Về môđun với epi acc (on modules with epi acc)

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THÁNH TRÂM VỀ MÔĐUN VỚI EPI-ACC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG, NĂM 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THÁNH TRÂM VỀ MÔĐUN VỚI EPI-ACC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT ĐÀ NẴNG, NĂM 2019 MỤC LỤC Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa môđun 1.2 Môđun tự 1.3 Môđun xạ ảnh nội xạ 1.4 Môđun Noether, Artin Môđun đơn Môđun nửa đơn 11 1.5 Căn đế 13 1.6 Vành quy 15 1.7 Vành tựa-Frobenius 16 1.8 Vành iđêan Artin 16 1.9 Duo môđun 17 1.10 Môđun suy biến 18 1.11 Môđun di truyền 19 Chương MÔĐUN VÀ VÀNH VỚI EPI-ACC 20 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Tính chất mơđun vành Noether, Artin 20 Định nghĩa ví dụ mơđun epi-co rút 25 Các tính chất môđun epi-co rút 26 Môđun với epi-ACC 30 Một số tính chất mơđun thỏa epi-ACC môđun 32 Một số môđun với epi-ACC đặc biệt 34 Vành với epi-ACC 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN ∀ ∃ tồn ⇒ suy ⇔ tương đương A≤B A môđun B A ≤e B A môđun cốt yếu (lớn) B A B A môđun đối cốt yếu (bé) B A B A môđun thực B A B A không môđun B hết chứng minh N tập số tự nhiên Z vành số nguyên Q trường số hữu tỉ Zp = Z/pZ vành số ngun mơđulơ p Zp∞ nhóm Pră ufer tng trc tip tớch trc tip M (X) tổng trực tiếp |X| M MX tích trực tiếp |X| M → phép nhúng Mod-R phạm trù R-môđun phải R-Mod phạm trù R-môđun trái σ[M ] phạm trù phạm trù Mod-R |X| lực lượng tập X |X) môđun MR sinh tập X (X) iđêan vành R sinh tập X MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết vành môđun phận lý thuyết đại số kết hợp, phát triển mạnh mẽ với quan tâm nhiều nhà toán học Một hướng nghiên cứu lý thuyết việc nghiên cứu môđun vành Noether Artin Năm 1921, Noether giới thiệu điều kiện dãy tăng ACC iđêan vành giao hốn Sau đó, Noether định nghĩa khái niệm cho môđun vành khơng giao hốn mở rộng vài kết vành giao hốn với ACC iđêan đến mơđun với ACC môđun Môđun với ACC môđun ngày gọi môđun Noether Từ tài liệu Noether, nhiều nhà toán học khác nghiên cứu môđun Noether Một vài số họ mở rộng khái niệm Trong luận văn này, nghiên cứu mở rộng ACC theo nghĩa tồn tồn cấu dãy mơđun con, epi-co rút dãy mơđun Lớp môđun epi-co rút lớp môđun co rút được, giới thiệu Khuri năm 1979 Một R-môđun M gọi co rút với môđun khác không N M , tồn đồng cấu khác không từ M vào N Ghorbani Vedadi định nghĩa khái niệm môđun epi-co rút R-môđun M gọi epi-co rút môđun M ảnh đồng cấu M Ta xét mơđun có tính chất dãy mơđun Ta nói R-mơđun M thỏa epi-co rút dãy tăng môđun (epi-ACC môđun con) dãy tăng môđun M , trừ số hữu hạn, môđun dãy ảnh đồng cấu mơđun Liệu tính chất mơđun Noether có với mơđun với epi-ACC hay khơng? Dựa vào hai báo chính: A Ghorbani and M R Vedadi (2009), Epi-retractable modules and some applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 35 No 1, pp 155-166 R Dastanpour