HSG de dap an

Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.[r]

§Ị thi häc sinh giái cÊp hun Môn: Toán lớp

Thời gian: 150 phút Câu 1: (4điểm) Giải phơng trình sau:

a 4

  x

x + x2 25 10x



 =

b x2 x + x x =

Câu 2: (3điểm)

a Cho hm số: y = (m-2)x + Vẽ đồ thị hàm số m =

b Với giá trị m hàm số đồng biến? nghịch biến? Đồ thị hàm số song song với trục hoành

c Chứng minh rằng: Đờng thẳng y = (m-2)x + luôn qua điểm cố định với giá trị m

C©u 3: (6điểm)

a Tìm giá trị lớn A = x + 2 x

b Cho: x 1 y2

 + y 1 x2 =

Chøng minh r»ng: x2 + y2 = 1.

c Chøng minh r»ng víi sè a, b, c dơng thoả mÃn điều kiện a + b + c = ta lu«n cã :

8 ) 1 )( 1 )( 1

(    

c b

a

Câu 4: (5điểm)

Cho tam giỏc u ABC Gi M trung điểm BC Lấy P cạnh AB Q cạnh AC cho PMQ = 600.

a Chứng minh rằng: MBP QCM Từ suy PB CQ có giá trị khơng

đổi

b KỴ MH  PQ Chøng minh r»ng MBP QMP vµ QCM QMP

c Chứng minh rằng: Độ dài MH không đổi PQ chạy AB, AC nhng góc PMQ = 600.

C©u 5: (2®iĨm)

Hình chóp SABC có mặt đáy mặt bên tam giác cạnh 10cm Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp

Đáp án biểu chấm:

Câu 1: (4điểm)

a Biến đổi đa phơng trình dạng:

2



x + x = (0,75điểm).

Giải phơng trình trờng hợp (0,75điểm).

(Mỗi trờng hợp cho 0,25điểm)

b Điều kiện: x (0,5điểm).

Bình phơng hai vế biến đổi dạng:

x



2 = – x (0,5®iĨm).

Tìm đợc: x  (0,5điểm).

Kết hợp đợc điều kiện: 1 x  (0,5im).

Câu 2: (3điểm)

a Xỏc nh đợc giao với hai trục toạ độ (0,5điểm).

Vẽ đợc đồ thị (0,5điểm).

b m > (đồng biến), m < (nghịch biến), m = (1điểm).

c Giả sử đờng thẳng qua điểm M cố định M(x0; y0) với m là:

y0 = (m – 2)x + víi mäi m (0,5®iĨm).

M(0; 2) (0,5điểm).

Câu 4: (5điểm)

a Vẽ hình cân đối, ghi giả thiết, kết luận (0,5điểm).

ChØ ra: CMQ = BPM = 1200 – BPM (0,5®iĨm).

MBP QCM  BM.CQ = BM.CM

(0,5®iĨm).

MB = MC =

2

BC

 BM.CM =

4

2

BC

không đổi (0,5điểm).

b MBP QCM  CMBP QMMP

CM = BM  MPBP MQMB (0,5®iĨm).

 MBP QMP

(0,25®iĨm).

MBP QCM vµ MBP QMP

(0,5®iĨm).

 QCM QMP (0,25®iĨm).

c Từ câu b BPM = QPM Câu 3: (6điểm)

a Đặt x = y (y 0) y2 = – x (0,5®iĨm)

A = – y2 + y = -(y -

2

)2 +

4



Max A =

4

t¹i y =

2

 x =

4

(0,5®iĨm)

b Tõ gi¶ thiÕt  x 1 y2

 = - y 1 x2 (0,5điểm) Bình phơng vế biến đổi dạng:

x2 = – 2y 1 x2

 + y2 (1®iĨm)

 (y -

1 x ) = (0,25®iĨm)

 y = 1 x2

  x2 + y2 = (0,25®iĨm) c Tõ a+ b + c =  b + c = - a

a + c = – b

a + b = – c (0,5®iĨm)

Biến đổi: (1  1)(11)(1 1)

c b

a =   

          c b c a b c b a a c a b

(1®iĨm)

áp dụng bất đẳng thức Cối cho số dơng ta có:

              c b c a b c b a a c a b

 22 22 22

c b a

c b

a = 8

Điều phải chứng minh (0,5điểm).

Câu 5: (2điểm)

Gọi H trung điểm cạnh AB

SH AB ; BH = 5cm (0,25®iĨm).

SH = 75 cm (0,25®iĨm).

SABC = 75 cm2 (0,25điểm). Stoàn phần = 20 75 cm2 (0,25®iĨm).

Gọi SO đờng cao hình chóp SO =

3

200 (cm) (0,25®iĨm).

V = 