Dạy học giới hạn ở lớp 11 thpt theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh

Dạy học giới hạn ở lớp 11 thpt theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-    -

VŨ THỊ HẠNH

DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH

HỌC SINH

(THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN)

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên - 2008

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-    -

VŨ THỊ HẠNH

DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH

HỌC SINH

(THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN)

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TOÁN

MÃ SỐ: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC UY

THÁI NGUYÊN - 2008

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo- TS Nguyễn Ngọc Uy,

người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Phương pháp giảng dạy Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường THPT Trại Cau đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình

Thái nguyên, tháng 9 năm 2008

Vũ Thị Hạnh

MỤC LỤC

Mở đầu 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Nhiệm vụ nghiên cứu 3

IV Giả thiết khoa học 3

V Phương pháp nghiên cứu 3

VI Cấu trúc luận văn 3

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 4

1.1 Tính tích cực của học sinh khi học môn toán 4

1.2.3 Những sai lầm thường mắc phải của học sinh 12

Chương 2 Dạy học giới hạn lớp 11 theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 17

2.1 Mục tiêu dạy học giới hạn lớp 11 THPT 17

2.2 Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn 17

2.2.1 Dạy học khái niệm 17

2.2.2 Dạy học định lý 21

2.2.3 Dạy học quy tắc 26

2.2.4 Dạy học bài tập 29

2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 47 2.3.1 Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập 48

2.3.2 Truyền thụ tri thức phương pháp qua 51

2.3.3.Kết hợp nhiều phương pháp trong giờ dạy 53

2.3.4 Khai thác và sử dụng phương tiện hợp lý có hiệu quả 63

2.3.5 Kiểm tra đánh giá 68

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 71

3.1 Mục đích thực nghiệm 71

3.2 Nội dung thực nghiệm 71

Một số giáo án dạy thực nghiệm giới hạn 71

3.3 Tổ chức thực nghiệm 106

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 107

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 108

Kết luận 110

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐH đất nước, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Cùng với thay đổi về nội dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học

Hội nghị TW khoá IV đặc biệt nhấn mạnh “Một trong những nhiệm vụ cần tập trung giải quyết từ nay đến năm 2010 là nâng cao chất lượng và hiệu quả của giáo dục Muốn vậy phải thực hiện đổi mới giáo dục toàn diện, đổi mới mạnh mẽ về nội dung, chương trình và phương pháp giáo dục theo hướng chuẩn hoá, hiện đại hoá”

Luật giáo dục năm 2005 chương II mục 2 điều 25 có ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lai niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” Và trong chương I điều 5 có ghi “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý trí vươn lên”

Đứng trước nhu cầu đó đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục đào tạo, dần dần khắc phục những tồn tại phổ biến của phương pháp dạy học cũ như: Thuyết trình tràn lan, GV cung cấp kiến thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố tìm tòi phát hiện Thầy áp đặt, trò thụ động, thiên về dạy, yếu về học, không kiểm soát được việc học Thay vào đó là sự đổi mới về phương pháp dạy học,

với những tư tưởng chủ đạo được phát triển dưới nhiều hình thức khác nhau như “Lấy học sinh làm trung tâm”, “Phương pháp dạy học theo hướng tích cực”,“Tích cực hoá hoạt động dạy và học”

Đây là một hướng đổi mới PPDH được đông đảo các nhà nghiên cứu, các nhà lí luận và các Thầy cô giáo quan tâm Việc vận dụng phương pháp này vào dạy học môn toán còn gặp rất nhiều hạn chế, còn có những vấn đề cần phải nghiên cứu áp dụng một cách cụ thể Trong các vấn đề đó có vấn đề dạy học giới hạn ở trường THPT Trong giải tích toán học thì khái niệm giới hạn giữ vai trò trung tâm Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng nó chứa đựng nhiều kiến thức, nhiều tư duy, nhất là tư duy trừu tượng, tư duy logic… Trong đó thể hiện nhiều thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá…nó đòi hỏi phẩm chất tư duy như : Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì chịu khó

Mặt khác giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với HS THPT, hơn nữa phân phối chương trình giới hạn chiếm một thời gian rất ít nên việc nắm vững lí thuyết và vận dụng vào làm bài tập đối với HS là rất khó khăn, HS gặp không ít lúng túng sai sót khi làm bài tập

Vì những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:

“Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh ở trường THPT trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay Vận dụng các biện pháp đó vào phần dạy học giới hạn ở lớp 11 sách giáo khoa Đại số và Giải tích ban cơ bản,nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn toán ở trường THPT

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

+ Tìm hiểu cơ sở lí luận về dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh

+ Nghiên cứu thực trạng của học sinh khi dạy học giới hạn

+ Đề xuất những biện pháp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh khi dạy học giới hạn

+ Thực nghiệm sư phạm, thăm dò ý kiến, kiểm tra tính khả thi của đề tài

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh khi dạy học nội dung giới hạn thì sẽ làm cho học sinh hứng thú, chủ động, tích cực học tập, nắm vững kiến thức và phương pháp giải toán giới hạn Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán.

+ Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp.

+ Nghiên cứu SGK Đại số - Giải tích lớp 11 ban cơ bản và sách tham khảo.+ Điều tra tìm hiểu thực tiễn dạy học giới hạn ở trường THPT.

+ Thực nghiệm sư phạm

VI CẤU TRÚC LUẬN VĂN

+ Mở đầu

+ Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn

+ Chương 2 : Dạy học giới hạn lớp 11 THPT theo hướng phát huy tích cực hoạt động học tập của học sinh

+ Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm + Kết luận

Theo I.kodak : “Tính tích cực nhận thức được thể hiện bằng nhiều biểu hiện như sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng mạnh mẽ, sự phân tích tổng hợp sâu sắc”

Theo I.F.Kharlamôp: “Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể nghĩa là người hành động Vậy tính tích cực của nhận thức là trạng thái hoạt động đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức” và “Sự học tập là trường hợp riêng của nhận thức, một sự nhận thức đã được làm cho dễ dàng hơn và thực hiện được dưới sự chỉ đạo của giáo viên”

Vì vậy khi nói đến tính tích cực của nhận thức là nói đến tính tích cực học tập Cũng có những ý kiến cho rằng: “Tính tích cực học tập và tính tích cực nhận thức có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất, tính tích cực học tập là hình thức bên ngoài của tính tích cực nhận thức”

Như vậy hiểu một cách đầy đủ, tính tích cực nhận thức là thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự huy động ở mức độ cao chức năng tâm lí, nhằm giải quyết vấn đề học tập nhận thức Nó là mục đích hoạt động, là phương tiện, là điều kiện để đạt được mục đích,đồng thời là kết quả của hoạt động học tập Nó là phẩm chất nhân cách một thuộc tính của quá trình nhận thức,làm cho quá trình nhận thức luôn đạt kết quả cao giúp cho con người có khả năng học tập không ngừng

Tính tích cực học tập, vận dụng đối với HS đòi hỏi phải có nhân tố, tính lựa chọn thái độ với đối tượng nhận thức, đề ra cho mình mục đích nhiệm vụ cần giải quyết sau khi đã lựa chọn đối tượng, cải tạo đối tượng trong hoạt động sau này nhằm giải quyết vấn đề Hoạt động mà thiếu những nhân tố trên thì chỉ có thể nói: Đó là sự thề hiện trạng thái, hành động nhất định của con người mà không thể nói là tính tích cực của nhận thức

Ví dụ: Khi ngồi trong lớp học, GV có thể theo yêu cầu của HS là:Trật

tự,đọc sách, nhìn lên bảng, nghe giảng, ghi chép đầy đủ.Tuy nhiên nếu chỉ dừng ở đó, HS tiếp thu kiến thức một cách thụ động Bởi vì HS không thể hiện thái độ cải tạo đối với những điều đã nghe thấy, họ không hề động não, không có ý định suy ngẫm mối liên hệ giữa điều thấy được, nghe được với điều họ đã biết và tìm ra dấu hiệu mới sau này Ngược lại nếu HS chăm chú nghe giảng đào sâu suy nghĩ, chủ động tiếp cận kiến thức mới, thể hiện ở chỗ hăng hái phát biểu, biết nhận xét đúng sai khi nghe các ý kiến của các HS khác thì có thể nói rằng HS đó đã tích cực hoạt động học tập

Như vậy tính tích cực là kết quả của quá trình tư duy là mục đích cần đạt được của quá trình dạy học Có 3 mức độ tư duy khác nhau

+ Tư duy tích cực: HS chăm chú nghe giảng để hiểu bài.Nghiêm túc

thực hiện các yêu cầu của GV

+ Tư duy độc lập: HS tự mình tìm tòi suy nghĩ xây dựng khái niệm,

phân tích định lý…Trong quá trình học tập khi vấn đề được đặt ra HS chịu khó tự suy nghĩ tìm tòi cách giải quyết

+ Tư duy sáng tạo: Học sinh không chịu dừng lại ở cái chỗ đã biết mà

tìm tòi giải pháp mới hoặc tự khám phá vấn đề

Ba mức độ tư duy được biểu diễn bằng ba đường tròn đồng tâm,do đó khi soạn bài GV cần quan tâm đến cả 3 mức độ tư duy, nâng cao hay hạ thấp một cách linh hoạt tuỳ thuộc vào đối tượng HS cụ thể

