Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Giang

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị cho kì thi chọn HSG sắp tới cũng như giúp các em củng cố và ôn luyện kiến thức, rèn kỹ năng làm bài thông qua việc giải Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Giang dưới đây. Hi vọng đây là tài liệu hữu ích cho các bạn trong việc ôn tập. Chúc các bạn thi tốt!

NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN - LỚP 12 Ngày thi: 06 tháng 03 năm 2021 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) MÃ ĐỀ THI: 104 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (14,0 điểm) Câu Cho hàm số y  x  3mx  3( m  1) x  m  m (với m tham số) điểm I  2; 2  Gọi S tập hợp giá trị m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A, B cho tam giác Câu Câu IAB nội tiếp đường trịn có bán kính Tích phần tử tập S 14 20 A B C D 17 17 17 ln x , mệnh đề đúng? Cho hàm số y  x 1 A y  xy  B y   xy    C y   xy    D y  xy  x x x x Cho hàm số y  f  x  liên tục không âm  thỏa mãn f  x   f   x   2x f  x   f    Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  x  đoạn 1;3 Biết giá trị biểu thức P  2M  m có dạng a 11  b  c  a, b, c    Giá trị a  b  c A C B D Câu Tìm tất tham số m để hàm số y   m  1 x   2m  1 x  x  đồng biến  Câu 1 B m   C   m  D   m  4 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu ( S1 ) : x  y  z  mặt cầu A 1  m  1  ( S ) : x  ( y  4)  z  ; điểm A  4; 0;  ; B  ; 0;  ; C 1; 4;  ; D  4; 4;  Gọi M thay 4  đổi  S1  , N thay đổi trên  S2  Giá trị nhỏ Q  MA  ND  4MN  BC A Câu Câu Câu 265 B 265 C 265 D 265 Hàm số y   x  1  m  x  ( m tham số) đạt cực tiểu x  A m  1 B m  C 1  m  D m  Cho tập hợp A gồm phần tử, lấy ngẫu nhiên tập A Xác suất để chọn tập có phần tử tập A 11 B C D A 16 16 16 2 8 x x 0 x 13 A I  12 Tính lim B I  12 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C I  11 12 D I  25 12 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Câu Cho  f 2   x   x dx  ,  f  x x2 dx  Giá trị  f  x  dx A 13 B 12 C 16 D 17 A B C D Câu 10 Bất phương trình log3  3x  1  log3  x   có nghiệm nguyên? Câu 11 Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị hình Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x  x  m  có ba nghiệm thực phân biệt A  m  B 2  m  C 2  m  D 1  m  Câu 12 Một hộp đựng 50 thẻ đánh số từ đến 50 Chọn ngẫu nhiên từ hộp hai thẻ Tính xác suất để hiệu bình phương số ghi hai thẻ lấy số chia hết cho 409 681 801 A B C D 1225 1225 25 1225 2 x Câu 13 Tập xác định hàm số y  log x A  0;  B  0; 2 C  ;0    2;   D  ;0    2;   Câu 14 Cho a; b hai số thực dương thoả mãn log 4a  2b   a  3b  Tìm Tmin giá trị nhỏ ab biểu thức T  a  b A Tmin  B Tmin  C Tmin  D Tmin  2 2  x Câu 15 Cho  f   dx  x3  x  C ,  C    Họ nguyên hàm hàm số f  cos x  2  f  cos x  dx  3cos x  8x  C C  f  cos x  dx  3sin x  x  C  f  cos x  dx  8sin x  3x  C D  f  cos x  dx  3sin x  x  C A B Câu 16 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  m log x  nghịch biến khoảng log x  m   4;   A m  m  B m  2 m  C m  2 D m  2 m  Câu 17 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn  a  2b   8ab Mệnh đề đúng? A log  a  2b     log2 a  log2 b  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc B log  a  2b     log a  log b  Trang NHĨM TỐN VD – VDC 1 D log  a  2b    log a  log b  log2 a  log2 b  2 Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K , M điểm C log  a  2b    SK SM  ;  Mặt phẳng  AKM  chia khối chóp SB SD