Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Gia Lai

Luyện tập với Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Gia Lai nhằm đánh giá sự hiểu biết và năng lực tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các câu hỏi đề thi. Để củng cố kiến thức và rèn luyện khả năng giải đề thi chính xác, mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI Câu 1: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm 180 phút) (4 điểm) Cho hàm số y  x   2m  1 x  1  m  x ( m tham số thực) có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A , B C cho tổng hệ số góc ba tiếp tuyến với  C  điểm A , B C nhỏ Câu 2: (4 điểm) a/ Giải phương trình sau tập số thực: 5x  10 x   x  1 x  x  b/ Cho số thực x  1, y  1, z  thỏa mãn:   log  xy  yz  zx  5x  16 y  27 z  log12 xy  yz  zx  Tính M  x  y  z Câu (2 điểm) Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai triển n   1   x  , với x  n  * thỏa mãn An2  nCn2  55n   x 1    x  1 x  x x  Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thõa mãn A B C 2019 sin A  2020 sin B  2021sin C  2022 cos( )  2020 cos( )  2018 cos( ) (1) Chứng 2 minh tam giác ABC Câu 5: (3 điểm) Cho dãy số  Câu 6:  un  thỏa mãn: u1  2021 un 1  un2  un  1, n  * , đặt 1     Tính lim u1 u2 un (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A Gọi H trung 7 5 điểm đoạn BC , K hình chiếu vng góc H lên AC Biết M  ;  trung điểm 4 4 đoạn HK , đường thẳng BK : x  y  13  Gọi N giao điểm BK AM Tìm 1 5 tọa độ điểm A , biết I  ;  trung điểm đoạn AB 2 2 Câu 7: (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng  BCD  O trung điểm đoạn AH Gọi   mặt phẳng qua O không qua điểm A, B, C D Mặt phẳng   cắt đoạn AB, AC AD M , N P Tìm giá trị nhỏ AM AN AP theo a Câu 8:   (2 điểm) Cho hàm số f  x   ln x  x   2021x , gọi a, b, c số thực dương cho phương trình f  a  b  c  x   f  2020  x   vô nghiệm Tìm GTNN biểu thức M  a b c ab  bc  ac HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y  x   2m  1 x  1  m  x ( m tham số thực) có đồ thị  C  Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt A , B C cho tổng hệ số góc ba tiếp tuyến với  C  điểm A , B C nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  : x3   2m  1 x  1  m  x  x  m  x   2m  1 x  mx  m    x  1  x  2mx  m    x  1   x  2mx  m  * Theo u cầu tốn : * phải có hai nghiệm phân biệt khác 1  m  0, m  m  m     1  2m  m   m   Ta có A  1; 1  m  ; B  x1; x1  m  ; C  x2 ; x2  m  y '  3x   2m  1 x   m y '  1   1   2m  1 1   m   3m y '  x1   3x12   2m  1 x1   m y '  x2   3x22   2m  1 x2   m  x  x  2m Áp dụng định lí Viet ta có :   x1 x2  m Theo u cầu tốn ta có y '  1  y '  x1   y '  x2     3m  3x12   2m  1 x1   m  3x22   2m  1 x2   m    x12  x22    2m  1 x1  x2    m    x1  x2   x1 x2   m  1 x1  x2    m    2m   6m   2m  1 2m   m   12m2  6m  8m2  4m   m   4m  3m    89  89 , m m 8  89  89 Giao với điều kiện ta : m  , m 8 Câu 2: (4 điểm) a/ Giải phương trình sau tập số thực: 5x  10 x   x  1 x  x  b/ Cho số thực x  1, y  1, z  thỏa mãn:   log  xy  yz  zx  5x  16 y  27 z  log12 xy  yz  zx  Tính M  x  y  z Lời giải a) Giải phương trình: 5x  10 x   x  1 x  2x  1     Ta có: 1  x  x   x  2x     x  1 x  x    x  2x    x  1   x  x    x  1  9   x  x    x  1  3    x  2   x  2   2 2 x2  2x   x   4 x  x   x  4x   3x  12 x      x  2 x2  2x   x    x       2  3x     4 x  x   x  8x  16       x  2  62    x  62  x x    x     Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x  62 b/ Tính M  x  y  z log  xy  yz  zx  12  - Theo giả thiết ta có: xy  yz  zx  nên  log xy  yz  zx     12 - Áp dụng BĐT Cauchy ta có:      5x  16 y  27 z  3x  12 y  y  z  18z  x   3x 12 y  y z  18z 2 x  12  xy  yz  zx  Hay 5x  16 y  27 z  12  xy  yz  zx  , dấu “=” xảy x  y  3z     Khi đó: log  xy  yz  zx  5x  16 y  27 z  log  xy  yz  zx  12  xy  yz  zx    log  xy  yz  zx 12 Suy ra:   log  xy  yz  zx  5x  16 y  27 z  log12 xy  yz  zx   log  xy  yz  zx 12  log12  xy  yz  zx   1  log xy  yz  zx   12 log12  xy  yz  zx     Dấu “=” xảy  x   x  y  3z  x  y  3z    y  log 12  log12  xy  yz  zx   xy  yz  zx  12    xy  yz  zx  z   3 Vậy M  z  y  z  11 n Câu   1 Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai triển    x  , với x 1    x  1 x  x x  x  n  * thỏa mãn An2  nCn2  55n  Lời giải Xét phương A  nC  55n  n n n  n! n!   n  55n   n  n  1  n  n  1  55n    n  12   n  ! 