and A Ghorbani (2017), Modules with epimorphism on chains of submodules, Journal of Algebra and Its Application Vol 16, No 6, nhằm tìm hiểu vấn đề này, tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “VỀ MÔĐUN VỚI EPI-ACC (On modules with epi-acc)” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu mơđun với epi-ACC môđun liên quan - Trước tiên tổng quan kết từ báo, sách sau làm tường minh chứng minh, trình bày lại cách có hệ thống - Mở rộng số kết có mơđun Noether sang môđun với epi-ACC Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất mơđun với epi-ACC, số mơđun với epi-ACC đặc biệt - Nghiên cứu điều kiện epi-co rút với môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Phương pháp nghiên cứu - Dựa sở biết môđun, môđun Noether, môđun Artin với nghiên cứu tài liệu đặc biệt báo khoa học liên quan đến môđun với epi-ACC - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Trao đổi thơng qua xêmina nhóm Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến môđun để làm sở cho chương sau - Chương 2: Mơđun vành với epi-ACC Chương trình bày nội dung luận văn, trình bày epi-co rút được, môđun với epi-ACC 35 (1) Mọi môđun khác khơng M có mơđun cực đại (2) Nếu M hữu hạn sinh Artin, M Noether (3) Nếu M nội xạ, môđun xạ ảnh M nội xạ Chứng minh (1) • Trước hết ta chứng minh mơđun N1 ≤ N2 M , tồn k ∈ N cho N1 ảnh đồng cấu N2(k) Cho N1 ≤ N2 môđun M ∞ Với j ∈ N, cho ιj : M → ⊕ M phép nhúng tự nhiên chuyển m ∈ M i=1 ∞ vào dãy ⊕ M với m tọa độ thứ j, thành phần lại i=1 Xét dãy tăng ι1 (N1 ) ≤ ι1 (N2 ) ≤ ι1 (N2 ) ⊕ ι2 (N1 ) ≤ ι1 (N2 ) ⊕ ι2 (N2 ) ≤ ι1 (N2 ) ⊕ ι2 (N2 ) ⊕ ι3 (N1 ) ≤ mơđun M (N) Vì M (N) thỏa epi-ACC môđun con, tồn k ∈ N tồn toàn cấu ϕ : N2(k) → N1 ⊕ (N2(k−1) ) Vì ta có toàn cấu: (k) N2 (k−1) → N1 ⊕ (N2 ) → N1 • Cho N mơđun khác không M x phần tử khác khơng N Khi tồn tồn cấu ϕ : N (k) → xR với k ∈ N Khi N (k) /Ker(ϕ) ∼ = Im(ϕ) = xR có mơđun cực đại Nên N (k) chứa mơđun cực đại Do rad(N (k) ) = N (k) Nhưng rad(N (k) ) = [rad(N )](k) 36 Nên rad(N ) = N Suy điều phải chứng minh (2) • Giả sử M hữu hạn sinh Khi theo (1), với mơđun N M, tồn k ∈ N cho N ảnh đồng cấu môđun hữu hạn sinh M (k) , N hữu hạn sinh Nên M Noether (theo Định lí 2.1.1) • Một mơđun Artin, theo (1), mơđun khác không chứa môđun cực đại Noether (3) Cho M nội xạ, P môđun xạ ảnh M Khi tồn toàn cấu ϕ : M (k) → P với k ∈ N Vì P xạ ảnh nên ϕ chẻ Do đó, P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M (k) Vì P nội xạ Ví dụ 2.6.3 Cho p số nguyên tố Khi Zp∞ khơng có mơđun cực đại Nên Z(pN∞) không thỏa epi-ACC môđun 2.7 Vành với epi-ACC Mệnh đề 2.7.1 Cho R vành Khi (1) Nếu R(N) thỏa epi-ACC mơđun (như R-mơđun phải), R vành Noether phải (2) Nếu E(RR )(N) thỏa epi-ACC mơđun con, R vành tựa-Frobenius Chứng minh (1) Theo định lí 2.6.2, R(N) thỏa epi-ACC môđun con, R hữu hạn sinh, nên R vành Noether phải (2) Giả sử E(RR )(N) thỏa epi-ACC mơđun (N) • Khi