Do biên soạn sách từ căn bản đến nâng cao, nên bài tập khai thác trong phần nhận xét tác giả giảng giải ở phần bài tập tự luyện dưới bài toán khác.. Các em nên đọc chậm phần nhận xét s[r]
(1)ŀ Nguyễn Phú Khánh
3
Chuyên đề I
Chủ đề 2: Tương giao hai đồ thị
Hướng dẫn cách học chủ đề : “ Tương giao hai đồ thị”
Trước hết, chủ đề thường xuất đề kiểm tra, thi học kì, kì thi Tú tài, Cao đẳng, Đại học kì thi học sinh giỏi Như thế, thấy chủ đề quan trọng, cần phải lưu tâm q trình ơn tập
Nếu tốn dừng lại tìm tọa độ giao điểm đồ thị hay tìm tham số để đồ thị có điểm chung q đơn giản Thực tế, góc độ đề thi kì Quốc gia khó nhiều, so với từ giáo khoa Mức độ khó chỗ nào: “ tổng hợp kiến thức từ toán sách giáo khoa“ Ví dụ: đề thi khối A năm 2011 “ Chứng minh với m đường thẳng y= +x m cắt đồ thị
( )C : y x 2x − + =
− hai điểm phân biệt A B Gọi k ,k1 hệ số góc
các tiếp tuyến với ( )C A B Tìm m∈ để tổng k1+k2 đạt giá trị lớn nhất”
Để sử dụng hiệu sách, tác giả mong muốn em cần học theo dẫn mà tác giả biên soạn Trước hết, nắm vững lí thuyết giáo khoa trước bắt đầu giải ví dụ, nên tự giải trước xem lời giải tác giả so sánh đáp số Sau ví dụ, tác giả có kèm theo lời bình nhận xét, xem kinh nghiệm quý báu mà tác giả trải lòng em
Phần nhận xét, tác giả phân tích từ tốn giáo khoa để hướng tới tốn mới, lạ, khó, hướng đến toán mà em tưởng chừng giải Phần nhận xét đưa hệ thống tập mới, khó xây dựng toán học từ giáo khoa Do biên soạn sách từ đến nâng cao, nên tập khai thác phần nhận xét tác giả giảng giải phần tập tự luyện toán khác
Các em nên đọc chậm phần nhận xét sau ví dụ, sau đọc lại ý nhỏ Sau ý, dừng lại để phân tích đưa hướng giải Có thể lúc chưa giải trọn vẹn ý phân tích mà tác giả đề cập Đừng nản lịng, tìm ý tưởng giải ngon rồi n trí, tác giả có tập tương tự giải chi tiết phần sau, lúc em sung sướng reo lên “ ý tưởng ý tưởng tuyệt vời tác giả trình bày “ Sau ý nhỏ giải được, nên tóm tắt lại nhé!, có ích nhiều cho tốn sau
Mỗi toán xuất đề thi Đại học, có nguồn gốc giáo khoa Điển hình ví dụ: đề thi khối A năm 2011 Các em, tham khảo phân tích giải đề thi khối A năm 2011 dưới
“ Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị ( )C : y x x + =
− , biết d qua điểm
( )
(2)Cấp tốc giải chuyên đề Giải tích mơn Tốn
4
Lời giải
Gọi (x ;y x0 ( )0 ) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d ( )C , với
( ) 0 x y x x + =
− , tiếp tuyến d có hệ số góc ( )0 ( )2 y' x x − =
− , x0≠2 d có phương trình: ( ) ( ) 0 0 x
y x x
x x + − = − + − −
d qua điểm A(−6;5) nên có
( ) ( ) 0 0 x
5 x
x x + − = − − + −
− phương trình
tương đương với x02−6x0= ⇔0 x0=0 x0=6 Với x0=0, ta có phương trình: y= − −x
Với x0=6, ta có phương trình: y x
4
= − +
Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề y= − −x 1, y x
4
= − +
Nhận xét 1: ta thấy đường thẳng d : y= − −x tiếp xúc với ( )C tiếp điểm
( )
M 0; 1− đường thẳng d ln vng góc với đường thẳng IM, I giao điểm đường tiệm cận
Qua ta có tốn sau:
Tìm đồ thị y x x + =
− điểm M cho tiếp tuyến M vng góc với
đường thẳng IM, với I 2;1( )
Lời giải
Gọi (x ;y x0 ( )0 ) tọa độ tiếp điểm cần tìm với ( )0
0
4
y x
x
= +
− tiếp tuyến M có hệ số góc ( )
( ) 2 y' x x − =
− , x0≠2
Đường thẳng IM có hệ số góc k ( ) ( )
( )
0 I
2
0 I 0
y x y x
k
x x x 2
−
= =
− −
Tiếp tuyến M vng góc IM y' x( )0 k= −1 tức
( ) (2 )2
0
4
x x
−
= −
− − hay ( )
4
0
x −2 =16⇔x =0 x0=4 Vậy, M 0; ,1( − ) M2( )4;3 tọa độ cần tìm
(3)ȭ Nguyễn Phú Khánh
5
Qua ta có tốn sau:
Giả sử đường thẳng ∆: x y m 0− − = cắt đồ thị y x x + =
− 2 điểm phân biệt M ,1
M .
