Tài liệu BÀI TẬP CHƯƠNG 2: SỐ ĐẾM doc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN -   - BÀI TẬP CHƯƠNG 2: SỐ ĐẾM GVBM: CAO THANH TÌNH BÀI TẬP THUYẾT TRÌNH NHĨM I Bài : Có n thư n phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì Hỏi xác suất để xảy khơng thư địa Giải Mỗi phong bì có n cách bỏ thư vào, nên có tất n! cách bỏ thư Vấn đề lại đếm số cách bỏ thư cho không thư địa Gọi U tập hợp cách bỏ thư Am tính chất thư thứ m bỏ địa Khi theo cơng thức nguyên lý bù trừ ta có: N = n!  N1 + N2  + (1)nNn, Nm (1  m  n) số tất cách bỏ thư cho có m thư địa Nhận xét rằng, Nm tổng theo cách lấy m thư từ n lá, với cách lấy m thư, có (n-m)! cách bỏ để m thư địa chỉ, ta nhận được: Nm = m C n (n m C n = - m)! = N = n!(1  n! k! 1! + 2!  + (1)n ) n! n! tổ hợp chập m tập n phần tử (số cách chọn m đối m!(n  m)! tượng n đối tượng cho) Từ xác suất cần tìm là: 𝟏  𝟏 𝟏! + 𝟏 𝟐! 𝟏  +(−𝟏) 𝒏 𝐧! Bài : Số mã vùng cần thiết nhỏ để đảm bảo 25 triệu máy điện thoại khác Mỗi điện thoại có chữ số dạng 0XX-8XXXXX với X nhận giá trị từ 0-9 Giải Vì số mã vùng có dạng 0XX-8XXXXX, với X nhận giá trị từ 0-9, có ký tự X 107 trường hợp Do theo nguyên lý Dirichet với 10 triệu máy điện thoại cần có số mã vùng : ⌈ để thỏa yêu cầu 25000000 1000000 ⌉ = ⌈2,5⌉ = Vậy số mã vùng cần thiết Bài : Trong tháng gồm 30 ngày, đội bóng chuyền thi đấu ngày trận chơi khơng q 45 trận Chứng minh tìm giai đoạn gồm số ngày liên tục tháng cho giai đoạn đội chơi 14 trận Giải Gọi aj số trận mà đội chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j Khi  a1 < a2 < < a30 < 45 15  a1+14 < a2+14 < < a30+14 < 59 Sáu mươi số nguyên a1, a2, , a30, a1+ 14, a2 + 14, , a30+14 nằm 59 Do theo ngun lý Dirichlet có 60 số Vì tồn i j cho = aj + 14 (j < i) Điều có nghĩa từ ngày j + đến hết ngày i đội chơi 14 trận Bài : Chứng tỏ n + số ngun dương khơng vượt q 2n, tồn số chia hết cho số khác Giải Ta viết số nguyên a1, a2, , an+1 dạng aj = k j qj kj số ngun khơng âm cịn qj số dương lẻ nhỏ 2n Vì có n số ngun dương lẻ nhỏ 2n nên theo nguyên lý Dirichlet tồn i j cho qi = qj = q Khi ai= ki q aj = k j q Vì vậy, ki  kj aj chia hết cho cịn trường hợp ngược lại ta có chia hết cho aj Bài : Mỗi người sử dụng máy tính dùng password có -> ký tự Các ký tự chữ số chữ cái, password phải có 01 chữ số Tìm tổng số password có Giải Phân biệt chữ thường với chữ hoa Chữ thường: 26 Chữ hoa: 26 Chữ số: 10 Do đó, tổng cộng có 26 + 26 + 10 = 62 ký tự khác Nếu password có n ký tự ta có : Tổng số trường hợp = 62 𝑛 Số trường hợp khơng có chữ số = 52 𝑛 Vậy số trường hợp có chữ số = 62 𝑛 -52 𝑛 Với n = 6,7,8 ta có tổng số trường hợp 𝑛 = 𝑛6 + 𝑛7 + 𝑛8 = 626 − 