TONG HOP KIEN THUC DAI SO 9doc

- Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm duy nhất - Nếu (d) song song với (d’) thì hệ vô nghiệm. * Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ. Kết Luận. 6) Một số bài toán về hệ có chứa tham số:[r]

Phần I / thức bậc 2. I/

Định nghĩa Tính chất: 1 Căn bậc hai số học :

* ĐN: Căn bậc số học số a không âm sè x cho x2 = a.

- Số dơng a có CBH số đối : a - a - Số có CBH , : a =

* Chó ý : Víi a  ta cã x = a  x  x2 = a

* Định lí : Víi a , b  ta cã a < b a < b Căn thức bậc 2:

- Với A biểu thức đại số , ta gọi A thức bậc A , A biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu

- §KX§ cđa A lµ A 

3 Hằng đẳng thức : - Với aR ta có a2 a

*

   

 

 



0 ,

0 ,

KhiA A

KhiA A A A

* Chó ý :  A2  A2 A A

4 Căn bậc 3: Căn bậc số số x cho x3 = a

Mỗi số a có bậc a.

ĐKXĐ a xR

* Chú ý : Căn bậc số dơng ( hay số âm ) số dơng ( hay số âm ) II/ Các phép biến đổi bậc hai :

1 A.B  A B ( A; B  ) A.2B A B ( B  )

B A B A

 ( A  ; B > )

4

    

  

  

)0 ;0 (

)0 ;0 (,

2

B A B A

B A B A B A

5  ;(A.B0,B2 0)

B AB B

A

a,  ;(B0)

B B A B A

b, ( );( 0; )

2 A B A

B A

B A C B A

C

 

  



c,  ;(A,B 0;A B)

B A

B A C B A

C

  

 



III/ Mét sè tÝnh chÊt më réng thức : Với A; B ta cã : A = B  A  B A < B  A B < A <  A < A <

3 A >  < A < A

4 n a x a0;x0 ; xn = a ( n ch½n)

5 xn a  xn = a ( n lỴ ) n abc n a.n b.n c

7

n n

n

a a

b  b

8 n amn am

  n a m n am

10 m n a mna ( m; n  N; m; n  )

11 n am nkamk

 ( k  ) 12 n am am/n



* a b  a  b a b ; 0 DÊu “ = ” x¶y a = hc b =

* a b  a  b a b  0 DÊu “ = ” x¶y a = b hc b = *

2

a b ab



 DÊu “ = ” x¶y a = b

* 1

a b

ab  ( a > ; b > )

* a b  a b DÊu “ = ” x¶y a b 0

* a  b  a b DÊu “ = ” x¶y a b 0 Hc a  b 0.

* + Víi n số tự nhiên : + n n  n 11 n

 

+ 1 1 1

( 1) 1

n

n n

n n n n n n n n

   

 

           

         

Chú ý : - Mọi số thực a có bậc lẻ. - Số âm khơng có bậc chẵn * Công thức phức tạp :

* M 2 N  A B ,

Trong a, b nghiệm PT : t2 – Mt + N =

Hay a+ b = M , ab = N

*

2

2

A A B A A B

A B       ( Víi A; B > ; A2 > B )

* Chú ý: Nếu hệ số N 2 ta làm xuất hệ số IV/ Một số tốn bậc 2:

1/ Bµi toán 1: Thực phép tính :

Dạng tính 1 : Thực tính khai bậc nhờ phân tích 2ab HĐT( a + b )2 :

Khi gặp thức dạng P = M E N ta nghĩ đến việc phân tích E N dạng

E N = 2.a.b vµ ph©n tÝch M = a2 + b2 > kq.

Dạng tính 2 : Th.hiện tính khai bậc nhờ xhiện bình phơng dùng HĐT a2 - b2

Trong tÝch , nÕu xuÊt hiÖn thừa số có dạng M - N ( Hoặc M + N ) ta xuất thừa số dạng M + N ( Hoặc M - N )

 Dạng tính 3 : Tính GTBT T,trớc hết tính T2 xét dấu T để có k biểu

thøcT

 Dạng tính 4: Khi gặp mẫu biểu thức chứa ta nghĩ đến việc trục thức mẫu Hoặc quy đồng mẫu Hoặc đa thừa số vào , ngồi nhóm

 D¹ng tÝnh 5 : BiĨu diƠn l thõa bËc cao qua luü thõa bËc

VD : TÝnh GTBT: E = 2x5 + x3 – 3x2 + x - víi x = -

2

G : Vì x = - 2 nên ta có : * x2 = (1 -

2)2 = - 2

2 = + 2(1 - 2) = + 2x * x3 = x2x = = x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2

