Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bà rịa-Vũng Tàu sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Đề thi gồm 02 trang Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 08/12/2020 ĐỀ BÀI Câu 1: Giải phương trình cos x.sin x + cos3 x = sin x + cos x Câu 2: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn + x biết x n Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) Câu 3: Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy nón = 30o SAB = 60o Tính diện tích xung cho khoảng cách từ O đến AB a , SAO quanh hình nón Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi C ′ trung điểm SC Mặt phẳng qua AC ′ song song với BD cắt SB B′ cắt SD D′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′D′ Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x2 + 2x − m đồng biến khoảng x−m 1 −∞; − 2 Câu 6: Cho hàm số y = x + (m + 1) x + m + 4m + x với m tham số thực Tìm tất giá trị ( ) m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 biểu thức A = x1 ⋅ x2 − ( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SA = a Gọi Câu 8: I trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CI Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA′ = a Hình chiếu A đỉnh mặt phẳng ( A′B′C ′ ) trùng với trung điểm A′B′ Gọi ϕ góc hai đường thẳng A′B AC ′ Tính cos ϕ Câu 9: Cho hai số thực x, y khác , biết: ( y ) ( x +1 + x = x2 + − x ) y −2 = (y + 1) Tính giá trị x biểu thức P = x − 2− x − x + y − 2− y − y Câu 10: Giải phương trình log x + log ( −= x ) log8 ( x + 1) y mx + điểm K ( 3;10 ) Câu 11: Cho hàm số y =x − x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng ( d ) := Tìm tất giá trị thực tham số m cho ( C ) ( d ) cắt ba điểm phân biệt A, B, C A ( 0;1) trọng tâm tam giác KBC nằm đường thẳng = y 2x + Câu 12: (1,25 điểm) Tìm tất giá trị thực m để hàm số= y ln ( x + 1) − ( m + 1) ln(2 − x) − m x đạt cực tiểu điểm x = x − y = x + y (1) Câu 13: Giải hệ phương trình y + = x + x (2) Câu 14: Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp {1; 2;3;…;100} gồm 100 số nguyên dương Tính xác xuất để chọn ba số độ dài ba cạnh tam giác Câu 15: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = AC = a, BC = a Các đường thẳng BB′, BA′, CA′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 Điểm M nằm cạnh AA′ Mặt phẳng (α ) qua M song song với ( ABC ) cắt đoạn thẳng AB′, BC ′, CA′ điểm MA a , tính tỉ số 18 MA′ Câu 16: Xét số thực dương a, b, c thay đổi Tìm GTNN biểu thức D, E , F Biết thể tích khối tứ diện A′DEF P= a2 b2 c2 + + + b+c c+a a+b a + b2 + c2 + HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: sin x + cos x Giải phương trình cos x.sin x + cos3 x = Lời giải cos x.sin x + cos3 x = sin x + cos x ( ) ⇔ ( cos x − 1) sin x + cos3 x = sin x + cos x ⇔ cos x − sin x + cos3 x = sin x + cos x ⇔ cos x.sin x + cos3 x =2sin x + cos x ⇔ cos x ( sin x + cos x ) − ( sin x + cos x ) = ( ) ⇔ cos x − ( sin x + cos x ) = π ⇔ 2.sin x + sin x = 4 π π π sin x + = x+ = kπ x= − + kπ ⇔ ⇔ ⇔ 4 (k ∈ ) 4 π sin x = = x k= x kπ n Câu 2: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn + x biết x Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) Lời giải ĐK: n ≥ Cnn++41 − Cnn+3 = ( n + 3) ( n + ) ! − ( n + 3) ! = ( n + 3) ( n + 1)!3! n !3! ⇔ ( n + )( n + 3)( n + ) − ( n + 3)( n + )( n + 1= ) ( n + 3) ( n + 6n + − n − 3n − − 42 ) =0 ⇔ ( n + 3)( 3n − 36 ) = n = −3 ( ktm ) ⇔ n = 1( tm ) ⇔ 42 ( n + 3) 12 Khi ta có + x có số hạng tổng quát là: x k ( ) 12 − k 18 − k (12 − k ) 1 k −3 k k 2 = Tk +1 C = x C = x x C x 12 12 x k 12 Số hạng chứa x9 ⇔ 18 − k = ⇔ k = 2 Vậy hệ số số hạng chứa x C129 Câu 3: Cho hình nón đỉnh S có đường cao SO Gọi A B hai điểm thuộc đường trịn đáy nón = 30o SAB = 60o Tính diện tích xung cho khoảng cách từ O đến AB a , SAO quanh hình nón Lời giải Gọi I trung điểm AB Ta có OK ⊥ ( SAB ) ⇒ OI = a Đặt SO = x , Ta có ∆SOI : SI = SO + OI = a + x (1) ∆SOA : SA = Xét tam giác ∆SAB= : SI Từ (1) (2) ta có a2 + x2 = = = cot 30o OA = OA SO S= π= Rl π Xq 3SA = SO = 2x sin 30o 3.2 x = x (2) x ⇔ a + x 2= x ⇔ x= a a SA = 2= x a 2 a a= π a2 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số tồn giá trị nhỏ khoảng ( 0; + ∞ ) có hai trường hợp sau: Trường hợp 1: m − ≤ < m + ⇔ −1 < m ≤ 0 < m − Trường hợp 2: f (0) ≥ f (m + 1) m > ⇔ 2 2020 ≥ (m + 1) − 3m(m + 1) + 3(m − 1)(m + 1) + 2020 m > m > ⇔ ⇔ ⇔1< m ≤ −1 ≤ m ≤ m − m − ≤ Vậy −1 < m ≤ Câu 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a Gọi C ′ trung điểm SC Mặt phẳng qua AC ′ song song với BD cắt SB B′ cắt SD D′ Tính thể tích khối chóp S AB′C ′D′ Lời giải S C' B' D' I j D A O B C Gọi O tâm hình vng ABCD Vì S ABCD hình chóp tứ giác nên SO ⊥ ( ABCD ) Diện tích hình vng ABCD bằng: S ABCD = a Ta có AC = a = SA = SC , SO = a a2 = S ABCD SO Trong mặt phẳng ( SBD ) , gọi = I B′D′ ∩ SO , suy A, I , C ′ thẳng hàng Thể tích khối chóp S ABCD bằng: = VS ABCD Trong tam giác SAC , ta có AC ′ , SO đường trung tuyến nên I trọng tâm ∆SAC ⇒ SI = SO SB′ SD′ SI = = SB SD SO VSAB′C ′ SB′ SC ′ VSAC ′D′ Ta có:= = = , VSABC SB SC VSACD Vì B′D′ / / BD nên = SD′ SC ′ = SD SC VSAB′C ′D′ VSAB′C ′ + VSAC ′D′ VSAB′C ′ VSAC ′D′ = = + = VSABCD VSABC + VSACD 2VSABC 2VSACD ⇒ VSAB′C ′D′ = a3 VSABCD = 18 Câu 5: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x2 + 2x − m đồng biến khoảng x−m 1 −∞; − 2 Lời giải: Tập xác định D = \ {m} y′ ( x + )( x − m ) − ( x + x − m ) = ( x − m) x − 2mx − m ( x − m) 1 x − 2mx − m 1 Hàm số đồng biến khoảng −∞; − ⇔ ≥ ∀x ∈ −∞; − 2 2 ( x − m) 1 x2 1 x − mx − m ≥ ∀ x ∈ −∞ − ; ≥ ∀x ∈ −∞; − m 2 2x +1 2 ⇔ ⇔ m ≥ − m ∉ −∞; − 2 Xét hàm số f ( x ) = ( *) 2x + 2x x2 , có f ′ ( x ) = 2x +1 ( x + 1) x = Ta có bảng biến thiên f ′ ( x )= ⇔ x = m ≥ −1 (*) ⇔ ⇔m≥− m≥− Câu 6: Cho hàm số y = x + (m + 1) x + m + 4m + x với m tham số thực Tìm tất giá trị ( ) m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 biểu thức A = x1 ⋅ x2 − ( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ Lời giải Ta có y ′ = x + 2(m + 1) x + ( m + 4m + 3) Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 phương trình x + 2(m + 1) x + ( m + 4m + 3) = có hai nghiệm phân biệt, hay ∆′ = (m + 1) − ( m + 4m + 3) > ⇔ m + 6m + < ⇔ m ∈ (−5; −1) Theo đinh lý Vi-et m + 4m + m + 8m + − ⋅ (−m − 1) = = A = x1 ⋅ x2 − ( x1 + x2 ) = 2 ( m + 4) −9 ≥ −9 Dấu m = −4 thỏa mãn Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) SA = a Gọi I trung điểm SD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CI Lời giải S I A D O B C Gọi O tâm hình vng ABCD Dễ thấy IO || SB ⇒ SB || ( AIC ) ⇒ d ( SB, CI= ) d ( SB, ( AIC )=) d ( S , ( AIC ) ) a3 1 Ta có= VSACI = VSACD = SA S ACD 2 12 Tính = AC a= 2, IA a a = , IC 2 Áp dụng công thức Hê rông S = IAC ) ) Do d ( S ,( = Câu 8: 3VS IAC = S ∆IAC p ( p − a )( p − b)( p − c) tính S∆IAC a2 = a a Hay d ( SB, CI ) = 3 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác cạnh a , AA′ = a Hình chiếu A đỉnh mặt phẳng ( A′B′C ′ ) trùng với trung điểm A′B′ Gọi ϕ góc hai đường thẳng A′B AC ′ Tính cos ϕ Lời giải O A′D′ ∩ B′C ′ Dựng hình lăng trụ tứ giác ABDC AB′D′C ′ , gọi= Vì ∆A′B′C ′ ⇒ A′O = C ′H = Xét ∆AA′H vng H có a ⇒ A′D′ = A′O = a 2 a a +) AH = AA′ − A′H = a − = 2 2 a AH =⇒ 60° ⇒ 120 AA′H = = AA′H = A′B′B =° +) tan a ′ AH ′B A′B′2 + BB′2 − A′B′.BB′ cos120 a Xét ∆A′B′B có A= = ° 3a ⇒ A′B = Xét ∆AHC ′ vng H có AC ′ = a 3 a 3 a a ⇒ BD′ = + = 2 AH + HC ′ = 2 Ta có ϕ ( = = A′B; AC ′ ) ( A′B; BD′ ) A′B + BD′2 − A′D′2 ′BD′ có cos Xét ∆A= A′BD′ = A′B.BD′ (a 3) 2 a 6 + − a = a 2.a ( ) ⇒ cos ϕ = Câu 9: Cho hai số thực x, y khác , biết: ( y ) ( x +1 + x = x2 + − x ) y −2 = (y biểu thức P = x − 2− x − x + y − 2− y − y Lời giải Gọi D trung điểm KC y ) ( x + − x ) = ( y + 1) x +1 − x) ( x + + x = ( ) ( ⇔ ⇔ ( x + + x ) = ( y + 1) ( ( y −2 x +1 + x = y y x y −2 2 x y y ) ( x +1 + x) x + + x ) = ( y + 1) x +1 + x= x 2− y + 1) Tính giá trị x 1 y2 − y +1 = y= − y ⇔ ⇔ y x x2 + + x = y 2 x + + x = ( y + 1) y = ⇔ x x + + x =2 ) ( ) ( (y * Xét P = x − 2− x − x + y − 2− y − y = x + + x − = x2 + + x − ( ) x2 + − x − 2x − 1 = − 2 Vậy P = − 2 + 1) x 1 − 2x + − − 2 x +1 + x 2 = 2x − 2x − Câu 10: Giải phương trình log x + log ( −= x ) log8 ( x + 1) Lời giải x ≠ x ≠ Điều kiện xác định: 5 − x > ⇔ −1 < x x ) log8 ( 3x + 1) Phương trình