Trong hoạt động học tập tính tích cực của nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, giúp HS hướng sự chú ý của mình vào hoạt động học tập, bồi dưỡng trí tò mò khoa học và lòng ham hiểu biết, hình thành nhu cầu nhận thức Vì thế HS có thể sẵn sàng dồn hết sức lực trí tuệ để hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập

1.1.2 Những cấp độ khác nhau của tính tích cực

Hoạt động của HS,tuỳ theo việc huy động chủ yếu những chức năng tâm lý nào và mức huy động những chức năng tâm lý đó, mà tính tích cực học tập của HS được phân hoá theo các cấp độ khác nhau Theo G.I.Sukina trong học tập tính tích cực được phân ra thành ba cấp độ khác nhau

+ Tính tích cực tái hiện và bắt trước: Là tính tích cực chủ yếu dựa

vào trí nhớ và tư duy tái hiện xuất hiện do các tác động bên ngoài (Các yếu tố bắt buộc của giáo viên)

Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt trước theo mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên trong theo cơ chế nhập tâm chưa có nỗ lực của tư duy Loại này thường phát triển mạnh ở HS có năng lực nhận thức ở mức độ trung bình và dưới trung bình Nhưng nó lại là tiền đề cơ bản giúp HS nắm được nội dung bài giảng có điều kiện nâng tính tích cực cao lên

Ví dụ 1: Để giúp học sinh biết cách giải một dạng bài tập, GV có thể

giải một bài tập mẫu lên bảng, HS dựa vào bài tập mẫu để giải quyết các bài tập tương tự cùng dạng đó

+ Tính tích cực tìm tòi: Là tính tích cực đi liền với quá trình lĩnh hội

khái niệm, giải quyết tình huống, tìm tòi các phương thức hành động,…Nó được được trưng bằng sự bình phẩm, phê phán, tìm tòi tích cực về mặt nhận thức, về sáng kiến, lòng khát khao hiểu biết, hứng thú học tập và được thể hiện ở sự tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội có hiệu quả Tính tích cực tìm tòi không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu của GV Trong

giờ học.loại này thường phát triển mạnh mẽ ở những HS có lực học trung bình và trên mức trung bình.( khá, giỏi)

Ví dụ 2: Đứng trước một bài toán, người học không chỉ dừng lại ở việc

giải được bài toán mà còn có nhu cầu tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất, đó là sự thể hiện tính tích cực tìm tòi

+ Tính tích cực sáng tạo: Là tính tích cực có mức độ cao nhất nó được

đặc trưng bằng sự khẳng định con đường riêng của mình không giống con đường mà con người đã thừa nhận, đã trở thành chuẩn hoá,để đạt được mục đích Nó thể hiện khi chủ thể nhận thức tìm tòi kiến thức mới Tự tìm ra những phương thức hành động riêng trong đó có các cách thức giải quyết mới mẻ, không dập khuôn máy móc

Ví dụ 3: Khi giải một bài toán người học thể hiện tính tích cực sáng tạo

ở việc cố gắng tìm cách giải bài toán bằng nhiều con đường khác nhau, nhiều phương pháp khác nhau, đó chính là thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau

Đối với học sinh THPT các em đang ở lứa tuổi hội tụ đầy đủ các yếu tố tâm lý, thể lực, khả năng làm việc độc lập có lòng khao khát thể hiện bản thân có ý thức tích luỹ kiến thức để phục vụ cuộc sống sau này.Điều cần thiết là phải vươn lên tới mức độ tìm tòi và sáng tạo đặc biệt là học sinh khá giỏi Dựa vào các cấp độ khác nhau của tính tích cực học tập của HS, GV có thể đánh giá tính tích cực ở mỗi HS khi học tập, tuy nhiên sự đánh giá đó còn tương đối khái quát Do vậy để nhận biết học tập của HS có tích cực hay không người GV thông qua một số dấu hiệu nhận biết sau:

1.1.3 Dấu hiệu nhận biết tính tích cực trong hoạt động học tập

+ Dấu hiệu về hoạt động nhận thức: Thể hiện ở các thao tác tư

duy,ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ tư duy hình thành khái niệm, phương thức

hành động, hình thành kỹ năng kỹ xảo các câu hỏi nhận thức của HS

+ Dấu hiệu chú ý nghe giảng: Thể hiện ở chỗ chú ý nghe giảng, thực

hiện đầy đủ các yêu cầu của GV, hoà nhập với không khí của cả lớp,giải đáp đầy đủ các yêu cầu của GV đưa ra nhanh chóng,chính xác và nhận biết đúng sai sau khi bạn đưa ra ý kiến

+ Dấu hiệu về tinh thần,tình cảm học tập: Thể hiện qua sự say mê sốt

sắng của HS khi thực hiện yêu cầu mà GV đặt ra: HS thích được trả lời câu hỏi, HS làm bài tập một cách hồ hởi tự nguyện

