Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Với mong muốn giúp các em có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi chọn HSG sắp tới. TaiLieu.vn xin gửi đến các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi.

NHĨM TỐN VD – VDC UBND TỈNH THÁI NGUN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC: 2020 – 2021 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Môn thi: TỐN TOANMATH.com Đề thi gồm có 01 trang Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (6,0 điểm) a) Tìm cực trị hàm số y  x  x  x  b) Cho hàm số y   x  m  2m  3 x  m  2m  5m  3 x  2020 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến  Câu (6,0 điểm) a) Giải bất phương trình 2x   2  x  6x  x2 1 x b) Giải phương trình 32 cos6    sin x  3sin x 2 Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  3a , AD  3a , SA   ABCD  , SA  a Gọi M, N trung điểm cạnh SD AD a) Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng  BMN  b) Mặt phẳng   qua hai điểm B , M song song với AC Biết mặt phẳng   cắt cạnh SA , SC hai điểm E , F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  BEMF  Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB  AC (tam giác ABC không cân ) Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC AD ( D  BC ) đường phân giác  Đường thẳng AD cắt đường tròn  O  điểm E ( E  A) Đường thẳng d BAC qua điểm I vng góc với AE cắt đường thẳng BC điểm K Đường thẳng KA, KE cắt đường tròn  O  điểm M , N ( M  A; N  E ) Đường thẳng ND, NI cắt đường tròn  O  điểm P, Q( P  N ; Q  N ) Chứng minh EQ đường trung trực đoạn thẳng MP Câu (2,0 điểm)  u1  2020 Cho dãy số (un ) với  2021 2020 un 1  un  2020un  un (*) a) Chứng minh lim un    u12020  un2020 u22020 b) Tính lim      un 1  2020   u2  2020 u3  2020 Trang NHÓM TOÁN VD – VDC Câu (1,0 điểm) Cho x , y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh rằng:  x2  y  z    x2 y  y z  z x2   HẾT Trang NHĨM TỐN VD – VDC HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) Tìm cực trị hàm số y  x  x  x  b) Cho hàm số y   x  m  2m  3 x  m  2m  5m  3 x  2020 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến  Lời giải a) Tìm cực trị hàm số y  x  x  x  y  x  x2  x 1 TXĐ: D   y   2x 1 x2  x   x2  x   2x  x2  x    x  1  y   x  x   x    x  x     x  1   2  x  x    x  1  x    3 x  x    x     x   x  1  x  1  y  x ∞ y' y +∞ + +∞ +∞ Vậy hàm số đạt cực tiểu x  1 , yCT  b) Cho hàm số y   x  m  2m  3 x  m  2m  5m  3 x  2020 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến  y   x  m  2m  3 x  m  2m  5m  3 x  2020 TXĐ: D   y  7 x  4m  2m  3 x3  2m  2m  5m  3 x y    7 x  m  m   x  m  m  m   x   x  7 x5  4m  2m  3 x  2m  2m  5m  3    x   2 7 x  4m  2m  3 x  2m  2m  5m  3  1 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Hàm số nghịch biến   y  , x   ( Dấu xảy hữu hạn điểm)  1 có nghiệm x   m  m  5m    m     m  5m    m    m   m   Thử lại:  Với m  : y   x  2020  y  7 x  , x    Hàm số nghịch biến   Với m  : y   x  x  y  7 x  x3 x  y    7 x  x    x  x       x   196  Đặt x1   3 3 196 x2  x ∞ y' x2 x1 + + ∞ y  196  Hàm số đồng biến   ;0      Với m  : y   x  2020  y  7 x  , x    Hàm số nghịch biến  Vậy m  , m  hàm số nghịch biến  Câu 2: a) Giải bất phương trình 2x   2  x  6x  x2 1 x b) Giải phương trình 32 cos6    sin x  3sin x 2 Lời giải a) Điều kiện xác định: 2  x  Trang NHĨM TỐN VD – VDC Do x   2  x  0,   2;2  nên bất phương trình cho tương đương với bất phương trình  2x   2  x  2x   2  x  6x  x 1 6x   2x   2  x   6x  x2    x   x   x   2  x  (*) Ta có Suy  2x   2  x   2x    2x   1   x    x   24 x   2  x  24  5, x   2;2  Mặt khác x   5, x   2;2  , x   x   2  x  0, x   2;2  Do (*)  x    x   2 Đối chiếu với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình cho là: S   2;  3   x 2 b) Giải phương trình: 32 cos    sin x  3sin x  x  x  Ta có 32 cos    sin x  3sin x  32  cos2     3sin x  sin3 x  3sin x 2     1  cos x   4sin3 x    cos x  sin x  sin x  cos x        x    k 2   x   k 2   sin  x      k    4  x    3  k 2   x    k 2  4 Vậy phương trình cho có nghiệm x    k 2 ; x    k 2  k    Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  3a , AD  3a , SA   ABCD  , SA  a Gọi M, N trung điểm cạnh SD AD Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng  BMN  Mặt phẳng   qua hai điểm B , M song