log x + log ( −= ⇔ log 22 x + log ( 5= − x ) log 23 ( 3x + 1) 3 ⇔ log x + log ( −= x ) log ( x + 1) ⇔ log ( x ( − x= ) ) log ( 3x + 1) ⇔ x ( − x ) = x + (1) ( − x ) ( − x ) = 3x + Nếu − < x < phương trình (1) có dạng ⇔ x2 − 8x −1 = x= − 17 ⇔ x= + 17 Kết hợp với điều kiện − < x < nên x= − 17 Nếu < x < phương trình (1) có dạng x ( − x ) = x + ⇔ x − x + = ⇔ x = Kết hợp với điều kiện < x < nên x = { } Vậy phương trình có tập nghiệm − 17;1 y mx + điểm K ( 3;10 ) Tìm Câu 11: Cho hàm số y =x − x + có đồ thị ( C ) , đường thẳng ( d ) := tất giá trị thực tham số m cho ( C ) ( d ) cắt ba điểm phân biệt A, B, C A ( 0;1) trọng tâm tam giác KBC nằm đường thẳng = y 2x + Lời giải x = Xét phương trình x3 − x + = mx + ⇔ x ( x − x − m ) = ⇔ ( *) x − 3x − m = Để ( C ) ( d ) cắt ba điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biết khác hay 9 + 4m > ⇔ − < m ≠ m ≠ x + x = Gọi giao điểm ( C ) ( d ) A ( 0;1) , B ( x1 ; mx1 + 1) , C ( x2 ; mx2 + 1) x1.x2 = −m x + x + mx1 + mx2 + 12 Gọi G trọng tâm tam giác KBC , G ; hay 3 G ( 2; m + ) Do G ∈ ( d ) nên m + = ⇔ m = (thỏa mãn) Câu 12: (1,25 điểm) Tìm tất giá trị thực m để hàm số = y ln ( x + 1) − ( m + 1) ln(2 − x) − m x đạt cực tiểu điểm x = Lời giải Tập xác định: D = Ta có y′ = ( −1; ) m +1 + − m2 x +1 − x Điều kiện cần : Hàm số đạt cực tiểu điểm x = y′ (1) = m = −1 ⇔ + m + − m2 = ⇔ −m2 + m + = ⇔ m = Điều kiện đủ : + Với m = −1 = y′ ′′ − ⇒ y= x +1 −2 ( x + 1) ⇒ y′′ (1) < Hàm số đạt cực đại điểm x = Vậy m = −1 không thỏa mãn + Với m = y′ = −2 + − ⇒ y′′ = + ⇒ y′′ (1) = > Hàm số đạt 2 x +1 − x ( x + 1) ( − x ) cực tiểu điểm x = Vậy m = thỏa mãn Tóm lại, có giá trị thực m thỏa mãn đề m = x − y = x + y Câu 13: Giải hệ phương trình y + = x + x (1) (2) 10 Lời giải + Ta có: (1) ⇔ x + x = x + y + x + y + Xét hàm số g (t ) = t + t ; g '(t ) = 3t + > ∀x ∈ R suy hàm số đồng biến R (1) ⇔ g ( x) = g ( x + y ) ⇔ x = x + y ⇔ x = x + y ⇒ y = x − x + Thay = y x3 − x vào (2) ta x3 − x − x + = ⇔ a − 2a − 2a + = (a = x ≥ 0) + Xét hàm số f (a ) = a − 2a − 2a + (a ≥ 0) a = f '(a ) =6a − 4a − 2; f '(a ) =0 ⇔ 0(vn) 6a + 6a + 6a + 6a + = BBT: Căn BBT ta thấy pt a − 2a − 2a + = có nghiệm a =1 ⇒ x =1 ⇒ y =0 Vậy hệ có nghiệm (1; 0) Câu 14: Chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp {1; 2;3;…;100} gồm 100 số nguyên dương Tính xác xuất để chọn ba số độ dài ba cạnh tam giác Lời giải Ta xét toán tổng quát X = {1; 2;3; ; n} Không tính tổng quát giả sử ba số chọn a, b, c với a > b > c ≥ Trường hợp 1: Khi n số lẻ (= n 2m + 1) 1) Khi a chẵn (a = 2i với i từ đến m ) Với b = i + k (k từ đển i − 1) c chạy từ i − k + đến i + k − (có 2k − cách chọn c) ⇒ có s= m i −1 ∑∑ (2k − 1)= =i 2= k m ∑ (i − 1)= =i m(m − 1)(2m − 1) cách 2) Khi a lẻ (a= 2i + với