+ Dấu hiệu về ý chí,quyết tâm học tập: Thể hiện ở sự nỗ lực ý trí giải

quyết nhiệm vụ học tập, kiên trì tìm tòi đến cùng và cao hơn nữa là vạch ra được mục tiêu kế hoạch học tập

+ Dấu hiệu về kết quả nhận thức: Thể hiện ở kết quả lĩnh hội kiến

thức nhanh chóng chính xác và tái hiện được khi vận dụng trong các tình huống cụ thể

Ngoài các dấu hiệu dễ nhận biết như trên còn có các dấu hiệu khác khó nhận biết hơn như dấu hiệu nhận thức cảm tính dấu hiệu nhận thức lý tính, dấu hiệu sự biến đổi sinh lý tinh thần, dấu hiệu về trạng thái hoạt động …Vì vậy để có thể điều chỉnh phương pháp của mình sao cho phù hợp với đối tượng HS, người GV cần phải thu nhận các thông tin ngược từ học sinh

Tính tích cực học tập của học sinh tuy nảy sinh trong quá trình học tập nhưng nó lại là kết quả của nhiều nguyên nhân, có nguyên nhân được phát sinh trong lúc học tập, có nguyên nhân được hình thành trong quá khứ, thậm chí từ lịch sử lâu dài của nhân cách, nhưng nhìn chung tính tích cực trong hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào các yếu tố sau:

1.1.4 Những yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực học tập của học sinh

+ Hứng thú: Có vai trò rất lớn trong quá trình học tập của HS, khi HS

có hứng thú với đối tượng nào đó, họ thường hướng toàn bộ quá trình nhận thức của mình vào đối tượng, làm cho sự quan sát tinh nhậy hơn, ghi nhớ

nhanh chóng và lâu bền, tưởng tượng phong phú, tư duy tích cực góp phần

nâng cao tính tích cực học tập của HS

Hứng thú phát triển đến mức độ nào đó sẽ biến thành nhu cầu, HS thấy cần phải hành động để thoả mãn hứng thú đó và hành động hết sức tự giác, đầy sáng tạo mang lại hiệu quả cao

Với vai trò đó, khi được củng cố và phát triển một cách có hệ thống hứng thú đó sẽ trở thành cơ sở của thái độ tích cực đối với học tập, là một trong những động cơ quan trọng nhất của HS

+ Nhu cầu: Nhu cầu và hành động có quan hệ chặt chẽ với nhau, nhu

cầu thúc đẩy hành động là nguồn gốc của tính tích cực học tập

Có những lúc, nhu cầu là nguyên nhân nẩy sinh những hứng thú trực tiếp trong học tập (Ví dụ như nhu cầu được điểm tốt) Nhưng quan trọng hơn là nhu cầu tìm hiểu và vận dụng kiến thức vào thực tiễn, điều đó sẽ kích thích được HS thường xuyên hoàn thiện bổ xung tri thức trong quá trình học tập cũng như trong công việc lao động

+ Động cơ hoạt động: Được thúc đẩy bởi động cơ xác định và diễn ra

trong tình huống cụ thể Động cơ học tập sẽ làm cho HS có lòng khao khát được mở rộng tri thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập, nỗ lực vượt qua mọi khó khăn Động cơ học tập là nguyên nhân bên trong đã được học sinh ý thức trở thành động lực tâm lý nội tại, có tác dụng phát huy mọi sức mạnh về tinh thần và vật chất ở người HS, thúc đẩy họ học tập một cách tích cực Đồng thời động cơ học tập với tư cách là mục đích sẽ quy định chiều hướng tâm lý của hoạt động học tập

+ Năng lực: Là điều kiện về mặt trí tuệ giúp cho HS có khả năng lĩnh

hội với tốc độ nhanh, tức là có sự khái quát nhanh, trình độ phân tích tổng hợp cao với tính mềm dẻo của tư duy

+ Ý chí: Một trong những phẩm chất quan trọng của nhân cách con

thức các quy luật khách quan, tức là một biểu hiện của tính tích cực Ngược lại có tình cảm học tập và một số mặt tự phát của tính tích cực như: Tò mò yêu thích hoạt động sẽ kích thích được HS có ý thức tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức góp phần hình thành ý chí bản lĩnh cho HS.Vì vậy ý chí có sự liên hệ chặt chẽ với tính tích cực của học tập

+ Sức khoẻ: Là nền tảng cho tính tích cực học tập của HS, người có

sức khoẻ, thể lực phát triển thì tác phong cử chỉ nhanh nhẹn trạng thái vui tươi, cường độ hoạt động học tập cao, tập chung chú ý được lâu bền

