Bài tập Bất phương trình toán học

III — BT PH NG TRÌNH CHA C"N THÚC A — LÝ THUYT Phương pháp 1: Sử dụng phép biến ñổi tương ñương :... Bài giải : GIA SƯ..[r]

BÀI TP BT PH NG TRÌNH I BT PH NG TRÌNH A THC A - LÝ THUYT Phương pháp giải : • Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2(ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc ) • Tính chất hàm số bậc và bậc B - BÀI TP Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax + > ñúng với x thỏa mãn ñiều kiện x < Bài giải : ðặt f(x) = ax +4 Ta có : f ( x) = ax + > 0∀ x∈( −4;4 )  f (−4) ≥ ⇔  f (4) ≥  −4a + ≥ a ≤ ⇔ ⇔  4a + ≥ a ≥ −1 Vậy giá trị cần tìm là : −1 ≤ a ≤ Bài 2: Cho bpt : (m − 4) x + (m − 2) x + < (1) 1) Tìm m ñể bpt vô nghiệm 2) Tìm m ñể bpt có nghiệm x = Bài giải : 1)  m = −2 m = TH1: m2 − = ⇔  • Với m = : (1) ⇔ < vô nghiệm ⇒ m = thỏa mãn TH2: m ≠ ±2 (1) vô nghiệm ⇔ (m − 4) x + (m − 2) x + ≥ 0, ∀ x • Với m = -2 : (1) ⇔ −4 x + < ⇔ x > ⇒ m = −2 (ktm) m − > ⇔ 2 ∆ = (m − 2) − 4(m − 4) ≤  m < −2 ∪ m >  ⇔ −10 m ≤ ∪ m ≥ m < −2 ∪ m > ⇔ (m − 2)(3m + 10) ≥ 10  m≤− ⇔  m >  Từ trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : m ≤ − 10 ∪m ≥ 2) Bất phương trình (1) có nghiệm x = ⇔ (m − 4).1 + (m − 2).1 + < ⇔ m2 + m − < ⇔ −1 − 21 −1 + 21 <m< 2 Bài 3: ðịnh m ñể bpt : x − x + − m ≤ (1) thỏa mãn ∀ x∈1;2   Bài giải: Cách : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com (1) ⇔ x2 − x ≤ m2 − (2) Xét f(x) = x – 2x trên [1;2] (2) thỏa mãn với x thuộc [1;2] và Max f(x) ≤ m − (3) Lập bảng bt f(x) suy Maxf(x) = 0:  m ≤ −1 m ≥ Vậy (3) ≤ m − ⇔  Cách : ðặt f(x) = x2 – 2x + – m2, Ta có : f(x) ≤ ∀x∈[1;2] 1 f (1) ≤ ⇔ 1 f (2) ≤ 1 − 2.1 + − m ≤ ⇔  − 2.2 + − m ≤  m ≤ −1 ⇔ − m2 ≤ ⇔  m ≥ Bài 4: Với giá trị nào a thì bất pt sau nghiệm ñúng với giá trị x : ( x + x + 3)( x + x + 6) ≥ a(1) Bài giải : ðặt : t = x + x + ⇒ x + x + = t + Ta có: t = ( x + 2)2 − ≥ −1 ⇒ t ≥ −1 ⇔ t (t + 3) ≥ a (3) Xét hàm số : f(t) = t + 3t , (t ≥ −1) (3) ⇔ Minf (t ) ≥ a Lập bảng biến thiên f(t): Suy Mìn(t) = -2 Vậy (3) a ≤ −2 2 Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với x: −3 ≤ x + mx − ≤ 2(1) x2 − x + Bài giải : Ta có : x − x + > 0, ∀ x  −3( x − x + 1) ≤ x + mx −  x + (m − 3) x + ≥ 0(2) Do ñó (1) ⇔  ⇔ 2  x + mx − ≤ 2( x − x + 1)  x − (m + 2) x + ≥ 0(3) ∆  −1 ≤ m ≤  (2) = (m − 3) − 16 ≤ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ (1) ñúng với x ⇔   −6 ≤ m ≤  ∆ (3) = (m + 2) − 16 ≤ BÀI TP V NHÀ Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với x thỏa mãn ñiều kiên : −2 ≤ x ≤ m x + m( x + 1) − 2( x − 1) > (1) Bài giải : (1) ⇔ (m + m − 2) x + m + > 0(2) ðặt f(x) = (m2 + m – )x + m + Bài toán thỏa mãn:  2  f (−2) > (m + m − 2)(−2) + m + > −2m − m + >  −2 < m < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔0<m< 2 (m + m − 2)(1) + m + >  f (1) > m +2m >  m < −2 ∪ m > Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với x : x − x + m2 − > Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com m < − Do a = > Vậy bài toán thỏa mãn: ⇔ ∆ ' = − m + < ⇔ − m < ⇔   m > Bài 3: Tìm a nhỏ ñể bpt sau thỏa mãn ∀ x∈[0;1] : a( x + x − 1) ≤ ( x + x + 1) (1) Bài giải : ðăt : t = x + x + = f(x) Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy f(x) ⇒ ≤ t ≤ (1) ⇔ a(t − 2) ≤ t 2∀t∈1;3   ⇔ t − at + 2a ≥ 0∀t∈1;3 (2)   ðặt f(t) = t – at + 2a        ∆ = a − 8a ≤     ∆ = a − 8a > (2) ⇔  1 f (1) ≥    −b = a <   2a     ∆ = a − 8a >  1 f (3) ≥    −b a   2a = >  ⇔ −1 ≤ a ≤ Suy a cần tìm là : a = -1 BÀI TP TUYN SINH Bài 1:Tìm a ñể hai bpt sau tương ñương :( a-1).x – a + > (1) và (a+1).x – a + >0 (2) Bài giải : TH1: a = ±1 thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy không tương ñương a−3 = x1 ; a −1 (1) ⇔ (2) ⇔ x1 = x2 ⇔ a = TH2: a > : (1) ⇔ x > (2) ⇔ x > a−2 = x2 a +1 TH3: a < -1 : (1) ⇔ x < x1 (2) ⇔ x < x2 ðể (1) ⇔ (2) ⇔ x1 = x2 ⇔ a = ( loại) TH4: -1 < a < : (1) Và (2) không tương ñương Kết luận :a = thỏa mãn bài toán Bài 2: (ðHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 Giải BPT f[f(x)] < x (1) Bài giải : Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f (x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x = = 2[f2(x) – x2 ] + [f(x) – x ] = [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com Vậy (1) ⇔ 2(2 x − 2)(2 x + x − 1) <  −1 − < x < −1   ⇔  −1 + < x <1   Bài 3: (ðHKD-2009) Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y = x2 + x − x ñiểm pb A ,B cho trung ñiểm I ñoạn AB thuộc oy Bài giải : x2 + x −1 (1) x ðể (d) cắt (C) ñiểm pb ⇔ (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác Xét pt hoành ñộ : −2 x + m = (1) ⇔ 3x + (1 − m) x − = = f ( x) Do a c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có nghiệm phân biêt khác x1 + x2 m −1 =0⇔ = ⇔ m =1 x2 −1 Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y = ñiểm pb A,B cho AB = x ðể I thuộc oy ⇔ Bài giải : x −1 (1) x ðể (d) cắt (C ) ñiểm pb ⇔ (1) có nghiệm pb khác ⇔ x − mx − = f ( x) = có nghiệm pb Xét pt hoành ñộ : − x + m = khác Do a.c = -2 < , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có nghiệm pb x1 , x2 khác ðể AB = ⇔ AB = 16 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 16 m2 ⇔ 2( x2 − x1 ) = 16 ⇔ ( x2 + x1 ) − x1 x2  = 2( − 4.(− )) = 16 ⇔ m = ±2 GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com II BT PH A - LÝ THUT NG TRÌNH CHA TR TUYT  I A < B ⇔ − B < A < B A > B A > B ⇔   A < −B A > B ⇔ ( A − B )( A + B) > Các tính chất : A + B ≤ A + B ∀ A, B A + B < A + B ⇔ A.B < A − B ≥ A − B , ∀ A, B A − B > A − B ⇔ ( A − B ).B > B - BÀI TP Bài 1:Giải các bpt sau : 1) x − x − ≤ x − 2) x − x + + x > x 3) x + > − x 4) x2 − 5x + ≤1 x2 − Bài giải :  x − x − ≥ −3 x + (1) ⇔   x − x − ≤ x − (2) ⇔ x − x + > x − x 2  x ≤ −3 ∪ x ≥  x + x − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2≤ x≤5 0 ≤ x ≤  x − x ≤  x − 3x + > x − x 2 x2 − 5x + > ⇔ ⇔ x − >  x − 3x + < x − x 1   x< ∪x>2 x<   ⇔ ⇔ 2   x > x > GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com (3) ⇔ (2 x + 5) > (7 − x) ⇔ (2 x + 5)2 − (7 − x) > ⇔ [ (2 x + 5) + (7 − x) ][ (2 x + 5) − (7 − x)] > ⇔ (12 − x)(6 x − 2) > ⇔ (6 − x)(3 x − 1) > ⇔ (4) ðk: x ≠ ±2 (4) ⇔ x − x + ≤ x − <x<6 ⇔ ( x − x + 4)2 ≤ ( x − 4) ⇔ (8 − x)(2 x − x) ≤  0 ≤ x ≤ ⇔ x ≥  Bài 2:Giải các bpt sau : 1) x2 − x + x2 + x − ≥1 2) x − ≤ x − x + Bài giải: 1) Bảng xét dấu : x −∞ +∞ X2 – 4x X-5 + - - + - + + x < +) Xét :  4 ≤ x < x2 − x + 3x + 2 (do x − x + > 0, ∀ x∈R ) ≥1 ⇔ ≤0 ⇔ x≤− x − x+5 x − x+5 +) Xét : ≤ x < : − x2 + 4x + (1) ⇔ ≥ ⇔ x2 − 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ x − x+5 +) Xét : x ≥ : x2 − x + 5x − −1 − 21 −1 + 21 (1) ⇔ ≥1 ⇔ ≤0 ⇔ x≤ ∪ ≤x≤ x + x −5 x + x −5 −2  x ≤ Vậy nghiệm bpt là :  1 ≤ x ≤  2 ðặt t = x , t ≥ : (1) ⇔ (ktm) 2t − 2t + ≥ 2 −  t + 2t − ≤ t −  (2) ⇔ t − ≤ t − 2t + ⇔  ⇔ ⇔t≤ 2 t − ≤ t − 2t + t ≤  9 9 Vì ≤ t ≤ ⇔ 0≤ x ≤ ⇔ − ≤x≤ 2 2 Bài 3: Giải và biện luận bpt sau : x − x − m ≤ x − x + m (1) 2 (1) ⇔ ( x − x − m ) ≤ ( x − x + m ) GIA SƯ 2 Bài giải: ⇔ ( x − x ) ( x − 2m ) ≤ ⇔ x ( x − )( x − 2m ) ≤ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com Ta có : x(2 x − 7)( x − 2m) = ⇔ x = 2m ∪ x = ∪ x = +) Nếu 2m < : Có trục xác ñịnh dấu:  x ≤ 2m Kết luận :  0 ≤ x ≤  +) Nếu 2m = Kết luận: x ≤ +) Nếu < 2m < x ≤ 7 ⇔0<m< Kết luận:   2m ≤ x ≤  7 +) Nếu 2m = ⇔ m = x ≤  Kết luận:  x =  7 +) Nếu 2m > ⇔ m > x ≤ Kết luận:   ≤ x ≤ 2m 2 B - BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 1) x − < x 2) − x ≥ x + 3) x + x − ≤ x − x − 4) x − x − > x − Bài giải : Kết : 1.) −1 + < x < + x ≤ x ≥ 2.)   x = −2 0 ≤ x ≤ 3.)  4.) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com −  3x + x − < x − ⇔ x − < 3x − x + ⇔   x − < x − x +  − 19 x<  3x − x − > ⇔ ⇔  + 19 3x − 10 x + < x >  Bài 2: Giải các bpt sau : 1) x ≤ − 2) x2 2−3 x ≤1 1+ x 3) ( x + 3)( x − 1) − ≤ ( x + 1) − 11 Bài giải : 1.ðặt : x = t , t > Ta ñược : t − ≤ −t t −2 ≥t ⇔  t − ≥ t  −1 ≤ x ≤ Vậy < x ≤ ⇔  x ≠ t ≤ 1− t−2 ⇔ ≥t ⇔ t t t + t − ≤ ⇔ 2 ⇔ < t ≤1 t − t + ≤  2.ðk : x ≠ −1 TH1 : x ≥ − 3x ≤ ⇔ − x ≤ + x ⇔ (2 − x) ≤ (1 + x)2 1+ x ⇔ x − 14 x + ≤ ⇔ ≤x≤ x < TH2:   x ≠ −1 (2) ⇔ (tm) + 3x ≤ ⇔ + x ≤ + x ⇔ (2 + x)2 ≤ (1 + x) 1+ x ( tm ) ⇔ x + 10 x + ≤ ⇔ − ≤ x ≤ − 2 (3) ⇔ x + x − − ≤ ( x + 1) − 11 ⇔ ( x + 1) − ≤ ( x + 1) − 11 (2) ⇔ ðặt : t = ( x + 1) , t ≥ Ta ñược : 2 t − ≤ t − 11 t − t − ≥ t − ≤ t − 11 ⇔  ⇔ 2 t + t − 20 ≥ −t + 11 ≤ t − t ≤ −1 ∪ t ≥ t ≤ −5 ⇔ ⇔  t ≤ −5 ∪ t ≥ t ≥ x ≥ Vậy t ≥ ( tm ) ⇔ ( x + 1) ≥ ⇔ ( x − 1)( x + 3) ≥ ⇔   x ≤ −3 Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m x − x + m ≤ x − x − m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com (3) ⇔ ( x − x + m ) ≤ ( x − 3x − m ) 2 Bài giải : ⇔ ( x + 2m ) (2 x − x) ≤ ⇔ x(2 x + 5)( x + 2m) ≤  x ≤ −2 m thì (3) ⇔  − ≤ x ≤  5 Nếu : −2m = − ⇔ m = thì (3) ⇔ x ≤  x≤− 5  Nếu − < −2m < ⇔ < m < thì (3) ⇔   −2m ≤ x ≤ Nếu −2m = ⇔ m = thì (3) ⇔ x ≤ − 0 ≤ x ≤ −2m Nếu m < 0: thì  x ≤ −  Nếu : −2m < − ⇔ m > Kết luận : Bài 4: Với giá trị nào m thì bpt sau thỏa mãn với x : x − 2mx + x − m + > Bài giải : (4) ⇔ ( x − m) + x − m + − m > ðặt : x − m = t , t ≥ Ta ñược : t2 + 2t + – m2 > (5) ðể tmbt ⇔ f (t ) = t + 2t > m − 2∀t ≥0 ⇔ M inf(t ) > m − 2(6) Lập bbt f(t) : Suy Minf(t) = : Vậy (6) ⇔ > m − ⇔ − < m < Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm: x + x − m + m + m − ≤ Bài giải :   x + 2( x − m) + m + m − ≤ (I )   x ≥ m (5) ⇔  2   x − 2( x − m) + m + m − ≤ ( II )   x < m (5) có nghiệm và (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm: x ≥ m (I ) ⇔  2  x + x = f ( x) ≤ −m + m + Có f(m) = m2 + 2m (I) có nghiệm ⇔ m − m2 + ≥ m2 + 2m ⇔ 2m + m − ≤ ⇔ − ≤ m ≤ GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com x < m (II) ⇔  2  x − x = g ( x) ≤ −m − 3m + (II) có nghiệm ⇔ m − 2m < − m2 − 3m + ⇔ 2m2 + m − < ⇔ − < m < Kết luận : −1 ≤ m ≤ 2 Cách 2: ðặt : t = x − m ≥ ,phải tìm m ñể f(t) = t + 2t + 2mx + m − ≤ có nghiệm t ≥ Parabol y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoành ñộ ñỉnh là t = -1< nên phải có f(0) = 2mx + m - ≤ Khi t = thì x = m suy 2m + m − ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ Bài 6: Tìm a ñể với x : f ( x) = ( x − 2) + x − a ≥ Bài giải :  x − x + − 2a = f ( x) ≥ 0∀ x ≥ a (2) Bài toán thỏa mãn : ⇔   x − x + + 2a = g ( x) ≥ 0∀ x < a (3) ∆ ' ≤  a ≤   a > o a ≤  ∆ ' > ⇔  ⇔ (2) ⇔    f (a ) ≥  a − 4a + ≥ a ≥ +     b   1 < a <1  −  2a ∆ ' ≤  8 − 2a ≤   ∆ ' > 8 − 2a > a ≥ (3) ⇔   ⇔  ⇔   a − 4a + ≥ 1.g (a) ≥ a ≤ −    b    a <   a < − 2a a ≤ Vậy ñể thỏa mãn bài toán :  a ≥ Bài 7: Tìm a ñể bpt:Ax + > (1) ñúng với giá trị x thỏa mãn ñiều kiện x < Bài giải : Nhận thấy hệ tọa ñộ xoy thì y = ax + với  y (−4) ≥ a ≥ −1 ⇔ ⇔ −1 ≤ a ≤  y (4) ≥ a ≤ -4 < x < là ñoạn thẳng Vì y = ax + > ⇔  Bài 8: Tìm a ñể bpt sau nghiệm ñúng với x : ( x + x + 3)( x + x + 6) ≥ a Bài giải : 2 ðặt : t = x + x + = ( x + 2) − ≥ −1 ⇒ t ≥ −1 Bài toán thỏa mãn : ⇔ t (t + 3) = f (t ) ≥ a∀t ≥−1 Xét f(t) với t ≥ −1 Suy Min f(t) = -2 Vậy bài toán thõa mãn ⇔ a ≤ −2 GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com III — BT PH NG TRÌNH CHA C"N THÚC A — LÝ THUYT Phương pháp 1: Sử dụng phép biến ñổi tương ñương : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com A ≥  A < B ⇔  B >  A < B2  A ≥  A ≤ B ⇔  B ≥  A ≤ B2  B < B ≥ A > B ⇔  ∪ A ≥ A > B B ≤ B > A ≥ B ⇔  ∪ A ≥ A ≥ B Bài 1: Giải các bpt sau : 1) x − < 2x −1 2) x2 − x + ≤ x + 3) 3x − > x − 4) 3x + x − ≥ x + Bài giải : 2 x − >  ⇔  x − ≥  x − < (2 x − 1)   x >  ⇔ x ≥ ⇔ x≥3 4 x − x + >    x2 − x + ≥  ⇔  x + ≥ ⇔x≥−  x − x + ≤ ( x + 3)2  4 x − < 4 x − ≥ ∪ 3x − ≥ 3x − > (4 x − 3) ⇔  2 3 ≤ x < ⇔  ⇔ 3 ≤ x <1  ≤ x <1  x + ≤   x≤−  x + x − ≥  ⇔  ⇔ x +1 > + 41    x≥    3x + x − ≥ ( x + 1)2 Bài 2: Giải các bpt sau : 1) x + ≥ 2( x − 1) 2) ( x + 5)(3 x + 4) > 4( x − 1) 3) x + − − x < − 2x 4) ( x − 3) x − ≤ x − Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com 2( x − 1) ≥  ⇔  x + ≥ 2( x − 1) ≤ ( x + 1)2   x ≤ −1 ∪ x ≥  x = −1  ⇔  x ≥ −1 ⇔  ≤ ≤ x   x2 − x − ≤   4( x − 1) <  ( x + 5)(3 x + 4) ≥ ⇔  x −1 ≥   ( x + 5)(3 x + 4) > 16( x − 1)2  x <  x ≤ −5     x ≤ −5 ∪ x ≥ −  ⇔  ⇔ − ≤ x <   1 ≤ x <  x ≥   13x − 51x − <  Kết luận : x ≤ −5 ∪ − ≤ x < x + ≥  ðk: 3 − x ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤ 5 − x ≥  Bat phuong trinh ⇔ − x + − x > x + ⇔ x − 11x + 15 > x − (*) (*) luôn ñúng +) Xét : ≤ x ≤ ; (*) ⇔ x − 11x + 15 > (2 x − 3) ⇔ x − x − < ⇔ − < x < 2 2 Do ≤ x ≤ nên nghiệm bpt là : ≤ x < 2 2 Kết luận : −2 ≤ x < ðk: x − ≥ ⇔ x ≤ −2 ∪ x ≥ +) Xét : −2 ≤ x < Nhận xét x = là nghiệm bpt +) Xét x > 3: Bat phuong trinh ⇔ x − ≤ x + ⇔ x − ≤ ( x + 3) ⇔ x≥− 13 Suy x > là nghiệm bpt +) Xét : x ≤ −2 ∪ ≤ x < Bat phuong trinh ⇔  x + > x + ≤ x2 − ≥ x + ⇔  ∪ 2  x − ≥  x − ≥ ( x + 3)  x ≤ −3  x ≤ −3  x > −3 13  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ x≤− 13  −3 < x ≤ −  x ≤ −2 ∪ x ≥ 6 x + 13 ≤  13  x ≤ − Vậy kêt luận :   x ≥  BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com 1) 2x −1 ≤ − x 2) x2 − x + − x + > 3) − x2 + x − > − x 4) x + ≥ 2x − + − x 5) x + − x +1 < x Bài giải : 8 − x ≥  (1) ⇔ 2 x − ≥ 2 x − ≤ (8 − x)2  x ≤   ⇔ x ≥ ⇔   x − 18 x + 65 ≥ ≤ x≤5 2  x − ≥ x − < (2) ⇔ x − x + > x − ⇔  ∪ 2  x − x + ≥ ( x − x + 1) > ( x − ) x <    x ≤ −  x ≥ 3− ⇔  ∪ ⇔ x≤ ∪x>3  x − x − >    x ≥ +   Tương tự : < x ≤ x + ≥  ðk: 2 x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ 7 − x ≥  (4) ⇔ x + ≥ ( 2x − + − x ) ⇔ ≥ −1 + ( x − 8)( − x ) ⇔ 2≥ ( x − 8)( − x ) x ≤ ⇔ ≥ −2 x + 22 x − 56 ⇔ x − 11x + 30 ≥ ⇔  x ≥ 4 ≤ x ≤ Kết luận :  6 ≤ x ≤ x + ≥  ðkiện :  x + ≥ ⇔ x ≥ x ≥  (5) ⇔ x + < x + + x ⇔ x + < x + + ( x + 1) x ⇔ − x < ( x + 1) x   3+ 3+ x < −  x < − 1 − x < o 1 − x ≥ 3 ⇔ ∪ ⇔ x > 1∪  ⇔  x ≥  −3 +  −3 +  (1 − x ) < x( x + 1) < x ≤1 <x   3   GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com Kết luận : x > −3 + 3 Bài 2: Giải các bpt sau : 1) ( x − 3x) x − x − ≥ 2) ( x2 − + 2x ) < x + 21 3) x2 ( 1+ 1+ x ) > x−4 Bài giải :     x =  x ≤ −  x − 3x − =      (1) ⇔ 2 x − x − > ⇔  x = − ⇔ x = 2   x ≥   x − x ≥       x < −     x >  x ≤ ∪ x ≥   9 + x ≥ x ≥ − ⇔ 3 − + x ≠  x ≠ ðk :  Khi ñó : (2) ⇔ ( x2 + + 2x ) < x + 21 ⇔ 4x  − ≤ x < Kết luận :  2  x ≠ + 2x < ⇔ x < ðk: + x ≥ ⇔ x ≥ −1 Nhận xét : x = là nghiệm