S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa điểm S V2 thể tích thuộc đoạn SB, SD cho khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V1 19  V2 46 B V1 V2 V1  V2 11 C V1 17  V2 47 D V1  V2 23 a Mặt phẳng  P  qua đỉnh hình nón cho tạo với đáy góc 60 Diện tích thiết diện mặt phẳng  P  hình nón Câu 19 Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao a2 a2 a2 B C 2a D Câu 20 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm M  3; 2;  Mặt phẳng  P  : ax  by  cz   A qua M cắt ba trục Ox , Oy , Oz A , B , C cho tứ giác ABCM hình bình hành Mệnh đề đúng? 9 A abc  6 B abc  C abc   D abc  Câu 21 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  6cm , BC  BB  2cm Gọi E trung điểm cạnh BC Một tứ diện MNPQ có hai đỉnh M N nằm đường thẳng EC , hai đỉnh P Q nằm đường thẳng qua điểm B cắt đường thẳng AD F Độ dài đoạn thẳng AF A cm B 2cm C 1cm D cm Câu 22 Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ thành hàng dọc cho học sinh nam đứng đầu? A 3450 B 4320 C 6720 D 432 Câu 23 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình bên Có giá trị tham số m để phương trình m3  m 2f  x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  f  x   có nghiệm thực phân biệt? Trang NHĨM TỐN VD – VDC A B C D Câu 24 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  tam giác ABC vng B Góc cạnh SB mặt phẳng  ABC  600 ; AC  3a , BC  a Thể tích khối chóp S ABC A a 3 Câu 25 Biết B 3a  x  ln x  1dx  ln  ln a  b  C 3a D a3 với a , b số nguyên dương Mệnh đề đúng? A a  b  ab   B a  b  ab   C a  b  ab  10 D a  b  ab  Câu 26 Cho hàm số y   x  1 x  2mx  3m  Có giá trị nguyên dương tham số m thoả mãn 2021  m  2021 để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt? A 2019 B 4040 C 2018 D 4041 Câu 27 Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn [-10;10] để hàm số y = ax + 3x + bx đạt giá trị nhỏ đoạn [0; ] x = ? A B C D 11 Câu 28 Cộng vào số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba thứ tư cấp số cộng tăng số 1; 2;7 25 ta bốn số lập thành cấp số nhân Tìm cơng sai d cấp số nhân A d = 11 15 B d = C d = D d = 1 x  có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang ? x2  x  A B C D   Câu 30 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u v tạo với góc 1200   u  2, v  Mệnh đề đúng?         A 2u  v  19 B 2u  v  39 C 2u  v  D 2u  v  Câu 29 Đồ thị hàm số y  Câu 31 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy , góc hai mặt phẳng  ABC    ABC   với tan   Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  B C D 2 Câu 32 Cho hàm số y  f  x  xác định  thỏa mãn f   x   x  x  m2  2m, x   Có bao A   nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  sin x  nghịch biến  ;   ? 2  A B C D 1  1  Câu 33 Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f '  x   , x   \   3x  3 3 2 f    1, f    Giá trị biểu thức T  f  1  f  3 3 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC A 2  5ln B  5ln C  5ln D  5ln Câu 34 Cho hình trụ có tâm đáy O, O ' có chiều cao 2a Gọi hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy tâm O, O ' cho AB  3a ; thể tích tứ diện OO ' AB khối trụ giới hạn hình trụ cho bằng: A 5 a3 B  a C 20 a3 D a3 Thể tích 9 a3   900 , tam giác BCD vuông D , BC  2a Câu 35 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD, BAC   300 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 5a Tính thể tích V CBD khối tứ diện ABCD A V  a3 B V  a 3 C V  a3 D V  a3 12 x 1 x Câu 36 Gọi S tổng nghiệm phương trình 625 x  10125 Khẳng định sau đúng? A S   5;6  B S   0;1 C S   2;3 D S   3;  Câu 37 Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  song song với cắt khối cầu tâm O , bán kính R thành hai hình trịn bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn có đáy hình trịn lại Khoảng cách h hai mặt phẳng  P  ,  Q  diện tích xung quanh hình nón lớn A h  R Câu 38 Cho B h  2x  a   x dx  a  b ln c 2R C h  R D h  R a, b, c  ; a, c  Giá trị biểu thức a  b  c A Câu 39 Có B 12 giá trị nguyên C  tham số m D 6 để phương trình  x  mx  m  2 log     x   m   x  m  m  có hai nghiệm phân biệt?  x  2m  A 14 B 13 C 19 D      Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có AB  a ; AD  2a ; A C  3a Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD ABC D là: A 2a B 4a C 6a D 5a II PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm) Câu Câu 2 Giải phương trình 2.3x   3x   3x  x   Cho hình chóp S ABCD có SA  3a nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Tứ giác ABCD hình chữ nhật có AB  2a, AD  a Gọi M trung điểm đoạn thẳng SB, mặt phẳng  P  qua DM cắt mặt phẳng  SAC  theo giao tuyến đường thẳng vng góc với DM Gọi E giao điểm mặt phẳng  P  SA a) Tính AE https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TOÁN VD – VDC log x  m  Điều kiện xác định:  x  Vì x   4;   nên log x   2;   Ta có y  m2  m   log x  m  1 x ln m  m   Để hàm số nghịch biến khoảng  4;     m   m   ; 2   1;     m   ; 2  m  Câu 17 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn  a  2b   8ab Mệnh đề đúng? A log  a  2b     log2 a  log2 b  C log  a  2b     log2 a  log2 b  Chọn B  log a  log b  1 D log  a  2b    log a  log b 2 Lời giải B log  a  2b    Ta có  a  2b   8ab   a  2b   16ab Do log  a  2b   log 16ab  2log  a  2b    log a  log b  log a  log b  Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K , M điểm  log  a  2b    SK SM  ;  Mặt phẳng  AKM  chia khối chóp SB SD S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối đa diện chứa điểm S V2 thể tích thuộc đoạn SB, SD cho khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V1 19  V2 46 B V1 V2 V1  V2 11 Chọn A C V1 17  V2 47 D V1  V2 23 Lời giải Gọi O giao AC BD https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13 NHĨM TỐN VD – VDC Trong  SBD  gọi I giao SO KM Trong  SAC  gọi N giao SC AI S SKM SK SM S  S SMI SK SI SI SM SI 12   SKI       S SBD SB SD S SBO SB SO SO SD SO 19 Do AO CN SI CN 12 CN SN 1 1    AC SN IO SN SN SC 13 SK SN VS AMN SM SN ,   SB SC VS ACD SD SC Trong tam giác SOC ta có Ta có Vậy VS AKN VS ABC VS AKN VS AMN SK SN SM SN 38 V1 19 V 19        1 V2 46 VS ABC VS ACD SB SC SD SC 65 VS ABCD 65 a Mặt phẳng  P  qua đỉnh hình nón cho tạo với đáy góc 60 Diện tích thiết diện mặt phẳng  P  hình nón Câu 19 Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao A a2 B a2 Chọn D C 2a D Lời giải a2 Gọi O tâm hình trịn đáy, mặt phẳng  P  cắt đáy theo dây cung AB Gọi H trung   60 , OA  OB  SO  a điểm AB , suy ra: SHO 2 S SAB  OS  OS  AB SH  HB SH  OB  OH SH  OB     tan 60  sin 60 2a 2 a2 OS  1   1 3 sin 60 tan 60 Câu 20 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm M  3; 2;  Mặt phẳng  P  : ax  by  cz   qua M cắt ba trục Ox , Oy , Oz A , B , C cho tứ giác ABCM hình bình hành Mệnh đề đúng? A abc  6 B abc  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C abc   D abc  Trang 14 NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn C Vì A , B , C giao  P  với ba trục Ox , Oy , Oz nên có tọa độ:  3     A   ;0;0  , B  0;  ;0  C  