VI. Cấu trỳc luận văn
1. 2 Thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT
3.2. Nội dung thực nghiệm
Xõy dựng một số giỏo ỏn giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phỏt huy tớnh tớch cực học tập của học sinh (Theo chương trỡnh sỏch giỏo khoa ban cơ bản).
Cỏc tiết dạy thực nghiệm bao gồm cỏc tiết dạy lý thuyết và dạy bài tập.Thể hiện cỏc tỡnh huống điển hỡnh với cỏc biện phỏp đó nờu ở chương II.
MỘT SỐ GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM Tiết 49: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A. Mục tiờu
1. Mục đớch sư phạm
Vận dụng cỏc biện phỏp tớch cực vào tỡnh huống dạy học khỏi niệm. Nhằm phỏt huy tớnh tớch cực của học sinh làm cho học sinh học trong hoạt động và bằng hoạt động.
2. Kiến thức
+ Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn 0, giới hạn a của dóy số + Nắm được cỏc giới hạn đặc biệt
3. Kỹ năng
+ Vận dụng định nghĩa, cỏc giới hạn đặc biệt, giới hạn hữu hạn để tỡm giới hạn của dóy số.
73
4. Thỏi độ
+ Tự giỏc tớch cực trong học tập
+ Tư duy cỏc vấn đề toỏn học một cỏch logic và cú hệ thống.
B. Chuẩn bị của giỏo viờn và học sinh
1 Học sinh :
+ ễn lại cỏc kiến thức về dóy số
+ Đọc trước phần 1 của bài giới hạn của dóy số
2. Giỏo viờn
+ Cỏc cõu hỏi gợi mở + Phiếu học tập
+ Bảng phụ, mỏy chiếu và cỏc đồ dựng khỏc.
C. Hoạt động dạy học
Hoạt động 1: Đảm bảo trỡnh độ xuất phỏt + Chia lớp thành 4 nhúm
+ Mỗi nhúm hoàn thành phiếu học tập của mỡnh Nhúm 1
Nhúm 2
Phiếu 2: Cho dóy số (vn) với v 2n 1
n n
a.Xột tớnh tăng giảm, bị chặn của (vn)
b. Biểu diễn cỏc số hạng của (vn) trờn trục số, cú nhận xột gỡ về sự sắp xếp cỏc số hạng của (vn) trờn trục số.
Phiếu 1: Cho dóy số (un) với un 1n
a.Xột tớnh tăng giảm, bị chặn của (un)
b. Biểu diễn cỏc số hạng của (un) trờn trục số, cú nhận xột gỡ về sự sắp xếp cỏc số hạng của (un) trờn trục số.
74
Nhúm 3
Nhúm 4
Học sinh
+ Cỏc nhúm hoàn thành phiếu học tập của mỡnh trong 5 phỳt + Cử đại diện trỡnh bày kết quả (dựng mỏy chiếu)
+ Cỏc nhúm khỏc nhận xột bổ xung vào kết quả của nhúm bạn khi cần GV Nhận xột bổ xung vào bài làm của học sinh và thụng bỏo đỏp ỏn đỳng (dựng mỏy chiếu)
Nhỡn vào hỡnh biểu diễn của (Un), (Vn),(Kn), ta thấy khi n càng tăng thỡ cỏc số hạng của (Un) càng càng dần sỏt tới 0, cỏc số hạng của (Vn) tiến sỏt tới 2, cỏc số hạng của (Kn) luụn tiến từ 2 phớa dần về 0.Khi đú ta núi rằng cỏc dóy số (Un), (Vn),(Kn) cú giới hạn hữu hạn khi n càng lớn. Vậy thế nào là giới hạn hữu hạn của dóy số.
Phiếu 3: Cho dóy số (Hn) với ( 1)n
Hn
a.Xột tớnh tăng giảm, bị chặn của (Hn)
b. Biểu diễn cỏc số hạng của (Hn) trờn trục số, cú nhận xột gỡ về sự sắp xếp cỏc số hạng của (Hn) trờn trục số.
Phiếu 4: Cho dóy số (Kn) với ( 1)2
n
K
n
n
a.Xột tớnh tăng giảm, bị chặn của (Kn)
b. Biểu diễn cỏc số hạng của (Kn) trờn trục số, cú nhận xột gỡ về sự sắp xếp cỏc số hạng của (Kn) trờn trục số.
