Đang tải... (xem toàn văn)
Đa thức bậc ba, bậc bốn, thực hiện chia đa thức (hoặc sử dụng sơ đồ hoocne)1. Nhân liên hiệp bậc ba.[r]
(1)BÀI TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ Tính giới hạn sau
Dạng
0 , tử mẫu bậc hai, sử dụng phân tích ax
2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) 2
3
3 lim
2
x
x
x x
2
2
lim
2
x
x x
x x
2 2
4
lim
1 x
x x
x
4
2
25 lim
5 x
x x
2
12 lim
4 x
x x
x
2
2
lim
x x
x x
x
7 2
4 16
56
lim x xx
x
8
2
2 2
lim
x x
x
x
9
2 x
x
lim
x
x
10
2
3
lim
1 x
x x
x
11
2
2
lim
5
x
x x
x x
12
2 2
2
lim
4 x
x x
x
13
2 2
3
lim
6
x
x x
x x
14
2 2
3
lim
2
x
x x
x x
15
2 2
3 10
lim
4 11
x
x x
x x
16
2 2
3
lim
2
x
x x
x x
17
2 2
2
lim
3
x
x x
x x
18
2
2
lim
3 10
x
x x
x x
19
2
2
lim
3
x
x x
x x
20
2 2
2
lim
4
x
x x
x x
21
2
3
lim
2
x
x x
x x
22
2
5
lim
3
x
x x
x x
23
2 2
6
lim
8
x
x x
x x
24
2
4
lim
3
x
x x
x x
25
2
2
lim
3 11
x
x x
x x
26
2 2
6
lim
8
x
x x
x x
27
2 2
6
lim
6 13
x
x x
x x
28
2
3
lim
3
x
x x
x x
29
2
6 11
lim
9
x
x x
x x
30
2 2
12 2
lim
4
x
x x
x x
31
2 2
6 13
lim
3
x
x x
x x
32
2
4
lim
4 14 12
x
x x
x x
33
2
4 13
lim
3 11
x
x x
x x
34
2
8
lim
12
x
x x
x x
35
2
13 30 lim
6 27 x
x x
x x
36
2
20 lim
7 12 x
x x
x x
37
2
2
lim
2
x
x x
x x
38
2
4
lim
2
x
x x
x x
39
2
5
lim
7 12 x
x x
x x
Nhân liên hiệp bậc hai dựa theo đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b) cụ thể các công thức sau
1
a b a b a b
a b
a b a b
a b a b a b
a b
a b a b
3
a b a b a b
a b
a b a b
2
b a b a b a
b a
(2)5
a b a b a b
a b
a b a b
2
b a b a b a
b a
b a b a
1
3 lim
9 x
x x
2
lim x
x x
3
2
2 lim
4 x
x
x x
4 lim2
7 x
x x
2 lim
6 x
x x
3
lim x
x x
7
0
2
lim x
x x x
x
8
10
4
2
lim
x x
x
x
9
1
lim x
x x
x
10
2 x
2 - x lim
x
11
2
1 lim
1
x
x
x 12 x 4
2x lim
x-2
13 x
2x 3 lim
3x-5 x
14
1 lim
1
x
x
x 15 2 2
2 lim
2
2
x
x
x
16
3 3 lim
3
x
x
x 17
3 lim
4
x
x
x 18
2 lim
2
x
x x x
19
2
1 lim
1
x
x
x 20 12 5
2 lim
x x
x
21 1
2 1 lim
1 x
x x
22 2
1
3
lim x
x x
23
3
lim
3 x
x x
x
24
2
3
lim
4 13
x
x x
x x
25
4
lim
2 2
x
x x
26
2 lim
4 x
x x
27
2
lim
1
x
x
x
28
7
lim
2 x
x x
x
29
4
lim
3 3
x
x x
30 2
5
lim
5
x
x x
x x
31
1 lim
2
x
x x
32
5
lim
3
x
x x
33
3
lim
5
x
x
x x
34 2
2
lim
4
x
x
x x
35
4 10
lim
1 x
x x
x
36
8
lim
1
x
x x
x
37 2
1
lim
5
x
x x
x x
38
2
lim
2 2
x
x x
x
39
2 9
lim
2
x
x x
x
40
2 lim
3
x
x x
x 41 2
1
lim
2
x
x x
x x 42
2 1
lim
5
x
x x
x
43 2
2
lim
4 10
x
x
x x
44
1 lim
5 10 15
x
x
x x
45 2
1 lim
3
x
x
x x
46 2
2
3
lim
2 18