0;0;   b  c  a      3     Ta có: AB  ;  ;0  , MC  3; 2;    c a b    3   a  3  a  1       Để ABCM hình bình hành AB  MC      b     b 3   0   c  c    Vậy abc   Câu 21 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  6cm , BC  BB  2cm Gọi E trung điểm cạnh BC Một tứ diện MNPQ có hai đỉnh M N nằm đường thẳng EC , hai đỉnh P Q nằm đường thẳng qua điểm B cắt đường thẳng AD F Độ dài đoạn thẳng AF A cm B 2cm C 1cm D cm Lời giải Chọn D Do tứ diện MNPQ tứ diện nên MN  PQ Suy EC   BF          Ta có: BF  BA  AF  BA  BB  k AD  BA  BB  k BC  (với k  )      Mà EC   EC  CC   BC   BB          k k Do ta có: EC .BF   BC   BB  BA  BB  k BC   BC 2  BB    2 2       k  Suy AF  AD , tức D trung điểm đoạn thẳng AF Vậy AF  AA2  AF  2    cm  Câu 22 Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ thành hàng dọc cho học sinh nam đứng đầu? A 3450 B 4320 C 6720 D 432 Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15 NHĨM TỐN VD – VDC Chọn B Số cách xếp học sinh nam, có 3!  (cách) Số cách xếp học sinh nữ, có 6!  720 (cách) Vậy có 6.720  4320 cách xếp cho học sinh nam đứng đầu Câu 23 Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đồ thị hình bên Có giá trị tham số m để phương trình A m3  m 2f  x  B C Lời giải Chọn A Ta có m3  m 2f  x   f  x   có nghiệm thực phân biệt? D  f  x    4m3  m   f  x   3 f  x    8m3  2m   f  x    f  x    8m3  2m  2 f  x    1 f x    2m   2m   2f x    2f x  (*) Xét hàm số h  t   t  t có h  t   3t   0, t nên hàm số h  t   t  t đồng biến  Do *  h  2m   h   f  x    2m  f  x   Suy  m    m   2m  f  x      2m   2  4m  f  x     2  f  x   2m   m    m     m        f  x   2m   m     f x  2m     https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16 NHĨM TỐN VD – VDC Từ đồ thị hàm số y  f  x  suy phương trình cho có nghiệm phân biệt     2m    m2     2m        2 4    m   37   23 2 2  3  2m2    9  2m   16    m     23 37    m     5  2 m  m  m     Do m nguyên nên có giá trị tham số m thoả mãn Câu 24 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  tam giác ABC vng B Góc cạnh SB mặt phẳng  ABC  600 ; AC  3a , BC  a Thể tích khối chóp S ABC A a 3 B 3a Chọn C C Lời giải 3a D a3 Ta có tam giác ABC vng tạo B AC  3a , BC  a nên AB  AC  BC  2a Suy S ABC  AB.BC  a 2   600 Lại có SA   ABC    SB,  ABC     SB, AB   SBA  Suy tan SBA SA   2a 2.tan 60  2a  SA  AB.tan SBA AB 1 3a Vậy VS ABC  SA.S ABC  2a 6.a 2  3 Câu 25 Biết  x  ln x  1dx  ln  ln a  b  với a , b số nguyên dương Mệnh đề đúng? A a  b  ab  Chọn A B a  b  ab  C a  b  ab  10 D a  b  ab  Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có  ln 2 1 1 1  x  ln x  1dx   ln x  ln x  1dx   ln x  1d ln x   ln x  1  ln ln   ln ln1   ln  ln  1 Do a  ; b  Vậy a  b  ab  22  12  2.1    Câu 26 Cho hàm số y   x  1 x  2mx  3m  Có giá trị nguyên dương tham số m thoả mãn 2021  m  2021 để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt? A 2019 B 4040 C 2018 D 4041 Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ tihj hàm số với trục hoành x   x  1 x  2mx  3m      x  2mx  3m   1    Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác m      m  3m       1  m.1  3m    m   m   2021  m  Do 2021  m  2021 nên    m  2021 Vậy có 4041 giá trị nguyên dương tham số m thoả mãn Câu 27 Có giá trị nguyên tham số a thuộc đoạn [-10;10] để hàm số y = ax + 3x + bx đạt giá trị nhỏ đoạn [0; 4] x = ? A C Lời giải B D 11 Chọn D Để hàm số đạt giá trị nhỏ đoạn [0; 4] x = hàm số đạt cực tiểu x = , nghĩa ìï y ¢ (1) = là: ïí y ( x) ³ y (1) "x