CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m. b.[r]
(1)Chun đề
hƯ thøc ViÐt vµ øng dơng
A Mơc tiªu:
- Học sinh nắm hệ thức Viét Biết vận dụng hệ thức Viột :
+ Tính giá trị biểu thức nghiệm + Xét dấu nghiệm
+ Tìm hệ thức liên hệ nghiệm mà không phụ thuộc tham số + Lập phơng trình bËc biÕt hai nghiƯm cđa nã
B Phần chuẩn bị
- Giỏo viờn: Giỏo ỏn v tài liệu tham khảo nh: + Toán nâng cao v cỏc chuyờn
+ Toán nâng cao phát triển
+ Bi nõng cao số chuyên đề toán + SGK, SBT, cỏc dng toỏn
- Học sinh: Ôn lại hệ thức Viét + Các tài liệu tham khảo
C Néi dung I Lý thuyÕt:
1 HÖ thøc Viét: Nếu x1; x2 nghiệm phơng trình
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) th× S = x
1 + x2 = - a b
P = x1 x2 = a c
2 øng dông:
* Tìm số biết tổng tích chúng
Mn t×m sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng s, tích chúng p, ta cần giải phơng trình
x2 - sx + p = 0
Nếu s2 4p phơng trình có nghiệm, số cần tìm
NÕu s2 < 4p phơng trình vô nghiệm, không tồn sè mµ tỉng
b»ng s tÝch b»ng p
* Xét dấu nghiệp phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (1)
Điều kiện để phơng trình (1)
- Có nghiệm trái dấu p <
(2)- Có nghiệm âm là: 0; p > 0; s <
II VÝ dơ minh ho¹:
1 D¹ng 1: TÝnh trÝ trị hệ thức nghiệm phơng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0)
* Phơng pháp giải:
Vn dng phép biến đổi, để đa biểu thức cần tính giá trị biểu thức nhng chứa tổng tích nghiệm
a VÝ dơ 1: Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0; c ≠ 0) Cho biÕt x 1, x2
lµ nghiƯm TÝnh theo a, b, c giá trị biểu thức sau: +) x1
2
+x22 +) x13+x23
+ (x1 - x2)2 +) x1 - x2 + x12− x22
* Gi¶i:
+) x1
+x2
=(x+x)−2x x=(− b
a )
−2 c a=
b a−2
c a=
b −2 ac a +) 2 2 2 2 3
1 x x 3x x 3x x 3x 3x x 3x x
x
= (x+x)3−3x x(x+x) = (−b
a )
−3.c a
− b a =
−b3 a3 +
3 bc a2 =
3 abc− b3 a3
+) (x − x)2=(x − x)2−4x x=(− b
a )