1 Gọi k1, k2 hệ số góc d ,1 d2 M ,1 M2 Tìm tọa độ M ,1 M2 cho k1+k2= −2
2 Tìm giá trị m∈ để tiếp tuyến M ,1 M2 song song với
3 Tìm tọa độ M ,1 M2 cho k12+k22=160
Giờ đây, giải đề thi khối A năm 2011
Phương trình hồnh độ giao điểm
( ) ( )
x 1
x m g x 2x 2mx m ,x
2x
− + = + ⇔ = + − − = ∗ ≠
− Vì
2
' m 2m 0, m
1
g 0, m
2
∆ = + + > ∀ ∈
≠ ∀ ∈
nên phương trình ( )∗ ln có nghiệm phân
biệt với m∀ ∈
Vậy, m∀ ∈ đường thẳng y= +x mluôn cắt đồ thị y x 2x − + =
− hai điểm phân biệt A,B
Gọi x ,x hai nghiệm 1 2 ( )∗ A x ;y( 1 1) (,B x ;y2 2) Tiếp tuyến ( )C A,B có hệ số góc
( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 2
1
1
k y' x ,k y' x
2x 2x
= = − = = −
− −
Cách 1 : ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
1 2
1
1 2 2 2
1 2
4 x x 8x x x x
2x 2x
k k
2x 2x 4x x x x
− + − − + +
− − − −
+ = =
− − − + +
Theo định lý Vi – et :
1
x x m
m x x
2
+ = −
− −
=
Khi k1+k2= −4 m 1( + )2− ≤ −2
Vậy k1+k2 đạt giá trị lớn 2− m= −1
Cách 2 :
( ) ( ) ( )( )
1 2 2
1 2
1
k k
2x 2x
2x 2x
+ = − + ≤ −
− −
− −
(2x1−1 2x)( 2−1)=4x x1 2−2 x( 1+x2)+ = −1 m 1( + )+2m 1+ = −1
Nên k1+k2≤ − ⇒2 k1+k2 lớn 2− Đẳng thức xảy
1 2
(4)Cấp tốc giải chuyên đề Giải tích mơn Tốn
6
Vậy k1+k2 đạt giá trị lớn 2− m= −1
Đến đây, em thấy rõ để xuất toán thi Đại học, người học giải thông thạo giáo khoa, cịn đưa nhận xét, phân tích, đưa tốn
Để giải hồn hảo đề thi khối A năm 2011 người học phải nắm vững kiến thức phương trình bậc hai, định lý Vi – et Như Cách 2 em cịn trang bị kiến thức bất đẳng thức Cơsi
Lý thuyết giáo khoa:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị ( )C y=f x( )
( )C' : y=g x( ) là: f x( ) ( ) ( )=g x ∗
• Biện luận số nghiệm phương trình ( )∗ , số nghiệm phương trình ( )∗ số giao điểm ( )C ( )C'
Ví dụ Với giá trị m , đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C
hàm số y 2x
x − =
− điểm phân biệt A,B
Lời giải
Đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C hàm số điểm phân biệt phương trình sau có nghiệm phân biệt x ,x : 1 2
( )
2
2x x m x m 0
x m
x x
− − − + − =
= − + ⇔
≠
−
( ) ( )
( )
2
m m
1 m 1 m
∆ = − − − − >
⇔
− − + − ≠
⇔m 1< m 5>
Vậy, m∈ −∞( ;1) (∪ 5;+∞) giá trị cần tìm thỏa tốn
Nhận xét:
Gọi I giao điểm đường tiệm cận ( )C