Ỵ [0; 4] ïï y (1) > ỵ Ta có : y = 4ax + x + b; y = 12ax + ìï y ¢ (1) = + ïí ïï y (1) > ỵ ïìï4a + + b = ïỵ12a + > ìïb = -4a - ïï ïïa > - ỵ + y ( x) ³ y (1) "x Î [0; 4] Û ax + 3x + bx ³ a + + b (*) "x Ỵ [0; 4] , thay b = -4a - vào (*) , ta được: (*) Û ax + 3x + (-4a - 6) x ³ a + - 4a - "x Ỵ [0; 4] Û a ( x - x + 3) ³ - 3x + x - "x Ỵ [0; ] Û a ( x - 1) ( x + x + 3) ³ - (x - 1) "x Ỵ [0; ] a -3 "x [0; 4]; x + 2x + https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18 NHĨM TỐN VD – VDC max g ( x ); với g ( x) = a xỴ[0;4] Ta có g ¢ ( x ) = 3(2 x + ) (x 2 + x + 3) Þ max g ( x ) = g (4 ) = xỴ[0;4] -3 x + 2x + > "x Ỵ [0; ] nên g ( x) đồng biến [0; 4] -3 =- 16 + + Suy a ³ - , mà a nguyên thuộc đoạn [-10;10 ] nên có 11 giá trị a Câu 28 Cộng vào số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba thứ tư cấp số cộng tăng số 1; 2;7 25 ta bốn số lập thành cấp số nhân Tìm cơng sai d cấp số nhân A d = 11 15 B d = C d = Lời giải D d = Chọn C Gỉả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 Vì cấp số cộng tăng nên d > Khi đó, số hạng cấp số cộng : u1 ; u1 + d ; u1 + 2d ; u1 + 3d Cấp số nhân là: u1 + 1; u1 + d + 2; u1 + 2d + 7; u1 + 3d + 25 Theo tính chất cấp số nhân, ta có: ìï(u + 1)(u + 2d + ) = (u + d + )2 ïï 1 í ïï(u + d + 2)(u + 3d + 25 ) = (u + 2d + )2 1 ïỵ ìïu + (2d + 8)u + 2d + = u + (d + )u + (d + )2 ï 1 1 Û ïí ïïu + (4d + 27 )u + (d + )(3d + 25 )= u + (2d + )u + (2d + )2 1 ïỵ ìï4u1 = d + 2d - Û ïí ïï13u1 = d - 3d -1 ỵ Suy ra: 13(d + 2d - 3) = (d - 3d -1) é ê d = (TM ) Û 9d + 38d - 35 = Û ê ê êë d = -5 ( L ) Câu 29 Đồ thị hàm số y  A Chọn A 1 x  có tất đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang ? x2  4x  B C D Lời giải  x   x  Điều kiện xác định:    x  x   x  lim y  lim x  x  1 x    đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  x2  4x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19 NHĨM TỐN VD – VDC lim y  lim x 3 x 3 1 x  1 x   ; lim y  lim    đồ thị hàm số có tiệm cận x 3 x 3 x  x  x  4x  đứng x  Vậy đồ thị hàm số có tất đường tiệm cận   Câu 30 Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u v tạo với góc 1200   u  2, v  Mệnh đề đúng?         A 2u  v  19 B 2u  v  39 C 2u  v  D 2u  v  Chọn D    2u  v  2u Lời giải 2 2      u  v  u v cos u , v    16  16  4.2.4.cos1200  16  2u  v          4u v  v    Câu 31 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy , góc hai mặt phẳng  ABC    ABC   A với tan   B Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Chọn B C D Lời giải Gọi H trung điểm AB Đặt AA  x , ta có AC   BC   a  x nên C H  AB  Lại có CH  AB , suy   ABC   ,  ABC    CHC Trong CHC  vng C , ta có CC   CH tan   1  2 22 3 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  : V  CC .S ABC   Câu 32 Cho hàm số y  f  x  xác định  thỏa mãn f   x   x  x  m2  2m, x   Có bao   nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y  f  sin x  nghịch biến  ;   ? 2  A B C D https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20 NHĨM TỐN VD – VDC Lời giải Chọn D   Trên  ;   hàm số y  sin x nghịch biến sin x   0; 1 2    Hàm số y  f  sin x  nghịch biến  ;   hàm số y  f  t  đồng biến  0; 1 2   f   t   t  2t  m2  2m  0, t   0; 1  m2  2m  t  2t , t   0; 1 (*) g  t   t  2t  g   t   3t  4t  0, t   0; 1 Suy  0; 1 hàm số y  g t  đồng biến, (*)  m2  2m  g      m  Vì m nguyên nên m  0; 1; 2 Câu 33 Cho hàm số f  x  1  xác định  \   3 thỏa mãn f '  x   1  , x   \   3x  3 2 f    1, f    Giá trị biểu thức T  f  1  f  3 3 A 2  5ln B  