526 + 627 − 527 + 628 − 528 = 16 10 .5 3.0 Bài : Có xâu nhị phân có độ dài 10: a) Bắt đầu 00 kết thúc 11 b) Bắt đầu bẳng 00 kết thúc 11 Giải: a) Bắt đầu 00 kết thúc 11 Xâu nhị phân bắt đầu 00 có dạng: 00.xxxx.xxxx Ký tự x 1, có ký tự x có 28 xâu Xâu nhị phân kết thúc 11 có dạng: xx.xxxx.xx11 Tương tư ta tính có 28 xâu Xâu nhị phân bắt đầu 00 kết thúc 11 có dạng 00.xxxx.xx11 Tương tự trên, ta tính có 26 xâu Vậy số xâu nhị phân bắt đầu 00 hay kết thúc 11 là: n = 2*28 - 26 = 512 – 64 =448 xâu Bắt đầu 00 kết thúc 11 Xâu nhị phân thỏa mãn đề phải có dạng: 00.xxxx.xx11 Hai ký tự đầu 02 ký tự cuối khơng đổi, cịn 06 ký tự Do số xâu nhị phân thỏa mãn đề là: 𝟐 xâu Bài : Biết số n nguyên dương thỏa mản biểu thức: 𝐶 + 2𝐶 + 2𝐶 + 𝐶 = 149 𝑛+1 𝑛+4 𝑛+2 𝑛+3 M= Tính giá trị biểu thức: 𝐴4𝑛+1 + 3𝐴3𝑛 ( 𝑛+1)! Giải: Xét phương trình: 𝐶2 + 𝑛+1 2𝐶 + 𝑛+2 2𝐶 + 𝑛+3 𝐶 = 149 (1) 𝑛+4 Khi 𝑛 + ≥ ⇒ 𝑛 + > 2; 𝑛 + > 2; 𝑛 + > Vậy đk để (1) có nghĩa 𝑛 ≥ 1, 𝑛 số ngun Áp dụng cơng thức tính số tổ hợp ta có: (1)⟺ ( 𝑛+1)! ( 𝑛−1)!2! +2 ( 𝑛+2)! 𝑛!2! ( 𝑛+3)! ( 𝑛+4)! + ( 𝑛+1)!2! + ( 𝑛+2)!2! = ⟺ 𝑛(𝑛+1) ⟺ 𝑛2 + + ( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) + ( 𝑛 + 2)( 𝑛 + 3) + (𝑛+3)(𝑛+4) =1 𝑛 − = ⟺ 𝑛 = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑛 = − (𝑙𝑜ạ𝑖) Khi 𝑛=5, dễ dàng thấy 𝐴4 + 3𝐴3 M= 6! =4 Bài : Cho hình thập giác lồi, hỏi lặp tam giác có đỉnh đỉnh thập giác lồi cạnh cạnh thập giác lồi? Giải: Gọi A tất tam giác có đỉnh đỉnh thập giác lồi B tam giác có đỉnh đỉnh thập giác có it cạnh cạnh thập giác C tam giác cần tìm Ta có: |C| = |A| - |B| (1) Dễ thấy |A| = 𝐶10 = 120 (2) Gọi 𝐵1 tam giác có cạnh cạnh thập giác 𝐵2 tam giác có cạnh cạnh thập giác | 𝐵| = | 𝐵1 | + | 𝐵2 | (3) Tính 𝐵1 - Chọn cạnh thập giác Số cạnh 𝑛1 = 10 - Chọn đỉnh tam giác đỉnh lại 𝑛2 = | 𝐵1 | = 10.6 = 60 Ta có | 𝐵2 | = 10 Theo | 𝐵| = 60 + 10 = 0.(4) Từ (2)(3)(4) ta có | 𝐶 | = 120 − = 50 Vậy có 50 tam giác thỏa yêu cầu Bài : Một thầy giáo có 12 sách đơi khác nhau, gồm văn học, âm nhạc, hội họa Ông lấy sách tặng cho học sinh, hs sau tặng xong loại cịn lại Hỏi có cách chọn Giải: Gọi A tập hợp tất cách tặng sách B tập hợp cách tặng sách không thỏa yêu cầu C tập hợp cách tạng sách đủ yêu cầu |C| = |A| - |B| (1) Ta có |A| = 𝐶12 6! = 6652 0.(2) Vì khơng thể xảy trường hợp lại loại sách | 𝐵1 | | 𝐵2 | | 𝐵3 | tập hợp tất cách sau Nên gọi tặng xong hết sách văn học, hội họa, âm nhạc | 𝐵1 | = 𝐶7 6! = 50 | 𝐵2 | = 𝐶8 6! = 20160 | 𝐵3 | = 𝐶9 6! = 60 |B|= 5040 + 20160 + 60480 = 85680 Từ (1)(2)(3) suy |C| = 665280 – 85680 = 579600 Bài 10 : Có cách chọn tờ giấy bạc từ két đựng tiền gồm tờ 1000đ, 2000đ, 5000đ, 10.000đ, 20.000đ, 50.000đ, 