c, Tìm giá trị nguyên của a để A có gía trị là một số nguyên.. Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn.. Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với
Trang 1Phòng GD&ĐT Hải Hậu kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
-* - Năm Học: 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian giao đề)
Đề bài
Bài 1 (5 điểm) Cho biểu thức
A =
a
a a
a a
a
a
3
1 2 2
3 6
5
9
2 với a 0 ,a 4 ,a 9
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm giá trị của a để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên của a để A có gía trị là một số nguyên.
Bài 2 (4 điểm) Cho hệ phơng trình
1 2
2
a y x
a y ax
a, Giải hệ phơng trình khi a 2
b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn x y 1
Bài 3 (3 điểm) Cho bốn số thực a,b,c,d thoả mãn đồng thời:
7
b c d
a và a2 b2 c2 d2 13 Hỏi a có thể nhận giá trị lớn nhất là bao
nhiêu?
Bài 4 (4 điểm) Từ điểm K bất kì trên đờng tròn tâm O đờng kính AB =
2R Vẽ KH vuông góc với tiếp tuyến Bx của đờng tròn Giả sử góc KAB bằng độ ( 0 < < 90 )
a, Tính KA, KB, KH theo R và
b, Tính KH theo R và 2
c, Chứng minh rằng: cos 2 = 1 – 2sin2
cos 2 = 2 cos2 - 1
Bài 5 (4 điểm)Cho đờng tròn tâm O bán kính R, A là điểm cố định trên
đờng tròn Vẽ tiếp tuyến Ax, lấy điểm M bất kì trên Ax, vẽ tiếp tuyến thứ hai MB với đờng tròn (B là tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của MA,
BI cắt đờng tròn ở K, tia MK cắt đờng tròn ở C Chứng minh rằng:
a, Tam giác MIK đồng dạng với tam giác BIM
b, BC song song với MA
c, Khi điểm M di động trên Ax thì trực tâm H của tam giác MAB thuộc đờng tròn cố định
======================================
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
Phòng GD&ĐT Hải Hậu hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyện
-* - Năm Học 2008 - 2009
Môn Toán lớp 9
Bài 1( 5 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với a 0 và a 4 ; a 9 thì
A =
) 3 )(
2 (
) 2 )(
1 2 ( ) 3 )(
3 ( 9 2
a a
a a
a a
a
0,5đ
=
) 3 )(
2 (
2 4 2
9 9 2
a a
a a a a
=
) 3 )(
2 (
2
a a
a
Trang 2=
) 3 )(
2
(
) 2 )(
1
(
a a
a
=
3
1
a
b, (1 điểm)
Với a 0 và a 4 ; a 9 thì
A < 1
3
1
a
3
3 1
a
a a
3
4
a < 0
0,5đ
Kết hợp với điều kiện ta có 0 a 9 và a 4 0,25đ
c, (2 điểm)
Ta có A =
3
4 1
a
0,5đ
Với a nguyên, a 0 và a 4 ; a 9 thì A có giá trị nguyên khi và
chỉ khi a 3 là ớc của 4
0,25đ
Do đó a 3 nhận các giá trị 1 ; 2; 4 1; 0,5đ
Bài 2 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Thay a = 2 vào hệ phơng trình đợc:
1 2 2
2 2
2
y x y x
0,25đ
2 2 2
2
4
2 2
2
y
x
y
2 2
2
2 2 3 )
4
2
(
y
x
Tìm đợc
4 2
2 2 3
Tìm đợc
4 2
2 3 2
b, (2 điểm)
Từ x – y = 1 y = x – 1 thay vào hệ PT đợc
1 )
1 ( 2
) 1 ( 2
a x
x
a x
2 2 )
2
(
a
x
a x
a
Bài 3 (3 điểm)
(b+c+d)2 = b2 + c2 + d2 + 2bc +2cd + 2bd 0,25đ
mà (b – c )2 0; (c - d )2 0;(d - b )2 0;
b2 + c2
2bc; c2 + d2
2cd; d2 + b2
2bd;
0,75đ
Từ đó (b+c+d)2
Tìm đợc 1 a
2
do đó a có thể nhận giá trị lớn nhất là
2
Trang 3Bài 4 (4 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có AKB = 900 (0,25đ); KAB = KBH (0,25đ);
Xét AKB vuông tại H có
KA = AB cos = 2R cos (0,25đ);
KB = AB sin = 2R sin (0,25đ);
Xét KHB vuông tại H có
KH = KB sin (0,25đ) = 2R sin2 (0,25đ);
b, (1 điểm)
Vẽ KO; KC AB xét KCO vuông tại C có OC = OK cos2 (0,5đ);
Lập luận có KH = CB (0,25đ) = R - Rcos2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ);
c, (1,5 điểm)
Theo câu a có KH = 2R sin2 theo câu b có KH = R(1 - cos2 )
(0,25đ);
nên 2R sin2 = R(1 - cos2 ) (0,25đ) do đó cos2 = 1 - 2sin2 (0,25đ);
Mặt khác áp dụng định lí Pitago vào tam giác AKB vuông tại K chứng
minh đợc
sin2 + cos2 = 1 nên sin2 = 1 - cos2 (0,25đ);
Từ đó có cos2 = 1 – 2(1 – cos2 ) = 2 cos2 - 1 (0,5đ);
Bài 5 (4 điểm)
a, (2 điểm)
Chứng minh đợc IAK đồng dạng với IBA (0,5đ)
IA2 = IK.IB , mà I là trung điểm của AM
nên IM2 = IK.IB (0,5đ)
Chứng minh đợc MIK đồng dạng với BIM (1đ)
b, (1điểm)
Từ câu a IMK = MBI , lại cóMBI = BCK(0,5đ);
IMK = BCK BC // MA(0,5đ);
c, (1 điểm)
H là trực tâm của MAB
tứ giác AOBH là hình thoi (0,5đ);
AH = AO =R H (A;R) cố định
================================================
=
Chú ý:
1.Trong mỗi bài và mỗi câu HS có thể làm cách khác và lập luận
chặt chẽ thì đúng đến đâu cho điểm tơng ứng đến đó
2 Điểm của toàn bài thi không làm tròn
x
H K
C
A
C
K I
O
B
x M
A