5ln C  5ln D  5ln Lời giải Chọn C Ta có: f  x    dx  ln 3x   C 3x  1  ln  x  1  C1, x  2 Suy f  x    Lại có f     C2  f     C1  3 ln 1  x   C , x   Do đó: T  f  1  f  3   ln  1   ln     5ln Câu 34 Cho hình trụ có tâm đáy O, O ' có chiều cao 2a Gọi hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy tâm O, O ' cho AB  3a ; thể tích tứ diện OO ' AB khối trụ giới hạn hình trụ cho bằng: A 5 a3 B  a Chọn D https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C Lời giải 20 a3 D a3 Thể tích 9 a3 Trang 21 NHĨM TỐN VD – VDC Kẻ đường sinh AH (hình vẽ) Ta có: ABH vng H  HB  AB  AH  a Gọi K trung điểm BH  OK  HB Mặt khác, AH / /OO '  OO '   ABH   VOO ' AB  V AHOB  AH S OHB Suy S OHB  3VOO ' AB AH a3 3  a  2a 2S Lại có: S OHB  OK HB  OK  OHK  a suy R  OH  HB Vậy: Vtru   R h   HB 3a  OK  9 a3 a 2a    900 , tam giác BCD vuông D , BC  2a Câu 35 Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD, BAC   300 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 5a Tính thể tích V CBD khối tứ diện ABCD A V  a3 B V  a 3 Chọn C C V  Lời giải a3 D V  a3 12 Gọi H trung điểm BC  SH   BCD  Gọi I trung điểm AB , ta kẻ đường trung trực đoạn AB cắt SH J , ta có  JA  JB 5a suy J tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD JA    JB  ID  JC Xét tam giác BCD vuông D : DC  BC sin 30  a; BD  BC cos 30  a Ta có S BCD a2  BC BD sin 30  2   900 nên AH  AJ  JH  AJ  JB  HB  2a Vì BAC Vậy VABCD  1 a a3 AH S BCD  2a  3 x 1 Câu 36 Gọi S tổng nghiệm phương trình 625 x x  10125 Khẳng định sau đúng? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22 NHĨM TỐN VD – VDC A S   5;  B S   0;1 C S   2;3 D S   3;  Lời giải Chọn C x 1 Ta có 625 x 3x  10125   x4 4 x 1 x 3x  53.34  3x 4  4 x x x  4 x log   x  x   log Vậy S   log3  2,53   2;3 Câu 37 Cho hai mặt phẳng  P  ,  Q  song song với cắt khối cầu tâm O , bán kính R thành hai hình trịn bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn có đáy hình trịn lại Khoảng cách h hai mặt phẳng  P  ,  Q  diện tích xung quanh hình nón lớn A h  R B h  2R Chọn B C h  R D h  R Lời giải d   P  ,  Q    OO   h AB  R OAB vuông O nên OA  AB  OB  R  h2 h2 3h2  R  OAO vuông O nên OA  OO  OA  h  R  4 2 2  Diện tích xung quanh hình nón: S   OA.O A    R   Đặt x  h   3h    R   4  h ,x  Xét f  x    f  x   R  x   R  3x    R  2R x  3x với x   0; R  2R2  x  R  x   R  3x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23 NHĨM TỐN VD – VDC f   x    2R2  x   x  R2 Diện tích xung quanh hình nón đạt giá trị lớn f  x  đạt giá trị lớn R2 h2 R 4R 2  0; R  Khi x     h   h  2R3 Câu 38 Cho 2x  a a, b, c  ; a, c  Giá trị biểu thức a  b  c dx   a  b ln 0  x c A B 12 Chọn C D 6 C  Lời giải 2x 1   0  x dx  0  2   x  dx  2x  ln  x   2  ln  ln  2  ln Suy a  2, b  7, c   a  b  c  2 Câu 39 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình  x  mx  m  2 log     x   m   x  m  m  có hai nghiệm phân biệt?  x  2m  A 14 B 13 C 19 D Lời giải Chọn B  x  2m  m  3m   2 ĐKXĐ:  x  mx  m  x  2m  (do x  mx  m   x     x ; m   2 0    x  2m Dấu xảy  x  m  )  x  mx  m  2 Phương trình log     x  m   x  m 8m  x  m    log  x  mx  m    x  mx  m   log  x  8m    x  8m  1 Xét hàm số f  t   log t  t  0;    f  t     t   0;     Hàm số f  t  đồng biến  0;    t ln Do 1  f  x  mx  m   f  x  8m   x  mx  m  x  8m  x   m   x  m2  8m   2 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24 NHĨM TỐN VD – VDC  x1  2m   Phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn   x2  2m   m     m  8m         x1  x2  