Các phương pháp giải pt lượng giác I.[r]
(1)Các phương pháp giải pt lượng giác I Kiến thức bản:
1) Hằng đẳng thức lượng giác:
Sin2x + cos2x = 1 x
x 2 tan cos
1
x
x 2 cot sin
1
x
x x
tan cos
sin
tanx.cotx = 1
2) Công thức bản:
+ Công thức cộng:
Sin (a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa cos (a ± b) = cosa.cosb sina.sinb
+ Công thức nhân đôi:
Sin2a = 2sina.cosa
a a
a 2
tan
tan 2 tan
Cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a -1 = 1- 2sin2a
+ Công thức hạ bậc:
2 cos
cos2a a
2
2 cos
sin2 a a + CT biến đổi tổng thành tích:
2 cos sin sin
sina b ab a b
2 sin cos sin
sina b ab a b
cos cos cos
cosa b ab a b
2 sin sin cos
cosa b ab a b + CT biến đổi tích thành tổng:
Sina.cosb = 12 [sin(a +b) + sin (a – b)] cosa.cosb = 12 [cos (a +b) + cos (a – b)] Sina.sinb = -12 [cos (a + b) – cos (a – b)]
+ CT biến đổi tan 2a (đặt t = tan 2a ):
1 sin
t t a
2
2 1 cos
t t a
2
1 tan
t t a
+ CT nhân 3:
Cos3a = 4cos3a – 3cosa sin3a = 3sina – 4sin3a 3) Các cung lượng giác:
+ Cung đối: + Cung bù:
sin (-a) = -sina sin (п – a) = sina
cos (-a) = cosa cos (п – a) = -cosa
tan (-a) = -tana tan (п – a) = -tana
cot (-a) = -cota cot (п – a) = -cota
+ Cung phụ: + Cung
2
: sin (
2
– a) = cosa sin (
2
(2)cos (2 – a) = sina cos(2 – a) = -sina + Cung п:
sin(п + a) = -sina cos (п + a) = -cosa
II Các phương pháp giải: 1) Nghiệm pt lượng giác: sinx = sina
2
k a x
k a x
cosx = cosa x = ±a + k2п
tanx = tana x = a + kп
2) Các dạng pt lượng giác thường gặp pp giải: Dạng 1: asinx + bcosx + c = (a2 + b2 ≠ 0)
C1: Chia hai vế pt cho a2b2 Sau đặt: sin a2 b2
b
,
2 cos
b a
a
2 sin
b a
c
Khi pt cho
Sin (x + ) = sin
C2: Chia vế pt cho a b: sau đặt b/a = tan
Ví dụ 1: sinx + cosx = 0 Ví dụ 2: sin3x - cos3x = 0
Ví dụ 3:
14 sin cos 12
5 sin
5 cos
12
x x
x x
Dạng 2: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = 0
C1: Nếu cosx = nghiệm chia vế pt cho cos2x.
C2: Nếu cosx = nghiệm sử dụng cơng thức nhân đôi, hạ bậc để đưa pt dạng 1:
Ví dụ 1: 4cos2x + 3sinx.cosx – sin2x = 3
Ví dụ 2: 2sin2x – sinx.cosx – cos2x =2
Ví dụ 3: 4 2sin3x – 4cos3x + 2sin (x +
) – 2cos (x - 4 ) = 0
Dạng 3: a.(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = (pt đối xứng)
Đặt t = sinx + cosx = .sin(x +
) t 2
2 cos
sin
2 x t x
Ví dụ 1: 4 2(sinx + cosx) + 3sin2x – 11 = 0 Ví dụ 2: sin cos sin1 cos1 103
x x
x x
Ví dụ 3: (sinx + cosx)2 - 2 (1 + sin2x) +sinx + cosx - 2 = 0
Ví dụ 4: Tìm m để pt sau có nghiệm: sinx.cosx – sinx – cosx =
m2 – 2m + 1 3) Một số dạng pt lượng giác không quen thuộc
Dạng 1: Dùng công thức phép biến đổi đưa pt tích:
Ví dụ 1: 4 2sin3x – 4cos3x + 2sin(x +
) – 2cos(x -
(3)Ví dụ 3: sin3x + cos3x = (sin5x + cos5x)
Ví dụ 4: (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx
Dạng 2: Dạng biến đổi pt:
A + 2
A +
A + … +
n
A =
0 0
n A A A A
Ví dụ 1: 4cos2x + tan2x - 4 3cosx +2 3tanx +4 = 0
Ví dụ 2: 4sin2x + sin23x = sinx.sin23x
Ví dụ 3: cos24x + cos28x = sin212x + sin216x + 2 Dạng 3: Giải pt f(x) = g(x) pp đối lập:
Ta c/m:
m x g
m x f m x g
m x f
) (
) ( )
( ) (
Ví dụ 1: sin3x + cos3x = – sin2x sin3x + cos3x = + cos2x (sinx = 1, cosx = VN)
Ví dụ 2: sin3x + cos4 = 1
Ví dụ 3:
4 39 cos cos
4 17 sin
sin2
x x x
x
Ví dụ 4: os14x + sin13x = 1
Giải PT hệ PT sau:
1. sin23x - cos24x = sin25x - cos26x 2. cosx+ cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = -1
3. (cos2x - 1)(sin2x + cosx + sinx) = sin22x 4. cotgx - =
tgx x cos
1
+ sin2x -
2 sin2x
5.