song với AC Biết mặt phẳng   cắt cạnh SA , SC hai điểm E , F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  BEMF  Lời giải Trang NHĨM TỐN VD – VDC Tính góc đường thẳng AC mặt phẳng  BMN  tan  A1  DC 3a   AB  3a.2  ; tan N   AD 3a AN 3a 2  tan N  1  A  N   90     90  AC  BN  tan A A1  N 1 1  AC  BN Ta có:   AC  MN  MN // SA   AC   BMN    AC,  BMN    90 Mặt phẳng   qua hai điểm B , M song song với AC Biết mặt phẳng   cắt cạnh SA , SC hai điểm E , F Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  BEMF  Trong (SAC) qua H kẻ đường thẳng song song với SA cắt SC T Vì HT // MN (//SA)  T    Trong (BMN) gọi R  HT  EF Trong (SAC) qua R kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA, SC theo thứ tự E, F      BEMF  Kẻ HK  BM, NQ  BM  HK // NQ Vì  AC // EF , EF     d  C,     d  H,     HK  BM Ta có:   HQ  EF  HQ  AC, AC // EF   NQ   BEMF   d  H,     HK  d  C,     HK BN  AB  AN  9a  9a 3a  2 Trang NHĨM TỐN VD – VDC AB  BH BN  BH  AB 3a  a BN 1 35 6a  NQ       2 2 NQ NB NM 27a a 108a 35 Ta có: HK BH NQ BH   HK  NQ BN BN  d  C,     HK  4a 35 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB  AC (tam giác ABC khơng cân ) Gọi O, I tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC AD ( D  BC ) đường phân giác  Đường thẳng AD cắt đường tròn  O  điểm E ( E  A) Đường thẳng d qua điểm BAC I vuông góc với AE cắt đường thẳng BC điểm K Đường thẳng KA, KE cắt đường tròn  O  điểm M , N ( M  A; N  E ) Đường thẳng ND, NI cắt đường tròn O  điểm P, Q( P  N ; Q  N ) Chứng minh EQ đường trung trực đoạn thẳng MP Lời giải  Từ toán, ý AB, AC  AI  NI phân giác góc BNC   EQ đường kính  O   P điểm BAC  IN  KE  KM KA  KN KE  KI  IM  KA  IMKN nt  KI    QNM AKI   sdCE   sd BN   sd NE   BAN  Có BKN 2  ADNK nt   AKD   AND Trang NHĨM TỐN VD – VDC   900  IDK   900  IAC  Lại có IKD ACB          sdQBE  sdCE  sd AE  sdQBE  sd BE  sd AB  sd AQ  ANQ 2 2 2   MNI   INP   Q điểm MP  AKI  INQ Mà QE đường kính  EQ đường trung trực đoạn thẳng MP Câu 5:  u  2020 Cho dãy số (un ) với   2021 un 1  un  c Chứng minh lim un    2020un2020  un (*)  u 2020 u22020 un2020     d Tính lim    u2  2020 u3  2020 un 1  2020  Lời giải a Từ giả thiết dễ dàng suy un  với n  Do ta có un 1  un  2020 với n  Hay ta có dãy (un ) đơn điệu tăng Suy lim u   n   lim u  a  2020 n  Giả sử lim un  a  2020 Qua giới hạn hai vế (*) ta a  a 2021  2020a 2020  a Điều tương đương a  a  2020 (Vô lý) Vậy lim un   b Từ điều kiện (*) ta có với k  uk 1  uk2021  2020uk2020  uk  uk2020 (uk  2020)  uk 1  uk Từ suy uk 1  uk uk2020 uk2020 (uk  2020)   uk 1  2020 (uk 1  2020)(uk  2020) (uk 1  2020)(uk  2020) 1   uk  2020 uk 1  2020   u 2020 u 2020 u 2020  n  Suy lim    un 1  2020   u2  2020 u3  2020   1 1 1   lim       un  2020 un 1  2020   u1  2020 u2  2020 u2  2020 u  2020 Trang NHĨM TỐN VD – VDC  1   lim      u1  2020 un 1  2020  4040 Câu 6: Cho x , y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh rằng:  x2  y  z    x2 y  y z  z x2   Lời giải Vì x , y , z vai trị nhau, khơng tính tổng qt giả sử x  y  z Suy x  y  z  x   x  x  * Ta có  x  y  z    x y  y z  z x     x  y  z    x y  y z  z x     3x   y  z   x  y  z   y z     y  z   x   y z  x     y  z    x   yz   x   y z  3x   1 Áp dụng BĐT AM-GM cho số dương y z ta được: 2  y  z   3 x   3 x  yz        yz           2  3 x   3 x  2 VT 1    x    x     3  2x      3x   f  x      2  3 x   3 x  2 Xét f  x     x    x     3  2x      3x      2  1   x    x     x   3x     x    x   x  x   3x  4    3 2   x    x  x    3x     x  1  x  3x  1   x  1 x  1 2 4  3   1  x     x  x   3x  1  1  x    1  x   3x  17 x  13 x  1  1  x   3 x  14 x  1 8  Mà 3x  14 x   3x 1  x   11x   với x   0;1 Vậy 1  x   3x  14 x  1  với x   0;1 Từ suy f  x   với x   0;1 , hay VT 1  với x   0;1 Đẳng thức xảy x  y  z  HẾT Trang ... tròn O  điểm P, Q( P  N ; Q  N ) Chứng minh EQ đường trung trực đoạn thẳng MP Lời giải  Từ toán, ý AB, AC  AI  NI phân giác góc BNC   EQ đường kính  O   P điểm BAC  IN  KE  KM KA... u22020 un2020     d Tính lim    u2  2020 u3  2020 un 1  2020  Lời giải a Từ giả thi? ??t dễ dàng suy un  với n  Do ta có un 1  un  2020 với n  Hay ta có dãy (un ) đơn điệu... y  z   x   y z  x     y  z    x   yz   x   y z  3x   1 Áp dụng BĐT AM-GM cho số dương y z ta được: 2  y  z   3 x   3 x  yz        yz        