* x5 = x3x2 = = 9x +2 + 10x2 = 9x + + 10( + 2x ) = 29x + 12

> E = 2(29x + 12) + 5x + -3(1 + 2x) + x – = 58x + 22 = E = 80 - 58 2./

2 Bài toán : Chứng minh đẳng thức A = B:

C1 : Dựa vào định nghĩa: A = B  A – B =

- Lập hiệu số A – B > biến đổi A – B > Chứng tỏ A – B = > KLuận C2: Biến đổi trực tiếp : Biến đổi từ vế phức tạp vế đơn giản: A > B Hoặc B > A C3 : Biến đổi song song vế đẳng thức cho

C4 : Với toán chứng minh có ĐK ta :

- Dùng ĐK để biến đổi cho > có mối liên hệ với biểu thức cho - Hoặc: Niến đổi biểu thức cho cho > có mối liên hệ với ĐK C5 : Dùng PP quy nạp đẳng thức cho phụ thuộc vào số nguyên n C6 : Dùng biểu thức phụ :

- Đặt y =A , y phải thoả mãn ĐK (*) - Bình phơng vế ta có : y2 = A2 = A

1 = = B2

- Suy y = B hc y = - B

- §èi chiÕu víi §K (*) suy B > KL Bài toán 3: Rút gọn biĨu thøc :

* C¸c bíc thùc hiƯn:

- Quy đồng mẫu ( Phân tích nhân tử Nếu có – Nếu cần )

- Đa bớt thừa số dấu Hoặc vào dấu ( Nếu cần ) - Trục thøc ë mÉu ( NÕu cã )

- Thực phép tính : Luỹ thừa , khai , nhân,chia , - Cộng trừ số hạng ng dng

4 Bài toán 4: Giải PT chứa thức ( Xem CĐ PT Vô Tỉ )

-@@@ -Phần II / Hàm số bËc nhÊt: y = ax + b ( a  )

Hµm sè : y = x a

( a  )

Hµm sè bËc hai : y = ax2 ; y = ax2 + bx + c ( a  ).

A/ Hàm số - Đồ thị hàm số bậc nhất. I/ Định nghĩa Tính chất hàm số bậc :

1 Định nghĩa hàm số:

Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi cho với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số

2 Định nghĩa hàm số bậc nhất:

Hm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax hay y = ax + b, a, b  R, a 

3 TÝnh chÊt :

- HSố bậc xác định với xR

- Trên tập hợp số thực R , hàm số bậc đồng biến a > 0, nghịch biến a < II/ Đồ thị hàm số y = ax y = ax + b.

1 Đồ thị hàm số y = ax (a0) đờng thẳng qua gốc toạ độ * Cách vẽ :

- T×m thêm điểm M(x0 , y0 ) cách cho x = x0  y0 = ax0

- Dựng điểm M mặt phẳng toạ độ

- Vẽ đờng thẳng qua M(x0 , y0 ) O( 0;0 )

2 Đồ thị hàm số y = ax + b đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax ; cắt trục tung điểm có tung độ b ( b 0 )

* C¸ch vÏ :

- Xác định điểm A, B đồ thị:

Cho x =  y = a + b, ta cã A(1; a + b)

Cho x = -  y = - a + b, ta cã B(1; - a + b) - Dựng điểm A , B Oxy

- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs * Cách vẽ :

- Xác định giao điểm đồ thị với trục toạ độ: Cho x =  y = b , ta có A( 0; b) Cho y =  x = - b/ a , ta có B(-b/ a ; ) - Dựng điểm A , B Oxy

- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs

III/ HƯ sè gãc cđa đ ờng thẳng y = ax y = ax + b

Đờng thẳng y = ax (d ) §êng th¼ng y = ax + b (d)

Góc hợp đờng thẳng với tia Ox

Góc  tạo đgt (d)và tia Ox góc hợp tia Ox nửa đgt nằm nửa mf bờ trục hoành chứa tia Oy

Góc  tạo đgt (d) tia Ox góc hợp tia Ax AB AB phần đgt (d) nằm nửa mf bờ trục hoành chứa tia Oy

Hệ số góc a đờng thẳng

a >   nhän

a cµng lín lớn (< 90o).

a < tù

a lớn  cµng lín (<180o).

a >  nhọn

a lớn lín (< 90o).

a <   tù

a lớn lớn (<180o).

B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai. I/ Định nghĩa Tính chất hàm số bậc hai :

1 Định nghĩa:

Hàm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax2 (a  0), a,bR, a  0.

2 TÝnh chÊt:

- Nếu a > hàm số nghịch biến x < , hàm số đồng biến x > - Nếu a < hàm số nghịch biến x > , hàm số đồng biến x <

( Hàm số Đồng biến a x dấu ; Nghịch biến a x trái dấu )

 NhËn xÐt :

- NÕu a > th× y > víi x 0; Khi x = y = GTNN hàm số

- Nếu a < y < víi x 0; Khi x = y = GTLN hàm số

II/ Đồ thị hàm số y = ax2 (a  0).