+ Môi trường: Là một trong những nhân tố tác động mạnh mẽ tới tính

tích cực của nhận thức của HS, góp phần tạo cho HS những hứng thú học tập

1.1.5 Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh

Trong luật giáo dục 1998 chương 1 điều 2 quy định “Mục tiêu của giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc” Và chương 2 mục 2 điều 23 nêu rõ: “Giáo dục THPT nhằm giúp HS củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục THCS hoàn thiện học vẫn phổ thông và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học lên đại học và cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”

Bên cạnh đó nhiệm vụ cơ bản của trường THPT là đảm bảo cho HS lĩnh hội cơ sở khoa học một cách tích cực, tự giác và có hệ thống

Để thể hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ trên trong toàn ngành giáo dục cần có một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học một chiều sang dạy học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, làm cho “học” là quá trình kiến tạo HS tìm tòi khám phá,phát hiện nguyên nhân, khai thác và xử lí thông tin…tự hình thành hiểu biết năng lực và phẩm chất.Tổ chức hoạt động

cho học sinh là dạy cho HS cách tìm ra chân lý chú trọng hình thành các năng lực Dạy tri thức phương pháp và kỹ thuật khoa học, dạy cách học, học để đáp ứng nhu cầu cuộc sống hiện tại và tương lai Những điều đã học cần thiết bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát triển của xã hội

1.2 Phân tích thực tế dạy học giới hạn ở trường THPT

1.2.1 Thuận lợi

- Các khái niệm cơ bản trong SGK được trình bày theo hướng phát huy

tính tích cực của học sinh, tức là xuất phát từ kiến thức cũ đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới

- Phân biệt rõ cho HS hiểu được khái niệm và chứ không trình bầy chung chung là như SGK cũ

- Các khái niệm giới hạn 0 giới hạn vô cực của dãy được đưa vào theo

con đường quy nạp Cụ thể qua các hoạt động khái niệm được mô tả nhờ vào các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó định nghĩa tổng quát dưới dạng mô tả làm cho HS dễ hiểu vấn đề hơn

- Các bài tập trong SGK tuy ít nhưng đa dạng, phong phú phù hợp với

trình độ học sinh

1.2.2 Khó khăn

Kiến thức: - Đây là một trong những chương khó của giải tích ở THPT

Các khái niệm về giới hạn, hàm số liên tục là hoàn toàn mới mẻ, trừu tượng

đối với HS THPT

- Cách tiếp cận khái niệm cũng khác trước đây, trong thời gian ngắn của

phân phối chương trình HS khó có thể hiểu một cách thấu đáo mọi vấn đề

- Trong chương trình SGK không đưa quy tắc tìm giới hạn dạng vô

định dẫn tới khó khăn cho GV khi dạy phần này

- Việc vận dụng quy tắc ở SGK rất khó, HS dễ nhầm khi gặp giới hạn

dạng này

Về tư duy: Trong các quá trình giải các bài toán về giới hạn đòi hỏi HS

phải vận dụng linh hoạt các quy tắc các phép biến đổi đại số, điều này không

phải HS nào cũng làm được

Phương pháp: Khi học phần này HS đôi khi phải sử dụng đến phương

pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá… để làm công cụ học tập Khả năng phân tích tổng hợp, so sánh trừu tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn tới việc

học giới hạn còn gặp không ít khó khăn

Kỹ năng: Đối với HS đã chọn học ban cơ bản thì kỹ năng biến đổi đại

số còn rất hạn chế dẫn tới tính giới hạn không đúng

1.2.3 Sai lầm thường mắc phải của học sinh

+ Sai lầm khi áp dụng sai định lý

Vậy HS sai lầm ở đâu? Cách giải đúng là gì?

Sai lầm ở chỗ học sinh hiểu sai định lí các phép toán về giới hạn.định lý này chỉ đúng cho hữu hạn số hạng, còn trong bài này tổng là vô hạn nên không thể áp dụng định lí đó được

Mà

x Học sinh giải như sau:

xx

+ Sai lầm khi học sinh tìm giới hạn bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 3: Tính

Học sinh tính như sau:

lim2 1 lim(2 1) 1

Lời giải ở trên sai lầm ở chỗ

+Áp dụng định lý về các phép toán về giới hạn là sai vì tử số và mẫu số không có giới hạn hữu hạn

+Học sinh chưa hiểu rõ khái niệm vô cực, vô cực không phải là một số cụ thể mà chỉ là ký hiệu

Lời giải đúng là :

Lời giải trên sai ở chỗ khi viết x 1tức là x 1 và x 1

Vậy lời giải đúng là

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động, trong đó học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh Tính tích cực nhận thức là điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là trạng thái hoạt động của HS, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức

Tính tích cực học tập được nhận biết qua những dấu hiệu về nhận thức, xúc cảm, ý trí …và chia thành ba cấp độ : tính tích cực tái hiện và bắt chước,tính tích cực tìm tòi,tính tích cực sáng tạo