RR thỏa epi-ACC mơđun Vì R Noether phải (theo a) 37 • Vì RR xạ ảnh (RR tự do) nên nội xạ (theo định lí 2.6.2 (3)) Do R tự nội xạ phải Noether phải, từ tựa-Frobenius Ví dụ 2.7.2 (1) Xét R = Z4 Ta có E(Z4 )(N) = Z(4N) thỏa epi-ACC mơđun (Ví dụ 2.6.1) Khi Z4 vành tựa-Frobenius (2) Chiều ngược lại Mệnh đề 2.7.1 (2) không Xét R = Z3 vành tựa-Frobenius, E(RR )(N) không thỏa epi-ACC mơđun con, E(RR )(N) = E(Z3 )(N) = Z(3N∞) không thỏa epi-ACC môđun (ví dụ 2.6.3) Ta có vài nhận xét trường hợp ngược lại mệnh đề 2.7.1 Cho R vành Khi R vành Noether phải R(N) nói chung khơng Noether phải, R(N) ta có dãy tăng khơng dừng R < R2 < R3 < Tuy nhiên có số trường hợp đặc biệt, vành R = Z4 vành tựaFrobenius, ta có Z(4N) (xem Z4 -mơđun) thỏa epi-ACC mơđun Vì chúng tơi muốn đưa câu hỏi: Câu hỏi 2.7.3 Nếu R vành tựa-Frobenius R(N) (xem R-mơđun) thỏa epi-ACC môđun R-môđun phải Tuy nhiên, dự đốn, mà chúng tơi chưa chứng minh Hệ 2.7.4 Nếu R vành không suy biến phải E(RR )(N) thỏa epi-ACC mơđun con, R vành nửa đơn Artin Chứng minh Theo Mệnh đề 2.7.1, E(RR )(N) thỏa epi-ACC môđun nên R vành tựa-Frobenius, Noether phải, tự nội xạ phải Ta có R vành tự nội xạ phải khơng suy biến phải suy R quy (Định lý 1.10.4) Do iđêan phải hữu hạn sinh R hạng tử trực tiếp RR Nhưng R Noether phải nên iđêan phải R hữu hạn sinh Vậy R vành nửa đơn Artin 38 Ví dụ 2.7.5 R := Z4 vành tự nội xạ giao hốn với Z(RR ) = {¯0, ¯2} (Ví dụ 1.10.2) Theo Ví dụ 2.6.1, Z(4N) Z4 -mơđun với epi-ACC môđun con, Z4 không nửa đơn Artin Chứng tỏ điều kiện “không suy biến” cần thiết hệ 2.7.4 Đối với vành tất mơđun thỏa epi-ACC môđun con, ta thu kết sau: Hệ 2.7.6 Nếu R vành giao hoán cho tất R-môđun phải thỏa epi-ACC môđun con, R vành iđêan Artin Chứng minh Cho R¯ vành thương R Rõ ràng tất R¯ -môđun phải thỏa epi-ACC môđun ¯ (N) thỏa epi-ACC môđun Nên R ¯ vành tựaĐặc biệt, E(R) Frobenius, theo Mệnh đề 2.7.1 Một vành tất vành thương tựa-Frobenius vành iđêan Artin (Định lý 1.8.1), R vành iđêan Artin Hệ 2.7.7 Cho M R-môđun di truyền khác không Nếu E(M )(N) thỏa epi-ACC mơđun M nửa đơn nội xạ Chứng minh E(M )(N) thỏa epi-ACC môđun E(M ) môđun nội xạ nên môđun xạ ảnh E(M ) nội xạ (theo Định lý 2.6.2) Vì M di truyền nên môđun M xạ ảnh nội xạ Do mơđun M hạng tử trực tiếp M (Hệ 1.3.7) Vì M nửa đơn nội xạ Mệnh đề 2.7.8 Cho R vành di truyền phải, M R-môđun khác không Nếu E(M )(N) thỏa epi-ACC mơđun con, M nửa đơn nội xạ 39 Chứng minh Cho N mơđun M Vì E(M )(N) thỏa epi-ACC môđun con, chứng minh định lí 2.6.2 ta tìm k ∈ N cho N ảnh đồng cấu E(M )(k) Nhưng R di truyền phải E(M )(k) R-môđun nội xạ nên N∼ = E(M )(k) /Kerϕ R-môđun nội xạ (Định lý 1.11.3) Vì M R-mơđun nội xạ môđun M hạng tử trực tiếp Do M R-mơđun nội xạ nửa đơn Ví dụ 2.7.9 Xét vành R = Z4 Khi Z(4N) R-mơđun thỏa epi-ACC môđun mà Z4 không nửa đơn Chú ý R khơng di truyền (vì {¯0, ¯2} khơng R-xạ ảnh) Điều chứng tỏ điều kiện “di truyền” cần thiết Mệnh đề 