x
x x x
x x
47
2
2 3
lim
1 x
x x
x
48
3 lim
5
x
x x
x x
49 22
3
lim
4
x
x x
x x
50
2
2
lim
3 x
x x x
x
51
2
lim
1 x
x x
x
52
4
lim
5
x
x
x x
53
2
3
lim
2 1
x
x x
x x
54
2
lim
3
x
x x
x x
(3)Đa thức bậc ba, bậc bốn, thực chia đa thức (hoặc sử dụng sơ đồ hoocne)
1
3 2
2 lim
2 x
x x
2
1
lim x
x x
x x
4
3
2
16 lim
2 x
x
x x
4
3 2
8 lim
4 x
x x
3
1 lim
x x
x x
3
8 lim
2 x
x x
7
3
3 lim
3 x
x x
3
0
1
lim x
x x
9
1
1 lim
1 x
x x
10
4
2
3 13 27 36
lim
3
x
x x x x
x x
11
3
2
5
lim
3
x
x x x
x x
12
) )( (
6
2
lim
x x x
x x x
x 13 ( 18)( 3)
27
2 3
lim
x x x
x
x 14
8
2
2
lim
x x x
x x
x
15
3
2
3
lim
2
x
x x x
x x
16
3
3
2
lim
1 x
x x x
x
17
2
1
2
lim
2
x
x x x
x
18
3
2
5
lim
2
x
x x x
x x
19
4
4
10
lim
1 x
x x
x
20
4
2
5
lim
1 x
x x
x
21
4
2
1
1 lim
2
x
x x x
x x
22
3
2
1 lim
1 x
x ax bx a b
x
23
3 2
3
lim
2 10
x
x x
x x
24
3
2
2
lim
3 10
x
x x x
x x
25
3
2
4
lim
3
x
x x x
x x
26
4
3
5
lim
8 x
x x
x
27
4
2
4
lim x
x x x
x x
28
3
3
2
6 lim
2
x
x x
x x x
29
3
3
3
5
lim
3
x
x x x
x x x
30
3
3
1
2 5
lim
6
x
x x x
x x x
31
3
3
2
3
lim
2
x
x x x
x x x
32
3
3
3
7 13
lim
4 13
x
x x x
x x x
33
3
3
4
2
lim
3 14
x
x x x
x x x
34
3
3
2
3 10 11
lim
3 10
x
x x x
x x x
35
Nhân liên hiệp bậc ba
1 lim0 3
1 x
x x
1 lim
2 1
x
x x
3 lim3 2
1
x
x x
x
4
3
1 lim
1 x
x x
3 2
3 2
lim
2
x
x
x x
3
10 7
lim
2 x
x x
x
7 2
9
lim
2
x
x x
x x
3
1 lim
2
x
x x
3 3
3
lim
27 x
x x
10 2
3
5 12
lim
9 x
x x
x
11
3
2
7 13
lim
2
x
x x
x
12
3
5
lim
2
x
x x
x x
13 2
3
12
lim
9 x
x x
x
(4)Bài tập : Tìm giới hạn sau: 1)
1 lim
5
1
x x
x 5)
1 lim 2
2
x x
x x
x 2)
9
lim 2
2
3
x
x x x x
6)
5
1 lim
x
x x
x 3)
2 lim
1
x
x
x 7) 3 5
1 lim
x
x x
x
4)
1
lim 2
3
3
1
x
x x x
x 8)
x x
x x
x
11
) (
lim 9)
x x
x
sin lim
10) lim (4 )
4
x tg
x tg
x
11) xlim( x1 x) 12) xlim( x1x)
Giới hạn hàm số lợng giác
Một số công thức hay sử dụng
sin lim
0
x x
x ( )
) ( sin lim
0
u x
x u x
x (trong u(x) 0khi x 0)
1 lim
0
x tgx
x ( )
) ( lim
0
u x
x tgu x
x (trong u(x) 0khi x 0)
Bài tập : tìm
1) 2
0
cos lim
x x x
2) x
x
x
3 sin lim
0
3) x
tgx
x sin2
lim
4)
2007
2007 sin sin sin sin lim
x
x x
x x x
5)
x x x
x sin
1
2 lim
0
6) x
x x
x sin2
3 cos cos
lim
7) x x
x
x sin2
cos
lim
0
VÝ dơ: T×m 1)
1
lim 2
3
1
x
x x
x =
) (
)
(
lim 2
3
1
x
x x
x =
2 lim
1 )
(
lim 2
3 2
3
1
x
x x
x
x x
Bình Luận : Ta tách thành hai giới hạn đơn giản biết cách làm Tại lại nghĩ đợc thêm bớt số 2? Trả lời
1 ;
1 )
(
2 2
3
x x x
x có dạng 0/0 khơng th chọn số khác ngồi 2.