100.000đ Giả sử thứ tự mà tờ tiền chọn không quan trọng, tờ tiền loại khơng phân biệt loại có tờ Giải: Vì ta khơng kể tới thứ tự chọn tờ tiền ta chọn lần, lần lấy từ loại tiền nên cách chọn tờ giấy bạc tổ hợp lặp chập từ phần tử Do số cần tìm C751 = 462 Bài 11 : Có cách chia xấp quân cho người chơi từ cỗ chuẩn 52 quân? Giải: Người nhận quân C52 cách Người thứ hai chia quân C 47 cách Vì cịn 47 qn 5 Người thứ ba nhận quân C 42 cách Cuối cùng, người thứ tư nhận quân C37 cách Vì vậy, theo nguyên lý nhân tổng cộng có 5 5 C52 C 47 C 42 C37 = 52! 5!.5!.5!.5!.32! cách chia cho người người xấp quân Bài 12 : Giả sử người gửi 10.000 la vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Giải: Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Vì số tiền có tài khoản sau n năm số có sau n  năm cộng lãi suất năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau: Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1 với điều kiện đầu P0 = 10.000 đô la Từ suy Pn = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la Bài 13 : Cho hai tập hợp A B biết tập A  B có số phần tử nửa số phần tử B A  B có phần tử Hãy tìm số phần tử tập hợp Giải: Gọi x số phần tử tập A, y số phần tử tập B Từ giả thiết A  B  A  B  A  B ta có x  y  Lại y  hay 2x  y  14 y A  B có phần tử suy  B  hay  y  mà A  B   y 2 Từ kết ta có y 0;2;4;6 , tương ứng ta có x nhận giá trị 7; 6; 5;4 Bài 14 : Tính số số tự nhiên đơi khác có chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số đứng cạnh Giải: Xét số có chữ số gồm 0, 1, 2, chữ số “kép” (3, 4) + Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: chữ số vào vị trí có 5! = 120 cách - Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 120.2 = 240 số + Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: chữ số vào vị trí cịn lại có 4! = 24 cách - Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 24.2 = 48 số Vậy có 240 – 48 = 192 số Bài 15 : Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức: 11 1  1  A   x     x2   x   x  Giải: Công thức khai triển biểu thức là: 11 A  C x k 0 11 k k 11 k 11  1 n   x    C7 x   n 0  A    1 C x k 0 k k 113k 11   7n xn n   C7 x143n n 0 Để số hạng chứa x5 k=2 n=3 Vậy hệ số x5 C11  C7  90 Bài 16 : Chứng minh k,n  Z thỏa mãn  k  n ta ln có: k k k k k k Cn  3Cn1  2Cn2  Cn3  Cn3  Cn2 Giải: k k k k k k k k k Ta có: Cn  3Cn1  2Cn2  Cn3  Cn3  Cn2  Cn  3Cn1  3Cn2  Ck 3  Ck3 n n    (*)   k k k k k k k k 1 k 2 k k 1 k 1 k 2 VT(5)  Cn  Cn1  Cn1  Cn2  Cn2  Cn3  Cn1  2Cn1  Cn1  Cn1  Cn1  Cn1  Cn1 k k 1 k = Cn2  Cn2  Cn3 ( điều phải chứng minh) Bài 17 : Tính giá trị biểu thức: A  4C100  8C100  12C100   200C100 100 Giải: Ta