Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bình Thuận

Với mong muốn giúp các em có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi chọn HSG sắp tới. TaiLieu.VN xin gửi đến các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bình Thuận. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi sắp tới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN TOANMATH.com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 toán tự luận Bài (6,0 điểm) a Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y   x  11 x  đoạn  0; 4 b Cho hàm số đa thức y  f ( x) có đồ thị sau: y 1 O x Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x  x   Bài (5,0 điểm) Xét dãy số  un  thỏa u1  a  b, un 1  u1  ab , n  * ; a , b hai số thực un dương a Chứng minh  un  dãy số giảm a  b; b Tính lim un  x  xy  Bài (3,0 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để hệ phương trình  có ba 3 x  y  m  nghiệm phân biệt Bài (2,0 điểm) Cho hai số nguyên dương k n cho k  n Xét tất tập hợp gồm k phần tử tập hợp 1, 2, , n Trong tập hợp ta chọn phần tử nhỏ Chứng minh tổng tất phần tử chọn Cnk11 Bài (4,0 điểm) Cho đường trịn  O  có đường kính AB cố định, M điểm di động  O  cho M khác với điểm A, B OM khơng vng góc với AB Các tiếp tuyến  O  A M cắt C Gọi  I  đường tròn qua M tiếp xúc với đường thẳng AC C Đường thẳng OC cắt lại  I  điểm thứ hai E a Chứng minh E trung điểm OC ; b Gọi CD đường kính  I  Chứng minh đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động  O  HẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y   x  11 x  đoạn  0;4 b) Cho hàm số đa thức y  f  x  có đồ thị sau: Tìm số điểm cực trị hàm số y  f  x  x   a) Hàm số cho liên tục đoạn  0;4 Ta có y  x  11x  x2  Lời giải  x   TM  , y     x   KTM   Ta có y    33, y 1  10 10, y    35 Vậy y  35, max y  10 10 0;4 0;4 b) Đặt g  x   f  x  x   Ta có g   x    x  1 f   x  x   Gọi x  x1 , x  x2 , x  x3 (với x1  x2  x3 ) điểm cực trị hàm số f  x  Từ đồ thị, ta có x1   1;0  , x2   0;1 , x3  1;2  x 1 x    x 1  x  x   x1  x  x   x1  1  Ta có g   x       2 x  x   x2    x  x   x2  f   x  x       x  x   x3   3  x  x   x3  Xét phương trình (1), ta có      x1   x1   nên phương trình (1) vơ nghiệm Xét phương trình (2), ta có   x2   nên phương trình (2) vơ nghiệm Xét phương trình (3), ta có   x3   nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác Như phương trình g   x   có ba nghiệm đơn nên hàm số g  x  có ba điểm cực trị Câu Xét dãy số  un  thỏa u1  a  b, un 1  u1  ab , n  * ; a, b hai số thực dương un a) Chứng minh  un  dãy số giảm a  b b) Tính lim un Lời giải u1  2a  a) Khi a  b , ta có  a2 * u  u   n1 u , n   n  n 1 Ta chứng minh: un  a, n  * 1 phương pháp quy nạp n  Ta có: u1  2a  1 với n   Giả sử 1 với n  k , tức là: uk  Ta có: uk 1  u1  k 1 a ;  k  1 k a2 a2 k2  2a   a  1 với n  k  k  uk k  a k n 1 a, n  * 1 , ta có un  0, n  * n n2 a un 1 n  n  2n Ta có    1, n  * Vậy  un  dãy số giảm n 1 un n  n  a n b) Khơng tính tổng qt, giả sử a  b Vậy un  * Trường hợp 1: a  