Học sinh lập luận đầy đủ chặt chẽ mới cho điểm tối đa..[r]
(1)TRƯỜNG THPT NGUYỄN GIA THIỀU ĐỀ THI CHäN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 11 Ngày thi 29 – 01 – 2013 ĐỀ VÒNG Thời gian làm bài 120 phút Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn cosA cosB cosC cosA.cosB + cosB.cosC + cosC.cosA Chứng minh tam giác ABC Câu (4,0 điểm) Cho số tự nhiên k thoả mãn k 2000 Chứng minh k k 1 1000 1001 C2001 C2001 C2001 C2001 Cõu (4,0 điểm) Cho dãy số un đ-ợc xác định công thức u1 víi n u u u 16 n n n 1 a T×m c«ng thøc cña sè h¹ng tæng qu¸t un theo n b TÝnh tæng u1 u u u 112 103 12 12 2 2 Câu (4,0 điểm) Chứng minh phương trình x3 3x luôn có ba nghiệm thực phân biệt là x1 , x2 , x3 Giả sử x1 x2 x3 , chứng minh x2 x32 Câu (4,0 điểm) Cho h×nh hép ABCD.A’B’C’D’; gäi E, F, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AB, DD’, B’C’ a §êng th¼ng ®i qua ®iÓm E c¾t AC’ t¹i M vµ c¾t DD’ t¹i N TÝnh tØ sè EM EN b Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (EFH) Hết - - - - - - - - - - - - - - - - Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: …………………………………………………………………………… Số báo danh: ……………………… (2) ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Câu (4,0) (4,0) (4,0) Điểm Yêu cầu Có cos A cos B cosC > Suy (cos A cos B cosC) (cos A cos B cosC) 2 Lại có (cos A cos B cosC)2 3(cos A.cos B cos B.cosC + cosC.cos A) Từ đó suy KQ Ta chứng minh (1) đúng với số tự nhiên k : k 1000 (vì Cnr Cnn r , đó (1) đúng 1,0 với số tự nhiên k :1000 k 2000 ) k 1 1001 Xét dãy số hữu hạn uk với uk C2002 , k 1000 Suy u1000 C2002 1,0 Chứng minh dãy số hữu hạn uk tăng, tức là chứng minh uk uk 1 1,0 Từ đó suy uk u1000 và suy điều phải chứng minh 1,0 u1 4, u2 a (un ) xác định víi n 2 un 1 un un 1 1,5 4n , víi n 2n 1,5 41 42 43 412 12.4 u u u u b 121 112 103 12 2 2 213 (4,0) 2,0 k k 1 1000 1001 k 1 1001 (1) C2001 C2001 C2001 C2001 C2002 C2002 Sè h¹ng tæng qu¸t un (4,0) 2,0 1 412 1 213 48 5592417 2048 1,0 Chứng minh phương trình x3 3x (2), có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (–2 ; 2) 1,0 8 4 2 ,t ,t 9 8 4 2 Do x1 x2 x3 , nên ba nghiệm (2) là x1 2.cos , x2 2.cos , x3 2.cos 9 1,0 Chứng minh x2 x32 1,0 Đặt x 2.cos t với t , tìm nghiệm phương trình là t 1,0 a M AC’ EM (ABC’D’) 0,5 N EM N DD' 0,5 {N} = DD’ (ABC’D’) N D Chøng minh M lµ träng t©m tam gi¸c EM ABD’ Từ đó suy EN b Gäi P lµ trung ®iÓm A’B’ Trong (EFD’P) cã EF PD’ = {Q} Trong (A’B’C’D’) cã HQ A’D’ = {S}, HQ C’D’ = {G}, HQ A’B’ = {R} Trong (ABB’A’) cã RE BB’ = {I} Trong (ADD’A’) cã SF AD = {K} ThiÕt diÖn lµ lôc gi¸c EKFGHI 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 Các cách giải khác mà đúng chấm điểm Học sinh lập luận đầy đủ chặt chẽ cho điểm tối đa (3)