HSG de dap an

Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC.. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC.b[r]

§Ị thi häc sinh giái Môn Toán lớp 9 Thời gian làm 150 phút

Bài (2đ): Cho biểu thøc:

A = 

  

  

          

  

 

   

1 1

1 : 1

1

xy x xy

x xy xy

x xy xy

x a Rót gän biĨu thøc b Cho  6

y

x T×m Max A

2 Chøng minh r»ng víi số nguyên dơng n ta có:

2

2

2 1

1 1 ) (

1

1 

  

 

      

n n n

n từ tính tổng:

S = 2 2 2 2 2 2

2006 2005

1

1

1

1

1

1   

Bài 2 (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz

Bµi 3 (2®):

1 Tìm giá trị a để phơng trình sau có nghiệm: 13 ( 5)((2 3)1)

  

 

  

 

a x a x

a a a

x a x

2 Giả sử x1,x2 nghiệm phơng trình: x2+ 2kx+ = 4 Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức:

2

1 2

2

1 

                

x x x

x

Bµi 4: (2đ) Cho hệ phơng trình:

      

   

   

1 1 3 2 2

2 2 1

1

x m y

y m x

1 Giải hệ phơng trình với m = Tìm m để hệ cho có nghiệm

Bµi 5 (2đ) :

1 Giải phơng trình: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2

     

 

2 Gi¶i hƯ phơng trình:

3

3

3

9 27 27

9 27 27

9 27 27

y x x

z y y

x z z

     

    

     

Bài 6 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số)

1 Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3.x? Khi tính góc tạo (d) tia Ox

2 Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) lớn nhất?

Bài 7 (2đ): Giả sử x, y số dơng thoả mãn đẳng thức: xy 10 Tìm giá trị x y để biểu thức:

) )(

( 4

 

 x y

P đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ

Bài 8 (2đ): Cho  ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đờng phân giác, G trọng tâm tam giác

Bài 9(2đ) Gọi M điểm đờng thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF

a Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC

b Gäi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng

c Chứng minh đờng thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định

d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vng M chuyển động đờng thẳng AB cố định

Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt mét ®iĨm M thc miỊn cđa gãc.

Đáp án Đề thi học sinh giỏi Môn Toán lớp 9

Ngi : Lng Th Nhn

Đơn vị : Trờng THCS Thọ Xơng

Stt ý Nội dung Điểm

Bài 1:

(2đ)

2

a) Đk : x  0; y  0; x.y  Quy đồng rút gọn ta đợc: A = x1.y

b)  6  9

y x A y

x

 Max A =   3 xy 91 y

x

 2  2

2

1 1 ) (

2 2 1 1 1 1

                

 

  

n n n

n n n n

n n

n

 S =

2006 2005

1 1 1 1

1            

2006 4024035 2006

1

2006 



0,5

0,5 0,5

0,5

Bài 2:

(2đ) A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz= xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ z) = y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z)

= (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx] = (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)] = (x+ y) (x+ z) ( y+ z)

0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi 3:

(2đ) Đk: x (1) (x + 6a +3) (x- a) = - 5a (2a+ 3) (a+ 1) ; x  a (*)

 x2+ (5a+ 3)x + 4a(a+ 3) = (2) Pt (2) cã nghiÖm: x1= 4a; x2= -(a+3) PT(1) cã nghiÖm  :

a) x1 = x2 T/m (*)  4a = - (a+3)  a=1 Khi : x1 = x2 = - T/m (*)

b) x1 không t/m (*) 4a = - (a+ 1) – 4a = a +) 4a = -(a+1)  a=

3

khi x2=

3 10



T/m (*) +) - 4a= a  a = Khi : x2 = -3 T/m (*)

0,25

2

c) x2 kh«ng tháa m·n (*)  - (a+ 3) = a v× - (a+ 3)  - (a+ 1)

 a =

2

 : x = - thoả mãn (*) Kết hợp a, b, c ta có: giá trị a là: 1;

3

; 0;

2

 Ta thÊy: x1  0; x2 

Ta cã :

) (

5

2

1 2

2

1 2

2

1 2 2

2

  

     

  

 

           

       

x x x x

x x x x

x x x x x x x

x

Mặt khác :

1 2

x x x x

 =

4

2 2

2 2

1 x x

x x

x

x 

 

> (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ra:

1 2

x x x x

 

) (

2

2

   

x x

x x

 5

)

( 2

        

k k

k

0,25 0,25

Bài 4:

(2đ)

Đk:



  2 1

y x

Đặt

 

2 1

1 1

y v

x u

§k : u, v

Ta có hệ phơng trình:

  

 

 

)2 (1 3

2

)1 (2

mu v

mv u

Víi m = ta cã:

     

        

 

        

     

 

7 19 3 8

5 7 2 1

5 3 1 1

5 7 5 3 132 2

y x y x v u uv vu

VËy víi m = 1, hệ phơng trình có nghiệm là:

   

 

7 19 3 8

y x

0,5

0,5

2 Tõ (1)  u = 2- mv ThÕ vµo (2) ta cã: 2v – 6m + 3m2v =  v =

2

6

2

  m

m

víi m  R

 u = – m(

2

6

2

  m

m ) =

2

4

2

  m

m

Để hệ có nghiệm thì:

    

      

       

6 1 4 061 04 0 0

m m m m v u

VËy víi

    