75
I.Giới hạn hữu hạn của dóy số 1.Định nghĩa:
Hoạt động 2: Xõy dựng định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dóy số Xột dóy số (Un) với un 1n ( ở trờn)
Nhận xột khoảng cỏch từ (Un) tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nờn rất lớn?
+ Khoảng cỏch từ (Un) đến 0 trở nờn rất nhỏ, nhỏ hơn 1 số dương bộ tựy ý khi n rất lớn.
Với n bằng bao nhiờu thỡ khoảng cỏch từ (Un) tới 0 bằng 0,01; 0,0001; 0,0000001
+ Với n = 100 thỡ khoảng cỏch từ (Un) tới 0 bằng 0,01 + Với n = 10000 thỡ khoảng cỏch từ (Un) tới 0 bằng 0,0001
+ Với n = 1000000 thỡ khoảng cỏch từ (Un) tới 0 bằng 0,0000001 Bắt đầu từ số hạng nào của (Un) thỡ khoảng cỏch từ (Un) tới 0 nhỏ hơn 0,0000001.
Bắt đầu từ số hạng 10.000.001 của (Un) thỡ khoảng cỏch từ (Un) tới 0 nhỏ hơn 0,0000001.
GV cho học sinh quan sỏt lại một lần nữa hỡnh ảnh của dóy (Un) khi biểu diễn trờn trục số, và quan sỏt bảng:
Rồi kết luận : khi n càng lớn thỡ Un càng nhỏ, người ta cũng chứng minh được rằng un 1
n cú thể nhỏ hơn một số dương bộ tựy ý, kể từ một số hạng nào đú trở đi, nghĩa là un cú thể nhỏ bao nhiờu cũng được miễn là chọn n đủ lớn.
n 1 2 … 10000 100001 … 10.000.000 10.000.001 … Un 1 10-1 … 10-4 10-5 … 10-7 10-8 … ? ! ? ! ? !
76
10-4 Khi đú ta cũng núi rằng dóy số (Un) với un 1n cú giới hạn là 0 khi n dần tới dương vụ cực
Một dóy số như thế nào được gọi là cú giới hạn là 0 ?
GV: Nhận xột cõu trả lời của HS, sửa chữa lại và yờu cầu HS khỏc đọc định nghĩa trong SGK
Định nghĩa 1: Ta núi rằng dóy số (Un) cú giới hạn là 0 khi n dần tới dương vụ cực, nếu un cú thể nhỏ hơn một số dương bộ tựy ý,kể từ số hạng nào đú trở đi.
Ký hiệu n 0
nLimU hay Un 0 khi n
Dựa vào định nghĩa lấy vài vớ dụ dóy số cú giới hạn là 0 Dóy 12 n n U n , Dóy 1 1 n U n
Phỏt biểu định nghĩa trờn ở dạng khỏc dựa vào vớ dụ trờn.
Dóy (Un) cú giới hạn là 0 khi n tiến tới dương vụ cực Nếu (Un) cú thể gần 0 bao nhiờu cũng được miễn là n đủ lớn.
GV Ta quay lại dóy (Vn) với v 2n 1
n n ở phiếu 2, với hỡnh biểu diễn
của Vn trờn trục số( dựng mỏy chiếu)
Ta nhận thấy Cỏc số hạng của Vn tiến tới điểm 2 khi n tăng dần Dựa vào định nghĩa 1 xột dóy V’n với (V’n) = Vn – 2 Tỡm ,n
nLimV ,n lim (2 1 2) lim 1 0 n n n n LimV n n
GV Khi đú ta núi rằng dóy Vn cú giới hạn là 2 khi n
Vậy trong trường hợp tổng quỏt với dóy (Vn ) bất kỳ khi nào thỡ (Vn) được gọi là cú giới hạn là a khi n
? ? ! ? ! ?
