BÀI TẬP CHƯƠNG 2: SỐ ĐẾM GVBM: CAO THANH TÌNH BÀI TẬP THUYẾT TRÌNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN -   - BÀI TẬP CHƯƠNG 2: SỐ ĐẾM GVBM: CAO THANH TÌNH BÀI TẬP THUYẾT TRÌNH NHĨM I DANH SÁCH NHĨM I NGÔ VĂN HÀO – 11520549 PHẠM MINH ĐỨC – 11520070 VĂN TẤN QUỐC – 11520312 TRẦN ANH KHOA – 11520178 LÊ ĐÌNH PHI – 11520282 PHẠM ĐĂNG VINH – 11520480 TRẦN PHƯƠNG CHUNG – 11520034 NGUYỄN HOÀNG HUY – 11520576 PHAN HUY TÀI – 11520340 10.LÊ VĂN TOÀN – 11520423 11 ĐẶNG ĐÌNH ĐỨC – 11520534 12.HỒNG MINH NHÂN – 10520615 13 PHẠM ĐỨC MẠNH – 10520443 14.NGUYỄN XUÂN THỌ - 09520673 15 TRẦN PHÚC THỊNH – 09520670 16 TRẦN HỮU LỘC – 09520556 17 NGUYỄN MẠNH HÙNG – 09520535 18 VY VĂN ANH – 11520010 19 NGUYỄN PHƯỚC LỘC – 08520654 20 ĐẶNG QUỐC THÁI - 08520340 Bài : Giả sử A = {1,{1},{2}} Hãy khẳng định số khẳng định : a) (Đúng) b) (Đúng) c) (Đúng) d) (Đúng) e) (Sai) (Sai) f) Bài : Hãy liệt kê phần tử tập hợp : a) {0,2} b) c) {1/( | } { } Bài : Xét tập hợp Z : A= C= E= , , B= D= F= Hãy xác định khẳng định số khẳng định sau a) A = B (Đúng) d) D = E (Sai) b) A = C (Đúng) e) D = F (Đúng) c) B = C (Đúng) f) E = F (Sai) Bài : Trong số tập hợp đây, tập hợp khác a) = b) c) d) e) f) ? = = = Q) Bài : Xét tập hợp tập hợp vũ trụ A = {1,2,3,4,5}, B = {1,2,4,8} C = {1,2,3,5,7}, D = {2,4,6,8} Hãy xác định tập hợp a) b) c) d) e) f) g) h) i) Giải a) Ta có : b) Ta có : c) Ta có : d) Ta có : - e) Ta có : f) Ta có : g) Ta có : h) Ta có : i) Ta có : Bài : Xét tập hợp Z : A = {2n | n ∊ Z}, C = {4n | n ∊ Z}, B = {3n | n ∊ Z} D = {6n | n ∊ Z} E = {8n | n ∊ Z} Hãy khẳng định khẳng định : a) E ⊂ C ⊂ A b) A ⊂ C ⊂ E c) D ⊂ B d) D ⊂ A e) B ⊂ D f) ⊂ (Đúng) (Sai) (Đúng) (Đúng) (Sai) (Sai) Bài : Xét tập tùy ý A,B,C,D tập hợp vũ trụ U Hãy chứng minh khẳng định a) Nếu A ⊂ B C ⊂ D b) Nếu A ⊂ C B ⊂ C c) A ⊂ B d) A ⊂ B và Giải a) Ta có - A ⊂ B C ⊂ D (1) - (1) - (2) Điều phải chứng minh b)c)d) Tương tự Bài : Dùng quy luật Lý thuyết tập hợp để đơn giản biểu thức a) b) c) Giải a) b) c) Bài 8: Một sinh viên chọn thực hành từ ba danh sách tương ứng có 29, 15, 31 Vậy sinh viên có cách chọn thực hành Giải Theo quy tắc cộng ta có : 29 + 15 + 31 = 75 (cách chọn) Bài : Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường chữ số nguyên dương không vượt 100 Vậy có nhiều ghế ghi nhãn khác Giải Thủ tục ghi nhãn cho ghế gồm hai việc, gán 26 chữ sau gán 100 số nguyên dương Quy tắc nhân có 26.100=2600 cách khác để gán nhãn cho ghế Như nhiều ta gán nhãn cho 2600 ghế Bài 10 : Có xâu nhị phân có độ dài n Giải Mỗi n bit xâu nhị phân chọn hai cách bit hoặc Bởi theo quy tắc nhân có tổng cộng n xâu nhị phân khác có độ dài n Bài 11 : Có thể tạo ánh xạ từ tập A có m phần tử vào tập B có n phần tử? Giải Theo định nghĩa, ánh xạ xác định A có giá trị B phép tương ứng phần tử A với phần tử B Rõ ràng sau chọn ảnh i - phần tử đầu, để chọn ảnh phần tử thứ i A ta có n cách Vì theo quy tắc nhân, ta có n.n n=nm ánh xạ xác định A nhận giá trị B Bài 12 : Có n thư n phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì Hỏi xác suất để xảy không thư địa Giải Mỗi phong bì có n cách bỏ thư vào, nên có tất n! cách bỏ thư Vấn đề cịn lại đếm số cách bỏ thư cho không thư địa Gọi U tập hợp cách bỏ thư Am tính chất thư thứ m bỏ địa Khi theo cơng thức ngun lý bù trừ ta có: N = n!  N1 + N2  + (1)nNn, Nm (1  m  n) số tất cách bỏ thư cho có m thư địa Nhận xét rằng, Nm tổng theo cách lấy m thư từ n lá, với cách lấy m thư, có (n-m)! cách bỏ để m thư địa chỉ, ta nhận được: Nm = C nm (n - m)! = C nm = n! m!(n  m)! n! k! N = n!(1  1! + 2!  + (1)n ) n! tổ hợp chập m tập n phần tử (số cách chọn m đối tượng n đối tượng cho) Từ xác suất cần tìm là: Bài 13 : Số mã vùng cần thiết nhỏ để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại khác Mỗi điện thoại có chữ số dạng 0XX8XXXXX với X nhận giá trị từ 0-9 Giải Vì số mã vùng có dạng 0XX-8XXXXX, với X nhận giá trị từ 0-9, có ký tự X trường hợp Do theo nguyên lý Dirichet với 10 triệu máy điện thoại cần có số mã vùng : Vậy số mã vùng cần thiết để thỏa yêu cầu Bài 14 : Biển số xe gồm ký tự dạng NN-NNNN-XN ví dụ 75_1576_F1 Hai số đầu mã tỉnh.X chữ ( 26 chữ cái) N gồm số từ 0-9 Hỏi tỉnh cần đăng ký cho triệu xe cần serial X Giải Hai số NN đầu mã tỉnh, nhà nước quy định nên không ảnh hưởng đến kết Sáu số ký tự lại N nhận giá trị từ 0-9 nên có trường hợp Theo nguyên lý Dirichlet, số serial X tối thiểu phải thỏa mãn : Bài 15 : Trong tháng gồm 30 ngày, đội bóng chuyền thi đấu ngày trận chơi khơng q 45 trận Chứng minh tìm giai đoạn gồm số ngày liên tục tháng cho giai đoạn đội chơi 14 trận Giải Gọi aj số trận mà đội chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j Khi  a1 < a2 < < a30 < 45 15  a1+14 < a2+14 < < a30+14 < 59 Sáu mươi số nguyên a1, a2, , a30, a1+ 14, a2 + 14, , a30+14 nằm 59 Do theo nguyên lý Dirichlet có 60 số Vì tồn i j cho = aj + 14 (j < i) Điều có nghĩa từ ngày j + đến hết ngày i đội chơi 14 trận Bài 16 : Chứng tỏ n + số nguyên dương khơng vượt q 2n, tồn số chia hết cho số khác Giải Ta viết số nguyên a1, a2, , an+1 dạng aj = k j qj kj số nguyên khơng âm cịn qj số dương lẻ nhỏ 2n Vì có n số ngun dương lẻ nhỏ 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tồn i j cho qi = qj = q Khi ai= ki q aj = k j q Vì vậy, ki  kj aj chia hết cho trường hợp ngược lại ta có chia hết cho aj Bài 17 : Giả sử nhóm người cặp hai bạn thù Chứng tỏ nhóm có ba người bạn lẫn có ba người kẻ thù lẫn Giải Gọi A người Trong số người nhóm có ba người bạn A có ba người kẻ thù A, điều suy từ nguyên lý Dirichlet tổng quát, = Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D bạn A ba người có hai người bạn họ với A lập thành ba người bạn lẫn nhau, ngược lại, tức ba người B, C, D khơng có bạn chứng tỏ họ ba người thù lẫn Tương tự chứng minh trường hợp có ba người kẻ thù A Bài 18 : Cần phải có SV ghi tên vào lớp TRR để chắn có 65 SV đạt điểm thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc Giải Gọi n số sinh viên tối thiểu thỏa mãn đề bài, theo nguyên lý Dirichlet = 65 Do n = 10 * 64 +1 = 641 SV Bài 19 : Chỉ chọn số