Tài liệu BÀI TẬP CHƯƠNG 2:SỐ ĐẾM pptx

Giải Mỗi một trong n bit của xâu nhị phân có thể chọn bằng hai cách vì mỗi bit hoặc bằng 0 hoặc bằng 1.. cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, ta nhận được: n  là tổ hợp chập m của tập

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

8 NGUYỄN HOÀNG HUY – 11520576

9 PHAN HUY TÀI – 11520340

10.LÊ VĂN TOÀN – 11520423

Bài 1 : Giả sử A = {1,{1},{2}} Hãy chỉ ra các khẳng định đúng trong số

Bài 5 : Xét 4 tập hợp con của tập hợp vũ trụ

Bài 7 : Xét các tập con tùy ý A,B,C,D của tập hợp vũ trụ U Hãy chứng

minh các khẳng định dưới đây

b)

c)

Bài 8: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành từ 1 trong ba danh sách

tương ứng có 29, 15, 31 bài Vậy sinh viên đó có bao nhiêu cách chọn bài thực hành

Giải Theo quy tắc cộng ta có : 29 + 15 + 31 = 75 (cách chọn)

Bài 9 : Người ta ghi nhãn cho những chiếc ghế trong giảng đường bằng

chữ và 1 số nguyên dương không vượt quá 100 Vậy có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau

Giải Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc, gán một trong 26 chữ cái và sau đó gán một trong 100 số nguyên dương Quy tắc nhân chỉ ra rằng có 26.100=2600 cách khác nhau để gán nhãn cho một chiếc ghế Như vậy nhiều nhất ta có thể gán nhãn cho 2600 chiếc ghế

Bài 10 : Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài n

Giải Mỗi một trong n bit của xâu nhị phân có thể chọn bằng hai cách vì mỗi bit hoặc bằng 0 hoặc bằng 1 Bởi vậy theo quy tắc nhân có tổng cộng 2n

xâu nhị phân khác nhau có độ dài bằng n

Bài 11 : Có thể tạo được bao nhiêu ánh xạ từ tập A có m phần tử vào tập

B có n phần tử?

Giải

Theo định nghĩa, một ánh xạ xác định trên A có giá trị trên B là một

phép tương ứng mỗi phần tử của A với một phần tử nào đó của B Rõ ràng sau khi đã chọn được ảnh của i - 1 phần tử đầu, để chọn ảnh của phần tử thứ i của A ta có n cách Vì vậy theo quy tắc nhân, ta có n.n n=n m ánh xạ xác định trên A nhận giá trị trên B

Bài 12 : Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ Bỏ ngẫu nhiên các lá

thư vào các phong bì Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ

Giải Mỗi phong bì có n cách bỏ thư vào, nên có tất cả n! cách bỏ thư Vấn đề còn lại là đếm số cách bỏ thư sao cho không lá thư nào đúng địa chỉ Gọi

U là tập hợp các cách bỏ thư và Am là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ Khi đó theo công thức về nguyên lý bù trừ ta có:

N = n!  N1 + N2  + (1)n

Nn, trong đó Nm (1  m  n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư đúng địa chỉ Nhận xét rằng, Nm là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n

lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n-m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, ta nhận được:

n

 là tổ hợp chập m của tập n phần tử (số cách

chọn m đối tượng trong n đối tượng được cho) Từ đó xác suất cần tìm là:

Bài 13 : Số mã vùng cần thiết nhỏ nhất là bao nhiêu để đảm bảo 25 triệu

máy điện thoại khác nhau Mỗi điện thoại có 9 chữ số dạng

các số từ 0-9 Hỏi 1 tỉnh cần đăng ký cho 1 triệu xe thì cần bao nhiêu serial X

Giải Hai số NN đầu là mã tỉnh, do nhà nước quy định nên không ảnh hưởng đến kết quả Sáu số ký tự còn lại là N nhận giá trị từ 0-9 nên có

trường hợp Theo nguyên lý Dirichlet, số serial X tối thiểu phải thỏa mãn :

Bài 15 : Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu

mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận Chứng minh rằng tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận

Giải Gọi aj là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j Khi đó

1  a1 < a2 < < a30 < 45

15  a1+14< a2+14 < < a30+14 < 59

Sáu mươi số nguyên a1, a2, , a30, a1+ 14, a2 + 14, , a30+14 nằm giữa 1

và 59 Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng nhau Vì vậy tồn tại i và j sao cho ai= aj+ 14 (j < i) Điều này có nghĩa

là từ ngày j + 1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14 trận

Bài 16 : Chứng tỏ rằng trong n + 1 số nguyên dương không vượt quá 2n,

tồn tại ít nhất một số chia hết cho số khác

Giải

Ta viết mỗi số nguyên a1, a2, , an+1 dưới dạng aj = k j

2 qj trong đó k j là số nguyên không âm còn qj là số dương lẻ nhỏ hơn 2n Vì chỉ có n số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại i và j sao cho qi = qj = q Khi đó ai= k i

2 q và aj = k j

2 q Vì vậy, nếu ki  kj thì ajchia hết cho ai còn trong trường hợp ngược lại ta có ai chia hết cho aj

Bài 17 : Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là

thù Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau

Giải Gọi A là một trong 6 người Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lý Dirichlet tổng quát, vì = 3 Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D là bạn của A nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C, D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A

Bài 18 : Cần phải có bao nhiêu SV ghi tên vào lớp TRR để chắc chắn có

ít nhất 65 SV đạt cùng điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc

Giải Gọi n là số sinh viên tối thiểu thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet thì = 65 Do vậy

Như vậy, đề bài sẽ trở thành chọn 5 số từ 4 cặp số trên Theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất 01 cặp số được chọn hết Vậy bài toán đã được chứng minh

Bài 20 : Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm

những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ

Giải

Vì ta không kể tới thứ tự chọn tờ tiền và vì ta chọn đúng 5 lần, mỗi lần lấy một từ 1 trong 7 loại tiền nên mỗi cách chọn 5 tờ giấy bạc này chính

là một tổ hợp lặp chập 5 từ 7 phần tử Do đó số cần tìm là 5

1 5

phần tử loại 2 và x3 phần tử loại 3 được chọn Vì vậy số nghiệm bằng số

tổ hợp lặp chập 15 từ tập có 3 phần tử và bằng 15

1 15

3  

C = 136

Bài 22 : Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp

lại các chữ cái của từ SUCCESS?

Giải

Vì một số chữ cái của từ SUCCESS là như nhau nên câu trả lời không phải là số hoán vị của 7 chữ cái được Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U và 1 chữ E Để xác định số xâu khác nhau có thể tạo ra được ta nhận thấy có C(7,3) cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ trống

Có C(4,2) cách chọn 2 chỗ cho 2 chữ C, còn lại 2 chỗ trống Có thể đặt chữ U bằng C(2,1) cách và C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu Theo nguyên

lý nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo được là:

3 7

C 2 4

C 1 2

C 1 1

Bài 23 : Có bao nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi một

trong 4 người chơi từ một cỗ bài chuẩn 52 quân?

Giải Người đầu tiên có thể nhận được 5 quân bài bằng 5

52

C cách Người thứ hai có thể được chia 5 quân bài bằng C475 cách, vì chỉ còn 47 quân bài Người thứ ba có thể nhận được 5 quân bài bằng 5

42

C cách Cuối cùng,

người thứ tư nhận được 5 quân bài bằng 5

37

C cách Vì vậy, theo nguyên

lý nhân tổng cộng có

5 52

Bài 24 Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi,

40 SV học cả hai môn trên

a Tìm tất cả SV của khóa 29 biết rằng SV nào cũng phải học ít nhất 01 môn

b Biết tổng số SV là 285, hỏi có bao nhiêu SV không học Java hoặc Delphi

Giải Gọi J: SV học Java

Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 có dạng: 00.xxxx.xxxx Ký tự x có thể là

0 hoặc 1, có 8 ký tự x do

vậy có xâu

Xâu nhị phân kết thúc bằng 11 có dạng: xx.xxxx.xx11 Tương tư ta cũng tính được có xâu

Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11 có dạng

00.xxxx.xx11 Tương tự như trên, ta

Bài 27: Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại

một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?