Muốn HS hoạt động học tập một cách tích cực,người GV cần thiết phải thúc đẩy được các yếu tố như :hứng thú,nhu cầu,động cơ,năng lực,… cho HS Trong thực tế dạy học ở THPT hiện nay, kỹ năng giải toán của HS nói chung cũng như kỹ năng giải bài tập về giới hạn nói riêng còn gặp rất nhiều hạn chế Để khắc phục tình trạng này,trong chương II của luận văn đề cập tới vấn đề dạy học giới hạn lớp 11 theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS

Chương 2

DẠY HỌC GIỚI HẠN LỚP 11 THPT

THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

2.1 Mục tiêu của dạy học giới hạn lớp 11 THPT

Khi dạy học chủ đề này GV phải làm cho HS nắm vững được các nội dung sau:

+ Các khái niệm về giới hạn của dãy số, của hàm số + Các định lí, tính chất về giới hạn của dãy số, hàm số

+ Các quy tắc phương pháp tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn một bên của dãy số, hàm số

+ Học sinh biết cách vận dụng các định nghĩa, tính chất,định lí, quy tắc để làm các bài tập về giới hạn và giải các bài toán thực tế trong đời sống

+ Qua chủ đề này, rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi đại số, lượng giác Rèn luyện tính tự giác, tích cực, độc lập phát hiện cũng như lĩnh hội được kiến thức Trong hoạt động học tập, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán

2.2 Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn

2.2.1.Dạy học khái niệm

Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học ở bất kỳ bộ môn nào ở trường THPT, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững trắc cho HS một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề để xây dựng cho HS khả năng vận dụng kiến thức đã học Quá trình hình thành khái niệm có tác dụng rất lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời góp phần phát triển thế giới quan cho HS

Việc dạy học khái niệm toán nói chung và dạy khái niệm giới hạn nói

+ Nắm vững được các đặc điểm, đặc trưng cho một khái niệm + Biết nhận dạng khái niệm

+ Biết phát hiện một cách chính xác, rõ ràng định nghĩa của một số khái niệm

+ Biết vận dụng khái niệm trong các tình huống cụ thể, trong hoạt động giải toán và ứng dụng thực tế

+ Biết phân loại khái niệm và nắm vững được nội dung quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong cùng một hệ thống khái niệm

Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chắt chẽ với nhau nhưng tùy từng khái niệm mà đặt ra các yêu cầu khác nhau Chẳng hạn đối với khái niệm giới hạn hữu hạn của một dãy số, đòi hỏi HS phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được định nghĩa trong khi làm bài tập Còn đối với khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, thì không đòi hỏi phải nêu được khái niệm một cách tường minh mà chỉ cần HS hình dung ra được khái niệm, một cách trực quan thông qua ví dụ cụ thể

Từ trước tới nay, giới hạn vẫn là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với học sinh THPT Do vậy GV, cần phải làm cho HS tiếp cận được khái niệm Đó là khâu đầu tiên, trong quá trình hình thành khái niệm giới hạn Thông thường,trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm bao gồm: Con đường suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết Tùy theo từng khái niệm cụ thể, mà GV nên chọn con đường hình thành khái niệm khác nhau

Ví dụ 1: Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau:

+ Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số (1) Dãy (un) với un 1n

n

(3) Dãy (un) với 1

unn n

(4) Dãy (un) với un 2n 1n

Trong hoạt động củng số khái niệm thường được tiến hành bằng các hoạt động sau:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm : Đây là hai dạng hoạt

động theo hai chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho vận dụng khái niệm

Sau khi học xong khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, HS làm bài tập sau:

Bài tập 1 : CMR lim 2 1 1

(Nhận dạng )

Bài tập 2 : Cho 1

un tìm lim(un) ( Thể hiện )

+ Hoạt động ngôn ngữ : Tức là GV cho HS phát biểu định nghĩa bằng lời

lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau, phân tích nêu bật những ý quan trọng chứa trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng Hoạt động này góp phần phát triển ngôn ngữ cho HS

Ví dụ 2: Học sinh có thể phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy

số theo các cách như sau:

Cách 1 : Dãy (un) được gọi là có giới hạn a nếu khoảng cách từ un đến a càng dần tới 0 khi n càng lớn

Cách 2 : Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu có thể làm cho un sai khác với a một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn n đủ lớn

Cách 3: Dãy số là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau

đây được thoả mãn: Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý ta đều có thể làm cho

Cách 4: Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn : Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý đều tồn tại N sao cho với mọi n >N ta đều có una

Cách 5: limuna (0); N,( nNuna )

+ Khái quát hóa đặc biệt hóa và hệ thống hóa

Ví dụ 3: Từ khái niệm về giới hạn hữu hạn của hàm số ta có thể mở

rộng ra khái niệm hàm số dần tới vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và khái niệm giới hạn một phía