* Tính chất đồ thị:

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a

 0) Parabol qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O đỉnh Parabol

- Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bc hai.

I/ Định nghĩa Tính chất hàm số bậc hai : 2 Định nghĩa:

Hm số bậc hàm số đợc cho công thức y = ax2 (a  0), a,bR, a 0.

2 TÝnh chÊt:

- Nếu a > hàm số nghịch biến x < , hàm số đồng biến x > - Nếu a < hàm số nghịch biến x > , hàm số đồng bin x <

( Hàm số Đồng biến a x dấu ; Nghịch biến a x trái dấu )

Nhận xÐt :

- NÕu a > th× y > víi x 0; Khi x = th× y = lµ GTNN cđa hµm sè

- NÕu a < th× y < víi x 0; Khi x = th× y = GTLN hàm số

II/ Đồ thị hµm sè y = ax2 (a  0).

* Tính chất đồ thị:

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a  0) Parabol qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm

trục đối xứng, O đỉnh Parabol

- Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị

4

y = ax + b (a>0) y

x O

O

x y

y = ax + b (a<0) y = ax

y

y = ax2( a > ) y = ax2 ( a < )

* Cách vẽ : - Lập bảng giá trị tơng cđa x vµ y:

x x,

2 x,1 x1 x

2

y y,

2 y,1 y1 y

2

( Chú ý: x1 x,1 đối ; y1 y,1 đối nhau)

- Biểu diễn điểm có toạ độ (xi ; yi )

- Vẽ đờng cong (P) qua O( 0; ) điểm (xi ; yi )

III/ Më réng: 1/ Hµm sè

x a y 

Đồ thị hàm số y = a/ x ( a  ) đờng cong Hypebol gồm nhánh y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < )

2/ Hµm sè y = / x /

Đồ thị hàm số có dấu GTTĐ bậc hình bao gồm tia tia đoạn thẳng liên tiếp

VD : y = / x / 

   

 



 

0 ,

0 ,

khix x y

khix x y

3/ Hµm sè y = ax + bx + c ( a 2  ):

a/ XÐt hµm sè y = ax2 + bx + c ( a  ):

Ta cã

a a

b x a a b c a b x a b x a c x a b x a y

4

4

2

2

2

2 

      

  

    

 

       

 

 

Đặt

2a x

b

;

4a y  

ta cã y = a( x – x0)2 + y0

- Nh để vẽ Parabol (P) ta tịnh tiến theo tr hoành x0 đơn vị tịnh tiến theo tr tung y0

đơn vị Cụ thể:

Đỉnh (P) điểm D( a

b

2

 ;

a

4

 

)

Giao ®iĨm cđa (P) víi trơc tung lµ C(0; c)

Điểm thứ (P) có tung độ c C,( -b/a ; c ), điểm đối xứng với C

qua đờng thẳng x = -b/2a

.Giao điểm (P) với trục hồnh ( có) , hồnh độ điểm nghiệm PT ax2 + bx + c = 0.

b/ NhËn xÐt :

- Hµm sè y = f(x) = ax2 + bx + c (a  0).

NÕu a > Th× Min f(x) = a

4

 

víi x0 =

a b

2



NÕu a < Th× Max f(x) = a

4

 

víi x0 =

a b

2



- Trong 1sè tr hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà thuộc tập R Chẳng hạn, x ; nằm khoảng ;

- Trong trêng hỵp x0 =

a b

2



không thuộc khoảng xét x ta tìm đợc GTLN , GTNN f(x) vào đồ thị hàm số y = f(x) xét giá trị f( ) ; f( )./

C/ Một số dạng toán liên quan đến hàm số Bài toán1 Lập PT đờng thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trớc (Tức tìm a, b). 1/ Lập PT đờng thẳng (d) qua A(xA , yA ) có hệ số góc k:

- B1: Xác định a: Theo đề ta có a = k

- B2: Xác định b : Đờng thẳng qua A nên ta có yA = kxA + b  b

- KL: Thay a, b tìm đợc vào cơng thức ta đợc PT cần tìm 2/ Lập PT đờng thẳng (d) qua A(xA , yA ) B(xB , yB )

- B1: Đờng thẳng (d) ®i qua A(xA , yA ) vµ B(xB , yB ) nªn ta cã :

   

 

 

b ax y

b ax y

B B

A A

 a ; b

3/ Lập PT đờng thẳng (d) qua A(xA , yA ) có tung độ gốc h:

- B1: Xác định b: Theo đề ta có b = h

- B2: Xác định a : Đờng thẳng qua A nên ta có yA = kxA + h  a

4/ Lập PT đờng thẳng (d) qua A(xA , yA ) // trục hoành Ox (Hoc trc tung Oy)