Giải Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n  1 năm cộng lãi suất của năm thứ

n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:

Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1

với điều kiện đầu P0 = 10.000 đô la Từ đó suy ra Pn = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la

Bài 28 : Tìm hệ thức truy hồi và cho điều kiện đầu để tính số các xâu nhị

phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp Có bao nhiêu xâu nhị phân như thế có độ dài bằng 5?

Giải Gọi an là số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp Để nhận được hệ thức truy hồi cho {an}, ta thấy rằng theo quy tắc cộng, số các xâu nhị phân độ dài n và không có hai số 0 liên tiếp bằng số các xâu nhị phân như thế kết thúc bằng số 1 cộng với số các xâu như thế kết thúc bằng số 0 Giả sử n  3

Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liên tiếp kết thúc bằng số 1 chính là xâu nhị phân như thế, độ dài n  1 và thêm số 1 vào cuối của chúng Vậy chúng có tất cả là an-1 Các xâu nhị phân độ dài n, không có hai số 0 liên tiếp và kết thúc bằng số 0, cần phải có bit thứ n 

1 bằng 1, nếu không thì chúng có hai số 0 ở hai bit cuối cùng Trong trường hợp này chúng có tất cả là an-2 Cuối cùng ta có được:

Đa thức đặc trưng của hệ thức truy hồi này là r3

- 6r2 + 11r - 6 Các nghiệm đặc trưng là r = 1, r = 2, r = 3 Do vậy nghiệm của hệ thức truy hồi có dạng

an = 11n + 22n + 33n Các điều kiện ban đầu a0 = 2 = 1 + 2 + 3

Do đó các số Fibonacci được cho bởi công thức fn = 1(1 5

2

)n +

Bài 31: Tìm hệ thức truy hồi và n r Với n r là số miền của mặt phẳng bị

phân chia bởi n đường thẳng Biết rằng không có 2 đường thẳng nào song song và cũng không có 03 đường thẳng nào đi qua cùng 1 điểm

Giải

Với n đường thẳng, theo đề bài thì đường thẳng thứ n sẽ cắt n – 1 đường thẳng còn lại tại n – 1

điểm, tức là sẽ cắt n – 1 + 1 = n phần mặt phẳng Do đó, số phần mặt phẳng tăng lên là n Từ đó, ta có

được hệ thức truy hồi:

Các điều kiện đầu là:

n = 0:

n = 1:

Bài 32 : cho tập hợp A gồm n phần n phần tử ( n 4) Biết rằng số tập

hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A

Bài 34: Một đội tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, 3 nữ Hỏi

có bao nhiêu cách phân công để giúp 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam va 1 nữ.:

Bài làm:

- Chọn 4 nam và 1 nữ cho tỉnh thứ nhất, theo quy tắc nhân ta có:

- Chọn 4 nam và 1 nữ trong số những người còn lại:

- Còn lại là ở tỉnh thứ 3

- Vậy số cách phân công thỏa yêu cầu là:

N = 1485.140 = 207900

Bài 35 : Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam

Cần lập đoàn 3 người có cả nam lẫn nữ vừa toán học vừa có vật lí Hỏi

có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?

Vậy có 4.4.3.2.2.1 = 192 cách thỏa yêu cầu

Bài 37 : Đội thanh niên xung kích ĐH CNTT có 12 sinh viên Gồm 5 sv

khoa MMT, 4 sv khoa KTMM, 3 sv khoa CNPM, cần 4 sv tham gia trực, sao cho 4 sv đó thuộc không quá 2 trong 3 khoa nói trên Hỏi có bao nhiêu cách

Bài làm:

Gọi A là tập hợp tất cả các cách chọn ra 4 sv trong 12 sv

B là tập hợp cách chọn 4 sv trong 12 sv không thỏa mản yêu cầu giả thuyết

C là tập hợp cách chọn 4 sv trong 12 sv thỏa yêu cầu giả thuyết

Bài 38 : Cho tập hợp E = có thể lăp được bao nhiêu số

có 4 chữ số không yêu cầu đội 1 khác nhau Sao cho mỗi số tạo thành đều chia hết cho 4