• Nhận thấy, đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C thuộc nhánh đồ thị đồ thị nhận I làm tâm đối xứng Vì thế, xuất câu hỏi như: Chứng tỏ đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị
( )C điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị ?, tìm tọa độ điểm A,B để A,B đối xứng qua đường thẳng y= +x 1?, tìm tham số m để có IA.IB= −2
(5)7 y= − +x m Ta phát A,C',B,D đỉnh hình thoi Đến đây,
tốn xuất hiện: tìm tham số m để AC'BD hình thoi có diện tích số , tìm tham số m để hình thoi AC'BC hình vng?
• Nhận thấy, m 3= ta ln có y= − +x Thú vị thật, ta phát y= − +x y= +x trục đối xứng đồ thị cho Bài toán quy “ chứng minh y= − +x y= +x trục đối xứng đồ thị hàm số ”
• Nhận thấy, y= − +x m y= +x vng góc nhau, đồng thời y= +x cắt đồ thị hàm số cho điểm phân biệt C,D Mọi đường thẳng qua C,D vng góc với y= +x song song với
y= − +x m Vì xuất toán như:
a Dựa vào đồ thị, tùy theo tham số m, giải biện luận phương trình: 2x
x m x
−
= − +
−
b Gọi ∆: y= +x p, giả sử ∆ cắt đồ chị ( )C điểm phân biệt Tìm p để tiếp tuyến điểm song song với
c Giả sử tiếp tuyến điểm câu b có hệ số góc k ,k Tìm 1 2 p để : k1+k2 lớn nhất?, k1+k2 số đó?,
2
1
k +k =160 chẳng hạn
Tránh loãng giảng, em làm tập mở rộng đây:
Mở rộng: Giả sử đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị ( )C hàm số 2x
y
x − =
− điểm phân biệt A,B I giao điểm đường tiệm cận
1 Tìm tham số m để tam giác IAB
2 Gọi d' đường thẳng qua I cắt đồ thị ( )C hàm số điểm phân biệt C,D Lập phương trình đường thẳng d' để có CD 5CI
3 =
Gợi ý:
1 I 1;2 , ( ) A x ; x( 1 − 1+m ,) B x ; x( 2 − 2+m ,) AB=(x2−x ; x1 − 2+x1),
1
x +x =m 1,− x x1 2=m 1−
Gọi H trung điểm AB H m m 1; ,
2
− +
⇒
m m
IH ;
2
− −
=
Tam giác IAB
2
2
IA IB IA IB
m
3
IH AB IH AB
2
=
=
⇔ ⇔ ⇒ = ±
= =
(6)
Cấp tốc giải chuyên đề Giải tích mơn Tốn
8
( )
2x
k x kx 2kx k 0,x
x −
= − + ⇔ − + − = ≠
− ( )∗
Để d' cắt ( )C điểm phân biệt C,D phương trình ( )∗ có
nghiệm phân biệt khác tức ( )2 ( )
2
k
' k k k
k.1 2k.1 k
≠
∆ = − − − >
− + − ≠
k
⇔ >
Với k>0 ( )∗ có nghiệm phân biệt x ,x hoành độ C,D , thỏa mãn: 3 4
3
x +x =2, x x3 4 k k −
= , kết hợp điều kiện: CD 5CI
3 =
tìm k suy đường thẳng d'
Ví dụ
Lời giải Bài tập tự luyện: