Đang tải... (xem toàn văn)
Cho tam giác ∆ABC, a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác... Cho n,k là các số nguyên dương..[r]
(1)Chuyên đề: BÀI BẤT ĐẲNG THỨC
Cho a,b,c số thực dương Chứng minh: 3
2
a b c
b c c a a b
Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x2 y2 z2 3
Chứng minh : xy yz zx 3
z x y
Cho x, y, z >0 thoả x y z 1 Chứng minh: 1 4 9 36
x y z
Cho x, y, z số thực dương Chứng minh: xyz(xy z y )( z x z )( x y)
Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : 1 1 1 1 1 11 a b b c c a
Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc=1
Chứng minh : 3 1 3 1 3 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
Cho x, y, z số thực dương thoả mãn: xyz x y z 2
Chứng minh : 3
2
x y z xyz
8 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2+b2+1
ab+a+b
b) a2+b2+c2+d2+e2
a(b+c+d+e)
c) a3+b3
ab(a+b)
d) a4+b4
a3b+ab3
Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a+b+c)2
3(ab+bc+ca)
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)
6abc
10 a) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng: a4+b4
a3+b3
b) Cho a,b hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a4+b4+c4
a3+b3+ c3
11.Cho a,b,c số dương, Chứng minh rằng:
1 a b c 2 a b b c a c
(2)1 a b c d 2
a b c b c d c d a d a b
13 Chứng minh với a,b,c > thì:
a) bc ac ab a b c
a b c
b) ab bc ca a b c
a b b c c a 2
c)
3 3
a b c
ab bc ca
b c a
14.Chứng minh với a,b,c > thì: a)
2
2
a b a b
b a b a
b)
2 2
a b c
a b c b c a
c)
2 2
a b c a b c
b c c a a b 2
15 Cho x y z, , 0 xyz 1 Chứng minh:
3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
16 Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd da 1 Chứng minh:
3 3 1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
17 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh:
1 1 1 27 2
( ) ( ) ( )2( )
a a b b b c c c a a b c d
18 Cho ba số dương x, y, z thỏa x2 y2 z2 3. Chứng minh: xy yz zx 3
z x y
19 Cho số dương x, y, x thỏa xyz = Chứng minh:
5 5 5 5 5 5 1
xy yz zx
x xy y y yz z z zx x
20 Cho a b c, , 0. Chứng minh:
4 4 14 4 4 14 4 4 14 4 4 14 1
(3)21 Cho x, y, z số dương Chứng minh:
3
2( )
1 1 1 2
x y z x y z
y z x xyz
22 Cho ba số dương x ,y, z Chứng minh:
3 3
x y z
x y z yz zx zx
23.Cho ba số dương a, b, c Chứng minh a2b2c2 2(ab ac )
24.Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh:
2 2 2 3
2
1 1 1
a b c
b c a .
25 Chøng minh r»ng :
a)
2
2
a b a b
2 2
;
b)
2
2 2
a b c a b c
3 3
26 Chứng minh m,n,p,q ta có
m2 + n2 + p2 + q2+1 m(n + p + q + 1)
27 Cho a, b, c, d,e số thực, Chứng minh rằng a)
2 b
a ab
4
b)a2 b2 1 ab a b
c)a2 b2c2d2e2 a b c d e
28 Chøng minh r»ng: a10 b10a2 b2 a8b8a4b4
29 Cho x.y =1 vµ x.y = Chøng minh
2
x y
x y
2 2
30 Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)8abc
31 Cho a>b>c>0 vµ a2 b2 c2 1 Chøng minh r»ng:
3 3 1
2
a b c
b c a c a b
32 Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng:
2 2
a b c d a b c b c d d c a 10
(4)(a c) (b d) a2 b2 c2 d2
34 Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng:
2a32b32c3 3 a b b c c a2
35 Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng
1 a b c d 2
a b c b c d c d a d a b
36 Cho a
b < c
d vµ b,d > Chøng minh r»ng: a
b< 2
ab cd c
d
b d
37 Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 1 1 3
2 n n 2 n n 4
38 Chøng minh r»ng:
1 1 1 1 2 n 1
2 3 n
( Với n số nguyên dng)
39 Cho a;b;clà số đo ba cạnh tam giác,chứng minh r»ng: a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) 40 Cho a,b,c > vµ a+b+c <1
Chøng minh r»ng
2 2
1 1 1
9
a 2bc b 2ac c 2ab
(1)
41 Chøng minh r»ng
2 2
1 1 1 1
2
n
1 2 n (nN;n1)
42 Cho nN vµ a+b>
Chøng minh r»ng
n a b
2
an bn 2
(1)
43 Cho abc = vµ a3 36 Chøng minh r»ng:
2 a
3 b
2+c2> ab + bc + ac
44 Chøng minh r»ng
a) x4y4 z2 1 2x.(xy2 x z 1) b) a2 5b2 4ab 2a 6b 0 c) a22b2 2ab 2a 4b 0
(5)
2
2
2
x y
8 x y
46 Cho xy Chøng minh r»ng
1 2 1 2 2
1 xy
1 x 1 y
47 Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng a2 b2 c2 1
3
48 Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng: 2a32b32c3 3 a b b c c a2
49 Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng:
2 3
a b b c c d d a
a b c b c d c d a d a b
50 Cho a ,b,c số đo ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng:
1 2
a b c
b c c a a b 51.Chøng minh:
a) 1 1 1 1
1.3 3.5 (2n 1).(2n1) 2
b) 1 1 1 1 2
1.2 1.2.3 1.2.3
n
52.Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c , , 0
a b c
53.Chứng minh rằng:
2 2
2 0
a b c b c a abc
b c a a b c
54 Cho tam giác ∆ABC, a,b,c số đo ba cạnh tam giác CMR:
a) 1
8
p a p b p c abc;
b) p a1 p b1 p c1 21 1a b c
55 Cho ∆ ABC, a, b, c số đo ba cạnh tam giác
Chứng minh rằng:b c a c a b a b c abc
56 Cho a>0, b>0 Chứng minh: 1 3
1 1 2
a b
(6)57.Chứng minh rằng:
2 2
, , 0 2
c a b a b c a b c
a b b c c a
58 Cho x y z, , (0;1) xy yz zx 1 Chứng minh:
2 2 2 3 3
2
1 1 1
x y z
x y z
59 Cho ∆ABC Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c
b c a c a b a b c
60.Cho ∆ ABC Chứng minh : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c ) ≤ abc 61 Cho ∆ABC Chứng minh :
2 2 2
1 1 1 p
p a p b p c
p a p b p c
62 Chứng minh a, b, c > va abc = thì:
1 1 1 1
2a2b2c 63 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh
3 3
2 2
a b c
a b c
b c a
64.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
4 4 3
2
a b c a b c
b c a b c a
65 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
3 3 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b b c c a
66.Cho a>0, b>0, c>0
Chứng minh: a4 b4 c4 13 13 13
b b c a b c
67 Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2 2
5
a b c a b c
b c a b c a
68.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2 2
5 5 3
1 1
a b c
b c a a b c
(7)
2 2
1 1
a b c
b c a a b c
70.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
3 3
2 2
2 2
1 1 2( )
3
a b c
a b c
a b c abc
71.Cho a,b,c cạnh tam giác Chứng minh
4 4 4
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
f ab bc ca
a a b c b b c a c c a b 72.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 3 2
a b c ab bc ca
73.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 4 3
a b c ab bc ca
74.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh: 5 3
a b c a b b c c a 75.Cho a>0, b>0, c>0 Cho n,k số nguyên dương Chứng minh:
n k n k n k n k n k n k
a b c a b b c c a 76.Cho a>0, b>0
Chứng minh:
4
4
2
a b a b
77.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
2
2 2
3
a b c a b c
78.Cho a>0, b>0, c>0 Chứng minh:
3
n n n n
a b c a b c
79 Cho a, b, c ba số dương Chứng minh
3 3 2 2 2
2 2
a b c a b b c c a 9
2abc c ab a bc b ac 2
80. Cho x, y, z số thực dơng thỏa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng: 1 1 1 1
1 1 1
x y y z z x
81 Cho x, y, z laø ba số thỏa x + y + z = Chứng minh raèng :
3 4 x 3 4 y 3 4 z 6
82 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng:
2 7
27
(8)83 Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x + 5-y +5-z = Chứng minh rằng:
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y
5 5 5
4 x y z
84 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:
4 4 3
2 2
c a b
a b b c c a
85.Cho a,b,c ba số thực dương Chứng minh:
3 3 13 13 13 3
2
b c c a a b
a b c
a b c a b c
86 Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng:
3
a b b c c a
ab c bc a ca b
87 Cho số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:
5 5
3 3
2
x y z
x y z
y z x .
88 Chứng minh với số thực dương a b c, , thỏa mãn a2 b2 c2 1
, ta có:
5 5
2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
89 Cho a, b, c c¸c số thực dương thoả m·n abc = Chøng minh r»ng : 3 3 3
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
90 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
3 3
2 2
3
3 3
a b c
b c a
91 Cho x, y, z > Chứng minh rằng: 23 x2 23 y2 32 z2 12 12 12
x y y z z x x y z
92 Cho a, b,c số không âm Chứng minh rằng
3 3
3 ( )3 ( )3 ( )3 1
a b c
a b c b c a c a b
93 Cho số dương a b c ab bc ca, , : 3.
Chứng minh rằng: 21 21 21 1 .
1a b c( ) 1 b c a( ) 1 c a b( ) abc
(9)Chứng minh : 2.
a b b c c a
b c c a a b
95 Cho số dương a,b,c thoả mãn: ab + bc + ca = abc Chứng minh:
1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 2
a a b b c c
96 Cho x, y, z > Chứng minh rằng:
32 2 23 2 32 2 12 12 12
y
x z
x y y z z x x y z
97.Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng:
3 3 1
8 1 8 1 8 1
a b c
c a b
98 Cho x , y , z lµ ba sè thùc tháa m·n : 2-x + 2-y +2-z = 1.Chøng minh r»ng :
4 4 4
2 2 2 2 2 2
x y z
x y z y z x z x y
2 2 2
4
x y z
99 Cho a, b, c số dơng tho¶ m·n a + b + c = 1
Chøng minh r»ng 10a 3b 2009 3
3b 2009c 2009c 10a 10a 3b 2
100 Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 36
9
x y z x y y z x z