Bài làm:

Những số từ 2 chữ số trở lên muốn chia hết cho 4 thi phải có 2 chữ số cuối chia hết cho 4

Liệt kê số có 2 chữ số chia hết cho 4: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64

- Chọn 2 số cuối như trên ta có 9 cách chọn

- Chọn chữ số hàng nghìn ta có 6 cách chọn

- Chọn chữ số hàng trăm ta có 6 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có: 9.6.6 = 324

Vậy có 324 cách chon thỏa yêu cầu bài toán

Bài 39 : Biển số xe là 1 dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng

sau Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái từ A đến Z Các chữ số được lấy từ 10

số từ 0 đến 9 Có bao nhiêu biển số xe có 2 chữ cái khác nhau, đồng thời

Số biển số xe thỏa yêu cầu: N = 650.5.6.25 = 487500

Bài 40 : Có thể lặp bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5

lần, các số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1 lần.( Viết từ các số 1, 2, 3, 4.)

- là tập hợp mà số 1 có mặt 5 lần và số 2, 3, 4 có mặt tối đa 1 lần.( chọn 1 số trong 3 số)

Bài 41 : Cho hình thập giác lồi, hỏi có thể lặp được bao nhiêu tam giác

có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi nhưng cạnh không phải là cạnh của thập giác lồi?

Bài làm:

Gọi A là tất cả các tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi

B là tam giác có đỉnh của là đỉnh của thập giác nhưng có it nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác

C lá tam giác cần tìm

Ta có: |C| = |A| - |B| (1)

Dễ thấy |A| = (2)

Gọi là tam giác có 1 cạnh là cạnh của thập giác

là tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác

Vậy có 50 tam giác thỏa yêu cầu

Bài 42 : Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi 1 khác nhau, gồm 5 cuốn

văn học, 4 âm nhạc, 3 hội họa Ông lấy 6 cuốn sách ra tặng cho 6 học sinh, mỗi hs 1 cuốn sau khi tặng xong mỗi loại còn lại ít nhất 1 cuốn Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Bài làm:

Gọi A là tập hợp tất cả các cách tặng sách

B là tập hợp cách tặng sách không thỏa yêu cầu

C là tập hợp cách tạng sách đủ yêu cầu

|C| = |A| - |B| (1)

Vì không thể xảy ra trường hợp còn lại 1 loại sách

Nên gọi lần lượt là tập hợp tất cả các cách sau khi tặng xong hết sách văn học, hội họa, âm nhạc

|B|= 5040 + 20160 + 60480 = 85680

Từ (1)(2)(3) suy ra |C| = 665280 – 85680 = 579600

Bài 43 : Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu

mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận Chứng minh rằng tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận

Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng nhau

Vì vậy tồn tại i và j sao cho ai= aj+ 14 (j < i)

Điều này có nghĩa là từ ngày j + 1 đến hết ngày i đội đã chơi đúng 14 trận

Bài 44 : Giả sử trong một nhóm 6 người mỗi cặp hai hoặc là bạn hoặc là

thù Chứng tỏ rằng trong nhóm có ba người là bạn lẫn nhau hoặc có ba người là kẻ thù lẫn nhau

Bài làm:

Gọi A là một trong 6 người

Trong số 5 người của nhóm hoặc là có ít nhất ba người là bạn của A hoặc

có ít nhất ba người là kẻ thù của A, điều này suy ra từ nguyên lý Dirichlet tổng quát, vì ]5/2[ = 3 Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D là bạn của A

Nếu trong ba người này có hai người là bạn thì họ cùng với A lập thành một bộ ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức là nếu trong ba người B, C,

D không có ai là bạn ai cả thì chứng tỏ họ là bộ ba người thù lẫn nhau Tương tự có thể chứng minh trong trường hợp có ít nhất ba người là kẻ thù của A

Bài 45 : Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm

những tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ

Vì vậy số nghiệm bằng số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có 3 phần tử và bằng 15

1 15

3  

C = 136

Bài 47 : Có bao nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi một

trong 4 người chơi từ một cỗ bài chuẩn 52 quân?

cách chia cho 4 người mỗi người một xấp 5 quân bài

Bài 48 : Giả sử một người gửi 10.000 đô la vào tài khoản của mình tại

một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm Sau 30 năm anh ta có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?

Bài làm

Gọi Pn là tổng số tiền có trong tài khoản sau n năm

Vì số tiền có trong tài khoản sau n năm bằng số có sau n  1 năm cộng lãi suất của năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau:

Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1với điều kiện đầu P0 = 10.000 đô la Từ đó suy ra Pn = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la

Bài 49: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5

câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi có thể

lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không

, 10 0

, 5 0

, , , 5

z y

x

N z y x z

y x

Giải hệ ta có nghiệm (2; 1;2); (1; 2; 2); (1; 1; 3)

Với (x; y; z) =(2; 1; 2) ta có 2

15 1 10 2

5 C .C

Với (x; y; z) =(1; 2; 2) ta có 2

15 2 10 1

5 C .C

C cách

Với (x; y; z) =(1; 1; 3) ta có 3

15 1 10 1

5 C .C

C cách

Vậy có tất cả 2

15 1 10 2

5 C .C

15 2 10 1

5 C .C

15 1 10 1

5 C .C

C cách

Bài 50 : Trong một phòng họp có n người, bao giờ cũng tìm được 2

người có số người quen trong số những người dự họp là như nhau

Bài làm:

Số người quen của mỗi người trong phòng họp nhận các giá trị từ 0 đến

n  1

Rõ ràng trong phòng không thể đồng thời có người có số người quen là

0 (tức là không quen ai) và có người có số người quen là n  1 (tức là quen tất cả)

Vì vậy theo số lượng người quen, ta chỉ có thể phân n người ra thành n

1 nhóm

Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tai một nhóm có ít nhất 2 người, tức là luôn tìm được ít nhất 2 người có số người quen là như nhau

Bài 51 : Cho hai tập hợp A và B biết tập AB có số phần tử bằng một

nửa số phần tử của B và AB có 7 phần tử Hãy tìm số phần tử của mỗi tập hợp

y

A  B y Từ các kết quả trên ta có y0;2;4;6, tương ứng ta có

x nhận các giá trị 7; 6; 5;4

Bài 52 : Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam

Cần lập 1 đoàn công tác 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?

, , , 3

z y

N z y x z

y x

Giải hệ ta có nghiệm (0; 1; 2), (0; 2; 1), (1; 1; 1)

3 1 4 4 5 1 3 2 4 2 3 1

4 C C .C C .C .C

Bài 53 : Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3

nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau Hỏi có bao nhiêu cách

Giải

Xét 3 loại ghế gồm 1 ghế có 3 chỗ, 1 ghế có 2 chỗ và 2 ghế có 1 chỗ ngồi

+ Bước 1: do 2 ghế có 1 chỗ không phân biệt nên chọn 2 trong 4 vị trí để sắp ghế 2 và 3 chỗ ngồi có 2

Bài 54 : Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành

từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho 2 chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau

- Bước 1: sắp 4 chữ số vào 4 vị trí còn lại có 4! = 24 cách

- Bước 2: với mỗi cách sắp chữ số kép có 2 hoán vị chữ số 3 và 4

Suy ra có 24.2 = 48 số

Vậy có 240 – 48 = 192 số

Bài 55 : Hai nhóm người cần mua nền nhà, nhóm thứ nhất có 2 người và

họ muốn mua 2 nền kề nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua

3 nền kề nhau Họ tìm được một lô đất chia thành 7 nền đang rao bán

(các nền như nhau và chưa có người mua) Tính số cách chọn nền của mỗi người thỏa yêu cầu trên