2) 23
0
1 lim
x x x x
=
2
) 1
3 ( )
1 ( lim
x
x x
x x
x
= 2
0
) ( lim
x x x
x
-2
0
) ( lim
x x x
x
Bình Luận : Ta tách thành hai giới hạn đơn giản biết cách làm,trong trờng hợp ta phải thêm vào x+1 thêm số ta thu đợc dạng vô định mục đích Vẫn làm bậc hai mẫu.Vì lại x+1 mà biểu thức khác
Bài tập: tìm 1)
x
x x
x
3
8
lim
2)
7
lim 2
3
1
x
x x
x 3)
3
1 lim
x x x x
4)
2
20
lim
4
7
x
x x
x 5) x
x x
x
3
1 sin
cos cos
lim
6) lim(3 x3 3x2 x2 2x) x Giíi h¹n sư dơng c«ng thøc
n a x
ax
n
x
1
lim
0 a
* , nN
Chứng minh : ta đặt ẩn phụ n ax t
1 từ suy ĐPCM
Giíi h¹n d¹ng m n k
a
x x a
x g x f
) (
) ( ) ( lim
d¹ng
0
(5)Ph©n tÝch thµnh nk
n
m m
a
x x a
x h x h x g x
h x
h x f
) (
)] ( )] ( [ ) ( [ )] ( )] ( [ ) ( [
lim 1
Và phân tích thành hai giới hạn loại VD1: Tìm limx0F(x) Trong
x x x
x
F( ) ( 2007)71 2007
2
HD:
2 7
0
7
0
1 2007
1 2 2007
1 2007
7
( )
lim ( ) lim
.
lim lim .
x x
x x
x x x
F x
x x
x x
x
VD2 : T×m I =
3 2
3
27 27
9
lim
x
x x
x x x x
HD: I=
3
3 3
2
0
)] ( ) ( [
)] ( ) ( [ lim
x
x x
x x
x x x
Bµi TËp : T×m
1) 3 4
4
3
0 (3/2) 4 8 1
1 / / 1 lim
x x
x
x x
x x
x
2)
x
x x
x x
x x
3
4
0
4
) ln( cos 3 cos
3 cos lim
gỵi ý : h(x) = cosx
3)
2
4
0
4 2
2 cos lim
x
x x x
x
x
Gỵi ý: h(x) = 1-x 4)
2
4
2
2
2 cos 2
3 lim
x
x x
x x
x x
x
5) 2
0
3 ) ln( 52
1 lim
x
x x
x x
x
Bài tập tổng hợp
Bài 1 tính giíi h¹n sau:
a)
x x
x 1 cos
|| sin | | lim
0
b)
) sin(
) cos cos(
lim 2
0 x
x x
c)
sin lim
x x tgx
x
d) x x
x x
x
sin lim 3
0
e) cot )
2 sin
2 ( lim
0 x gx
x f)
5 cos lim
x x x
g )
2
) ( ) ( lim
x
a tg x a tg x a tg x
h)
1
lim3
1
x
x x
x i) ) x
x x
x sin
1
2 lim
3
0
k)
x
x x
x
x sin
) cos cos cos ( 83 98
lim 2
0
Bài2: Tính giới h¹n sau
a) 3
0
sin 1
lim
x
x tgx
x
b)
x x x
x sin 11
7 cos cos
lim 2
0
c) ln(1 )
1 lim 2
0
2
x x e x
x
d)
1
1 sin cos
lim
2 4
0
x
x x
x
e) lim (n Z)
n x
x tg
n
x
f)
x x
x cos
1 lim
2
0
g)
x x x sin2
) ln( lim
0
h)
2 0(cos2 )
lim x