bpt +) Xét x ≠ : (3) ⇔ ( x2 − + x ) > x−4 ⇔ (1 − x2 ⇔ 1+ x < ⇔ 1+ x < ⇔ x < Kết luận : −1 ≤ x <  g ( x) =  Chú ý : Dạng f ( x) g ( x) ≥ ⇔   g ) x) >   f ( x) ≥  GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 1+ x ) > x − ⇔ − + x > −4 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com Bài 3: Giải bpt sau : −3 x + x + + <2 x Bài giải :   −1 ≤ x ≤ ðk :  3:  x ≠ −3 x + x + + <2 ⇔ −3 x + x + < x − x x ≥ 2 x − ≥ ⇔ ⇔  ⇔x> 2 7 x − x > −3 x + x + < ( x − ) Vậy bpt có nghiệm : < x ≤ +) Xét: −1 ≤ x < : bpt luôn ñúng  −1 ≤ x < Kết luận nghiệm bpt:   <x≤ 7 +) Xét : < x ≤ : Bpt ⇔ Bài 4: 1) x − 3x + + x − x + ≥ x − x + 2) x − x + 15 + x + x − 15 ≤ x − 18 x + 18 3) x2 1+ x + 1− x ≤ − Bài giải :  x − 3x + ≥  ðk:  x − x + ≥ ⇔ x ≤ ∪ x ≥  x2 − 5x + ≥  Bpt ⇔ ( x − 1)( x − ) + ( x − 1)( x − 3) ≥ ( x − 1)( x − ) (*) Nhận xét x = là nghiệm +) Xét x <1 : (*) ⇔ (1 − x )( − x ) + (1 − x )( − x ) ≥ (1 − x )( − x ) − x + 3− x ≥ − x Ta có : − x + − x < − x + − x = − x , ∀ x<1 Suy x < bpt vô nghiệm +) Xét : x ≥ : (*) ⇔ x − + x − ≥ x − Ta có : x − + x − ≥ x − + x − = x − 4, ∀ x≥4 Suy : x ≥ : , bất pt luôn ñúng x = x ≥ Vậy nghiệm bpt là :  GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com  x − x + 15 ≥  x = ðiều kiện:  x + x − 15 ≥ ⇔   x ≤ −5 ∪ x ≥ 4 x − 18 x + 18 ≥  ( x − 5)( x − 3) + ( x + )( x − 3) ≤ Bpt ⇔ (4 x − 6)( x − 3) (*) Nhận xét x = là nghiệm bpt +) Xét : x ≤ −5 (*) ⇔ ( − x )( − x ) + ( − x − 5)( − x ) ≤ ( − x )( − x ) ⇔ − x − x − + x − 25 ≤ − x ⇔ ⇔ − x + −x − ≤ − 4x x −25 ≤ − x ⇔ x −25 ≤ ( − x ) ⇔ x≤ 17 Suy : x ≤ −5 là nghiệm bpt +) Xét : x ≥ (*) ⇔ x − + x + ≤ x − ⇔ x − + x + + x − 25 ≤ x − ⇔ Suy : ≤ x ≤ x − 25 ≤ x − ⇔ x ≤ 17 17 là nghiệm bpt   x ≤ −5  Kết luận : Nghiệm bpt ñã cho là :  x =  17 5 ≤ x ≤  1 + x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ : 1 − x ≥ ðk:  Khi ñó : Bpt ⇔ + x + − x + − x ≤ − x + ( ) x4 16 ⇔ ) ( − x2 − − x2 + + x4 ≥0 16 x4 ≥ 0∀ x∈[−1;1] 16 Vậy nghiệm bpt là : −1 ≤ x ≤ ⇔ − x2 − + GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com PH NG PHÁP %T &N PH' Bài 1: Giải bpt sau : ( x + 1)( x + ) < x + x + 28 (1) Bài giải : ðặt : t = x + x + 28, t > ( Do x + x + 28 > 0, ∀ x∈R ) Khi ñó : (1) ⇔ t − 24 < 5t ⇔ t − 5t − 24 < ⇔ < t < ( t> ) ⇔ < x + x + 28 < ⇔ x + x − 36 < ⇔ − < x < Kết luận : -9 < x < Bài 2: Giải bpt sau : x + + x − + 49 x + x − 42 < 181 − 14 x Bài giải : (1) 7 x + ≥ ⇔ x≥ : 7 x − ≥ ðk:  ðặt : t = x + + x − 6, t ≥ ⇒ t = x + + x − + ⇒ 14 x + ( x + )( x − ) ( x + )( x − ) = t − Khi ñó : (1) ⇔ x + + x − + 14 x + 49 x + x − 42 < 181 ⇔ t + t − < 181 ⇔ t + t − 182 < ⇔ ≤ t < 13(t ≥ 0) ⇔ x + + x − < 13 6  ≤ x < 12 ⇔ 49 x + x − 42 < 84 − x ⇔  ⇔ ≤x<6  x < 6 Kết luận : ≤ x < GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com Bài 3: Giải bpt sau : x + < 2x + −7 2x (1) x     ðk : x > 0: (1) ⇔  x +  <  x + x  − 7(2) x    1 1 ðặt : t = x + ≥ x = ⇒ t2 = x + +1 ⇒ x + = t −1 4x 4x x x Khi ñó : (2) ⇔ 3t < ( t − 1) − ⇔ 2t − 3t − > ⇔ t > 3(t ≥ 2) x+ x > 3(3) ðặt : u = x , u > ( 3) ⇔ u + 3− 3+ > ⇔ 2u − 6u + > ⇔ < u < ∪u > 2u 2 3− 3+ 8−3 8+3 ∪ x> ⇔ 0< x< ∪x> 2 2 8−3 8+3 Kết luận : < x < ∪x> 2 ⇔0< x < BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 3x + x + < − x − x 1) 2) x + x + 3 − x − x > 3) 3x + 5x + − 3x + x + ≥ Bài giải : 1.ðặt : t = x + x + 4, t ≥ ⇒ t = x + x + = 3( x + x) + ⇒ x + x = t2 − t2 − ⇔ t + 3t − 10 < ⇔ ≤ t < 2(t ≥ 0) ≤ x + x + < ⇔ x + x + < (do3 x + x + > 0) ⇔ 3x + x < ⇔ − < x < Khi ñó : (1) ⇔ t < − 2.ðặt : t = − x − x , t ≥ ⇒ t = − x − x ⇒ x + x = − t Khi ñó : ( ) ⇔ ( − t ) + 3t > ⇔ 2t − 3t − < ⇔ ≤ t <  −3 ≤ x ≤  ⇔ ≤ − 2x − x < ⇔  25 ⇔ −3 ≤ x ≤ 2 3 − x − x < (do t ≥ 0) 2 ðặt : t = x + x + 2, t ≥ ⇒ x + x = t − Ta ñược : t2 + − t ≥ ⇔ t + ≥ t + ⇔ t + ≥ ( t + 1) ⇔ 2t ≤ ⇔ t ≤ ⇔ ≤ x + x + ≤ −2   −2 ≤ x ≤ −1  x ≤ −1 ∪ x ≥ 3x + x + ≥  ⇔ ⇔  ⇔ −2  ≤x≤1 3x + x + ≤  −2 ≤ x ≤ 3  Bài 2: Giải các bpt sau : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com 1) x + x −1 + x − x −1 > 2) x + 3) x +4 2x < 2x + x x +1 −2 >3 x +1 x Bài giải : (1) ⇔ ( ) x −1 +1 + ðk : x ≥ : Bpt ⇔ ( ) x −1 −1 x −1 + + > x −1 −1 > ðặt : t = x − 1, t ≥ Khi ñó : ⇔ t + + t −1 > (2) 3 ⇔t> ⇔ x − ≥ (do t ≥ 1) ⇔ x ≥ 2 +) ≤ t < 1: (2) ⇔ > x ≥ Vậy : ≤ x − ≤ ⇔  x ≤ Kết luận : x ≥ 1   ðk : x > ( ) ⇔  x +  < x + x + 4(3) x  +) t ≥ 1: (2) ⇔ 2t > = t −1 x x x  t< 2 Khi ñó : ( 3) ⇔ 5t < ( t − 1) + ⇔ 2t − 5t + > ⇔   t > Do ñk: Ta có x + > ⇔ 2x − x +1 > x ðặt : u = x , u > ðặt : t = x + ≥2 x = 2, t ≥ ⇒ x+ Ta ñược : 2u2 – 4u + 1>   2− 2− u < 0 < x < 2 ⇔ ⇔    2+ 2+ u >  x>   ðk: x < −1 ∪ x > : x +1 x ðặt: t = , t >0 ⇒ = x x +1 t  3− 2 0 < x < ⇔   3+ 2 x >  Ta ñược : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP QUY NHƠN Lop10.com