Giải

Xem lô đất có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 nền, 1 vị trí 2 nền và 1 vị trí 3 nền + Bước 1: nhóm thứ nhất chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách

có 2! = 2 cách chọn nền cho mỗi người Suy ra có 4.2 = 8 cách chọn nền + Bước 2: nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 nền có 3 cách

và mỗi cách có 3! = 6 cách chọn nền cho mỗi người Suy ra có 3.6 = 18 cách chọn nền

Vậy có 8.18 = 144 cách chọn nền cho mỗi người

Bài 56 : Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3 lập thành các số tự nhiên có 3 chữ số phân

Vậy tổng các số thỏa yêu cầu là 3996 – 132 = 3864

Bài 57 : Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa

giác đều có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O

Giải

Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính của đường tròn Vẽ đường thẳng d qua tâm O và không qua đỉnh của đa giác đều thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh Suy ra số đường chéo của đa giác đi qua tâm O là 10 Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật

Vậy có 2

10

C = 45 hình chữ nhật

Bài 58 : Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có

7 em khối 12, 6 em khối 11 và 5 em khối 10 Tính số cách chọn 6 em trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 em được chọn

12 7

C - C = 917 cách + Chọn 6 em trong đội thuộc khối 11 và khối 10 có 6 6

11 6

C - C = 461 cách Vậy có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách chọn

Bài 59 : Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau Tính số tập hợp con

Bài 60 : Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6

bi vàng Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu

Bài 61 : Giải vô địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng

tròn 1 lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và có 23 trận hòa Tính số điểm trung bình của 1 trận trong toàn giải

Bài 63 : Tính số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt và một trong 3

chữ số đầu tiên là 1 được thành lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Giải

+ Loại 1: chữ số a1 có thể là 0

- Bước 1: chọn 1 trong 3 vị trí đầu để sắp chữ số 1 có 3 cách

- Bước 2: chọn 4 trong 7 chữ số (trừ chữ số 1) để sắp vào các vị trí còn lại có 4

Bài 64 : Từ một nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh

khối B và 5 học sinh khối C chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và có đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn

Giải

+ Loại 1: Chọn 2 học sinh khối C, 13 học sinh khối B hoặc khối A có

Bài 65 : Từ một nhóm 12 học sinh gồm 4 học sinh khối A, 4 học sinh

khối B và 4 học sinh khối C chọn ra 5 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh Tính số cách chọn

Giải

+ Trường hợp 1: 1 khối có 3 học sinh và 2 khối còn lại mỗi khối có 1 học sinh

- Bước 1: chọn 1 khối có 3 học sinh có 3 cách

- Bước 2: trong khối đã chọn ta chọn 3 học sinh có 3

4

C = 4 cách

- Bước 3: 2 khối còn lại mỗi khối có 4 cách chọn

Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách

+ Trường hợp 2: 2 khối có 2 học sinh và khối còn lại có 1 học sinh

- Bước 1: chọn 2 khối có 2 học sinh có 2

Bài 67 : Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học

sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc

không quá 2 trong 3 lớp trên

Giải

+ Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 12 học sinh có 4

12

C = 495 cách

+ Loại 2: chọn 4 học sinh có mặt cả 3 lớp, ta có 3 trường hợp sau:

- Chọn 2 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C có

- Chọn 1 học sinh lớp A, 1 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C có

C C C ( điều phải chứng minh)

Bài 71 : Giải phương trình 1 2 2 3

2 2

2    n 2

n n

12 2

2 2

k

k k k

x C x

x hệ số x3: C127 27=101376

Bài 74 : Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8 C C 1 49

n

2 n

3

n    Điều kiện n  4

k n k k n

 n3

– 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7

Nên hệ số của x8 là C 4 2 3 280

7 

Bài 75 : Trong hội khỏe phù đổng của trường có 12 thí sinh giành giải

thưởng , trong đó có 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành được số giải nhiều nhất là 4 giải Hỏi trường có bao nhiêu giải?

Bài 77 : trong một hội nghị có 500 đại biểu tham dự Mỗi đại biểu có thể

sữ dung một trong 3 thứ tiếng anh, nga, pháp Theo thông kê có được có

60 đại biểu nói được 1 thứ tiếng, 180 đại biểu chỉ nói được tiếng anh và pháp, 150 đại biểu nói được tiếng anh và nga , 170 đại biểu nói được tiếng nga và pháp Hỏi có bao nhiêu đại biểu nói được 3 thứ tiếng ?