- Đờng thẳng song song với trục hoành x = xA y = b = yA

( NÕu ®gt // trơc tung Oy th× y = yA  x = xA = b )

5/ Lập PT đờng thẳng (d) qua A(xA , yA ) vng góc với đgt d, có PT y = a,x + b,

- Đờng thẳng d d, nên a.a, = - Từ suy a

- Thay toạ độ A vào PT suy b

6/ Lập PT đờng thẳng (d) // (d,) : y = a,x + b, qua A(x

A , yA )

Khi b b, : - Xác định a: Theo đề ta có a = a,

- Xác định b : Đờng thẳng qua A nên ta có yA = a, xA + b  b

- KL: Thay a, b tìm đợc vào cơng thức ta đợc PT cần tìm

7/ Lập PT đờng thẳng (d) cắt trục Ox A(xA , ) cắt trục Oy B( 0, yB ).

- B1: Xác định b: (d) cắt Oy B( 0, yB ) nên b = yB

- B2: Xác định a : (d) cắt Ox A(xA , ) nên a = b/ xA

8/ Lập PT đờng thẳng (d) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x) - B1: Xác định a : Theo đề ta có a = k PT có dạng y = kx + b (*)

- B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung (d) (P) f(x) = kx + b Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép ( = 0)  b

9/ Lập PT đờng thẳng (d) qua A(xA , yA ) tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x).

- PT hoành độ điểm chung (d) (P ) f(x) = ax + b (*) - Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)  PT (*) có nghiệm kép

Từ ĐK ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b Ta đợc (**) - Đờng thẳng (d) qua A nên ta có yA = axA + b (***)

- Tõ (**) vµ (***) suy a vµ b

10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc k cắt đcong (P): y = f(x) điểm phân biệt. - Theo đề ta có a = k PT có dạng y = kx + b

- PT hoành độ giao điểm (d) (P) f(x) = kx + b.(*)

- §êng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt PT (*) cã  >  b

11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc k cắt đcong (P): y = f(x) A có hồnh độ xA:

- Theo đề ta có a = k PT có dạng y = kx + b

- PT hoành độ điểm chung (d) (P) f(x) = kx + b.(*)

- Đờng thẳng (d) cắt (P) điểm A có hồnh độ xA xA nghiệm PT (*)

Khi ta có f(xA ) = kxA + b  b

* Chó ý :

Bài toán lập PT đờng cong y = ax2 qua điểm A(x

A, yA ) tức xác định hệ số a

Giải tơng tự toán lập PT đgt

Hoành độ giao điểm đờng cong y = ax2 (P) đgt y = mx+ n (d) nghiệm

cña PT ax2 = mx +n (1)

- NÕu PT (1) v« nghiƯm (d) không giao với (P)

- Nếu PT (1) có nghiệm phân biệt (d) cắt (P) điểm phân biệt - Nếu PT (1) có nghiƯm kÐp th× (d) tiÕp xóc víi (P)

3. Bài toán với hàm số y = ax2 + bx + c giải tơng tự toán với hàm số y = ax2

( Theo toán > )

4. Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b a, b số vơ tỉ a = m, b = n ta cần sử dụng định lí Pitago tam giác vng

Bài tốn Xác định vị trí tơng đối giữa: Đờng thẳng-đờng thẳng; Đờng thẳng – Parbol. 1 Xác đinh vị trí tơng đối đờng thẳng y = ax + b (d) y = a,x + b, (d,)

* d // d,  a = a, vµ b  b,

* d  d,  a  a,

* d  d,  a = a, vµ b = b,

* d  d,  a.a, =

2 Xác đinh vị trí tơng đối đờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)

PT hoành độ giao điểm chung có (d) (P) ax + b = ax2 (1)

* (d) (P) điểm phân biệt PT(1) cã nghiƯm ph©n biƯt ( > )

* (d) (P) có điểm chung PT (1) cã nghiÖm kÐp (   ) * (d) (P) điểm chung PT (1) vô nghiệm ( < )

Bài toán 3. Bài toán chứng minh:

a Chng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định - Gọi C(x0 , y0 ) điểm cố định đờng thẳng (d)

- ĐK cần đủ để đờng thẳng qua C(x0 , y0 ) với tham số m : Am = B

( Biến đổi PT đgt C(x0,y0)  (d) )

Trong : A biểu thức chứa x0, y0 x0 y0

B biểu thức chứa x0 y0 x0 ; y0

- GPT A = ; B = víi tham sè m  x0 ; y0  C(x0; y0 )

VD: CMR đờng thẳng (d) có PT y = mx +

2

qua điểm cố định với m? G: Gọi C(x0; y0 ) điểm cố định (d)  C  (d) với m

 Ta cã y0 = mx0 +

2

 2y0 - 1= 2mx0 , víi mäi m  2y0 - 1= 2x0 m, víi mäi

m  2y0 – = vµ 2x0 =  x0 = ; y0 =

Vậy (d) qua điểm cố định C( 0;

2

)

b Chứng minh (d) tiếp xúc (hoặc không cắt cắt (P) điểm p.biệt) : Đờng thẳng (d) tiếp xúc ( không cắt cắt (P) điểm p.biệt)

PT hđộ gđiểm ax + b = ax2 có N

0 kép ( vô nghiệm có nghiệm phân

biệt)

VD: CMR với m ®gt (d) cã PT y = mx +

2

vµ (P) y =

2

x2 cắt 2

®iĨm ph©n biƯt ?