từ tập số {1, 2, …, 7, 8} có 01 cặp số có tổng Giải Từ số trên, ta chia thành 04 cặp: {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} tổng cặp Như vậy, đề trở thành chọn số từ cặp số Theo ngun lý Dirichlet, phải có 01 cặp số chọn hết Vậy toán chứng minh Bài 20 : Có cách chọn tờ giấy bạc từ két đựng tiền gồm tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà tờ tiền chọn không quan trọng, tờ tiền loại không phân biệt loại có tờ Giải Vì ta khơng kể tới thứ tự chọn tờ tiền ta chọn lần, lần lấy từ loại tiền nên cách chọn tờ giấy bạc tổ hợp lặp chập từ phần tử Do số cần tìm C7551 = 462 Bài 21 : Phương trình x1 + x2 + x3 = 15 có nghiệm ngun khơng âm? Giải Chúng ta nhận thấy nghiệm phương trình ứng với cách chọn 15 phần tử từ tập có loại, cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại x3 phần tử loại chọn Vì số nghiệm số tổ hợp lặp chập 15 từ tập có phần tử C315151 = 136 Bài 22 : Có thể nhận xâu khác cách xếp lại chữ từ SUCCESS? Giải Vì số chữ từ SUCCESS nên câu trả lời khơng phải số hốn vị chữ Từ chứa chữ S, chữ C, chữ U chữ E Để xác định số xâu khác tạo ta nhận thấy có C(7,3) cách chọn chỗ cho chữ S, lại chỗ trống Có C(4,2) cách chọn chỗ cho chữ C, cịn lại chỗ trống Có thể đặt chữ U C(2,1) cách C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu Theo nguyên lý nhân, số xâu khác tạo là: C 73 C 42 C 21 C11 = 7!4!2!1! 3!.4!.2!.2!.1!.1!.1!.0! = 7! 3!.2!.1!.1! = 420 Bài 23 : Có cách chia xấp quân cho người chơi từ cỗ chuẩn 52 quân? Giải Người nhận quân C52 cách Người thứ hai chia quân C 47 cách, cịn 47 qn Người thứ ba nhận quân C 42 cách Cuối cùng, người thứ tư nhận quân C37 cách Vì vậy, theo nguyên lý nhân tổng cộng có 5 5 C 47 C 42 C37 C 52 = cách chia cho người người xấp quân Bài 24 Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi, 40 SV học hai mơn a Tìm tất SV khóa 29 biết SV phải học 01 môn b Biết tổng số SV 285, hỏi có SV khơng học Java Delphi Giải Gọi J: SV học Java D: SV học Delphi a Số SV khóa 29 là: SV b Số SV không học Java Delphi (áp dụng nguyên lý bù trừ) ta tính được: SV Bài 25 : Mỗi người sử dụng máy tính dùng password có -> ký tự Các ký tự chữ số chữ cái, password phải có 01 chữ số Tìm tổng số password có Giải Phân biệt chữ thường với chữ hoa Chữ thường: 26 Chữ hoa: 26 Chữ số: 10 Do đó, tổng cộng có 26 + 26 + 10 = 62 ký tự khác Nếu password có n ký tự ta có : Tổng số trường hợp = Số trường hợp khơng có chữ số = Vậy số trường hợp có chữ số = - Với n = 6,7,8 ta có tổng số trường hợp Bài 26 : Có xâu nhị phân có độ dài 10: a) Bắt đầu 00 kết thúc 11 b) Bắt đầu bẳng 00 kết thúc 11 Giải a) Bắt đầu 00 kết thúc 11 Xâu nhị phân bắt đầu 00 có dạng: 00.xxxx.xxxx Ký tự x 1, có ký tự x có xâu Xâu nhị phân kết thúc 11 có dạng: xx.xxxx.xx11 Tương tư ta tính có xâu Xâu nhị phân bắt đầu 00 kết thúc 11 có dạng 00.xxxx.xx11 Tương tự trên, ta tính có xâu Vậy số xâu nhị phân bắt đầu 00 hay kết thúc 11 là: n = 2*28 - 26 = 512 – 64 =448 xâu Bắt đầu 00 kết thúc 11 Xâu nhị phân thỏa mãn đề phải có dạng: 00.xxxx.xx11 Hai ký tự đầu 02 ký tự cuối khơng đổi, cịn 06 ký tự Do số xâu nhị phân thỏa mãn đề là: xâu Bài 27: Giả sử người gửi 10.000 đô la vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Giải Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Vì số tiền có tài khoản sau n năm số có sau n  năm cộng lãi suất năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau: Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1 với điều kiện đầu P0 = 10.000 la Từ suy Pn = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la Bài 28 : Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai số liên tiếp Có xâu nhị phân có độ dài 5? Giải Gọi an số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai số liên tiếp Để nhận hệ thức truy hồi cho {an}, ta thấy theo quy tắc cộng, số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai số liên tiếp số xâu nhị phân kết thúc số cộng với số xâu kết thúc số Giả sử n  Các xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai số liên tiếp kết thúc số xâu nhị phân thế, độ dài n  thêm số vào cuối chúng Vậy chúng có tất an-1 Các xâu nhị phân độ dài n, khơng có hai số liên tiếp kết thúc số 0, cần phải có bit thứ n  1, khơng chúng có hai số hai bit cuối Trong trường hợp chúng có tất an-2 Cuối ta có được: an = an-1 + an-2 với n  Điều kiện đầu a1 = a2 = Khi a5 = a4 + a3 = a3 + a2 + a3 = 2(a2 + a1) + a2 = 13 Bài 29 : Hãy tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 với điều kiện ban đầu a0 = 2, a1 = a2 = 15 Giải Đa thức đặc trưng hệ thức truy hồi r3 - 6r2 + 11r - Các nghiệm đặc trưng r = 1, r = 2, r = Do nghiệm hệ thức truy hồi có dạng an = 11n + 22n + 33n Các điều kiện ban đầu a0 = = 1 + 2 + 3 a1 = = 1 + 22 + 33 a2 = 15 = 1 + 24 + 39 Giải hệ phương trình ta nhận 1= 1, 2 = 1, 3 = Vì thế, nghiệm hệ thức truy hồi điều kiện ban đầu cho dãy {an} với an =  2n + 2.3n Bài 30 : Tìm cơng thức hiển số Fibonacci Giải Dãy số Fibonacci thỏa mãn hệ thức fn = fn-1 + fn-2 điều kiện đầu f0 = f1 = Các nghiệm đặc trưng r1 = 1 Do số Fibonacci cho cơng thức fn = 1( 2( 1 n ) + 2( 1 r2 = 1 n ) Các điều kiện ban đầu f0 = = 1 + 2 f1 = = 1( 1 ) Từ hai phương trình cho ta 1 = , 2 = - + 1 ) Do số Fibonacci cho cơng thức hiển sau: Bài 31: Tìm hệ thức truy hồi n r Với n r số miền mặt phẳng bị phân chia n đường thẳng Biết khơng có đường thẳng song song khơng có 03 đường thẳng qua điểm Giải Với n đường thẳng, theo đề đường thẳng thứ n cắt n – đường thẳng lại n – điểm, tức cắt n – + = n phần mặt phẳng Do đó, số phần mặt phẳng tăng lên n Từ đó, ta có hệ thức truy hồi: Các điều kiện đầu là: n = 0: n = 1: Bài 32 : cho tập hợp A gồm n phần n phần tử ( n 4) Biết số tập hợp gồm phần tử A 20 lần số tập hợp gồm phần tử A Tìm n? Giải Số tập hợp có phần tử A Số tập hợp co phần tử A Theo giả thuyết ta có: = 20 – 5n = 20 234 = n = 18 n = -13 ( loại) ậy A có 18 phần tử Bài 33 : Biết số n nguyên dương thỏa mản biểu thức: +2 +2 + Tính giá trị biểu thức: Bài làm: = 149 M= Xét phương trình: +2 +2 + = 149 (1) Khi Vậy đk để (1) có nghĩa là số ngun Áp dụng cơng thức tính số tổ hợp ta có: (1) Khi =5, dễ dàng thấy M= Bài 34: Một đội tình nguyện có 15 người gồm 12 nam, nữ Hỏi có cách phân công để giúp tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam va nữ.: Bài làm: - Chọn nam nữ cho tỉnh thứ nhất, theo quy tắc nhân ta có: - Chọn nam nữ số người lại: - Còn lại tỉnh thứ - Vậy số cách phân công thỏa yêu cầu là: N = 1485.140 = 207900 Bài 35 : Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam Cần lập đồn người có nam lẫn nữ vừa tốn học vừa có vật lí Hỏi có cách lập đồn cơng tác? Bài làm: - Ta có cách sau: vật lí nam, nữ tốn: vật lí nam, nữ tốn: vật lí nam, nữ toán nam toán: Số cách lập đồn cơng tác là: 18+12+60 = 90 Bài 36 : Từ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số Bài làm: Ta coi chữ số chư số x lúc dãy ta chữ số 0, 1, 4, 5, x Số hàng chục nghìn có cách Số hành nghìn có cách Số hàng trăm có cách Số hành chục có cách Số hàng đơn vị có cách Vá có cách xếp x cách Vậy có 4.4.3.2.2.1 = 192 cách thỏa yêu cầu Bài 37 : Đội niên xung kích ĐH CNTT có 12 sinh viên Gồm sv khoa MMT, sv khoa KTMM, sv khoa CNPM, cần sv tham gia trực, cho sv thuộc khơng q khoa nói Hỏi có cách Bài làm: Gọi A tập hợp tất cách chọn sv 12 sv B tập hợp cách chọn sv 12 sv không thỏa mản yêu cầu giả thuyết C tập hợp cách chọn sv 12 sv thỏa yêu cầu giả thuyết Ta có: A = B C;B C= Theo quy tắc cộng: |A| = |B| + |C| |C| = |A| |B| (1) Ta lại có: |A| = (2) Tính |B| ( Vì khơng thỏa u cầu nên tập B có trường hợp có khoa có sv khoa có sv) |B| = (3) Thay (2),(3) vào (1) ta có: |C| = 495 270 = 225 Vậy có 225 cách chọn Bài 38 : Cho tập hợp E = lăp số có chữ số không yêu cầu đội khác Sao cho số tạo thành chia hết cho Bài làm: Những số từ chữ số trở lên muốn chia hết cho thi phải có chữ số cuối chia hết cho Liệt kê số có chữ số chia hết cho 4: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 - Chọn số cuối ta có cách chọn - Chọn chữ số hàng nghìn ta có cách chọn - Chọn chữ số hàng trăm ta có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: 9.6.6 = 324 Vậy có 324 cách chon thỏa yêu cầu toán Bài 39 : Biển số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ từ A đến Z Các chữ số lấy từ 10 số từ đến Có biển số xe có chữ khác nhau, đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ giồng Bài làm: - Chọn chữ 26 chữ là: - Chọn số lẻ giống nhau: - Chọn vị trí số vi trí để đặt số lẻ giống nhau: - Sắp xếp số chẳn vào vị trí cịn lại: ( Vì cách chọn phần tử lặp phần tử) Số biển số xe thỏa yêu cầu: N = 650.5.6.25 = 487500 Bài 40 : Có thể lặp số có chữ số cho số có mặt tối đa lần, số 2, 3, có mặt tối đa lần.( Viết từ số 1, 2, 3, 4.) Bài làm: Có thể thấy số có mặt tối thiểu lần Gọi: - - tập hợp số có chữ số, mà số có mặt lần số 2, 3, có mặt lần tập hợp mà số có mặt lần số 2, 3, có mặt tối đa lần.( chọn số số) tập hợp mà số có mặt lần số 2, 3, có mặt tối đa lần.( chọn số số) Tính Chọn vị trí số vị trí để đặt số 1: vị trí lại đặt số 2, 3, là: 3! = Theo quy tắc nhân Tính Số cách thỏa yêu cầu: A = 120 + 90 + 18 = 228