có: 1  x  100 100  C100  C100 x  C100 x   C100 x100 (1) 100 1  x 100  C100  C100 x  C100 x2  C100 x3   C100 x100 (2) Lấy (1)+(2) ta được: 100 1  x 100  1  x 100  2C100  2C100 x2  2C100 x4   2C100 x100 Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta 100 100 1  x   100 1  x   4C100 x  8C100 x3   200C100 x99 99 99 Thay x=1 vào => A  100.2 99 100  4C100  8C100   200C100 Bài 18 : Khai triển rút gọn đa thức: Q  x   1  x   1  x    1  x  Ta đa thức: Q 10 14  x   a0  a1x   a14 x14 Xác định hệ số a9 Giải: Hệ số x9 đa thức 1  x  , 1  x  , , 1  x  là: C9 , C10 , , C14 Do đó: 10 14 9  1 1 a9  C99  C10   C14   10  10.11  10.11.12  10.11.12.13  10.11.12.13.14 24 20 =11+55+220+715+2002=3003 Bài 19 : Tìm hệ số số hạng chứa 𝑥 26 nhị thức Niutơn ( 𝑥4 𝑛 + 𝑥 ) 𝑛 biết 𝐶2𝑛+1 + 𝐶2𝑛+1 +….+𝐶2𝑛+1 =220 -1 Giải: Áp dụng công thức : 𝐶 𝑛𝑘 =𝐶 𝑛𝑛−𝑘 tìm n: 𝑛 𝐶2𝑛+1 +𝐶2𝑛+1 +….+𝐶2𝑛+1 2𝑛 2𝑛−1 𝑛+1 = 𝐶2𝑛+1 +𝐶2𝑛+1 +….+𝐶2𝑛+1 ⇒ 2𝑛+1 2𝑛−1 2𝑛 2𝑛+1 𝐶2𝑛+1 +𝐶2𝑛+1 +….+𝐶2𝑛+1 +𝐶2𝑛+1 +𝐶2𝑛+1 = 2(220 -1) +𝐶2𝑛+1 +𝐶2𝑛+1 ⇒ 22𝑛+1 =221 ⇒2n+1=21 ⇒ n=10 Vậy số hạng chứa 𝑥 26 210 Bài 20 : Cho 𝐶 + 2𝐶 +22 𝐶 +…+2 𝑛 𝐶 𝑛𝑛 =6561 𝑛 𝑛 𝑛 Tim hệ số số hạng 𝑥 tổng tất cá hệ số số hạng khai triển (𝑥 − ) 𝑛 𝑥 Giải: Ta có :(1 + 𝑥) 𝑛 =𝐶 +𝐶 x+….𝐶 𝑛𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +𝐶 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 𝑛 Khi x=2 ⇒6561=𝐶 +𝐶 x+….𝐶 𝑛𝑛−1 22 +𝐶 𝑛𝑛 𝑛 =3 𝑛 ⇒n=8 𝑛 𝑛 (𝑥 − 𝑥) 𝑛 =∑8𝑘=0 𝐶8𝑘 𝑥 2𝑘 (−3)8−𝑘 𝑥 8−𝑘 =(−1) 𝑘 (3)8−𝑘 ∑8𝑘=0 𝐶8𝑘 (𝑥)3𝑘−8 ⇒ 3k-8=7⇒k=5 ⇒ hệ số 𝑥 −𝐶8 33 =-1512 𝑘 8−𝑘 Tổng hệ số: ∑8 =(1 − 3)8 =256 𝑘=0 𝐶8 (−3) Bài 21 :Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp T, học sinh lớp L học sinh lớp H Cần chọn học sinh tham gia trực tuần cho học sinh thuộc khơng q lớp nói Hỏi có cách chọn? Giải: Gọi A tập tất cách chọn học sinh 12 học sinh Gọi B tập hợp tất cách chọn không thoả mãn yêu cầu toán Gọi C tập hợp tất cách chọn thoả mãn yêu cầu tốn Ta có A  B  C , B  C   Theo quy tắc cộng ta có |A|=|B|+|C| hay |C|=|A|-|B| Dễ thấy |A|= C12 *Ta tính |B| Gọi x, y, z số học sinh lớp T, L, H chọn cách chọn thuộc B Ta có hệ  x  y  z  4, x, y, z  N  1  x  5,1  y  4,1  z  Hệ có nghiệm (1; 1; 2); (1; 2; 1); (2;1; 1) 1 Vậy B= C5 C C3 2 1  C5 C4 C3  C5 C4 C3 Do 1 2 1 |C|= C12 - C5 C4 C3  C5 C4 C3  C5 C4 C3 Bài 22 : Tính số số tự nhiên có chữ số đôi khác thành lập từ 0, 1, 2, 3, 4, cho số có mặt chữ số Giải: + Loại 1: chữ số a1 Sắp chữ số vào vị trí có A6 = 360 cách Sắp chữ số 0, 3, 4, vào vị trí có 4! = 24 cách Suy có 360 – 24 = 336 số + Loại 2: chữ số a1 (vị trí a1 có chữ số 0) Sắp chữ số vào vị trí có A 3! = cách Suy có 60 – = 54 số = 60 cách Sắp chữ số 3, 4, vào vị trí có Vậy có 336 – 