Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).... Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số.[r]
(1)Chuyên đề 2: Hàm số đồ thị. I- Lí thuyết
1 Hµm sè bËc nhÊt y=ax+b (a#0) a) TÝnh chÊt
+ đồng biến a>0 + nghịch biến a<0 b) Cách vẽ d
+ Cho x=0=>y=b=> (0; b) thuộc Oy + Cho y=0=>x=-b/a=> (-b/a; 0) thuộc Ox + Nối điểm ta đợc đờng thẳng d
3 Quan hệ đt: y=ax+b (d1) y=ax+b (d2) + d1 c¾t d2 <=> a#a’
+ d1 // d2 <=> a=a’ vµ b#b’ + d1 d2 <=> a=a’ vµ b=b’ + d1 d2 <=> a.a’=-1
4/ Hệ số gó đờng thẳng y=ax+b a: hệ số góc ( a=tg
x y
); b: tung độ góc II/ Cỏc d ng b i t p:ạ à ậ
I.Điểm thuộc đường – đường qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)
Ví dụ 1: Tìm hệ số a hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4). Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có qua A khơng?
II.Cách tìm giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x).
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình f(x) = g(x) (II)
Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cơng thức y = f(x) y = g(x) để tìm tung độ giao điểm
Chú ý: Số nghiệm phương trình (II) số giao điểm hai đường trên.
Ví dụ: Tìm toạ giao điểm hai đường thẳng: y=2x+3 (d) y=-3x-2 (d’) III/Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.
1.Quan hệ hệ số góc qua điểm A(x0;y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc, góc tạo đt với ox… tìm hệ số a Bước 2: Thay a vừa tìm x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b
Vớ dụ:: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 b) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + c) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.
d) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng e) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
2.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2).
Do đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b
Vớ dụ:Viết phơng trình đờng thẳng(d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)
IV/Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định ( giả sử tham số m).
+) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đường thẳng qua với m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm với m
+) Đồng hệ số phương trình với giải hệ tìm x0;y0 Ví dụ:cho hµm sè y= mx-m+1 (d).
chứng tỏ m thay đổi đờng thẳng (d) ln đI qua điểm cố định tìm điểm cố định V.Tỡm điều kiện để đường thẳng đồng qui.
(2)Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để tìm tham số Ví dụ: Chứng tỏ dường thẳng sau đồng qui: y=3x+1(d);y=-2x+1(d’) ;
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Y=ax+b Cho đờng thẳng (D) có pt: y= -3x+m Xác định (D) t/hợp sau:
a) (D) ®i qua ®iÓm A(-1;2)
b) (D) cắt Ox điểm B có hịanh độ = -2/3 c) (D) cắt Oy điểm C có tung độ = -5/2 Cho h/s y=ax+b Xác định h/s biết:
a) đ/thị h/s qua điểm A(2;-1) cắt trục hoành điểm có hồnh độ =3/2 b) đồ thị h/s // với đ/thị h/s câu a cắt trục tung điểm có tung độ =1 c) đ/thị h/s qua điểm A(-1; 2) B(2; -3)
Cho điểm A(1;1) B(2;-1) a) Viết pt đờng thẳng qua A B
b)Vẽ đường thẳng xác định góc tạo đt với ox
c) Tìm m để đờng thẳng y= (m2-3m)x+ m2-2m+2 // với đờng thẳng AB đồng thời qua điểm có (0;2)
Xác định đờng thẳng y=ax+b có t/chất sau:
- qua điểm C(0;1) phơng (//) với đờng thẳng y+2x-100=0 - qua điểm C(0;1) đờng thẳng y=2x+3
- cắt trục tung điểm có tung độ -2, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Cho h/s: y=4x+7 (d1)
a) điểm A(-1; 2); B(4; 5) có nằm đồ thị h/s (1) không ? b) Viết pt đờng thẳng d2 qua điểm A B
c) Tìm toạ độ giao điểm d1 d2 Cho h/s: y= 4x+7
a) điểm A(-1; 3); B(4; 7/4) có thuộc đthị h/s khơng ? b) Viết pt đờng thẳng qua điểm A B
c) Cho biết vị trí t/đối đờng thẳng Vẽ chúng mp’ tđộ Cho h/s: y= (2m-3)x +m+1
a) Tìm m để đthị h/s qua điểm (1; 4)
b) Tìm m để đthị h/s cắt trục hồnh điểm có hđộ 2 -1 c) Tìm điểm cố định mà đthị h/s qua với m
8Cho ®iĨm: A(1;1), B(-2;7), C(3;-3) , D(3;2) a) c/m điểm A ,B,C thẳng hàng
b) c/m điểm A, C, D không thẳng hàng c) c/m ACD vuông TÝnh S
Cho h/s: y= (|m-1| -2)x + a) Tìm m để h/s đồng biến
b) Tìm m để h/s nghịch biến
10 Cho đờng thẳng (d): y= (2m-n)x +m-2n a) Tìm m, n biết (d) qua A(-1; 2) B(2; -1)
b) Tìm m, n biết (d) cắt Ox điểm có h/độ -2 cắt Oy điểm có t/độ -1 11 Trên mp toạ độ cho điểm A(3;2), B(0;8)
* Viết pt đờng thẳng OA, AB
* Vẽ hình bình hành OABC có OB đờng chéo * Viết pt đờng thẳng OC, BC
* Tìm toạ độ điểm C
(3)a) T×m m, n biÕt (d) qua điểm A(-1; 2) B(3; -4)
b) Tìm m, n biết (d) cắt Ox điểm có h/độ 2+2 cắt Oy điểm có t/độ 1-2 c) Tìm m, n biết (d) cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Tìm m, n biết (d) // đờng thẳng 3x+2y= 13 Cho h/s: y= (m2-2m+3)x +2 = (1) a) c/tỏ h/s đ/biến với moi m
b) Tìm m để đthị h/s (1) // đờng thẳng y= 6x -2
c) Gọi A B giao điểm đthị h/s (1) với Ox, Oy Tìm m để SOAB= 14 Cho đờng thẳng (d): y= (2m+1)x -3
a) Tìm m để (d) qua điểm M(-2; 1)
b) Tìm m để (d) // đờng thẳng (d’) y= 1/5x +3
c) Gọi giao điểm (d) với Ox, Oy A B Tìm m để SOAB=
I/
LÍ THUYẾT
2 Hµm sè bËc y=ax2 (a#0) a) TÝnh chÊt
+ Nếu a>0:đồng biến x>0; nghịch biến x<0 + Nếu a<0:đồng biến x<0; nghịch biến x>0 b) Cỏch v P
+ Lập bảng số giá trị thích hợp
+ Biu din cỏc im trờn hệ trục toạ độ + Vẽ P
II- Bµi tËp.
D
ạng 1:Vẽ đồ thị hàm số y=2x2 ; y=-2/3x2 D
ạng2: Tỡm toạ độ giao điểm (d) (P) nghiệm hệ:
* Toạ độ giao điểm (d) (P) nghiệm hệ: Vớ dụ: Tỡm toạ độ giao điểm (d): y=-2x+5và(P)y=3x2 Quan hệ (d) y=kx+b (P) y=ax2
Phơng trình hồnh độ giao điểm:
ax2=kx+b <=> ax2 –kx –b = (1) + (d) tiÕp xóc (P) <=> pt (1) cã nghiệm kép
+ (d) cắt (P) điểm ph©n biƯt <=> pt (1) cã nghiƯm pb + (d) không cắt (P) <=> pt (1) vô nghiệm
D
ạng3: Viết phương trình đường thẳng biết đồ thị hàm số qua điểm A(x0;y0) tiếp xúc với
(P): y = cx2 (c 0).
+) Do đường thẳng qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b (3.1)
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên: Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép
(3.2)
+) Giải hệ gồm hai phương trình để tìm a,b
Ví dụ: cho parabol y= 2x2 (p)
tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2)
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bµi tËp
cho parabol y= 2x2 (p)
a tìm hồnh độ giao điểm (p) với đờng thẳng y= 3x-1 b tìm toạ độ giao điểm (p) với đờng thẳng y=6x-9/2
c tìm giá trị a,b cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) qua A(0;-2) d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2)
e biện luận số giao điểm (p) với đờng thẳng y=2m+1 ( hai phơng pháp đồ thị đại số)
b kx y
ax
(4)f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để +(p) khơng cắt (d)
+(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) cắt (d) hai im phõn bit
+(p) cắt (d) Bài tập
cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iĨm A(0;1) ; B(1;3).
a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) cho b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB tiếp xúc với (P) c viết phơng trình đờng thẳng d1 vng góc với AB tiếp xúc với (P)
d chứng tỏ qua điểm A có đờng thẳng cắt (P) hai điểm phân biệt C,D cho CD=2
Bµi tËp
Cho (P): y=x2 hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là y= 2x-5
y=2x+m
a chứng tỏ đờng thẳng a khơng cắt (P)
b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy: + Chứng minh đờng thẳng a,b song song với
+ tìm toạ độ tiếp điểm A (P) với b
+ lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A có hệ số góc -1/2 tìm toạ độ giao điểm (a) (d)
Bµi tËp
cho hµm sè y x
2
(P) a vẽ đồ thị hàm số (P)
b với giá trị m đờng thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A,B tìm toạ độ hai điểm A B
c tính tổng tung độ hoành độ giao điểm (P) (d) theo m Bài tập5
cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d)
a m=1, tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
b tính tổng bình phơng hồnh độ giao điểm (P) (d) theo m
c tìm mối quan hệ hoành độ giao điểm (P) (d) độc lập với m Bài tập
cho hàm số y=-x2 (P) đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k.
a chứng minh với giá trị k đờng thẳng (d) ln cắt đồ thị (P) hai điểm A,B tìm k cho A,B nằm hai phía trục tung
b gọi (x1;y1); (x2;y2) toạ độ điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn
Bµi tËp7
cho hµm sè y= x
a tìm tập xác định hàm số b tìm y biết:
+ x=4
+ x=(1- 2)2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2
c điểm A(16;4) B(16;-4), điểm thuộc đồ thị hàm số, điểm không thuộc đồ thị hàm số?
d khơng vẽ đồ thị tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho với đồ thị hàm số y= x-6
Bµi tËp
cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d)
a.tìm hồnh độ điểm thuộc (P) biết tung độ chúng y=(1- 2)2.
b.chứng minh (P) với (d) cắt điểm phân biệt tìm toạ độ giao điểm chúng với giá trị m tổng tung độ chúng đạt giá trị nhỏ
Bµi tËp
cho hµm sè y= mx-m+1 (d)
a chứng tỏ m thay đổi đờng thẳng (d) ln đI qua điểm cố định tìm điểm cố định
(5)Bµi tËp 11
cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d).
a chứng minh với giá trị m đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt b gọi y1, y2 kà tung độ giao điểm đờng thẳng (d) (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2
bµi tËp 12
cho hàm số y=x2 (P). a vẽ đồ thị hàm số (P)
b (P) lấy điểm A, B có hồnh độ lần lợt viết phơng trình đờng thẳng AB c lập phơng trình đờng trung trực (d) đoạn thẳng AB
d tìm toạ độ giao điểm (d) (P) Bài tập 13
a viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2).
b cho hàm số y=x2 (P) B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) qua B. c cho (P) y=x2 lập phơng trình đờng thẳng qua A(1;0) tiếp xúc với (P).
d cho (P) y=x2 lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x tiếp xúc với (P).
e viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 cắt (P) y=x2 điểm có hồnh độ (-1)
f viết phơng trình đờng thẳng vng góc với (d) y=x+1 cắt (P) y=x2 điểm có tung độ 9.
1 Cho P y = 1/4x2 đ/t d qua điểm A, B P có hồnh độ lần lợt -2, 4.
- ViÕt p/t cña d
- Vẽ (P) (d) mp’ toạ độ
2 Cho (P) y= -1/2x2 vµ (d) y= -3x + 2
a) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
b) Cho điểm M N thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết pt đờng thẳng MN c) Tìm t/độ giao điểm (d) MN
4 Cho đờng thẳng (d): y= -2x-2 điểm A(-2; 2) a) c/m A thuộc (d)
b) Tìm a để (P) y= ax2 qua A
b) Tìm đờng thẳng qua A vng góc với (d)
c) Gọi A, B giao điểm (P) với đờng thẳng tìm đợc câu c C giao điểm (d) với Oy, Tìm tđộ điểm B, C Tính SABC
Cho h/s: y= x+m (d) tìm m để dt (d): a) Đi qua điểm A(1;2007)
b) tiÕp xóc víi parabol y= -1/4.x2
Cho (P) y= x2 đờng thẳng (D) có pt y= 2x+3. a) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
b) Viết pt đờng thẳng (D’) // (D) tiếp xúc với (P)
Cho parabol (P): y= -x2/4 đờng thẳng (d): y= mx+1 a) xđ (d) biết cắt (P) điểm A có hồnh độ
b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt
Cho parabol (P): y= x2 đờng thẳng (D): y= (m-1)x -m+1 (m#1) a) xđ (D) biết qua điểm A(-1; 3) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) b) xđ (D) biết cắt (P) Tìm điểm có hồnh độ -2
c) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)
b) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định với m
10 Cho parabol (P): y= x2 đờng thẳng (D): y= mx -m+1 (m#0) a) xđ (D) biết cắt (P) điểm A có tung độ
b) Chứng tỏ (D) ln cắt (P) với m c) Tìm m để (D) tiếp xúc với (P)
11 Cho h/s: y= x2 +bx +c
a) Xác định b, c biết đồ thị h/s qua điểm A(1;2) B(2;1) b) Với b, c vừa tìm đợc, tìm giá trị nhỏ h/s
c) Chứng minh đờng thẳng y= 2x-4 tiếp xúc với đồ thị h/s 13 Cho (P): y= 1/4x2 (d): y= mx +n (m#0)
(6) 14 Trong m/p tọa độ Oxy cho điểm A-3;0 Parabol P có p/trình y=x2 Tìm toạ độ điểm M thuộc P độ dài đoạn thẳng AM nhỏ
15 Cho h/s y = x2 P y = x + m d - Tìm m để d cắt P điểm p/b A B - Tìm pt đờng thẳng d1 d txúc với P - Thiết lập c/t tính khoảng cách gia im
- áp dụng: Tìm m cho k/c điểm A, B câu a lµ
Bµi 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB
Bµi 2: Cho hµm sè x2
2 y
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P)
Bµi 3:
Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): x2
4
y đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P)
Bµi 4: Cho hµm sè x2
2 y
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đ ờng thẳng MN cắt (P) điểm
Bµi 5:
Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1)
2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm
1
;
C vµ cã hƯ sè gãc m a) Viết phơng trình (d)
b) Chng t rng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với