đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 Năm học: 2006 2007 Thời gian : 150 phút Câu1: Cho hàm số: y = 12 2 + xx + 96 2 + xx a.Vẽ đồ thị hàm số b.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị x tơng ứng c.Với giá trị nào của x thì y 4 Câu2: Giải các phơng trình: a 2 4129 xx + = 4 b 28183 2 + xx + 45244 2 + xx = -5 x 2 + 6x c 3 32 2 + + x xx + x-1 Câu3: Rút gọn biểu thức: a A = ( 3 -1) 128181223.226 +++ b B = 2112 1 + + 3223 1 + + + 2006200520052006 1 + + 2007200620062007 1 + Câu4: Cho hình vẽ ABCD với điểm M ở bên trong hình vẽ thoả mãn MAB =MBA=15 0 Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ. a Tính góc AMN . Chứng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD đều Câu5: Cho hình chóp SABC có SA SB; SA SC; SB SC. Biết SA=a; SB+SC = k Đặt SB=x a Tính V hchóp theo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất. đápán chấm Câu1: ( 4điểm) Câu a : (2đ) 4 2x nếu x 1 * Đa đợc về hàm số y= { 2 nếu 1 x 3 ( 1đ ) 2x 4 nếu x 3 * Vẽ đợc đồ thị hàm số nh hình vẽ : 1 điểm Câu b: 1điểm Dùng đồ thị tìm đợc Min y = 2 1 x 3 Câu c: 1 điểm Dùng đồ thị biết y 4 x 0; x 4 Câu2: Mỗi pt giải đúng: 1,5 điểm a/ 2 4129 xx + = 4 2 )23( x = 4 x23 = 4 ( 0,5đ) 3 2x = 4 hoặc 3 2x =-4 x = -1/2 hoặc x= 7/2( 0,75đ) Trả lời nghiệm của pt (0,25đ) b/ 28183 2 + x + 45244 2 + xx = -5 x 2 +6x Viết đợc: 28183 2 + x = 1)3(3 2 + x 1 45244 2 + xx = 9)3(4 2 + x 3 (0,75đ) -5 x 2 +6x= -(x-3) 2 + 4 4 1)3(3 2 + x =1 Để pt có nghiệm thì { 9)3(4 2 + x =3 x=3(1đ) -5 x 2 +6x = 4 Nghiệm của pt là: x=3 (0,25đ) c/ 3 32 2 + + x xx = x-1 3 )3)(1( + x xx =x-1 1 x = x-1 ( Vì 3 + x 0 do x 1 1 x (1- 1 x ) = 0 x =1; x=2 ( Thoả mãn đk) ( 1đ) Nghiệm của pt là x=1;x=2 (0,25đ) Câu3: (4điểm) a Biến đổi đợc A = ( 3 -1)( 3 +1)=2 (2đ) b Đa ra đợc đẳng thức vận dụng và CM 1)1( 1 +++ kkkk = k 1 - 1 1 + k (0,75đ) áp dụng: B= . 3223 1 2112 1 + + + + + 2006200520052006 1 + + 2007200620062007 1 + = 1 1 - 2 1 + 2 1 - 3 1 + . + 2006 1 - 2007 1 = 1 1 - 2007 1 = 2007 12007 (1,25đ) Câu4: (3,5điểm) B C Câu a:(2đ) * CM đợc AMN=BMN(c.c.c) Để suy ra AMN = 1/2 AMB=1/2 (180 0 2MAB) N M Hay AMN = 1/2(180 0 -2.15 0 ) = 75 0 (1đ) CM đợc AMN=AMD(c.g.c) ( 1đ) A D Để suy ra MD =MN Câub: (1,5đ) BMN=BMC(c.g.c) Suy ra : MC = MD MCD cân tại M Tính đợc góc MCD = 60 0 để suy ra MCD đều Câu5: (4điểm) Câu a: (2đ) Vì SA SB, SA SC A Nếu SA mp(SBC)( 1đ) B SA là đờng cao của hình chóp a x Ta có: V = 1/3SA. 1/2SB.SC (1đ) =1/6ax(k-x) Câu b: ( 2đ) S Ta thấy: x + ( k-x) = k không đổi Nên x( k-x) lớn nhất khi và chỉ khi x= k-x x= k/2 ( 1đ) Khi đó thể tích hình chóp lớn nhất bằng C MaxV = 1/6 . a.k/2.k/2 = 1/24ak 2 Vậy thể tích hình chóp lớn nhất khi SB = SC = k/2 ( 1đ) Chú ý: Mọi cách giải thích khác đều đợc điểm tối đa . đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 Năm học: 2006 2007 Thời gian : 150 phút Câu1: Cho hàm số: y = 12 2 + xx + 96 2 + xx a.Vẽ đồ thị hàm số