Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến.. BÀI TẬP.[r]
(1)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
BÀI TẬP
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
(2)Bài 1
• Tính đạo hàm hàm số sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ln 2012 3 2 sin arctan sin
2 sin
3
4 log ln 10
5.log sin 11
sin
6 cot 12
x x x x x x x x x
y x y x
y x x y x
y y x
y x y x e x
x y x x x
x
y arc x y
(3)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Các phương pháp tính đạo hàm
• Cơng thức bản: tổng, hiệu, tích, thương,
hàm hợp
• Biến đổi, rút gọn • Lấy logarit
• Căn thức thường đưa dạng lũy thừa cho dễ
(4)Bài 2.5,2.6,2.7
( ) ( )
( ) ( )
( ) (( )) ( )
( )
( )
2
5 Cho T ính
6 Cho 5.T ính
1 ,
7 Cho ,1
2 ,
T ính
f x x x f x
f x x x f x
x x
f x x x x
x x
f x
¢ =
¢
= - - +
ìï - <
ïï ï
= íï - - £ £
ïï - - >
(5)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 3,4
• Tính đạo hàm dạng tham số
t x
t
y y
x
¢ ¢=
¢
( ) ( )( )0 ( )
0 0
0 t
x
t
y t
y x voi x t x
x t
¢
¢ = =
(6)Bài 3,4
• Tính đạo hàm dạng tham số
• Tìm y’(x0) hàm số. ( ) ( ) 2 5 ln 1 2 arctan arccot arctan sin t t t t x x t y
y t t
x e
x t
y t y e t
-ì ì ï = + ï = ï ï ï ï í í ï = - ï = ï ïïỵ ïỵ ì ì ï ï = - ï = ïï ï í í ï = ï = ï ï ïỵ ïỵ
5
3
1 ,
3
2 ,
t
x t t
x y t t
(7)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 5
• Tính đạo hàm hàm ẩn
• Tính đạo hàm, giải phương trình tìm y’
• Nhớ kết hợp qui tắc tính đạo hàm biết
( )
2
3
2ln
1 ln
2
3
4 cos
y y x
x x
x y x e
x y
x y
y x y
+ - =
=
+ - =
(8)-Bài 6
• Tìm vi phân
• Công thức:
( ) ( ( 2) ) ( )
1 d xe - x ln 1d - x 3.d xx
( )
dy = y x dx¢
( )n ( )
n n
(9)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 7
• Tìm vi phân hàm ẩn:
( )
( )
5
1
2 cos
3 ln
y y x xy x y xy
+ - =
(10)Bài 8
• Tìm điều kiện để hàm số liên tục, khả vi R.
• Dùng tính chất liên tục, khả vi khoảng
của hàm sơ cấp
• Xét liên tục, khả vi điểm • Giới hạn trái, phải…
( ) x2 2x ,,x 00
f x
ax b x
ìï + £
ïï
(11)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 9
• Cho hàm số:
• Tính:
( ) ( 1) ( ) ( 100)
f x = x x - x - x
-( )0 ?
(12)Bài 10
• Tính đạo hàm cấp dạng tham số
( ) ( )x t t t 3 t t x x x
t
t
y x y y x
y y x x ¢ ¢ ¢ ¢¢- ¢ ¢¢ ¢ ¢¢= ¢ = = ¢ é ù¢ ê ú ë û
( 2)
2
cos
sin ln
2
t t
x e t
y e t
(13)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 11
• Tính đạo hàm cấp hàm ẩn
( )
( )
taïi
4
0
1
2 0,1
3 sin
x y
e xy
x xy y M
x x y
- =
- + =
(14)Bài 12
• Tính đạo hàm cấp cao dạng tích
( ) ( )
( )
10
10
1 sin ,
2 ,
x
y x x tính y
e
y tính y
x
= +
(15)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 13
Tính đạo hàm cấp n
( )
( )
2
1
1
3
3 x sin
y
x x y
x x
y e x
=
-=
- +
(16)Bài 14
• Sử dụng cơng thức L’Hospitale (Lô – pi – tan)
( ) 2 0 0 0 0 arcsin 1.lim 2.lim cos sin sin
1
3.lim 4.lim
sin sin
sin
5.lim lim ln
arcsin ln
1 1
7.lim 8.lim arcsin x x x x x x x x x x x x x
e e x x x
x x x
x x
e e x
x x x x x
x x
x x
x x
x e x x
(17)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 15
• Tìm giá trị cận biên
2
3
2
) 0,1 3
) 0,04 0,5 4,4 7500
) 250 45
a C Q Q khi Q
b C Q Q Q khi Q
c C Q Q Q Q
= + + =
= - + + =
(18)Bài 16
• Cho hàm cầu:
• A) Xác định hệ số co dãn P=4.
• B) Nếu giá giảm 2% (từ giảm cịn 3,92)
lượng bán thay đổi phần trăm
( 3)
60
ln 65
Q P
P
(19)-Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 17
• Doanh thu loại sản phẩm cho bởi:
• Tìm Q để doanh thu đạt tối đa
2
240 57
(20)Bài 18
• Cho hàm cầu loại sản phẩm là:
• Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa
5 30
(21)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 19
• Hàm cầu hàm tổng chi phí loại sản phẩm
độc quyền là:
• A) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa Tìm
mức giá P lợi nhuận lúc
• B) Chính quyền đặt tiền thuế 22 đơn vị tiền cho
đơn vị sản phẩm Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá lợi nhuận trường hợp
2
600 2
0,2 28 200
P Q
C Q Q
=
(22)Bài 20
• Một loại sản phẩm có hàm cầu hàm chi phí
trung bình là:
• Tìm mức giá để lợi nhuận tối đa
80
42 4 2
P Q C
Q
(23)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 21
• Hàm tiêu dùng quốc gia cho bởi:
• Tìm xu hướng tiết kiệm cận biên thu nhập
25
3
10 I 0,7 I 0,2I
C
I
+
(24)Bài 22
• Hàm chi phí trung bình sản xuất sản phẩm
cho bởi:
• A) Tìm mức sản xuất Q (từ đến 10) để có chi
phí tối thiểu
• B) Tìm mức sản xuất Q (từ đến 10) để có chi
phí tối thiểu
2 200
2 36 210
C Q Q
Q
(25)-Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
(26)Bài 1
• Tìm đạo hàm riêng hàm số sau
( )
( )
2
4 3 2
) ) ln tan
) ) ln
) arctan ) y
y
a z x y b z
x
c z x y x y d z x x y
y
e z f z xy
x
æ ửữ ỗ ữ
= = ỗỗ ữ
ữ ç
è ø
= + - = + +
(27)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 2
• Tìm đạo hàm riêng (của hàm số sau
•
( , ) sin( )
(28)Bài 3
• Tính vi phân tồn phần hàm số:
• Tính vi phân cấp hàm số:
( )
) tan 6x y ) arcsin x
a z x y b z
y
+ ổửỗ ữữ
= - + = ỗ ữỗ ữ
ỗ
ố ø
( )
3 2
2
) ) ln
) ) x ln sin ln
a z x x y y b z x y
c z xy y d z e y y x
= - + = +
(29)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 4
• Tìm cực trị hàm số sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2
2 3 2
) 15 12
)
)
)
) 6 )
)
) 10
a z x xy x y
b z x y x xy y
b z x xy y x y
c z x y x y
d z x x y y x y
e z y x x y x y
f z x y
g z x x y y
(30)(31)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài Tích phân đổi biến số
3 2 4
2 3
sin sin2
2 cos
3sin 4cos 5
sin
4 sin cos
x
a dx b a x dx
x x
c x dx d dx
a x x x
x
e dx f dx
x x x
x dx
g dx h
x x
x x
xdx x
i dx j
x x x x
(32)Bài Tích phân phần
( )
2
2
2
2
arccos
arctan
ln
1
a x xdx
b xdx
x x x
c dx
x d a x dx
+ +
+
(33)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài Tính tích phân
( ) ( ) ( ) 2 1 0 1
,
2 cos
arcsin sin
1 2cos 1
cos ln
sin cos x e x x dx a a
x x a
x dx x xdx
b c
x x x
e dx
d e x dx
(34)Bài Tính tích phân ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 arctan 1
1 2
1 ln 1 a dx dx x x x dx xdx
x x x
dx dx
x x x x x
(35)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 5
• Tính tích phân:
( ) 0 2 2 3 2 1 2 0 3 4
9
ln
7 ln sin
1 dx dx x x x dx dx x x dx dx
x x x
x
x dx dx
(36)Bài 6
• Xét hội tụ tích phân:
( ) 2 1 3 1 0 ln 1 4sin2 cos 1 x x x xdx xdx
x x e
x dx dx
(37)Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến
Bài 7
• Xét hội tụ tích phân:
1 2
4 0 1 sin sin 0 sin 1 cos x x x x dx dx x x xdx dx
e e x