2 cos
2
sin2
tg x x x
6. 5sinx - = 3(1 - sinx)tg2x
7. cos23xcos2x - cos2x = 0 8. + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
9. cos4 sin4 cos sin 3 3 0
4 4 2
x x x x
10
6
2 sin sin cos
0 2 2sin
cos x x x x
x
11. cotx + sinx 1 tan tan 4
2 x x
12. cos3x + cos2x - cosx - =
13. 1 sin 2xcosx1 cos 2xsinx 1 sin 2x 14. 2sin22x + sin7x - = sinx
15
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
16 x
x g x
x x
2 sin
1
cot 2
sin
cos
sin4
17
x x x x
tg4 4
cos
3 sin sin 1
18 tgx + cosx - cos2x = sinx(1 + tgxtg
2 x
)
19 x
x sin cos
8
2 20 3 tgxtgx2sinx6cosx0
21 cos2x + cosx(2tg2x - 1) = 2 22
0
9
3cos x cos6x cos2x
23
1
cos
4 sin cos
2
x
x
x
24 sinx
x cos x sin
x cos x cos
1
(4)25
x sin
x cos tgx
gx cot
2
26 sin(cosx) =
27 tg x tgx cosxsin3x
3
2 28 sinxcosx3 2sin2x1sinxcosx 20
29
5
3x sin x sin
30 1sinxcosx0
31 sin2x4cosx sinx4 32
x cos x
cos x
cos2
2
33 2 2 0
cos x cosx x
sin 34 2sin3xcos2x cosx0 35 22 6 9 0
x cos
x cos x
sin x
sin 36
2 sin sin
sin2x x x
37 sinxcos4xcos2xsin3x0 38 1sinxcosxsin2xcos2x0
39 tg2x + cotgx = 8cos2x 40 tg x
x sin x cos
x cos x
sin 2
8 13
2
6
41 sinxsin2xsin3x 3cosxcos2xcos3x0 42. sin x 2sinx
4
3
43 3cosx1 sinx cos2x2 sinxsin2x 44 2 2 1
cotgx
x sin x cos x
g cot tgx
45 sinx.cosx + cosx = -2sin2x - sinx + 1 56
3
4 x
cos x cos
47 sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x) 48 1
1
2
2
x sin
x sin x sin x
sin x cos x cos
49 cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 50. cosx x
sin
x sin x
sin2 4
1
51 cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 52 sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
52 2tgx + cotg2x = 2sin2x +
x sin2
1
53 sin4x + cos2x + 4cos6x = 0
54 sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 55
1
2
cotgx
x sin x cos x
g cot tgx
56 cos x
x tg x tg
x cos x
sin 4
4
2
2 4
4
57 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x =
58 cosx cosxcos x sin4x
2
1 59 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) =
60 tgx + 2cotg2x = sin2x 61
x sin tgx gx
cot
62 1 + 3tgx = 2sin2x 63 3cosx + cos2x - cos3x + = 2sinxsin2x
64 cos3xcos3x - sin3xsin3x = cos34x +
4
1 65 48 - 1 2 0
2
4 cotg x.cotgx x
sin x cos
66
3 10 1
x sin x sin x cos x
cos 67 22 2tg2x5tgx5cotgx40
x
sin
(5)70 x3 2x1sinx 3cosxx3 2x1 71 sin2x + 2cos2x = + sinx - 4cosx
72.cos x cos x sinx sinx
21
4
2 73 sin2x + cos2x + tgx =
74 3cotg2x2 2sin2x23 2cosx 75
5
2cos2 x cos x
76
x cos x cos x sin x cos x cos x
sin 3 8
2 2
77 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx= 2(sinx + cosx) 78 2cos2x + sin2x.cosx + cos2x.sinx= 2(sinx + cosx)
79 32 3tg2xmtgxcotgx 10
x
sin 80 sin
2x + sin22x + sin23x = 2
81 cos3x + 2 cos23x 21 sin22x
82 8sinx =
x sin x cos
83
4
2 sinx sinx cos x sin x
84 3cosx + 4sinx + 6 sinx x
cos 85 cos3x - 2cos2x + cosx =
86
3 x cos x cos x cos x sin x sin x sin
87 tg2x - tg3x - tg5x = tg2x.tg3x.tg5x
88 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 89
2 7 cos cos cos
90 (1 + tgx)(1 + sin2x) = + tgx 91 sin
4
3x sin x.sin x
92 3sinx + 2cosx = + 3tgx 93 sin3x.cos3x + cos3x.sin3x = sin34x
94 x ) 2sin x tanx
4 ( sin
2 2
95 tan2x + cotx = 8cos2x