−4c a=
b−4 ac a
+) x1 - x2 = ± √(x − x)2=¿ √b
2−4 ac
a =±
√b −ac
a
2 Dạng 2: Xác định dấu nghim.
Phơng pháp giải: Vận dụng điều kiện dấu nghiệp phơng trình ax2 + bx + c = 0
Ví dụ: Cho phơng trình với tham sè m
mx2 - (m + 1) x + (m - a) = (1)
a Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b Tìm hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
* Gi¶i:
a +) m = phơng trình (1) có dạng - 2x - = 0, cã nghiÖm x = - +) m phơng trình (1) phơng tr×nh bËc
’ = (m + 1)2 - m (m - 4) = 6m + 1
(3)KL: Víi m −1
6 th× (1) cã nghiÖm
b Theo hÖ thøc ViÐt ta cã s = 2(m+1)
m ; p= m −4
m
ĐK để (1) có nghiệm trái dấu là: P < m−4
m <0⇔0<m<4
Khi đó, < m < nên s > 0, nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn 3 Dang 3: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình bậc hai khơng phụ thuộc vào tham số
* Gi¶i:
+ Bớc 1: Theo thớc Viét viết hệ thức s p theo tham số + Bớc 2: Dùng quy tắc cộng quy tắc để thử tham số + Ví dụ: Cho phơng trình
(k - ) x2 - 2kx + k - = 0
Gọi x1 x2 nghiệm phơng trình, lập hệ thức liên hệ x1, x2
không phụ thuộc k
* Giải
- Để phơng trình có nghiệm x1 x2 thì:
k ≠ k ≠ k ≠ k ≠
’ k2 - (k - 1) (h - 4) sk - k
- Theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2k
k −1 (1)
x1 + x2 = k −4 k −1 (2)
Rót k tõ (1) ta cã k = x+x
x+x −2 Rót k tõ (2) ta cã k = x+x −4
x+x −1 Suy x+x
x+x −2 =
x+x −4
x+x −1
Nay (x1 + x2) (x1x2 - 1) = (x1x2 - 4) (x1 + x2 - 2)
Suy (x1 + x2) + x1x2 - =
4 Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai biết nghiƯm
(4)Bíc 1: TÝnh s = x1 + x2; p = x1 x2
+) Nếu s2 4p lập đợc phơng trình bậc có nghiệm x 1, x2;
+) Nếu s2 4p không lập phơng trình bậc cã nghiƯm lµ x + x2
Bớc 2: Phơng trình cần lập là: x2 - 5x + p = 0
Ví dụ: Cho phơng trình x2 - 5x = 0
Nghiệm giải phơng trình (1), hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm luỹ thừa bậc bốn nghiệm phơng trình (1)
* Giải:
Ta thấy phơng trình (1) có nghiệm
Gi x1, x2 l nghiệm phơng trình chọn
Ta cã: x1 + x2 = - 5; x1 x2 = -
Gọi y1, y2 nghiệm phơng trình phải lập, ta đợc
y1 + y2 = x41+x24; y1 y2 = x41+x24;
Ta cã:
x+x¿2−2x x=25+2=27
x12+x22=¿
Do đó: y1 + y2 = x41+x24=(x21+x22)− x12+x22=729−2=272
y1 + y2 = (x1 x2)4 = (-1)4 =
Phơng trình phải lập có tổng nghiệm 272 tích cac snghiệm nên có dạng
y2 - 72 + y + = 0
III Bài tâp vận dụng:
Bài 1: Cho phơng trình 2x2 - 3x + = 0
Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình, không giải phơng trình, hÃy tính
giá trị biểu thức sau:
a) A =
x+
x B =
1− x x +
1− x x
C = x1
+x22 D = x
x+1+
x x+1
Bài 2: Cho phơng trình x2 + (2m - 1) x - m = 0
a CMR phơng trình có nghiệm với m
b Gọi x1, x2 nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để
A = x12+x226x x có giá trị nhỏ Bài 3: cho phơng trình x2 - mx + m - = a
(5)b Gäi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình Tìm gia stri nhỏ lớn
của phơng trình
P = 2x x+3
x12+x22+2(x x+1)
Bài 4: Xác định tham số m cho phơng trình
a 2x2 - (m + 1x) + m2 - m - = cã nghiƯm tr¸i dÊu
b mx2 - (m + 2) x + (m - 2) = cã nghiÖm cïng dÊu
c 3m x2 + (2m + 1) x + m = cã nghiƯm ©m
d (m - 1) x2 + 2x + m = cã nghiệm không âm
Bài 5. Chi biết phơng trình x2 - (m + 2) x + (2m - 1) = cã c¸c nghiƯm x 1,
x2 độc lập m
Bµi 6: Cho phơng trình x2 + (4m + 1) x + (m - 4) = 0
a Tìm m để biểu thức A = (x1 - x2)2 có giá tr nh nht
b Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m
Bài 7: Lập phơng trình bậc có nghiệm
a √3 vµ √3 b - √3 vµ + √3
Bµi 8: Gäi x1, x2 lµ nghiệm phơng trình
3x2 + 5x - =
Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 +
x ; y2 = x2 + x
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = cã c¸c nghiƯm x
1, x2 lập
phơng trình bậc hai có c¸c nghiƯm y1, y2 cho
a) y1 = x1 - y2 = x2 -
b) y1 = 2x1 - y2 = 2x2 -
Bài 10: Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm tho¶ m·n x1 - x2 =