77
Nờu định nghĩa giới hạn a GV Nhận xột
Hoàn chỉnh định nghĩa giới hạn a của dóy số (Vn)
Định nghĩa 2
Ta núi rằng dóy số (Vn) cú giới hạn là a ( Hay Vn dần tới a) khi
n nếu lim ( n ) 0 n V a Ký hiệu lim n n V a hay Vn a khi n Hoạt động 2 Củng cố định nghĩa
Hóy phỏt biểu định nghĩa 2 theo cỏc cỏch khỏc nhau (Hoạt động ngụn ngữ) Cỏch 1: Dóy (Un) được gọi là cú giới hạn là a nếu khoảng cỏch từ Un tới a càng dần tới 0 khi n càng lớn.
Cỏch 2: Ta núi dóy (Vn) cú giới hạn là 0 khi n dần tới dương vụ cực
nếu *
, n n
n N V a U trong đú LimUn
Cỏch 3: Dóy (Un) gọi là cú giới hạn là a, khi n tăng lờn vụ hạn nếu cú thể làm cho Un sai khỏc a với một lượng nhỏ bao nhiờu tựy ý miến là chọn n đủ lớn
Cỏch 4: Dóy (Un) gọi là cú giới hạn là a, khi n tăng lờn vụ hạn nếu Un
chụm lại xung quang điểm a.
Vớ dụ :Bằng định nghĩa hóy chứng minh rằng ( Hoạt động nhận dạng và thể hiện) a. 3 1 lim 3 n n n b. 5 1 5 lim 2 2 n n n c. 1 4 lim 4 n n n a. Ta cú 3 1 3 1 3 1 3 n n n n n n mà 1 lim 0 n n ? !
78 Vậy 3 1 lim 3 n n n Cỏc ý cũn lại làm tương tự
2. Một vài giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa tỡm a 1 lim n n b, lim n n q với q 1 c, lim 1k n n d, Nếu Un = C thỡ Lim C = ? Ta thấy : a, 1 lim 0 n n , 1 lim k 0 n n , lim n 0 n q , Lim C = C (C là hằng số)
GV: Cỏc giới hạn trờn được gọi là cỏc giới hạn đặc biệt.Ta cú thể ỏp dụng cỏc giới hạn đặc biệt này để tỡm giới hạn của dóy số khỏc.
Hoạt động 4: Vận dụng cỏc giới hạn đặc biệt. Tỡm cỏc giới hạn sau: a. lim 2 1 n n, b, 1 lim 2008 n n , c, lim 2008 n d, lim 2 1 2008 ( 2 1) n n n n e, lim 1 n n n
n dành cho học sinh khỏ giỏi Giải a, lim 2 0
1
n n dựa vào định nghĩa lim 1 0
n n b, lim 1 0 2008 n n vỡ 1 1 2008 c, lim 2008 2008 n
79 2 2008 2.2008 4007 1 , lim ( 2 1) 1 1 lim lim 0 ( 1) 1 n n n n d n n n n n Chỳ ý : Ta cú thể viết lim n n U a là lim Un = a
Hoạt động 5: Củng cố toàn bài
Trong bài học hụm nay chỳng ta nghiờn cứu những vấn đề gỡ? Giới hạn 0, giới hạn a, cỏc giới hạn đặc biệt.
Cú phải bất kỳ dóy số (Un) cũng cú giới hạn hữu hạn khụng?
Khụng. Vớ dụ dóy (Hn) với Hn = (-1)n là dóy khụng cú giới hạn hữu hạn. Làm cỏc bài tập trắc nghiệm sau:
Bài 1 Mệnh đề nào sau đõy đỳng
A.Một dóy số cú giới hạn hữu hạn thỡ luụn luụn tăng hoặc luụn luụn giảm B.Dóy số khụng đổi (Un) với Un = m cú giới hạn là 0
C.Dóy số q, q2
, q3, q4, ….qn,…. Cú giới hạn là 0
D.Dóy số Un cú giới hạn là 0 khi và chỉ khi dóy số Un cú giới hạn là 0
Bài 2: Dóy số (Un) với
2 2 1 n n U n bằng E. A. 2 B. 1 2 C. 1 D. 2
Bài 3: Cỏc mệnh đề sau mệnh đề nào đỳng
A. Một dóy số đơn điệu tăng và bị chặn trờn khụng cú giới hạn hữu hạn B. Một dóy số đơn điệu giảm và bị chặn dưới khụng cú giới hạn hữu hạn C. Một dóy số cú giới hạn thỡ đơn điệu và bị chặn
D. Một dóy số đơn điệu tăng (giảm) thỡ khụng cú giới hạn hữu hạn. Bài tập về nhà: bài 1,2 (SGK)
? ! ? !