Ví dụ 4 : Từ khái niệm giới hạn của dãy số bao gồm

Giới hạn 0 Giới hạn hữu hạn a Giới hạn vô cực của dãy Giới hạn của hàm số

+ Phân chia khái niệm

Khi dạy học khái niệm giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau:

Các định lý, cùng với các nội dung toán học tạo thành các nội dung cơ bản của môn toán,làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng suy luận, chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, việc dạy học định lý toán học nói chung và định lý về giới hạn nói riêng cần đạt được các yêu cầu sau:

+ Học sinh phải nắm được, hệ thống các định lý và mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào những hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn

+ Học sinh thấy được, sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng, trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực toán học

+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bầy chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ,để tìm ra cách chứng minh

Việc dạy định lý toán học có hai con đường khác nhau: Con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đường này được minh họa như sau:

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt ra

Con đường có khâu suy đoán

Con đường suy diễn Gợi động cơ phát biểu vấn đề

Củng cố định lý

Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện, mà tùy theo mỗi nội dung của định lý và tùy theo điều kiện cụ thể của HS, mà lựa chọn con đường nào cho thích hợp

Chẳng hạn, khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo con đường suy diễn, GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách cho HS làm bài tập sau:

Bài tập 1: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) với lim un = lim wn = L và

Hãy tìm limvn ?

HS có thể giải như sau:

Xuất phát từ giả thiết un vn wn suy ra 0vn un wn un *

Từ bài toán trên HS có thể suy diễn dẫn tới phát biểu thành định lý sau:

Định lý: Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) nếu *

Bài toán 2

Tìm 3sin 4coslim

(3sinn 4cos )n (3 4 )(sin n cos n) 25

3sinn 4cosn 5 5 3sinn 4cosn 5 vì n+ 1 > 0 nN*

Ví dụ 1: Từ định lý ở sách giáo khoa là :

“Giả sử

0lim ( )

xxf xL và

0lim ( )

xxf xL và

0lim ( )

lim ( ) ( ) n( ) n

hoặc cũng từ định lý “Nếu

0lim ( )

xxf xL và

0lim ( )

xxg xM thì 0

xxf x g xL M ” Ta có thể đặc biệt hóa như sau:

xx vi phạm điều kiệng x( )0trong định lý

Hoặc sau khi học xong định lý, GV có thể củng cố định lý bằng cách thành lập các mệnh đề đảo, phản, phản đảo rồi cho HS nhận xét xem các mệnh đề đó có đúng không

Ví dụ 3: Xét xem mệnh đề sau có đúng không :

Nếu hai dãy số( Un ) và ( Vn )đều không có giới hạn thì tổng của chúng cũng không có giới hạn

Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì :

Xét 2 dãy số Un = (-1)n và Vn = (-1)n+1 ta thấy rằng(U n )và (Vn )đều không có giới hạn nhưng

Lim(Un+Vn) = lim[(-1)n + (-1)n+1 ] = lim 0 = 0

Như vậy hai dãy số không có giới hạn nhưng tổng của chúng vẫn có thể có giới hạn

2.2.3 Dạy học quy tắc

Thực ra quy tắc không hoàn toàn đối lập với định nghĩa định lý có khi nó chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay một định lý Tuy nhiên việc dạy loại hình này có những nét riêng Trong luận văn này đề cập dạy học quy tắc để tìm giới hạn dựa trên khái niệm thuật giải

Hằng ngày, con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán,từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải và khái niệm này được dùng từ lâu kéo dài suốt mấy nghìn năm lịch sử toán học

Thuật giải, theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau hữu hạn bước

Ví dụ 1: Khi dạy cho HS quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số, GV

có thể hướng dẫn HS làm như sau: Gọi h(x) = f(x).g(x)

Để tính 0

xxf x g x ta tính Bước 1: Tính

0lim ( )

xxf x , 0lim ( )

xxg x

Bước 2: Nếu 0lim ( )

xxf x g x

Nếu 0lim ( )

Trong quá trình dạy học, ta cũng gặp một số quy tắc, tuy chưa mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực, khi chỉ dẫn hành động và giải toán, đó là những quy tắc tựa thuật giải

+ Cần trình bầy rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán trong một thời gian thích hợp

Ví dụ 3:

Bước 1: Nhận dạng giới hạn Ta thấy 21

0

+ Phân tích x2-1 = (x-1)(x+1)

+ Cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu trong thuật giải, hoặc quy tắc tựa thuật giải, nếu chủ thể không biết thực hiện các chỉ dẫn như vậy thì dù có thuộc quy tắc tổng quát cũng không áp dụng nó vào trong trường hợp cụ thể

x Nếu học sinh không biết là

x - 1 < 0 khi x < 1 Thì cũng không áp dụng được quy tắc tìm giới hạn

+ Cần cho HS thấy được và biết cách sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản để quyết định trình tự các bước