2.7.8 40 KẾT LUẬN Luận văn “Về môđun với epi-ACC ” đạt kết sau: Tìm hiểu trình bày cách có hệ thống kiến thức mơđun, mơđun Noether, Nghiên cứu tổng quan điều kiện epi-co rút với môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, cụ thể là: mô tả môđun epi-co rút (Định lý 2.3.3), tính chất mơđun epi-co rút liên quan đến môđun thương, tổng trực tiếp, nửa đơn Đặc biệt, đặc trưng vành tựa-Frobenius thông qua R-môđun nội xạ epi-co rút (Định lý 2.3.8) Nghiên cứu tổng quan môđun với epi-ACC, số môđun với epi-ACC đặc biệt, cụ thể là: tính chất ví dụ mơđun với epi-ACC liên quan đến tổng trực tiếp; tính chất mơđun tổng trực tiếp |N| M thỏa epi-ACC môđun (Định lý 2.6.2), nghiên cứu vành với epi-ACC, đặc biệt liên quan đến vành tựa-Frobenius (Mệnh đề 2.7.1) Trong phần nói trên, luận văn trình bày tường minh chứng minh viết gọn báo, cho thêm ví dụ minh họa cho trường hợp cụ thể Ngoài ra, đưa thêm nhận xét kết có Trong thời gian tới, có điều kiện thời gian kiến thức tiếp tục xem xét chứng minh vấn đề nêu 2.7.3, chứng minh vấn đề thu thêm nhiều hệ thú vị khác 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] N H V Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] L V Thuyết, T C Quỳnh (2019), Giáo trình mơđun vành, NXB Đại học Huế [3] L V Thuyết, L Đ Thoang (2017), Vành với điều kiện hữu hạn, NXB Đại học Huế Tiếng Anh [4] R Dastanpour and A Ghorbani (2017), Modules with epimorphism on chains of submodules, Journal of Algebra and Its Application Vol 16, No [5] A Ghorbani and M R Vedadi (2009), Epi-retractable modules and some applications, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 35 No 1, pp 155-166 [6] G Kăothe (1935), Verallgemeinerte abelsche gruppen mit hyperkomplexen operatorenring, Math, Z 39(1), 31-44, doi: 10.1007/BF01201343 [7] T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics, Vol 189, Springer-Verlag, New York [8] H Mostafanasab (2013), Application of epi-retractable and co-epi-retractable modules, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 39 No 1, pp 903917 [9] I H Muslem (2016), Some types of Retractable and Compressible Module, University of Baghdad, Preprint [10] R Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Algebra, Logic and Applications, Vol 3, Gordon and Breach Science Publishers, Philadelphia, PA ... tổng quan môđun với epi- ACC, số môđun với epi- ACC đặc biệt, cụ thể là: tính chất ví dụ môđun với epi- ACC liên quan đến tổng trực tiếp; tính chất mơđun tổng trực tiếp |N| M thỏa epi- ACC môđun (Định... epi- ACC môđun Mệnh đề 2.5.3 Nếu S R -môđun đơn M R -môđun với epi- ACC mơđun con, A := S ⊕ M thỏa epi- ACC môđun Chứng minh Cho A1 ≤ A2 ≤ A3 ≤ dãy môđun A • Giả sử tồn i0 ∈ N cho S ∩ Ai0 = Khi với. .. có môđun Noether sang môđun với epi- ACC Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất mơđun với epi- ACC, số môđun với epi- ACC đặc biệt - Nghiên cứu điều kiện epi- co