Số đại biểu nói được cả ba thứ tiếng là (170 150)   260  60(người)

Bài 78 : Trong số 200 học sinh có 50%số người biết chơi bóng chuyền, 65% số người biết chơi bóng bàn, 15% không biết chơi môn nào trong hai môn thể thao đó Hỏi có bao nhiêu học sinh biết chơi đồng thời cả hai môn thể thao nói trên?

Giải

Số người biết chơi bóng bàn hoặc bóng chuyền chiếm 100% 15% 85%  

Số người chỉ biết chơi bóng bàn chiếm

Bài 79 : Có 2000 con gà nhốt vào 1000 cái chuồng mỗi chuồng có hai

con Sau mỗi ngày lại thay đổi vị trí gà sao cho không có hai con nào đã nhốt chung chuồng trước đó lại được nhốt trong cùng một chuồng lần nữa Hỏi có bao nhiêu ngày được xếp như vậy.?

Giải

Đánh số thứ tự con gà từ 1 đến 2000 và vẽ đa giác đều nội tiếp đường tròn có 1999 đỉnh biểu diễn cho 1999 con gà và tâm là điểm biểu diễn cho con gà thứ 2000 Dựa vào tính đối xứng của các cặp đỉnh đa giác qua đường nối tâm với một điểm bất kỳ ta được kết quả là 1999 ngày

Bài 80 : Cho hai tập hợp A và B biết tập AB có số phần tử bằng một

nửa số phần tử của B và AB có 7 phần tử Hãy tìm số phần tử của mỗi tập hợp ?

y

A  B y Vì y chia hết cho 3 =>ta có y0;2;4;6, tương ứng ta

có x nhận các giá trị 7; 6; 5;4

Bài 81 : Trong 1 bài trắc nghiệm có 100 câu hỏi, sinh viên được chọn 1 trong

4 câu trả lời của mỗi câu hỏi

a/ có tất cả bao nhiêu cách để sinh viên trả lời tất cả các câu hỏi trên bài trắc nghiệm nếu tất cả các câu hỏi đều được trả lời ?

b/ có tất cả bao nhiêu cách để sinh viên trả lời tất cả các câu hỏi trên bài trắc nghiệm nếu sinh viên có thể trả lời hoặc không trả lời ?

Giải

a/ mỗi câu trả lời có 4 phương án có thể đánh

Vậy trong 100 câu hỏi số cách sinh viên có thể chọn để trả lời là 100 × 4 =

400 (cách) Vậy số cách sinh viên có thể trả lời là 400 cách

b/ sinh viên có thể trả lời hoặc không trả lời vậy trong mỗi câu hỏi sinh viên

có thêm 1 lựa chọn ngoài 4 lựa chọn các phương án trong câu hỏi còn 1 lựa chọn là không trả lời câu hỏi đó

Vậy số cách sinh viên trả lời 100 câu hỏi nói trên là 100 × 4 = 400 (cách) số cách sinh viên không trả lời câu hỏi đó là 100 (cách)

Vậy  số cách sinh viên có thể trả lời hoặc không trả lời là 500 (cách)

Bài 82 : Trong 1 bài toán kiểm tra có 2 bài toán , trong đó có 30 học sinh làm

được câu 1, 20 học sinh làm dược câu 2 và có 10 học sinh làm được cả 2 câu Hỏi số học sinh trong lớp là bao nhiêu ? Biết không có học sinh nào không làm được bài nào

Giải

Gọi A là số học sinh trả lời được câu 1 , B là số học sinh trả lời được câu 2 và

số học sinh trả lời được cả 2 bài là AB

Bài toán đưa ta yêu cầu ta tìm AB

Ta có A và B là tập hợp Ø thì ta áp dụng công thức

|AB| =|A| + |B| - | AB |

=> số học sinh trong lớp học là : 30 + 20 - 10 = 40 (học sinh)