96 cosx.sinx + cosxsinx 1 97
2 2 1 2 2 y y x x y sin x sin 98 2 2 y cos x cos y sin x sin 99 0 1 sin 3 2 cos sin sin y x y x y x 100 tgy tgx y cos x sin 3 4 1 101 2 2 y cos x cos y sin x sin
Tìm tham số để pt có nghiệm thỏa mãn điều kiện
Bài 1 Chứng minh hàm số: y =sin6x + cos6x + 3sin2x cos2x + 2005x có đạo hàm không
(6)Bài 2 Cho hai pt: 2cosxcos2x = + cos2x + cos3x 4cos2x - cos3x = (a - 1)cosx - a (1 + cos2x)
Tìm a để hai phơng trình tơng đơng
Bài 3.T×m nghiƯm (0; 2) cđa pt :
2
3
5
cos x
x sin
x sin x cos x sin
Bài 4 Tìm x [0;14] nghiệm phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - =
Bài 5. Xác định m để phơng trình: 4sin4xcos4xcos4x2sin2x m0 có nghiệm thuộc đoạn
2 ;
Bi 6 Cho phơng trình: a
x x
x x
3 cos sin
1 cos sin
2
(2) (a lµ tham số) a) Giải phơng trình (2) a =
3
b) Tìm a để phơng trình (2) có nghiệm
Bài 7. Cho phơng trình: cos2x2m 1cosx1 m0 (m tham số)
1) Giải phơng trình với m = 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm khoảng
;
2
Bi 8 Cho phơng trình: sin2x 3m 2sinxcosx1 6m20
a) Giải phơng trình với m = b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm
Bi 9 Cho phơng trình: sin6xcos6xmsin2x
a) Gii phng trình m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 10 Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 - 3sin2x + m.
1) Giải phơng trình f(x) = m = -3
2) Tính theo m giá trị lớn giá trị nhỏ f(x) Từ tỡm m cho (f(x))2
2) Giải biện luận phơng trình: m.cotg2x =
x sin x cos
x sin x cos
6
2
theo tham sè m
Bài 11.T×m nghiƯm cđa pt: cos7x - 3sin7x thoả mÃn điều kiện:
2
x
Bài 12. Cho phơng trình: cos3x + sin3x = ksinxcosx
a) Giải phơng trình với k = 2 b) Với giá trị k phơng trình có nghiệm?
Bi 13 Tìm t cho phơng trình: t x
sin x sin
1
có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: x
Bài 14. Tìm nghiệm x (0; ) phơng trình: sin x cos x x
cos x sin x
sin 2 2
2
3
Bi 15.Cho phơng trình: x2 - (2cos - 3)x + 7cos2 - 3cos -
4
= Víi gi¸ trị phơng trình có nghiệm kép
Bi 16.Cho phơng trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + = 1) Giải phơng trình víi m =
2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
2; Bi 17.Cho phơng trình: (1 - a)tg2x - 13a0
x cos
1) Gi¶i phơng trình a =
(7)2) Tìm tất giá trị tham số a để phơng trình có nhiều nghiệm khoảng
2 0;
Bài 18.Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)2 - 3sin2x + m
1) Giải phơng trình f(x) = m = -3 Từ tìm m cho f2(x) 36 x
2) Tính theo m giá trị lớn giá trị nhỏ f(x)
Bi 19. Tìm nghiệm x
3
2; phơng trình: sin x cos x 2sinx
7
2
2
Bi 20 Cho phơng trình: sin6x + cos6x = asin2x
1) Giải phơng trình a = 2) Tìm a để phơng trình có nghiệm
Bi 21 Cho phơng trình lợng giác: sin4x + cos4x = msin2x -
2
(1) 1) Giải phơng trình (1) m =
2) Chøng minh r»ng víi mäi tham sè m thoả mÃn điều kiện m phơng trình (1) luôn có nghiệm
Bi 22.Cho phơng trình: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = - 4cos2x (1)
1) Giải phơng tr×nh (1) víi m =
2) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện: x
Bi 23. Tìm tất c¸c nghiƯm cđa pt: sinxcos4x + 2sin22x = - 4
2
2 x
sin
thoả mÃn hệ bất phơng trình:
x x
x 3
3 1