4m    x1  x2  4m    x  2m x  2m      x1 x2  2m  x1  x2   4m  3m  40m  16  3m  40m  16      m   4m   5m    m  8m  2m m   4m  7 m       20  20  m  3   20  20   m   m     3  m   m    Do m nguyên nên m  1; 2; ;13 Vậy có 13 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn u cầu tốn Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  a ; AD  2a ; AC  3a Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD ABC D là: A 2a B 4a C 6a Lời giải Chọn B D 5a Ta có: AC  AC 2  AB  AD  AA2  AA2  AC  AB  AD   3a   a   2a   4a  AA  2a 2 Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD ABC D là: V  AB AD AA  a.2a.2a  4a II PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm) Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2.3x 4 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  3x   3x  x   Lời giải Trang 25 NHĨM TỐN VD – VDC Ta có 2.3x   3x   4 x2  4  3x   3x    x2 4   3x  3x  1 2     2.3x 4     3x   3x  x2 0  1  3x    x         x2  3   x   log 2 x2  x  2  x  2  log  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  2; 2;   log3 2 Câu (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA  3a nằm đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Tứ giác ABCD hình chữ nhật có AB  2a, AD  a Gọi M trung điểm đoạn thẳng SB, mặt phẳng  P  qua DM cắt mặt phẳng  SAC  theo giao tuyến đường thẳng vng góc với DM Gọi E giao điểm mặt phẳng  P  SA a) Tính AE b) Mặt phẳng  P  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S Lời giải Đầu tiên, ta gọi I giao điểm SO DM mà M , O trung điểm cùa SB, BD nên suy I trọng tâm SBD Cho đường thằng qua I , song song với AC cắt SA, SC E, F 2 SA AC a 2  DS  DB   SB a 15 a Ta có: IE  ; AE  ; DI  DM   3 3 3 Mà ta nhận thấy: DI  IE '  DE '  DA  AE ' nên suy IDE vuông I  DM  EF Mặt khác E F   ME DF    SAC  nên suy mặt phẳng ( P) cần tìm mặt phẳng ( ME ' DF) E  SA ( P) Mà theo giả thiết ta có E giao điểm mặt phẳng  P  với SA nên suy E E Suy AE AE  a https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26 NHĨM TỐN VD – VDC a) Do E E nên suy EF / / AC  SE SF   (Định lí Ta-lét) Suy ta có được: SA SC V S DEF V S MEDF V S , MEF  V S DEF V  SM SE SF SE SF    S , MEF       V S BADC 2.V S BAC 2.V S DAC  SB SA SC SA SC   V S BADC  1  V  V  SAS  3a a a  a S BADC S ABCD ABCD  3 Từ suy ra: V S MEDF  V a3 S ABCD  a3 Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Tìm giá trị lớn biểu thức Như vậy, thể tích khối đa diện chứa đỉnh S V S MEDF      S  cos A  cos A  cos B  cos B  cos C  cos C  Lời giải Lấy ln hai vế ta         t  , t   0;1 3 ln S  ln cos A  cos A   ln cos B  cos B   ln cos C  cos C   Xét hàm f (t )  ln t  t Ta có f '(t )  f '(t )   t  t2    t2   4t   3 t2  t2   t2     1   Từ BBT ta suy f (t )  f    ln 2, t   0;1 Do ln S  3ln  Lại có  cos A  cos B  cos C   cos A  cos B  cos C  2sin C A B C C C 3  C 1 cos   2sin  2sin   2sin    sin    2 2 2 2  Suy ln S  3ln  S  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc -HÊT - Trang 27 ... SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN - LỚP 12 Ngày thi: 06 tháng 03 năm 2021 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) MÃ ĐỀ... C  -HÊT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 MƠN TỐN - LỚP 12 Ngày thi: 06... (*) , ta được: (*) Û ax + 3x + (-4 a - 6) x ³ a + - 4a - "x Ỵ [0; 4] Û a ( x - x + 3) ³ - 3x + x - "x Ỵ [0; ] Û a ( x - 1) ( x + x + 3) ³ - (x - 1) "x Ỵ [0; ] a -3 "x [0; 4]; x + 2x + https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc