Tài liệu DE+DAP AN THI HSG HUYEN TOAN 9

PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học : 2009-2010 MÔN : Toán Thời gian: 150 phút (Đề thi này gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1.(3 điểm) Cho biểu thức: ( ) 2 2 2 2 1 1 2 : ; 0; 1; 1 2 1 1 x x x x P x x x x x x x x x   + + − = − + ≠ ≠ ≠ −  ÷ − + − −   a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x >1. Câu 2. (3 điểm) Rút gọn biểu thức: a) 1 1 1 1 : ( 0; 1 1) 1 1 1 1 a a a a A a a a a a a     + − + − = + − ≠ − < <  ÷  ÷  ÷  ÷ − + − +     b) 1 1 ( 1) . ( 0) a B a a a a a a − = − + − + < Câu 3. (3 điểm) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + Câu 4. (3 điểm) Giải phương trình: 2 2 1 7 1 4 x x x x x x + + + = + + Câu 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 60 cm. Trên đoạn BC lấy điểm D cách B một khoảng 20 cm. Đường trung trực của AD cắt AB tại E, cắt AC tại F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF. Câu 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, có trực tâm là H. Qua H vẽ một đường thẳng cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho HD = HE. Qua H vẽ đường thẳng khác vuông góc với DE và cắt BC tại M. a) Chứng minh BM HM AH HE = b) Chứng minh M là trung điểm của BC. --------------------------HẾT----------------------------- Mã ký hiệu T-DH01-HSG9-09 PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học : 2009-2010 MÔN : Toán (Hướng dẫn chấm gồm 02 trang) Câu Cách giải, đáp số Điểm TP 1 (3 điểm) a) 1 điểm 2 2 ( 1) ( 1)( 1) 2 : ( 1) ( 1) x x x x x x P x x x + + − + + − = − − 0,5 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 x x x x x x x x + − = × = − + − 0,5 b) 2 điểm Ta có: 2 1 1 2 1 1 x P x x x = = − + + − − 0,5 Với 1x > thì x-1; 1 1x − dương suy ra: 0,25 1 1 1 2 2. ( 1) 2 4 1 1 P x x x x = − + + ≥ − + = − − ( Theo bất đẳng thức cô-Si) 0,5 đẳng thức xảy ra 0( ) 1 1 2( ) 1 x ktm x x tm x =  ⇔ − = ⇔  = −  0,5 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2x = . 0,25 2 (3 điểm) a) 1,5 điểm 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) : 1 1 1 1 a a a a A a a a a     + − + −  ÷  ÷ = + −  ÷  ÷ − − − −     0,5 Do 0; 1 1a a≠ − < < nên 2 2 1 1 1 1 1 : 1 1 a a a a A a a a + + − + − + = = − − 1 b) 1,5 điểm 2 1 1 ( 1) . a B a a a a a − = − + − − 0,5 1 ( 1) ( 1) 1a a a a a a= − + − − − = − 1 3 (3 điểm) Với a,b,c dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-Si ta có: 2 2 2 1 1 2 2 2 a bc a bc a bc a bc a bc + ≥ = ⇒ ≤ + 0,25 Tương tự ta có: 2 2 1 1 1 1 ; 2 2 b ca c ab b ca c ab ≤ ≤ + + 0,5 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1) 2 2 2 2 bc ca ab a bc b ca c ab abc a bc b ca c ab + + ⇒ + + ≤ + + = + + + 1 Cũng theo bất đẳng thức Cô-si ta lại có: ; ; 2 2 2 a b b c c a ab bc ca ab bc ca a b c + + + ≤ ≤ ≤ ⇒ + + ≤ + + (2) 1 Từ (1);(2) suy ra Mã ký hiệu T-DH01-HSG9-09 2 2 2 1 1 1 2 a b c a bc b ca c ab abc + + + + ≤ + + + Điều phải chứng minh. 0,25 4 (3 điểm) Do 0x > . Áp bất đẳng thức Cô-si ta có vế trái của phương trình là: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x + + + + + ≥ × = + + + + (1) 1 Mặt khác về phải của phương trình là : 7 2 4 < (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra: VT > VP. Vậy phương trình vô nghiệm. 1 5 (4 điểm) • Vẽ hình đúng 0,25 • Đặt EA = ED = x(cm); Dựng DH ⊥ AB tại H. Ta có ∆ BHD vuông tại H; µ 0 60 ; 20B BD cm= = 0,25 10 ; 10 3 50 ; 50 ( ). BH cm DH cm AH cm EH x cm ⇒ = = ⇒ = = − 0,25 0,25 Và ∆ EHD vuông tại H 2 2 2 2 2 2 (50 ) (10 3) 28( ) 28( ) ED HE HD x x x cm DE cm ⇒ = + ⇒ = − + ⇒ = ⇒ = 0,5 • Tương tự ta tính được DF = 35(cm) 1,25 • Dựng EI ⊥ AC tại I. ∆ AIE vuông tại I; µ 0 60 ; 28( )A AE cm= = 0,25 14( ); 14 3( )AI cm EI cm⇒ = = 0,25 21( )IF AF AI DF AI cm⇒ = − = − = 0,25 ∆ EIF vuông tại I 2 2 2 FE IE FI⇒ = + 0,25 Từ đó ta tính được 7 21( )FE cm= 0,25 6 (4 điểm) a) 2 điểm Xét ∆ BMH và ∆ AHE có · · HBM HAE= ( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) · · BMH AEH= ( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) ( )BMH AHE g g⇒ ∆ ∆ −: 0,5 0,5 0,5 BM HM AH HE ⇒ = (1) 0,5 b) 2 điểm Xét ∆ CMH và ∆ ADH có · · HCM DAH= ( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) 0,5 · · CHM ADH= ( Cùng phụ với 2 góc đối đỉnh) 0,5 CHM ADH ⇒ ∆ ∆ : 0,25 CM HM AH HD ⇒ = (2) 0,25 Từ (1);(2) Và HD = HE BM CM BM CM AH AH ⇒ = ⇒ = Hay M là trung điểm của BC 0,5 . KỲ TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học : 20 09- 2010 MÔN : Toán Thời gian: 150 phút (Đề thi này gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1.(3 điểm). --------------------------HẾT----------------------------- Mã ký hiệu T-DH01 -HSG9 - 09 PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ TRƯỜNG THCS QUANG KHẢI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học : 20 09- 2010 MÔN : Toán (Hướng