54 = 282 số Cách khác: + Loại 1: Số tự nhiên có chữ số tùy ý - Bước 1: Chọn chữ số khác vào a1 có cách - Bước 2: Chọn chữ số khác a1 vào vị trí cịn lại có A = 60 cách Suy có 5.60 = 300 số + Loại 2: Số tự nhiên có chữ số gồm 0, 3, 4, (khơng có 2) - Bước 1: Chọn chữ số khác vào a1 có cách - Bước 2: Sắp chữ số lại vào vị trí 3! = cách Suy có 3.6 = 18 số Vậy có 300 – 18 = 282 số Bài 23 :Từ chữ số 0, 1, 2, lập thành số tự nhiên có chữ số phân biệt Tính tổng số thành lập Giải: + Xét số A có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ số A ta lập 12 cặp số có tổng 333 A = 24 Ví dụ 012 + 321 = 333 Suy tổng số A 12.333 = 3996 + Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm Từ A2 = số B ta lập cặp số có tổng 44 Ví dụ 032 + 012 = 44 Suy tổng số B 3.44 = 132 Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Cách khác: + Xét số A có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số A A = 24 số Số lần chữ số có mặt hàng trăm, hàng chục đơn vị 24 : = lần - Tổng chữ số hàng trăm (hàng chục, đơn vị) 24 số là: 6.(0 + + + 3) = 36 Suy tổng số A 36.(100 + 10 + 1) = 3996 + Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số B A2 = số Số lần chữ số 1, 2, có mặt hàng chục đơn vị : = lần - Tổng chữ số hàng chục (đơn vị) số 2.(1 + + 3) = 12 Suy tổng số B 12.(10 + 1) = 132 Vậy tổng số thỏa yêu cầu 3996 – 132 = 3864 Bài 24 :Tìm số cách xếp 30 viên bi giống vào hộp khác cho hộp 1có bi, biết hộp hộp không chứa bi Giải: Trước hết ta tìm số cách xếp 30 viên bi giống vào hộp khác cho hộp có bi Nhận xét ta cần lấy bi để xếp trước vào hộp 1, số bi cịn lại 25 Suy số cách xếp trường hợp số cách xếp 25 bi vào hộp mà 25 25 25 khơng có điều kiện thêm Số cách xếp 𝐾5 = 𝐶5+25−1 = 𝐶29 = 23 51 (1) Tương tự ta có: - Số cách xếp 30 viên bi giống vào hộp khác cho hộp chứa 18 18 18 bi, hộp chứa bi 𝐾5 = 𝐶5+18−1 = 𝐶22 - Số cách xếp 30 viên bi giống vào hộp khác cho hộp chứa 18 18 18 bi, hộp chứa bi 𝐾5 = 𝐶5+18−1 = 𝐶22 - Số cách xếp 30 viên bi giống vào hộp khác cho hộp chứa 11 11 11 bi, hộp chứa bi 𝐾5 = 𝐶5+11−1 = 𝐶15 Sử dụng công thức |A∪ B| = |A| + |B| − |A∩ B| ta suy số cách xếp 30 viên bi giống vào hộp khác cho hộp chứa bi, đồng thời hộp 18 18 11 11 18 18 hay hộp chứa bi 𝐾5 + 𝐾5 − 𝐾5 = 𝐶22 + 𝐶22 − 𝐶15 = 13265 (2) Theo yêu cầu toán, xếp 30 viên bi vào hộp hộp phải có nhât bi cịn hộp phải có khơng bi Do số cách xếp hiệu hai cách xếp (1) (2), tức bằng: 23751−13265=10486 Bài 25:CM: 2n+1≤2n với n≥3=P(n) Giải: Ta có với n=3 => 2.3+1=7≤8 Giả sử với n=k : 2k+1≤2k (1) Ta cm p(n) với n=k+1 Ta có 2k+1=2.2k≥2(2k+1)= 2(2k+1)+(2(k+1)+1)- (2(k+1)+1)= (2(k+1)+1)+2k-1 Mà k≥3 => 2k-1 >0 Vậy 