+ Thông qua dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS

Ví dụ 5:

Ta biết khi tính giới hạn dạng 0

0của hàm phân thức chứa căn đồng bậc thì ta khử dạng 0

0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp Dựa vào điều đã

biết đó học sinh có thể phát triển tư duy thuật giải cho trường hợp giới hạn dạng 0

0 của hàm phân thức có chứa căn không đồng bậc chẳng hạn như : Tìm

Hiện nay, quy tắc phương pháp như vậy thường không phải là đối tượng dạy học tường minh trong nhà trường, trong điều kiện đó những quy tắc phương pháp này thường được thực hiện theo hai con đường

+ Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động

+ Tập luyện cho HS hoạt động ăn khớp với quy tắc, phương pháp mà ta mong muốn họ biết thực hiện

Những quy tắc phương pháp tìm đoán chỉ là gợi ý, giải quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán, đảm bảo chắc chắn rằng sẽ dẫn tới thành công Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, cần rèn luyện cho HS mềm dẻo, linh hoạt biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết Sẽ không có gì đáng ngại, nếu HS không thành công khi áp dụng quy tắc, phương pháp nào đó Điều quan trọng là tới một lúc nào đó, họ phát hiện ra sự nhầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công Đó chính là học phát hiện và giải quyết vấn đề Đó chính là cách học, một yêu cầu căn bản đối với mục tiêu và phương hướng dạy học hiện nay

2.2.4 Dạy học giải bài tập giới hạn, các dạng bài tập về giới hạn

2.2.4.1 Vai trò của bài tập giới hạn

Bài tập giới hạn có vai trò rất quan trọng trong bộ môn giải tích ở THPT Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định

như: Nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến, những hoạt động

ngôn ngữ…

Khi dạy bài tập giáo viên cần phải hướng tới mục tiêu dạy học là:

+ Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng kỹ xảo, những khâu khác của quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng giới hạn vào thực tiễn

+ Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất của con người lao động mới

Những bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động liên hệ với nội dung nhất định một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho những tri thức nào đó đã trình bày trong lý thuyết

Phương pháp dạy học bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động để người học kiến tạo tri thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu dạy học khác, khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

2.2.4.2.Các yêu cầu đối với lời giải

Khi giải các bài tập về giới hạn yêu cầu phải có lời giải tốt tức là:

+ Lời giải phải có kết quả đúng, kể cả bước trung gian + Lập luận chắt chẽ

+ Lời giải đầy đủ + Ngôn ngữ chính xác

+ Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật

Ngoài ra còn có yêu cầu dành cho học sinh khá giỏi là: + Tìm ra nhiều lời giải, chon lời giải ngắn gọn hợp lý nhất + Nghiên cứu sâu lời giải

Trên đây là các yêu cầu đối với các câu hỏi tự luận, bốn yêu cầu đầu tiên là cơ bản, hai yêu cầu cuối dành cho học sinh khá giỏi, yêu cầu thứ 5 là yêu cầu về trình bầy

Ví dụ 1: Khi giải bài tập tính giới hạn

G lim 2n 222 2 HS giải như sau : Ta biết:

xH

Ta thấy lời giải trên chưa tốt vì nó vi phạm yêu cầu 1 và 3 của lời giải, sai lầm ở bước trung gian về biến đổi đại số dẫn tới kết quả sai

Trong thực tế dạy toán, tuỳ từng đối tượng mà dạy cho các em giải nhiều bài toán cùng một phương pháp hoặc hướng dẫn cho HS giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho học sinh tăng cường tính sáng tạo, độc lập suy nghĩ để tìm ra các lời giải mới

6 ( 6)( 2 2)2 4 1lim

4( 6)( 2 2)

Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

toán cụ thể, dần dần truyền cho các em kinh nghiệm, nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ,giúp họ tự tìm thấy lời giải của các bài toán khác.Với ý nghĩa đó, để tổ chức các hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài tập toán GV hình thành cho HS về cách thức giải bài toán theo bốn bước của G.Polya là :

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Bước 2: Tìm cách giải

Bước3: Trình bày lời giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

Khi dạy bài tập về giới hạn GV có thể phân dạng bài tập từ đó tìm ra phương pháp chung để giải mỗi dạng đó,cụ thể khi dạy phần bài tập về giới hạn GV có thể phân chia một cách tương đối thành các dạng sau:

Dạng 1: Sự tồn tại của giới hạn

Bài tập 1: CMR dẫy số Un = (-1)n không có giới hạn

Bài tập 2 :CMR Hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1

Bài tập 3: Cho hàm số f x( )sin1

x và xét giới hạn của hàm số khi x

dần tới 0 qua 2 dãy số xn sau dây:

Với x>1 Với x<1