i từ đến m ) Với b = i + k (k từ đền i ) c chạy từ i − k + đền i + k − (có 2k − cách chọn c ) ⇒ có s= Vậy trường hợp có: s = s1 + s2 = m i ∑∑ (2k − 2)= =i 2= k m ∑ A= i =i m(m − 1)(m + 1) cách m(m − 1)(4m + 1) cách 1) Khi a chẳn (a = 2i với i từ đền m ) Với b = i + k (k từ đến i − 1) c chay từ i − k + đến i + k − (có 2k − cách chọn c ) ⇒ có t= cách 11 m i −1 ∑∑ (2k − 1)= =i 2= k m ∑ (i − 1)= =i 2 m(m − 1)(2m − 1) 2) Khi a lẻ (a= 2i + với i từ đến m − 1) Với b = i + k (k từ đến i ) c chay từ i − k + đến i + k − (có 2k − cách chọn c ) ⇒ có = t2 m −1 i m −1 ∑∑ (2k − 2)= ∑ A= =i 2= k =i 2 i m(m − 1)(m − 2) cách Vậy TH có: t = t1 + t2 = m(m − 1)(4m − 5) cách Xác suất cần tìm n lẻ (= n 2m + 1) Xác suất cần tìm n chẵn (n = 2m) s C = m +1 (m − 1)(4m + 1) 3m = − 2(2m + 1)(2m − 1) 8m − t 4m − = = − C2 m 8m − 8m − Áp dụng vào bài: Với= n 2= m 100 xác suất cần tìm 65 − = 8.50 − 132 Câu 15: Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ có AB = AC = a, BC = a Các đường thẳng BB′, BA′, CA′ tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 Điểm M nằm cạnh AA′ Mặt phẳng (α ) qua M song song với ( ABC ) cắt đoạn thẳng AB′, BC ′, CA′ điểm D, E , F Biết thể tích khối tứ diện A′DEF MA a , tính tỉ số MA′ 18 Gọi h chiều cao lăng trụ Suy h sin 60 ⇒ AA′ = BB′ = BA′ = CA′ BB =′ BA =′ CA =′ 12 Xét tứ diện A′ ABC có BB =′ BA =′ CA′ nên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy h R= = tan 60 a = a 2sin120 Gọi h′ = d ( ( ABC ) , ( MDF ) ) suy h ' AM MD MF h′ = = ⇒ = 1− h AA′ MN MK h S h′ h′ h′ h′ ⇒ ∆MDF = 1 − ⇒ S∆EDF = S∆MNK − 3S∆MDF = S∆MNK 1 − 1 − S∆MNK h h h h Ta có 1 h′.S ∆DEF ⇒ = a h′.S ∆DEF 18 1 h′ h′ = ⇒ a h′ a.a.sin120 1 − 1 − h h = VA′.DEF ⇔ a =− h′ h′ h′3 +3 h h 3 a =3a h′ − 3ah′2 + 3h′3 ⇔ ⇒ h′ = 3a h′ MA ⇒ = ⇒ =2 h MA′ Câu 16: Xét số thực dương a, b, c thay đổi Tìm GTNN biểu thức a2 b2 c2 P= + + + b+c c+a a+b a + b2 + c2 + Lời giải ( ) ( ) ( ) ( ) a 2b + b c + c a ≤ ( a + b + c ) a + b + c ⇔ ∑ a ( a − b) ≥ a c + b a + c 2b ≤ ( a + b + c ) a + b + c 2 (a + b + c) a + b + c ≤ a + b + c a + b + c 3 4 a a P =+ = ∑b+c ∑ a (b + c) + 2 2 a + b + c +1 a + b + c +1 ⇒ ∑ a (b + c) ≤ ≥ ( ) ( ) ( Caucly-Schwarz t2 + ≥ + = f (t ) ≥ f (3) = ≥ a (b + c) t +1 a + b + c + t 3t HẾT 13 ) ... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN Đề thi gồm 02 trang Thời gian làm bài: 180 phút... (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 08 /12/ 2020 ĐỀ BÀI Câu 1: Giải phương trình cos x.sin x + cos3 x = sin x + cos x Câu 2: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn + x biết x... 1( tm ) ⇔ 42 ( n + 3) 12 Khi ta có + x có số hạng tổng quát là: x k ( ) 12 − k 18 − k (12 − k ) 1 k −3 k k 2 = Tk +1 C = x C = x x C x 12 12 x k 12 Số hạng chứa x9 ⇔ 18