hsg de+dap an

Đề Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học: 2008-2009 Môn: toán Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A(x)= 2 2 1 2 x x + + Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phơng trình 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y + = + = + Câu 3: (2 điểm) Giải các phơng trình sau: a. 2 2 6 9 1x x x + = + b. 3 2 4 29 24 0x x x+ + = Câu 4: (2 điểm) Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của x: 4 3 4 3 2 1 2 1 x x x x x x x + + + + + Câu 5: (2 điểm) Cho hai số xy sao cho x > y; xy = 1 Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + Câu 6: (2 điểm) GiảI các phơng trình sau: a. 2 2 1 1 3 1 2x x + = ữ ữ + + b. 2 2 2 2 6 9 0x xy y x+ + + = Câu 7: (2 điểm) Chứng minh rằng diện tích của một hình chữ nhật bất kỳ nội tiếp trong một tam giác không lớn hơn nửa diện tích của tam giác đó. Câu 8: (2 điểm) Cho tam giác ABC, một điểm Q năm trong tam giác, từ Q kẻ các đờng song song với các cạnh của tam giác. Các đờng này chia tam giác thành 6 phần trong đó có ba phần là ba tam giác với diện tích: S 1 ; S 2 ; S 3 . hứng minh rằng: S ABC = 2 1 2 3 ( )S S S+ + Câu 9: (2 điểm) Cho biểu thức f(x,y) = x 2 + 26y 2 -10xy + 14x 76y + 11 Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Câu 10: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và 1980x y+ = ----------------- Ht ---------------- 1 S : 9 Đáp án: Môn toán học sinh giỏi môn toán Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá tri nhỏ nhất nếu có của biểu thức: A(x)= 2 2 1 2 x x + + (1) Giải: (1) 2 2 2 2 1 2 2 1 0Ax A x Ax x A+ = + + + = Xét: A=0 thì x= 1 2 Xét: A 0 2 4 4 (2 1) 4 8 4 0A A A A = = + = 2 2 1 0A A = 1 8 9; 3 = + = = 1 2 1 1; 2 A A = = Vậy A max = 1 khi x = 1 A min = 1 2 khi x = -2 Câu 2: Giải hệ phơng trình: 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y + = + = + Giải: Ta có: 3 3 5 5 2 2 1x y x y x y + = + = + 3 3 3 3 5 5 2 2 3 3 2 2 1 1 ( )( ) ( ) 0 x y x y x y x y x y x y x y + = + = + = + + + = Sảy ra các trờngg hợp: Trờng hợp a: 3 3 0 1 1 0 x x y y xy = + = = = hoặc 0 1 y x = = Trờng hợp b: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 0 x y x y y y x y x y x y + = + = + = + = = = hệ vô nghiệm Vậy nghiệm của hệ là: 0 1 ; 1 0 x x y y = = = = Câu 3: Giải các phơng trình sau: Giải: Câu a: 2 2 2 2 2 6 9 1 ( 3) 1 3 1x x x x x x x + = + = + = + *Xét x 3 2 3 4 0 x x x + = ta có 1 16 15 0 = = < phơng trình vô nghiệm *Xét x < 3 2 3 1 8 9; 3 2 0 x x x < = + = = + = 1 2 1; 2x x = = Vậy phơng trình có nghiệm: x 1 = 1 ; x 2 = -2 Câu b. Giải phơng trình: x 3 + 4x 2 - 29x + 24 = 0 (1) Giải: Ta có: (1) 3 2 2 2 5 5 24 24 0 ( 1) 5 ( 1) 24( 1) 0x x x x x x x x x x + = + = 2 2 1 1 0 ( 1)( 5 24) 0 3 5 24 0 8 x x x x x x x x x = = + = = + = = Vậy nghiệm của phơng trình là: x 1 = 1 ; x 2 = 3 ; x 3 = -8 2 Câu 4: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của x. A= 4 3 4 3 2 1 2 1 x x x x x x x + + + + + (1) Giải: Ta có: A 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + = = = = + + + + + + + + Ta có 2 ( 1) 0x + với x R 2 1 0;x x R+ > Vậy A 0 với x R ( đpcm) Câu 5: Cho hai số x > y ; xy=1 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + (1) Giải: Đặt x 2 = a ; y 2 = b ; 1;( 0; 0)ab a b = theo bất đẳng thức côsi ta có: a + b 2 2 0ab a b + vì x > y 2 0a b + > Ta có: (1) 2 2 2 2 ( ) 8 8 16 ( 4) 8 0 2 2 2 a b a b a b a b a b a b a b + + + + = = + + + Vì 2 ( 4) 0; 2 0a b a b+ + > Vậy suy ra điều phải chứng minh (1) 2 2 2 2 ( ) 8 ( ) x y x y + (đpcm) Câu 6: Giải các phơng trình sau: a. 2 2 1 1 3 1 2x x + = ữ ữ + + (1) b. 2x 2 + 2xy + y 2 6x + 9 = 0 (2) Giải: Câu a: Ta có: 2 2 1 1 2 1 2 (1) 3 3 1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)x x x x x x x x + = + = ữ ữ + + + + + + + + Đặt 1 ( 1)( 2) t x x = + + Ta có phơng trình : t 2 + 2t 3 = 0 Giải phơng trình ta đợc: t 1 = 1 ; t 2 = -3 Với: t = 1 ta có 2 1 1 ( 1)( 2) 1 0 3 1 0 ( 1)( 2) x x x x x x = + + = + + = + + Giải phơng trình: 1 2 3 5 3 5 ; 2 2 x x + = = Với: t = -3 ta có 2 1 3 3( 1)( 2) 1 3 9 7 0 ( 1)( 2) x x x x x x = + + = + + = + + Giải phơng trình: 3 0 = < do đó phơng trình vô nghiệm Vậy nghiệm của phơng trình là: 1 2 3 5 3 5 ; 2 2 x x + = = Câu b: Ta có: 2x 2 + 2xy + y 2 -6x + 9 = 0 2 2 2 2 2 2 6 9 0 ( ) ( 3) 0x xy y x x x y x + + + + = + + = Tacó: 2 ( ) 0x y+ với ;x y R 2 ( 3) 0x với x R 0 3 3 0 3 3 x y x y x x x y + = = = = = = Vây phơng trình có nghiệm: x=3 ; y=-3 3 H PQ N M CB A S3 S2 S1 Q C 2 C 1 B 2 B 1 A 2A 1 C B A Câu 7: Chứng minh rằng diện tích của một hình chữ nhật bất kỳ nội tiếp trong một tam giác không lớn hơn nữa diện tích tam giác đó. Giải: Gọi diện tích của tam giác ABC là S, diện tích của hình Chữ nhật MNPQ là S 1 ; ;M AB N AC P,Q BC Ta c/m: 1 1 2 S S Kẻ đờng cao 1 . 2 AH BC S AH BC = (1) 1 .S NM MQ= (2) Ta có MQ//AH ; NM//BC (vì MNPQ là hình chữ nhật ) Do đó ta có: AM MQ AB AH = (3) ; BM MQ BA AH = (4) 2 2 2 2 2 2 . . 1 1 1 1 . . . 2 4 4 MN MB AM BM AM BM AB AM BM BC AH AB AB AB AB + = = = = ữ . 4 .AH BC MN MQ 1 2 4 2 ABC MNPQ MNPQ ABC S S S S Hay 1 1 2 S S (đpcm) Câu 8: Cho tam giác ABC, một điểm Q nằm trong tam giác. Từ Q kẻ các đờng song song với các cạnh của tam giác. các đờng này chia tam giác thành 6 phần trong đó có ba phần là ba tam giác với diện tích: S 1 ; S 2 ; S 3 . Chứng minh rằng: 2 1 2 3 ( ) ABC S s S S = + + Giải: Kẻ các đờng: A 1 A 2 //BC ; B 1 B 2 //AC ; C 1 C 2 //AB Gọi: 1 2 1 2 1 2 1 2 3 ; ; QB C QC A QA B S S S S S S = = = Ta