80
Dụng ý sƣ phạm: Bài soạn trờn đó thể hiện tỡnh huống dạy học khỏi niệm giới hạn hữu hạn của dóy số.GV đó hướng dẫn HS tiếp cận khỏi niệm theo con đường quy nạp. Đồng thời thể hiện được cỏc hoạt động củng cố khỏi niệm như hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngụn ngữ …
Trong hoạt động 1 GV sử dụng phương phỏp hoạt động hợp tỏc theo nhúm nhỏ kết hợp với phương phỏp phỏt hiện và giải quyết vấn đề. Nhằm giỳp HS ụn lại kiến thức về dóy số và nhận xột sự biểu diễn của cỏc số hạng của dóy trờn trục. Từ đú gợi cho HS vấn đề là vậy thỡ cỏc dóy (Un),(Vn),(Kn),cú tớnh chất gỡ chung? Cú thể tổng quỏt hoỏ tớnh chất đú được khụng ?
Tiết 52: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. Mục tiờu
1. Mục đớch sư phạm
Vận dụng cỏc biện phỏp tớch cực vào dạy khỏi niệm và định lý nhằm phỏt huy tớnh tớch cực hoạt động học tập của học sinh.
2. Kiến thức + Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn tại vụ cực + Cỏc giới hạn đặc biệt
+ Định lý về giới hạn vụ cực của dóy số
3. Kỹ năng: Vận dụng định lý và cỏc giới hạn đặc biệt để tỡm giới hạn của dóy số
4. Thỏi độ: + Tự giỏc tớch cực hoạt động học tập
+ Tư duy cỏc vấn đề toỏn học một cỏch logic và cú hệ thống
B. Chuẩn bị của giỏo viờn và học sinh
1. Học sinh
- Học và chuẩn bị nài tập về nha
81
2. Giỏo viờn
- Chuẩn bị cõu hỏi và vớ dụ sinh động - Phiếu học tập, hỡnh vẽ
- Bảng phụ, mỏy chiếu
C. Hoạt động dạy học
Hoạt động 1: Đảm bảo trỡnh độ xuất phỏt
Chia lớp thành 4 nhúm: Mỗi nhúm hoàn thành một phiếu học tập Nhúm 1 Nhúm 2 Nhúm 3 Nhúm 4 Phiếu 1
Cho dóy số (un) với n 3 1
n u
n
a, Hóy biểu diễn hỡnh học của dóy un b, Tỡm giới hạn của un
Phiếu 2
Cho dóy số (vn) với vn = n+1
a, Hóy biểu diễn hỡnh học của dóy vn
b, Tỡm giới hạn của vn
Phiếu 4
Cho dóy số (hn) với hn = (-1 )n (n+ 1 ) a, Hóy biểu diễn hỡnh học của dóy hn b, Tỡm giới hạn của h
Phiếu 3
Cho dóy số (wn) với wn = 3 - 2n a, Hóy biểu diễn hỡnh học của dóy wn b, Tỡm giới hạn của wn
82
GV: + cỏc nhúm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phỳt + Cỏc nhúm cử đại diện lờn trỡnh bầy bài giải của nhúm Dóy un cú giới hạn là 3
Dóy vn tăng lờn vụ hạn khi n tăng lờn vụ hạn, vậy vn khụng cú giới hạn hữu hạn
Dóy wn càng giảm dần theo chiều õm của trục số khi n tăng lờn vụ hạn, vậy dóy wn khụng cú giới hạn hữu hạn
(Un)
(Vn)
(Wn)
(Hn)
GV Khi đú ta núi rằng dóy số (Vn) và (Wn) cú giới hạn là vụ cực Vậy thế nào là giới hạn vụ cực của dóy số?