2k+1≥2(k+1)+1) Vậy P(n) với n(dpcm) Bài 26:CM: n2≤2n với n≥4 Giải: Ta có với n=4 => 22=4≤22 Giả sử với n=k : k2≤2k (1) Ta cm p(n) với n=k+1 Ta có 2k+1=2.2k≥ 2k2+(k+1)2-(k+1)2=2k2+k2-2k-1 Dễ thấy k2-2k-1>0(xét hàm f(k)= k2-2k-1 khoảng nghiệm f(k) nhận giá trị dương) Vậy 2k+1≥ ( k+1)2 Vậy P(n) với n(dpcm) Bài 27:Tìm hệ số x101y99 khai triển (2x-3)200? Giải: Số hạng thứ 100 khai triển (2x-3)200 C 99 200 (2x)101(-3y)99=2101.(-3)99 C 99 200 Vậy hệ số x101y99 : 2101.(-3)99 x101y99 C 99 200 Bài 28:Phương án đánh số điện thoại Giả sử số điện thoại gồm 10 ký số chia thành nhóm: nhóm gồm ký số nhóm ký số Do số lý đó, có số hạn chế trêncác ký số số điện thoại Để xác định dạng hợp lệ số điện thoại ta dung ký hiệu X để ký số lấy giá trị từ đến 9, N để kýsố từ đến 9, Y ký số Chúng ta có phương án để đánh số điện thoại : phương án cũ phương án Theo phương án cũ, số điện thoại có dạng NYX NNX XXXX; theo phương án số điện thoại có dạng NXX NXX XXXX Hỏi số lượng số điện thoại khác phương án bao nhiêu? Giải: Do qui tắc nhân, phương án đánh số điện thoại cũ, số trường hợp khác nhóm ký số nhóm là: 8.2.10 = 160 (ứng với dạng NYX), 8.8.10 = 640 (ứng với dạng NNX),và 10.10.10.10 = 10000 (ứng với dạng XXXX) Vậy, phương án đánh số điện thoại cũ, số lượng số điện thoại 160 640.10000 = 024 000 000 Tương tự Số lượng số điện thoại phương án đánh số : (8.10.10).(8.10.10).(10.10.10.10) = 800.800.10000 = 400 000 000 Bài 29:Tính số số tự nhiên đơi khác có chữ số tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, cho chữ số đứng cạnh Giải: Xét số có chữ số gồm 0, 1, 2, chữ số “kép” (3, 4) + Loại 1: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: chữ số vào vị trí có 5! = 120 cách - Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 120.2 = 240 số + Loại 2: chữ số hàng trăm ngàn - Bước 1: chữ số vào vị trí cịn lại có 4! = 24 cách - Bước 2: với cách chữ số kép có hốn vị chữ số Suy có 24.2 = 48 số Vậy có 240 – 48 = 192 số Bài 30:Từ nhóm 30 học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A có học sinh khối C Tính số cách chọn Giải: + Loại 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A có C2C13 25 cách + Loại 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A không thỏa yêu cầu - Trường hợp 1: Chọn học sinh khối C, 10 học sinh khối B học sinh khối A 10 có C 5C10C15 cách - Trường hợp 2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối B học sinh khối A có C2C10C15 cách 13 10 Vậy có C5 (C25 - C10C15 - C10C15 ) = 51861950 cách Bài 31:Cho tập hợp A={a,b,c,d},B={b,d,e},C={a,b,e}.Chứng minh: 1) A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C) 