có: QA 1 //BB 1 ; QC 2 //BB 2 Suy ra: QA 1 BC 2 là hình bình hành Do đó: QA 1 =BC 2 ; QC 2 =BA 1 Suy ra: 1 2 1 2 1 2 A BQ C BQ BA QC S S S = = W (*) Mà: QA 1 //BB 1 do đó ta có: 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 BC Q BC Q S QA B Q BC BB B B BB S S = = = + (1) Mặt khác: QC 2 //BB 2 do đó ta có: 1 1 2 1 1 2 1 2 2 3 BA Q BA Q S QC B Q BA BB B B BB S S = = = + (2) Ta cộng các vế của các đẳng thức ta đợc: 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 1 1 2 BQC BQA BQC BQA S S QB QB QB QB S S S S B B B B B B + + = + = + + = 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 .( ) .( ) ( )( ) . . . . . . . . . . (2*) BQC BQA BQA BQC BQc BQA BQC BQA BQC BQA BQC BQA BQC BQA BQC BQA BQC BQA S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S + + + = + + + + + = + + + = Từ (*) và (2*) ta có: 2 2 1 3 . BQC S S S = (3) Mà: 1 2 2 1 2 2 2 2 4 BA QC BQC BA QC BQC S S S S = = W W (4) Từ (3) và (4) ta suy ra: 1 2 1 2 2 1 3 1 3 4 . 2 . BA QC BA QC S S S S S S= = W W (5) Tơng tự ta cũng chứng minh đợc: 2 1 2 3 2 . AB QC S S S= W (6) 1 2 1 2 2 . CB QA S S S= W (7) 4 Từ (5), (6) và (7) Ta có: 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 ( ) 2 . 2 . 2 . ( ) ABC ABC S S S S S S S S S S S S S S + + = + + = + + (đpcm) Câu 9: cho biểu thức f(x,y) = x 2 + 26y 2 10xy + 14x 76y + 11 Tìm giá trị x;y để f(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất hoặc nhỏ nhất. Giải: Ta có: f(x,y) = x 2 + y 2 + 25y 2 10xy 6y 70y + 9 +14x + 2 = (x 2 10xy + 25y 2 ) + (y 2 - 6y + 9) + (14x 70y) + 2 = (x-5y) 2 + (y-3) 2 + 14(x 5y) +2 Đặt: t = x 5y Ta có: f(x,y) = t 2 + (y 3) 2 + 14t + 2 = (t + 7) 2 + (y 3) 2 47 - 47 ( vì (t + 7) 2 0 với 2 ;( 3) 0t R y với y R ) Do dó: f(x,y) Min = - 47 khi t = -7 và y = 3 Với: t = - 7 Ta có: 5 7 8 3 3 x y x y y = = = = Vậy: f(x,y) Min = - 47 khi x = 8 ; y = 3 Câu 10: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho x < y và 1980x y+ = Giải: Ta có: 1980 35.55 6 55 6 55x y= = + = do đó ;x y phải là số vô tỉ dạng: 55; 55a b Ta có: 55 55 6 55a b+ = ;a,b N Do đó: (1): a = 0 ; b = 6 (2): a = 1 ; b = 5 ; (3): a = 2 ; b = 4 (4): a = 3 ; b = 3; (5): a = 4 ; b = 2; (6): a = 5 ; b = 1 ; (7): a = 6 ; b = 0 (1) Nếu: 0 0 0 6 1980 1980 x a x b y y = = = = = = (2) Nếu: 55 1 55 5 1375 5 55 x a x b y y = = = = = = (3) Nếu: 2 55 2 220 4 880 4 55 x a x b y y = = = = = = (4) Nếu: 3 55 3 495 3 495 3 55 x a x b y y = = = = = = (5)Nếu: 4 55 4 880 2 220 2 55 x a x b y y = = = = = = (6) Nếu: 5 55 5 1375 1 55 55 x a x b y y = = = = = = (7) Nếu: 6 55 6 1980 0 0 x a x b y o y = = = = = = 5 . Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 Năm học: 2008-2009 Môn: toán Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