  

6 1 4

m m

th× hệ phơng trình có nghiệm

0,5

Bài 5:

(2®) 2

2

2

) ( ) ( ) (

2 14 10

     

  

     

 

x x

x

x x x

x x

x

Ta cã:

1

1

5

5

3 9 ) (

2 4 ) (

2

     

    

  

   

   

x x

VP VT VP VT VP

VT x x

VËy S =  1

0,25

0,5 0,25 Cộng vế phơng trình ta đợc:

(x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = (4)

Mặt khác: (1) 9x2- 27x + 27 = y3= (

4 27 )

 

x >0

 y> 0; t¬ng tù : x > 0; z >

a XÐt x  tõ (3)  9z2 – 27z = x3- 27  0

 9z (z – 3)   z  T¬ng tù y 

Tõ (4)  x = y= z =

b XÐt < x < Tõ (3)  9z2- 27z = x3 – 27 < 0

 9z (z-3) <  z <

Tõ (4)  hệ phơng trình vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm nhÊt (x= 3; y = 3; z = 3)

0,25 0,25

0,25

0,25 Bµi 6:

(2đ) Với k = (d) x = 1, (d) không song song với đờng thẳng y =3.x Với k  1, đa phơng trình dạng : y =

1

1

   

k x k

k

(*)

Điều kiện cần đủ để (d) song song với đờng thẳng y = 3.x :

) ( 3

1

     

k k

k

Khi góc nhọn  tạo (d) với tia Ox có Tg  = nên =600

Với k = phơng trình đờng thẳng (d) y = -2, suy khoảng

cách từ O đến (d) 0,5

Víi

  

  0 1

k k

gäi giao ®iĨm (d) với Ox, Oy tơng ứng A, B

Thay y = vào (*) đợc :

k OA

x

k

A   

Thay x = vào (*) đợc yB= ( )

1

2

d k

OB

k     không qua gốc tọa độ với k  0; k

Trong tam giác vuông AOB, ta cã: 2 12 12

OH

OB OA  

Từ đó: OH =

1

2

2

  k

k , ta cã:

5k2 – 2k + = 5(

5 )

 

k 

5

Víi k

5

,

5   



 OH OH k

VËy víi k =

5

khoảng cách từ O đến (d) lớn nht

0,5

Bài 7:

(2đ) P = (x

4 + 1) (y4+ 1) = (x4+ y4) + (xy)4 + 1 Đặt: t = xy, ta có:

x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2

= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t+ 100 Khi : P = t4 + 2t2- 40 t + 101

= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45

Suy P 45 Đẳng thức xảy t =

 x+y = 10 vµ xy =

Vậy giá trị nhỏ P lµ P = 45 khi: (x,y) =

2 10 ;

2

10   hc:

    

 

  

2 10 ;

2 10

0,5

0,5 0,5 0.5 Bài 8:

(2đ) BI phân giác góc B, nªn:

12 AC

7

 



 AI

BC AB IC AI

Do dã: 3,5( )

12 12

AC

AI   cm

O G

AO lµ phân giác góc A ABI,

Ta lại cã: (1)

2

5 , OB

OI

  

AB IA

Mặt khác, G trọng tâm ABC, nªn (2)

 GB GM

0,5

0,5

Tõ (1) vµ (2) suy ra:

GB GM



OB OI

, OG//IM 0,25

Khi ta lại có :

3

 

BM BG IM

OG

, 0,25

B

A C

A I

Suy ra: ( ) ) , ( ) (

3

2

OG  IM  IA MA    cm VËy : OG = ( )

3

cm 0,5

Bài 9:

(2đ) a Xét CM  AB, BE  CAB, ta cã:  AC

( v× BE  MF, MF//AC) I H

 AE đờng cao thứ ba E

 AE  BC

A b Gọi O giao điểm AC DM Do góc AHC = 900 (câu a) nên:

 

 

2 DM OH

AC

OH gãc MHD = 900 (1)

Chøng minh t¬ng tù: gãc MHF = 900 (2) Từ (1) (2) D, H, F thẳng hàng

c Gọi I giao điểm DF AC; DMF có DO = OM OI//MF nên I trung điểm DF

Kẻ I I AB I trung điểm AB

2

2

' AD BF AM BM AB

II     

Do điểm I cố định: I nằm đờng trung trực AB cách AB khoảng

2

AB

d Tập hợp điểm K đờng trung bình  IAB

0,5

0,5

0,5 0,5

………

Bµi 10:

(2đ) Lấy AVẽ MH//OA, MK//OB  Ox, B Oy, M AB SOHMK khụng i

Đặt SOHMK = S3; SAKM= S1 a SMHB= S2; SABC = S

Đặt MA = a; MB = b b Ta cã: S3 = S – (S1+ S2)



S S S S

S3 1 2

1 



Các tam giác AKM, MHB, AOB đồng dạng nên :

2

     

 

b a

a S

S

2

2

2

) (

2 ) (

b a

ab b

a b a S

S b a

b S

S

  

         

 

0,5

0.5



ab b a S

S

2 )

(

3



  (B®t Côsi) 0,5

(a+b)2 4ab dấu sảy a = b

 SAOB nhá nhÊt  a = b M trung điểm AB 0,5

………

B

H

O K A

M

x y

D C

F

B M