b Khi un  n 1 a, n  * n * Trường hợp 2: a  b Khi đó: u2  a  b  ab a  ab  b a  b3   ; ab ab a  b2 u3  a  b  ab  a  b  a  b ab  ab  3; u2 a3  b3 a b Qui nạp ta un  a n 1  b n 1 , n  * a n  bn  a n 1  b n 1 a  b  n n Do un   a  b , n   * n 1 a a  b  n * Khi a  b, ta có lim un  lim  n  1 a  lim 1   a  a n    n n 1 * Khi a  b, ta có lim un  lim a n 1  bn 1 a n  bn b 1   a  lim a n 1 b  1     a   a   Vậy lim un  a   x  xy  Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình  có ba nghiệm phân   x  y  m    biệt Lời giải  x  xy  1 Xét hệ phương trình:   3 x  y  m  2  Điều kiện: xy  Vì x  khơng phải nghiệm phương trình nên x  Ta có : (1)  xy  1 x  x  1 x       xy  1 x2  y    x   x Thay vào phương trình (2) ta có: x    x  m (3) x Để hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc ;1 \ 0 Xét hàm số f  x  x    x , x  ;1 \ 0 x x  x 1 Ta có: f   x   x    x x2 f   x    x  x 1   x  Bảng biến thiên: y  m Số nghiệm phương trình (3) số giao điêm đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc ;1 \ 0 5  m   ;3   5  Vậy m   ;3 hệ phương trình      x  xy  có ba nghiệm phân biệt    3 x  y  m  Câu Cho hai số nguyên dương k n cho k  n Xét tất tập hợp gồm k phần tử tập hợp 1, 2, , n Trong tập hợp ta chọn phần tử nhỏ Chứng minh tổng tất phần tử chọn Cnk11 Lời giải Theo đề ta có: TH1: Tập có phần tử nhỏ số có Cnk11 tập TH2: Tập có phần tử nhỏ số có Cnk22 tập … TH k: Tập có phần tử nhỏ số có Cnkkk tập Suy tổng phần tử chọn Cnk11  Cnk22   Cnkkk Dễ dàng ta chứng minh Cnk11  Cnk22   Cnkkk  Cnk11 (đpcm) Câu Cho đường trịn  O  có đường kính AB cố định, M điểm di động  O  cho M khác với điểm A, B OM khơng vng góc với AB Các tiếp tuyến  O  A M cắt C Gọi  I  đường tròn qua tiếp xúc với đường thẳng AC C Đường thẳng OC cắt lại  I  điểm thứ hai E a) Chứng minh E trung điểm OC b) Gọi CD đường kính  I  Chứng minh đường thẳng qua D vng góc với BC ln qua điểm cố định M di động  O  Lời giải    EC  EM a) Có MCO ACO  CME Mà CMO vng M  M trung điểm OC b) Vẽ DF  BC  F  ( I ) DE  AB  E ', DD '  AB F ' trung điểm AO  F ' cố định Ta có CD / / E ' O (  CA) E trung điểm CO  CDOE ' hình bình hành Mà CDD ' A hình chữ nhật  D ' A  CD  E ' O  F trung điểm D ' E ' Gọi Bx tiếp tuyến B (O ) Có: ( BC , Bx, BM , BA)  1 Mà BC  DF , Bx  DC , BM  DE , BA  DD ' ( BM  AM , AM  OC , OC  DE )  ( DC , DF , DE , DD ')  1 Mà DC / / AB  DF qua trung điểm D ' E '  D, E ', F '  DF qua F ' cố định HẾT ... f   x    x  x 1   x  Bảng biến thi? ?n: y  m Số nghiệm phương trình (3) số giao điêm đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng Dựa vào bảng biến thi? ?n ta thấy phương trình (3) có ba nghiệm... , n Trong tập hợp ta chọn phần tử nhỏ Chứng minh tổng tất phần tử chọn Cnk11 Lời giải Theo đề ta có: TH1: Tập có phần tử nhỏ số có Cnk11 tập TH2: Tập có phần tử nhỏ số có Cnk22 tập …... '  AB F ' trung điểm AO  F ' cố định Ta có CD / / E ' O (  CA) E trung điểm CO  CDOE ' hình bình hành Mà CDD ' A hình chữ nhật  D ' A  CD  E ' O  F trung điểm D ' E ' Gọi Bx tiếp tuyến