2) A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C) Giải: 1) Ta có: B∖C={d},A∩B={b,d},A∩C={a,b} ⇒ (A∩B)∖(A∩C)=d Suy ra: A∩(B∖C)={d},(A∩B)∖(A∩C)={d} Vậy: A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C) 2) Ta có: (B∩C)={b,e},A∖B={a,c},A∖C={c,d} Suy ra: A∖(B∩C)={a,c,d} ; (A∖B)∪(A∖C)={a,c,d} Vậy: A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C) Bài 32: Gọi A tập hợp học sinh lớp học có 53 học sinh, B C lần lợt tập học sinh thích mơn Tốn, tập học sinh thích mơn Văn lớp Biết có 40 học sinh thích mơn Tốn 30học sinh thích mơn Văn Hãy biểu diễn A,B,C dạng biểu đồ Tìm số phần tử lớn bé có tập hợpB∩C Giải: Gọi x số học sinh thích hai mơn Văn Tốn Ta có biểu đồ hình vẽ trang bên * Số học sinh nhiều thích hai mơn 30 em (lúc đó, tất 30 em thích mơn Văn thích mơn Tốn) Do vậy, số phần tử lớn có tập hợp B∩C 30 * Ta có: 40+(30−x)≤ 53 hay x≥17 Vậy số phần tử bé có tập hợp B∩C 17 Bài 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển ( 𝑥 + )18 𝑥 Giải: 𝑥 𝑥 Số hạng tổng quát khai triển ( + )18 = (2−1 𝑥 + −1 𝑥)18 là: 𝑘 𝑘 𝐶18 (2−1 𝑥)18−𝑘 + ( 𝑥 −1 ) 𝑘 = 𝐶18 23𝑘−18 + 𝑥 18−2𝑘 Số hạng không chứa x ứng với 18-2k = k = Bài 34: Tính tổng sau: 2006 2007 S = 𝐶2007 - 2𝐶2007 + 22 𝐶2007 - 23 𝐶2007 +…+ 22006 𝐶2007 - 22007 𝐶2007 Giải: Ta có khai triển: 2006 2007 (1 − 2)2007 = 𝐶2007 - 2𝐶2007 + 22 𝐶2007 - 23 𝐶2007 +…+ 22006 𝐶2007 - 22007 𝐶2007 Vậy S = -1 Bài 35:Tính số tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} chứa mà không chứa Giải: + Số tập hợp không chứa phần tử X \ {0; 1} C + Số tập hợp chứa phần tử X \ {0; 1} C + Số tập hợp chứa phần tử X \ {0; 1} C + Số tập hợp chứa phần tử X \ {0; 1} C + Số tập hợp chứa phần tử X \ {0; 1} C + Số tập hợp chứa phần tử X \ {0; 1} C Suy số tập hợp X \ {0; 1} C + C + C + C + C + C = 32 Ta hợp tập hợp với {1} 32 tập hợp thỏa toán Bài 36: Từ chữ số 1,2,3 lập số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số Xem số cần lập có 10 chữ số gồm chữ số giống nhau, chữ số giống chữ số giống Giải: Áp dụng hốn vị lặp ta có: 10! 5!2!3! = 2520 số  ... tập hợp với {1} 32 tập hợp thỏa toán Bài 36: Từ chữ số 1,2,3 lập số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số Xem số cần lập có 10 chữ số gồm chữ số giống nhau, chữ số giống chữ số giống Giải: Áp dụng... 3996 + Xét số B có chữ số phân biệt chữ số hàng trăm - Số số B A2 = số Số lần chữ số 1, 2, có mặt hàng chục đơn vị : = lần - Tổng chữ số hàng chục (đơn vị) số 2.(1 + + 3) = 12 Suy tổng số B 12.(10... 228922,97 đô la Bài 13 : Cho hai tập hợp A B biết tập A  B có số phần tử nửa số phần tử B A  B có phần tử Hãy tìm số phần tử tập hợp Giải: Gọi x số phần tử tập A, y số phần tử tập B Từ giả thiết