1. Định nghĩa
Hoạt động 2 : Tiếp cận khỏi niệm
GV hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động 2 trong SGK 117
a. Quan sỏt bảng sau và nhận xột về giỏ trị của Un khi n tăng lờn vụ hạn U1 … U1000 … U1000000 … Un … 0,1 … 100 … 100000 … n/10 … ! ? v4 v3 v1 v2 3 1 5 7 n+1 … w1 w2 w3 wn w4 -5 3-2n -3 -1 1 … h2 h1 h6 h3 h5 h4 -4 - 6 -2 0 3 5 7 … … u5 u4 u3 u2 u1 4 3 …
83
b.Với n như thế nào thỡ đạt được những chồng giấy cú bề dày lớn hơn khoảng từ trỏi đất đến mặt trăng (Cho biết khoảng cỏch này ở một thời điểm xỏc định là 384000km hay 384.109
mm
a.Khi n tăng lờn vụ hạn thỡ Un tăng lờn vụ hạn b.Với n = 284.108
thỡ chồng giấy cú bề dày lớn hơn khoảng cỏch từ trài đất tới mặt trăng.
GV: Người ta đó chứng minh được rằng với Un = n/10 cú thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ số hạng nào đú trở đi, khi đú ta núi rằng dóy số Un
núi trờn được gọi là dần tới dương vụ cực.
Vậy trong trường hợp tổng quỏt với dóy (Un) bất kỳ khi nào thỡ (Un) được gọi là dần tới dương vụ cực.
HS phỏt biểu định nghĩa theo ý hiểu của mỡnh GV Nhận xột chớnh xỏc húa định nghĩa
HS : Nờu định nghĩa trong SGK
Định nghĩa: Ta núi rằng dóy Un cú giới hạn là khi n
nếu Un cú thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đú trở đi
Ký hiệu limUn hay Un khi n
Dóy số Un được gọi là cú giới hạn khi n nếu lim( Un)
Ký hiệu limUn hay Un khi n
Vớ dụ : lim(2 n 3) thỡ lim(3 2 )n
GV Nhận xột
+ lim(Un) lim( Un)
+ , khụng phải là cỏc số thực cho nờn khụng được hiểu
, là cỏc số rất lớn hay rất bộ
+ Nếu dóy Un cú giới hạn là vụ cực thỡ hỡnh biểu diễn của Un khi n tăng ra xa mói theo chiều dương hoặc chiều õm của trục số.
!
84
Hoạt động 3: Củng cố khỏi niệm Vớ dụ: Cho (Un) nới Un = n2
Khi biểu diễn (Un) trờn trục số ta thấy khi n tăng lờn vụ hạn thỡ Un trở nờn rất lớn chẳng hạn như khi n >100 thỡ Un >10.000 vậy Un >10.000 kể từ số hạng thứ 101 trở đi
Tương tự Un >1020 hay n2 > 1020 khi n> 1010 Un > 1020 kể từ số hạng thứ 1010 +1 trở đi Theo định nghĩa trờn thỡ lim(Un)
Với 3 dóy (Vn), (Wn), (Hn) và Vn= n+1; Wn=3-2n; Hn = (-1)n(n+1) đó xột ở trờn
a. CMR lim(Vn) và lim(Wn)
b. Dóy (Hn) cú giới hạn là vụ cực hay khụng? Lấy một vài vớ dụ về dóy số dần tới vụ cực
2. Một vài giới hạn đặc biệt
HS suy ra từ định nghĩa cỏc giới hạn sau
a.limnk b. limqn với q >1
Dựa vào cỏc giới hạn đặc biệt để tỡm cỏc giới hạn sau a. lim(3n 1)2008 b. lim(2008)3n 1
ta cú a. lim(3n 1)2008 theo limnk
b. lim(2008)3n 1 vỡ limqn , q =2008 >1
3. Định lý
Hoạt động 4: Phỏt hiện và dự đoỏn định lý Tỡm cỏc giới hạn sau a. lim 7 2n 1 b. 4 lim 1 2 n c. lim12.(n+2)2008 ? ! ? ?
85
Dựa vào định nghĩa và cỏc giới hạn đặc biệt ta thấy a. lim 7 0
2n 1 b. lim 4 1 2
n c. lim12.(n 2)2008
GV Nhận xột bài làm của HS, gợi ý cho HS phõn tớch phỏt hiện và dự đoỏn định lý
a. Ta thấy lim(2n 1) , lim 7 = 7 đặt Un =7 và Vn =2n+1 ta thấy