2! n  !  n  9 Vì n  * nên ta nhận n  12 Ta biến đổi 1  4x  x  1 x  x x  x   x  x  1  x 1  x   4x x 1 x 1  x  4x x x  x 1 1 1    4x  x x x 1 x 1 x   Xét khai triển    x 12 12  k 12    k x    C12k    1   x k 0 Số hạng không chứa x thỏa k    k    x k 12   C12k  1 x k k 6 k 0 Vậy hệ số số hạng không chứa x C128  1  495 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thõa mãn A B C 2019 sin A  2020 sin B  2021sin C  2022 cos( )  2020 cos( )  2018 cos( ) (1) Chứng 2 minh tam giác ABC Lời giải Ta có: cos A BC BC BC  sin  sin cos  (sin B  sin C ) 2 2  2022 cos A  1011(sin B  sin C ) Tương tự: cos cos B B  (sin A  sin C )  2020 cos  1010(sin A  sin C ) 2 C C  (sin A  sin B)  2018cos  1009(sin A  sin B) 2  VP (1)  (1010  1009) sin A  (1011  1009) sin B  (1010  1011) sin C  VP (1) BC  cos( )   CA  Do (1) xảy  VT (1)  VP(1)  cos( )  Hay A  B  C  A B  cos( )   Hay tam giác ABC Câu 5: (4 điểm) Cho dãy số  un  thỏa mãn: u1  2021 un 1  un2  un  1, n  * , đặt  1    u1 u2 un Tính lim Lời giải Ta chứng minh dãy số tăng, un 1  u n   un  1  0, n  * Giả sử dãy số bị chặn trên, suy dãy số có giới hạn, đặt lim un  x Do dãy số tăng nên 2021  u1  u2   un  x  2021 Ta có un 1  un2  un   x  x  x   x  vơ lí Vậy dãy số tăng không bị chặn hay lim un   Ta có un 1  un2  un   un 1   un  un  1 , un  2021  un 1  Suy 1 1 1      un  un  1 un  un un un  un 1  n  1  1        uk 1   u1  un 1  k 1 uk k 1  uk  n Hay  Câu 6:   1 1    lim  lim    u1  un 1   2020 un 1   2020 (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm 7 5 đoạn BC , K hình chiếu vng góc H lên AC Biết M  ;  trung điểm đoạn 4 4 HK , đường thẳng BK : x  y  13  Gọi N giao điểm BK AM Tìm tọa độ điểm 1 5 A , biết I  ;  trung điểm đoạn AB 2 2 Lời giải A I N K M B H C       có AM  AH  AK BK  BH  HK       Xét tích vô hướng: AM  BK  ( BH  HK )  ( AH  AK )      BH  AK  AH HK ; (do BH vng góc AH , HK vng góc AK )       CH  (CA  CK )  HA.HK         CH CK cos HCK   HA.HD.cos   CH  CA  CH  CK  HA  HK  CH CA.cos HCA AHD CH CK HK  CH CK   HA.HK  CA CH HA 2  CH  CK  HK  Nên AM vng góc BK điểm N 9 8 Ta có AM : x  y  11  N  AM  BK   ;  5 5 Ta có B giao điểm đương thẳng BK đường tròn tâm I bán kính IN : 10  B 13  7b; b  : IB  IN  B   ;  , l  2 b   10      25       7b    b      5 5 5  2     B   1;  b   CH CA  Suy điểm A   2;3 Câu 7: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống mặt phẳng  BCD  O trung điểm đoạn AH Gọi   mặt phẳng qua O không qua điểm A, B, C D Mặt phẳng   cắt đoạn AB, AC AD M , N P Tìm giá trị nhỏ AM AN AP theo a Lời giải Ta có H trọng tâm tam giác BCD nên      AB  AC  AD  AH      AB  AC  AD  AO  a  a  a   AB  AC  AD  AO AM AN AP Do O, M , N , P đồng phẳng nên  a a a   6 AM AN AP 3 A N P O M C D a a  AM AN AP  AM AN AP Vậy giá trị nhỏ AM AN AP  a3 H B Câu 8: (2 điểm)   Cho hàm số f  x   ln x  x   2021x , gọi a , b, c số thực dương cho phương trình f  a  b  c  x   f  2020  x   vơ nghiệm Tìm GTNN biểu thức M  x  f  x  x2    2021  x  x 1 a b c ab  bc  ac Lời giải x2   2021  0, x   Hay hàm số đồng biến  Xét       f   x   ln  x  x   2021x  ln    2021x   ln x  x   2021x   f  x   x  x 1  , hàm số cho hàm số lẻ Do phương trình f  a  b  c  x   f  2020  x    f  a  b  c  x   f  x  2020    a  b  c  x  x  2020   a  b  c  3 x  2020 Phương trình vơ nghiệm  a  b  c    a  b  c      ab  bc  ca    a  b  c Áp dạng BĐT Cô-si cho số:  a  a  a  3a   b  b  b  3b    c  c  c  3c Hay  Vậy M     a  b  c  a  b2  c2   a  b  c     a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca  a b c  1, dấu xảy a  b  c  ab  bc  ac ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI Câu 1: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 202 0-2 021 (Thời gian làm 180 phút) (4 điểm) Cho hàm số y ... yz  zx  12  - Theo giả thi? ??t ta có: xy  yz  zx  nên  log xy  yz  zx     12 - Áp dụng BĐT Cauchy ta có:      5x  16 y  27 z  3x  12 y  y  z  18z  x   3x 12 y  y z... triển    x 12 12  k 12    k x    C12k    1   x k 0 Số hạng không chứa x thỏa k    k    x k 12   C12k  1 x k k 6 k 0 Vậy hệ số số hạng không chứa x C128  1 