G : PT hồnh độ giao điểm (d) (P) mx +

2

=

2

x2   x2 – 2mx – = 0

cã , = m2 + > víi mäi m

VËy víi mäi m (d) cắt (P) điểm phân biệt

Bi toán Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng hệ trục toạ độ.

Giả sử điểm M(x0 , y0 ) giao điểm đờng thẳng (d) : y = ax + b y = a,x + b, (d, )

B1: Tìm hoành độ giao điểm x0 thoả mãn nghiệm PT ax + b = a,x + b,

B2: Tìm tung độ giao điểm y0 cách thay x0 vào hàm số cho

Bài toán Xác định điểm M( xM, yM ) cho trớc có thuộc đồ thị HSố cho hay khơng.

 Cách giải : Đồ thị hàm số qua M toạ độ M thoả mãn nghiệm PT (d) : M  (d)  yM = f(xM)

Do tính f(xM) : Nếu f(xM) = yM Thì (d) qua M

Nếu f(xM) yM Thì (d) không qua M

-@@@ -PhÇn III / Hệ ph ơng trình

1)H hai phng trỡnh bc hai ẩn

- Định nghĩa :

Cho hai phương trình bậc hai ẩn ax+by =c a’x+b’y=c’

Khi ta có hệ hai phương trình bậc hai ẩn '

( ) ' ' '( )

ax by c d a x b y c d

 

 

 

 (I)

- Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0;y0) gọi nghiệm hệ (I)

- Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ vơ nghiệm

2)Quan hệ số nghiệm hệ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

- Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm - Nếu (d) song song với (d’) hệ vơ nghiệm - Nếu (d) trùng (d’) hệ vơ số nghiệm

3)Hệ phương trình tương đương:

Hai HPT gọi tương đương với chúng có tập nghiệm

4) Một số PP giải HPT:

* Giải hệ phương trình phương pháp thế.

+ Từ PT hệ cho ta b.diễn1 ẩn vào PT thứ để PT (chỉ có1 ẩn)

+ Dùng PT thay cho hai PT hệ (và giữ nguyên PT )

* Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số.

+ Nhân vế PT với số thích hợp (nếu cần ) cho hệ số ẩn đối

+ Dùng quy tắc cộng đại số để hệ có PT bậc ẩn + Giải PT ẩn suy nghiệm hệ

* Giải hệ phương trỡnh PP đặt ẩn phụ. * Giải hệ phương trỡnh PP dựng đồ thị

Số nghiệm hệ số giao điểm đường thẳng (d) (d’)

5/ Biện luận Giải hệ phương trình :

B1 Dùng PP cộng đưa hệ dạng Mx = N (*) B2 Xét trường hợp:

+ Nếu M¹ 0 (*) trở thành x = N

M thay vào y PT hệ ta tìm y

Do hệ có nghiệm (x;y)

+ Nếu M = thì: +(*) vơ nghiệm N ¹ 0,Do hệ vơ nghiệm.

+ (*) có vơ số nghiệm N = Nghiệm TQ

x R

a c

y x

b b

ì Ỵ ïï ïí

ù =- +

ùùợ Hoc x;y ẻ R Hoặc x = 0;y RỴ Hoặc y = x RỴ

B3 Kết Luận

6) Một số tốn hệ có chứa tham số:

Xác định giá trị tham số thoả mãn ĐK cho trước 1/ Nghiệm thoả mãn ĐK sốnghiệm :

Có nghiệm nhất- Vơ số nghiệm - Vô nghiệm PP: Nếu

PP: Nếu ab’ – ba’ ¹ Hay a' b'

a ¹ b (**) có nghiệm

Nếu ' '

' '

ì =

ïï íï = ïỵ

ab ba

bc cb Hoặc

' ' ' '

a b a b b c b c

ìïï = ïïï íï

ï =

ïïïỵ

(**) có vơ số nghiệm

Nếu ' '

' '

ì =

ùù ớù ùợ

ab ba

bc cb Hoặc

' ' ' '

a b a b b c b c

ìïï = ïïï ớù

ù ạ

ùùùợ

thỡ (**) vô số nghiệm

2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giá trị nghiệm.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm

+ B2: Tìm nghiệm hệ( PP cộng )

+ B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giá trị nghiệm từ tìm giá trị tham số

+ B4: KL: Xét giá trị tham số tìm so với ĐK có nghiệm trả lời

3/ Nghiệm hệ số ngun.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm

+ B2: Tìm nghiệm hệ( PP cộng ) + B3: Xét giá trị nghiệm thoả mãn số nguyên

+ B4: KL: Xét giá trị tham số tìm so với ĐK có nghiệm trả lời

4/ Tìm GTLN – GTNN biểu thức giá trị nghiệm.

+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm

+ B2: Tìm nghiệm hệ( PP cộng )

+ B3: Xét giá trị biểu thức giá trị nghiệm

+ B4: KL: Xét giá trị tham số tìm so với ĐK có nghiệm trả lời

-@@@ -Phần IV / phơng trình bËc 2: ax2 + bx + c = ( a 0 )(1)

1. C«ng thøc nghiƯm cđa PT bËc 2:

ac b2

  

- Nếu < Thì PT vô nghiệm

- NÕu = Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =

2

b a



- Nếu > Thì PT có N0 phân biÖt :

a b x 2 ,     ac b   , ,2

- NÕu '

 < Th× PT v« nghiƯm

- NÕu '

 = Th× PT cã N0 kÐp: x1= x2 =

2

b a



- NÕu '

> Thì PT có N0 phân biệt :

a b x , , ,      NhËn xÐt :

*NÕu a + b + c = th× :        a c x x 1

*NÕu a - b + c = th× :          a c x x 1

* NÕu c = th× :         a b x x 0

*NÕu x1, x2 nghiệm (1)

ax2 + bx + c = a( x – x

1)(x – x2)

2 HÖ thøc Vi-Et:

*ThuËn : Phơng trình bậc2 Nếu có nghiệm Thì :

            a c x x P a b x x S 2 .

*Đảo: Nếu sè x1, x2 tho¶ m·n

            a c x x P a b x x S 2 .

( Víi S2 – 4P 0)

Thì x1 ,x2 nghiƯm cđa PT x2 - Sx + P =

II/ Một số toán liên quan n PT bc 2:

Bài toán 1: Biện ln theo m sù cã nghiƯm cđa PT B2 - XÐt hƯ sè a Cã thĨ cã trêng hỵp x¶y ra:

*Trờng hợp a = với vài giá trị m

Gi¶ sư a =  m = m0 ta cã (1) trë thµnh pt b1: bx + c = (2)

-NÕu b0 ( víi m = m0 ), pt (2) cã nghiƯm lµ

b c

x (cũng nghiệm của(1)) -Nếu b = c =0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định  pt (1) vô nghiệm

-Nếu b = c  ( với m = m0 ), pt (2) vô định  pt (1) nghiệm

*Trêng hỵp a  0:

- NÕu > : pt (1) cã nghiƯm ph©n biƯt :

a b x 2 ,    

- NÕu = : pt (1) cã nghiÖm kÐp : x1 = x2 =

a b

2

 - NÕu < : pt (1) v« nghiƯm / R

- Kết luận : Tóm tắt phần biện luận trên. Bài toán 2: Điều kiện có nghiệm cđa PT bËc 2. 2.a, PT cã nghiƯm: C1, a= , b 0

C2, Hc a  ,  

C3, T×m sè  cho a.f( ) <

C4, T×m sè  ,  cho f( ).f( ) <

Tập hợp giá trị m phải tìm tất giá trị m thoả a) b) 2.b, PTcã nghiƯm ph©n biƯt:

      0 0 a

hc a.c <

2.c, PT cã nghiÖm:

     0 0 b a Hc       0 0 a

Bài toán 3: Dấu nghiệm số PT bậc 2 (Tìm ĐK m để phơng trình (1) t/mãn)

3.a, Cã nghiÖm cïng dÊu :

1

0;

a P x x

   



 



3.b, Cã nghiƯm d¬ng:

0; 0; a c b P S a a             

( Hc cã Ýt nhÊt 1N0 không âm )

3.c, Có nghiệm âm :

0; 0; a c b P S a a              Hc        0 . 0 c a c b a

3.d, Cã nghiƯm tr¸i dÊu :      c a P Hc a.f(0) < 3.e, Có nghiệm âm, nghiệm không âm :

0; 0; a b c S P a a             

3.g, Cã Ýt nhÊt 1nghiÖm 0 :

0; 0 a b S a           

Bài tốn 4: Tìm điều kiện m để PT (1) có nghiệm x1 tìm nghiệm kia

a, Tìm điều kiện m để PT có nghiệm x1 tìm nghiệm kia:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: 0 (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị tham số

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số

- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào PT gpt HoặcTính x2 nhờ Vi-et x2 = S –

x1

Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào PT cho mà PT bậc hai có <

kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

b, Tìm điều kiện m để PT (1) có nghiệm k lần nghiệm kia: - B1: Điều kiện PT có nghiệm a0;  0

- B2: Nghiệm k lần nghiệm nªn:       2 kx x kx x          0 2 kx x kx x

(x1 – kx2) (x2 – kx1) =

-B3 : Biến đổi đẳng thức tổng ; tích sau dùng định lí Vi-et Bài tốn 5: Tìm điều kiện m để Pt (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức :

(Các hệ thức biểu thức đối xứng ( Hoặc không đối xứng ) gia cỏc nghim) 1,

Ph ơng pháp chung:

B1: - §iỊu kiƯn PT cã nghiƯm a0; (*)

- Tính giá trị S , P theo m : Víi ®k (*) pt cã nghiÖm t/m :

            ) 2 ( . 2 a c x x P a b x x S

B2: Biến đổi hệ thức cho cho có dạng chứa S P

( Hoặc rút x1 hay x2 từ đk đề –nếu bthức cho không đối xứng)

B3: Thay giá trị S , P tính đợc B1 ta tính đợc m B4: Chọn giá trị m t/m đk (*)

2,

Các hệ thức đối xứng thờng găp và cách biến đổi:: *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = m

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p = n

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp =

k

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS

+ a2

*)

2 2 ) )( ( 1 a aS p a S a x a x a x x a x a

x  

        

 = k

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = h

*) 2 1 x x x x x x  

 = Sp = m

*) 2 2 1 2 x x x x x x x x    = p p S2



= n

(Các giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả mÃn điều kiện (*) )

Bài toán 6:Lập PT Bậc hai.

A/ Bài toán Thiết lập PT bậc nhờ hệ thức Vi-et : 1,Cơ sở để thiết lập PT B2 nhờ hệ thức Vi-et:

NÕu             a c x x P a b x x S 2 .

Thì x1,x2 nghiƯm cđa PT X2 - S X+ P = 0,Với= S2 4SP0

2 , Ph ơng pháp : G/sử PT B2 cần tìm có dạng X2 - S X + P = (1) mà nghiệm (1)

t/m đk cho trớc biểu thức (*) liên hệ nghiệm (1) với nghiƯm cđa PT B2 cho tríc ax2 + bx + c = o (2), ta lµm nh sau:

- Từ PT (2) ta tính đợc S P (3)

- Biến đổi bthức (*) liên hệ N0 (1) với nghiệm PT (2) thay giá trị S,P (3)

vào ta tính đợc hệ số X PT cần tìm

B/ Bài toán lập PT bậc nhờ t ơng giao đồ thị hàm số bậc 1, bậc và trục toạ độ (Hay xác định parabol y =ax2 + bx + c (P) ):

( Xem phần hàm số)

Bài toán 7: Quan hƯ nghiƯm cđa PT B2 : a1 x2 + b1 x + c1 = ( a1 0 ) (1)

a2 x2 + b2 x + c2 = ( a2 0 ) (2)

7.a :Xác định tham số để 2PT có nghiệm chung

 ĐK cần : Giả sử pt có nghiệm chung x0 , ta có hệ :    

  

  

0 0

2 2

1

c x b x a

c x b x a

Từ hệ ta xác định đợc tham số

 ĐK đủ : Thay giá trị tham số tìm đợc vào pt cho để tìm nghiệm chung./ 7.b :Định t/ số để 2PT có nghiệm cho nghiệm PT1 = k lần nghiệm PT2.

B1: Gäi x0 lµ nghƯm cđa (2) th× kx0 ( k  ) lµ nghiƯm cđa (1)

Khi , x0 nghiệm hệ:    

  

  

0 )

( ) (

0

1

2 2

c kx b kx a

c x b x a

B2: Giải hệ tìm x0 Suy m

B3: Lấy giá trị m vào (1) (2) để kiểm tra 7.c: Bài toán mở rộng :

1, Cho pt b2 cã nghiÖm chung :

- Chứng minh đẳng thức , bđt hệ số, - Nghiệm lại pt cho nghiệm pt thứ - nghiệm lại pt nghiệm hữu tỉ phân biệt

2, Cho pt b2 cã nghiƯm chung: T×m GTLN _ GTNN cđa biĨu thøc cho.

Bài tốn 8: Tính GTLN _ GTNN biểu thức đối xứng nghiệm PT B2 ( Mở rộng với HPT đối xứng )

- §iỊu kiƯn PT cã nghiƯm a0;  0 (*)

( Víi hƯ PT bậc nhât ẩn: x, y nghiệm PT X 2+ SX+P=0.Tức ĐK tồn x,y là

X 

0 )

- §a biĨu thức dạng biểu thức có chứa ĐTĐXCB

- Xét miền giá trị biểu thức ta tìm đợc GTLN – GTNN bthức (Dùng ĐK có nghiệm PTB2,T/C BĐT, Cosi, Bunhiacopki )

Bài tốn 9:Tính GT biểu thức đối xứng nghiệm PT mà khơng GPT. - Điều kiện PT có nghiệm a0;  0 (*)

- Sư dơng hƯ thøc Vi-et : S , P (*)

- Biến đổi BT cho dạng ĐTĐXCB - Thay giá trị (*) vo ta tỡm c GTBT

Bài toán 10: Về nghiệmnguyên nghiệm hữu tỉ PT B2. a/ Tìm nghiệm nguyên PT:

b/ Tìm nghiệm h÷u tØ cđa PT : ( Sư dơng nghiƯm cđa ®a thøc) - NghiƯm nguyªn cđa ®a thøc nÕu cã phải Ư(c)

- Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1), f(-1) 0 Thì f(1)/ (a - 1)vµ f(-1)/(a + 1) 

Z

- Đthức có hệ số Z ,N0 h.tỉ (nếu có) pải có dạng p/q p Ư(c),q Ư(a)

c/ Tìm m để PT có nghiệm hữu tỉ:

- Xét a = PT trở thành PT B1, ta đợc nghiệm hữu tỉ

- XÐt a  TÝnh  PT cã nghiƯm h÷u tØ  số phơng

Bi toỏn 11: Tỡm h thức liên hệ nghiệm PT mà không phụ thuộc tham số m: - Điều kiện để PT có nghiệm : a 0 ;  

- LËp S vµ P ( Phơ thc theo m)

- Khử m để lập hệ thức P S: Bằng phép bđổi (Chẳng hạn S – 2P hay 2S + P, ) - Thay S = x1 + x2 P = x1.x2ta đợc hệ thức cần tìm

 Chó ý:NÕu S hay P lµ số ta có hệ thức cần tìm Bài toán 12 :So sánh số nghiệm PT B2 víi sè thùc  ,  cho tr íc

( áp dụng định lí đảo tam thức bậc ) Tam thức bậc f(x) = ax2 + bx + c ( a 0 ) , (1)  số thực

*f(x) < 0, a <  (1) cã nghiƯm víi x ( x1 < x2 ) : 

 

 

2 x x

x x

 > 0

*f(x) > , a >  * Hc ( ) cã nghiƯm víi mäi x R   < 0

* Hc ( ) cã nghiƯm víi mäi x 

a b

2



  = 0

*f(x) > , a <  (1) v« nghiƯm víi x  > 0

*f(x) < , a >  (1) cã nghiƯm víi x  > ( x1 < x < x2 )

12.a, ĐK để  , nằm khoảng nghiệm : x1 <  < x2 : a.f( ) <

12.b , ĐK để  nằm khoảng nghiệm :

* x1< x2 < 

              a b f a ) (

* < x1 < x2 

              a b f a ) (

* < x1 < x2 <  

                   a b f a f a 2 0 ) ( . 0 ) ( . 0

12.c, ĐK để  , nằm khoảng nghiệm :

 < x1 < x2 <  

0

( ) 0; ( )

a f a f b a                 

12 d, ĐK để f có nghiệm nghiệm xen kẽ với   :

*  < x1 < < x2       0 ) ( . 0 ) ( .   f a f a

* x1 <  < x2 <        0 ) ( . 0 ) ( .   f a f a 12.e , ĐK để f có nghiệm mà nghiệm  : a.f( ) =

-@@@ -Phần V / giải toán cách lËp pT – Hpt

I/ Phương pháp chung :

Bước 1: Lập PT -HPT

* Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn

* Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượngđã biết * Lập PT - Hệ phương trình

Bước 2: Giải PT - HPT

Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm tìm có thoả mãn điều kiện ẩn hay không( Loại bỏ giá trị khơng thích hợp) kết luận trả lời

II/ M ột số ý.

Khi lập PT ta thường phải vận dụng kiến thức tương quan tỉ lệ,đặc biệt tương quan tỉ lệ thuận – tỉ lệ nghịch( Các quy tắc tam suất) Cụ thể:

1- Sự liên hệ đại lượng toán chuyển động: S = v.t

2- Sự liên hệ số chữ số: abc100a10b c ;với a,b,cN; 1 a 9,0b c, 9

3- Sự liên hệ lượng riêng (d);K.lượng (m);Thể tích (V) vật lý

4- Sự liên hệ số tiền phải trả (P) Số đơn vị mua (x), giá tiền đơn vị hàng hóa (y): P = xy

5- Sự liên hệ khối lượng công việc,thời gian hoàn thành, số người, suất lao động người,,hoặc khối lượng nước công suất vòi nước,…

TG CV NS  ;

+ Sau chọn ẩn đặt ĐK ta cần lưu ý biểu thị đầy đủ đại lượng toán dựa vào tương quan đại lượng lập PT,HPT