộc loại khơng phải thất thường hay khơng dự đốn Chúng tạo thành chướng ngại Trong hoạt động giáo viên hoạt động học sinh, sai lầm góp phần xây dựng nên nghĩa kiến thức thu nhận được.” (G.Brousseau, 1976) “Thêm vào đó, sai lầm ấy, chủ thể, thường liên hệ với nguồn chung : cách nhận thức, quan niệm đặc trưng, qn - khơng muốn nói đắn, “kiến thức” cũ đem lại thành công lĩnh vực hoạt động đó.” (G.Brousseau, 1976) Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu lựa chọn, giới hạn đề tài vào câu hỏi nghiên cứu sau: Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Q1: Những đặc trưng khoa học luận khái niệm số thập phân gì? Đâu chướng ngại khoa học luận gắn với khái niệm này? Q2: Mối quan hệ thể chế đối tượng số thập phân chương trình hành? Dưới ràng buộc thể chế dạy học, học sinh gặp khó khăn học khái niệm này? Những khó khăn có nguồn gốc khoa học luận? Những khó khăn gây lựa chọn Didactic thể chế dạy học? Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp lại số kết nghiên cứu trước (Pháp: Brousseau 1987, Margolinas 1985, Neyret 1995; Việt Nam: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) để trả lời cho câu hỏi Q1 - Phân tích chương trình sách SGK hành từ tiểu học đến trung học phổ thơng để tìm số yếu tổ trả lời câu hỏi Q2 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, chương phần kết luận + Phần mở đầu trình bày số ghi nhận câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn + Trong chương 1, tóm tắt số đặc trưng khoa học luận tốn học số thập phân từ cơng trình Brousseau (1998), cấu trúc đại số thứ tự số thập phân từ quan điểm toán học cao cấp Đặc biệt nhấn mạnh phân biệt số thập phân dạng viết thập phân + Trong chương 2, chúng tơi tiến hành phân tích thể chế dạy học trường tiểu học, trung học sở, trung học phổ thông Việt Nam liên quan đến đối tương số thập phân + Trong chương 3, chúng tơi trình bày thực nghiệm nhằm tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh với số thập phân + Phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt qua chương 1, 2, luận văn đề cập đến hướng nghiên cứu mở từ luận văn Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Chương 1: MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ TOÁN HỌC CỦA SỐ THẬP PHÂN 1.1 Một số kết khoa học luận Brousseau (1998) Từ nghiên cứu khoa học luận việc trình bày số thập phân Brousseau (1998) kết luận rằng: Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân Những định nghĩa cách xây dựng khác lựa chọn kiến thức khởi đầu khác Ngoài việc xây dựng khái niệm số thập phân tiên đề kiểu định nghĩa cuối khái niệm số thập phân nói riêng khái niệm tốn học khác nói chung Brousseau nhấn mạnh cách xây dựng phương pháp tiên đề cần phải bổ sung thêm lý thuyết để hiểu định nghĩa Il existe bien des mainières de définir mathématiquement ou de cons-truire les décimaux Elles diffèrent par le choix de ce que l’on considère connu comme objets mathématiques et comme méthode de démonstration, mais leur résultat est le même, en ce sens qu’il existe un moyen de montrer l’équivalence, l’isomorphisme des structures obtenues Chacune de ces constructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; par contre, l’étude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce qui est admis ou non, de ce qui est important ou non, facile ou non ne relève pas des mathématiques Une constructions axiomatique est chargée implicitement d’option épistémologiques, de présupposés didactiques qu’il faut se garder de croire nécessaires au même titre que les conclusions mathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours qui permet de communiquer la notion Deux méthodes diffèrent par le choix des axiomes et des règles de production des théorèmes1 ( Brousseau 1998, trang 201) Brousseau tóm tắt số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mở rộng hay thu hẹp tập số cho trước Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng khái niệm số thập phân Chúng phân biệt với thông qua lựa chọn đối tượng xem biết phương pháp chứng minh Tuy nhiên tập hợp số thập phân theo nghĩa sai khác đẳng cấu Mỗi tiên đề hóa cách xây dựng số thập phân nằm phạm vi toán học Tuy nhiên việc nghiên cứu khác cách xây dựng này, lý lựa chọn biết hay chưa biết, quan trọng hay khơng quan trọng, dẽ hiểu hay khó hiểu… khơng dựa vào toán học Sự xây dựng tiên đề ngầm ẩn dựa quan điểm tri thức luận dựa vào việc chọn lựa kết luận toán học cần thiết mà chấp nhận đúng, thông qua kết luận cần phải lĩnh hội lý thuyết cho phép vận dụng khái niệm […] (Được dịch) Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT - Xây dựng số thập phân cách mở rộng Z hay N Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D : Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~ ( D, , x ,  ) , la classe de (a,n) étant notée a 10n D = Z x N/ est muni d’opérations stables par pasage au quotient: (a, n)  (b, p )  (a.10 p  b.10 p , n  p ) (a, n) x (b, p )  (a.b, n  p ) Qui prolongent les opérations dans N, identifié ( N , 0)  D Dest ordonné par (a, n)  (b, p)  a.10n  b.10 p Alors ( D, , x ,  ) est un anneau commutatif unitaire intègre et totalement ordonné ( Brousseau, 1998, trang 203) - Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ Exemple : les descimaux sont les rationnels exprimables par une fraction descimale (C’est la construction qui sera retenue plus loin)  D  x  D / (p x.10 p  Z  Dans le processus exposé plus loin nous retiendrons d’abord une extension de N pour construire directement Q  l’ neseble des nombres rationnels, púi une réduction de Q  D  ( Brousseau, 1998, trang 201) • Chướng ngại khoa học luận liên quan đến số thập phân: Bằng cách tổng hợp nghiên cứu khoa học nghiên cứu thể chế dạy học Toán Pháp mà Brousseau (1998), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) nhấn mạnh chướng ngại khoa học luận liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân : - Tập hợp số tự nhiên với cấu trúc cộng cấu trúc thứ tự rời rạc chúng chướng ngại lĩnh hội cấu trúc đại số cấu trúc thứ tự tập hợp số thập phân Đặc biệt, thứ tự rời rạc tập hợp số tự nhiên ngăn cản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc tập hợp số thập phân Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT - Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phân thể chế dạy học Pháp làm gia tăng chướng ngại Nghĩa chướng ngại khoa học luận kể chướng ngại có nguồn gốc didactic2 (đối với thể chế dạy học Pháp) 1.2 Cấu trúc đại số số thập phân 1.2.1 Số thập phân có cấu trúc vành Trong lý thuyết tốn học: Ta gọi vành tập hợp X với hai phép tốn hai ngơi cho X kí hiệu theo thứ tự dấu + gọi phép cộng phép nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: X với phép cộng nhóm aben X với phép nhân nửa nhóm Phép nhân phân phối phép cộng: với phần tử x, y, z  X ta có: x( y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx Từ đó, gọi D tập số thập phân, thấy tập số thập phân D có cấu trúc vành có đặc trưng sau : 1.2.2 Số thập phân vành giao hốn có đơn vi Thật : D với phép cộng nhóm aben + a, b, c  D : (a  b)  c  a  (b  c) + a, b  D : a  b  b  a +   D, a  D : a   a + a  D : (a)  D : a  (a)  D với phép nhân nửa nhóm a, b, c  D : (ab)c  a (bc) Phép nhân D phân phối phép cộng: với phần tử a, b, c  D ta có: a (b  c)  ab  ac Theo Cornu (1983): Là chướng ngại gây phương pháp giảng dạy Đó chướng ngại giáo viên gây hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, dẫn chương trình, thói quen, lựa chọn ví dụ , …) gây Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT (b  c)a  ba  bc Phép nhân D có phần tử đơn vị: a  D : Ta có a.1  a 1.2.3 Số thập phân khơng có cấu trúc trường Thật vậy, số số thập phân khơng có phần tử nghịch đảo nên số thập phân khơng có cấu trúc trường Ví dụ: 0,  D ; D 0,3 1.2.4 Số thập phân tập trường Q R Thật vậy, ta biết: số thập phân số hữu tỉ, tập số thập phân tập trường Q R 1.3 Sự phân biệt số thập phân dạng viết thập phân 1.3.1 Số thập phân biểu diễn nhiều dạng viết Các dạng viết xuất nghiệm phương trình hay kết khai bậc hai số thực, kết tính xấp xỉ giá trị hàm số điểm Vậy dạng viết khác số thập phân liên hệ với vấn đề toán học sinh số thập phân Chẳng hạn số thập phân 2,5 có dạng viết sau: - Dạng viết thập phân 2,5 - Dạng viết phân số (ví dụ giải phương trình 2x = 5) - Dạng viết a 6, 25 (Ví dụ giải phương trình x2 = 6,25) - Dạng viết + sin30o (Dạng viết xuất giải phương trình lượng giác) - Dạng viết  Mac Laurin 1 (Dạng viết xuất tính gần số e từ khai triển  1! 2! ex   1    ) n! 1! 2! Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT 1.3.2 Tất số thực biểu diễn dạng thập phân Như vậy, người ta phân biệt kiểu số dựa vào dạng viết thập phân chúng - Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn vô hạn với chu kỳ - Số hữu tỉ viết dạng thập phân vơ hạn tuần hồn (kể số thập phân) Khi ta xem số thập phân số có dạng viết thập phân vơ hạn tuần hồn chu kỳ chu kỳ Xét số hữu tỉ 1 , ta viết số dạng thập phân = 0,333 = 0,25 Và ta nói số hữu tỉ biểu diễn dạng thập phân hữu hạn số hữu tỉ 1 biểu diễn dạng thập phân vô hạn tuần hồn Nói thập phân hữu hạn biểu diễn 1 = 0,25 ta kết thúc số 5; số thập phân vô hạn tuần hồn biểu diễn = 0,333 ta viết thể viết thêm chữ số chưa biểu diễn hẳn số , muốn kéo dài số 3 đến viết Cũng thế, viết = 0,1428571 Ở đây, số (số sau dấu phẩy thứ 7) ta viết dấu” ” muốn viết thêm số sau dấu phẩy được, chẳng hạn viết: = 0,14285714285714  Šư biểu diễn dạng thập phân , số 142857 lặp lại theo thứ tự lần tùy ý … ta muốn dừng lại số miễn biểu diễn đầy đủ số tức quy tắc tuần hồn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,1428571 = (Tốn học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 9) Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Như cần ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 … số thập phân Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số thập phân vơ hạn tuần hồn”, điều gây hiểu lầm số thập phân Trong dạng viết thập phân số hữu tỉ - Số vơ tỷ chứng minh có dạng viết thập phân vơ hạn khơng tuần hồn (cách chứng minh dựa vào tính đếm khơng đếm tập hợp số) Người ta chứng minh số hữu tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn Nhưng, với số vơ tỉ khơng thế, người ta chứng minh số vơ tỉ biểu diễn dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Chẳng hạn viết: = 1,41 Ta từ biểu diễn thập phân mà viết thêm số sau dấy phẩy cách tùy tiện khơng có quy tắc tuần hồn Nếu viết: = 1,4142 Tương tự trên, ta biễu diễn xấp xỉ với số sau dấu phẩy từ năm số suy diễn để viết tiếp số thập phân khác số vơ tỉ, có biểu diễn thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Ngồi định nghĩa tập số hữu tỉ số vơ tỉ, ta có bao hàm thức: N Z QR ( Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 10) Như ý số thập phân biểu diễn dạng thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số TP vơ hạn khơng tuần hồn”, điều gây hiểu lầm số số TP Trong dạng viết TP số vơ tỉ Tóm lại, ta cần phân biệt dạng viết thập phân số thực với số thực Tương tự vậy, biểu diễn số thực dạng liên phân số thơng qua số hữu tỉ (nghĩa nói liên phân số dạng viết hữu tỉ số thực) 1.4 Thứ tự không rời rạc tập số thập phân tính trù mật Q R Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Việt Nam Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2006), NXB giáo dục Phạm Ngọc Bảo (2002), Đào tạo giáo viên tiểu học bước chuyển từ phân số phần rút từ đơn vị” Đến phân số “Thương” lớp lớp 4, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tơn Thân (chủ biên) (2003), Toán tập 2, NXB Giáo dục Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), Tốn 7- tập , NXB Giáo dục Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2003), Bài tập toán 7- tập 1, NXB Giáo dục Phùng Hồ Hải (2008), Số hữu tỉ số vơ tỉ, Báo Tốn học tuổi trẻ số 374 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2006), Đại số 10, NXB Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2007), Tốn 5, NXB Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2006), Toán 5, sách giáo viên, NXB Giáo dục 10 Đỗ Đình Hoan ( chủ biên) (2006), Bài tập toán 5, NXB Giáo dục 11 Phạm Văn Hồn, Đỗ Trung Qn, Đỗ Đình Hoan, Đào Nãi, Vũ Dương Thụy (2003), Toán 5, NXB Giáo dục 12 Nguyễn Thị Nga (2007), Nghiên cứu đồ án didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh 13 Hồng Xn Sính (2001), Đại số đai cương, NXB Giáo dục 14 Hồng Xn Sính, Nguyễn Tiến Tài (2000), Đại Số 7, NXB Giáo dục 15 Tơn Thân (Chủ biên) (2003), Bài tập Tốn 7- tập 1, NXB Giáo dục 16 Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) (2007), Toán học cao cấp- tập hai, NXB giáo dục 17 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy học toán: Đồ án didactic mơi trường máy tính bỏ túi , Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Pháp Brousseau G (1976), Chướng ngại khoa học luận vấn đề toán học Nghiên cứu didactic toán, 4(2), tr 164-198 Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Brousseau (1998), Théorie des situations didactiques, Pensée Sauvage, Grenoble Cornu (1983), Appentissage de la notion the limite : Conception et obstacles, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble I Margolinas C (1988), Une estude sur lé difficultés d’enseignement des nombres réels, Petit x n 16, pp 51 – 66 Neyret R (1995), Contraintes et dèterinations des processus de formation des enseignants: nombres décimaux, rationnels et réels dans les instituts Universitaire de Formation des Maitres, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble I Le Thai Bao Thien Trung (2007), Étude didactique des relations notion de limite et decimalisation des nombres réels dans un environnement “ Calculatrice” thèse, Université Joseph Fourier – Grenoble Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT ... văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh. .. văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT... Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT Đối với số thập phân chương trình tiểu học yêu cầu nắm: a) Khái niệm ban đầu số thập phân Đọc, viết, so sánh số thập phân Viết chuyển đổi số đo